Mengen

Mengen
Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung
oder unseres Denken zu einem Ganzen.
G. Cantor, 1845-1918
Herbert Klaeren
WSI
(Info-i-2004, 3. November 2004)
S. 1
Mengen
• M = {11, 13, 17, 19}.
• M = {x | x ist Primzahl, 10 ≤ x ≤ 20}. (In der Mathe-Vorlesung: „:“
statt „|“)
• Achtung: Paradoxon des Lügners! M = {X | X 6∈ X}
• N in der Informatik immer inklusive der 0
• An = {(a1, . . . , an) | ai ∈ A}, A1 = A
• A0 = {()}, eine einelementige Menge, das Element wird mit () bezeichnet.
• T für das Komplement statt T c
Herbert Klaeren
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S. 2
Prädikatenlogik
Eine komplizierte mathematische Theorie, wir brauchen nur:
• Prädikat: Eine Aussage (mit Variablen): P (x): „x erfüllt das Prädikat
P “, „P gilt für x“, „es gilt P (x)“.
• Allquantor: (∀x)P (x) für alle x gilt P (x)
• Existenzquantor: (∃x)P (x) es gibt mindestens ein x, für das P (x)
gilt.
• Offensichtlich gilt: ¬(∀x)Q(x) ist gleichbedeutend mit (∃x)¬Q(x) und
¬(∃x)Q(x) ist gleichbedeutend mit (∀x)¬Q(x).
Herbert Klaeren
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S. 3
Wurstbrötchen-Revision
• B(x, y): „x ist besser als y“
• „Ein Wurstbrötchen ist besser als nichts“: B(W u, ∅)
• „Nichts ist besser als die ewige Seligkeit“: ¬(∃x)B(x, Se)
• Der Fehlschluß „Ein Wurstbrötchen ist besser als die ewige Seligkeit“
B(W u, Se) ist in dieser Formulierung nicht möglich!
Herbert Klaeren
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S. 4
Unendliche Mengen
Unendliche Mengen mit endlichen Mitteln beschreiben! Beispiel: Natürliche Zahlen, N:
Dezimaldarstellung 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .
Römische Zahlen I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, . . .
Strichdarstellung |, ||, |||, ||||, |||||, ||||||, |||||||, . . .
Was bedeuten die Punkte (. . . )? Was ist eine natürliche Zahl „wirklich“?
Herbert Klaeren
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S. 5
Axiomatische Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine total geordnete Menge
(N; ≤) mit den Eigenschaften:
1. (N; ≤) hat kein größtes Element.
2. (N; ≤) ist wohlgeordnet. Das kleinste Element von N wird mit 0 bezeichnet.
3. Jedes Element von N außer der 0 hat genau einen Vorgänger , d.h.
(∀n ∈ N \ {0}) (∃n1 ∈ N) n1 ≤ n ∧
(∀n2 ∈ N)(n2 ≤ n ∧ n2 6= n ⇒ n2 ≤ n1)
Herbert Klaeren
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S. 6
Induktive Definition
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist gegeben durch folgende Eigenschaften:
1. Es gibt eine natürliche Zahl 0 ∈ N.
2. Zu jeder Zahl n ∈ N gibt es eine Zahl n0 ∈ N, die Nachfolger von n
heißt.
3. Für alle n ∈ N ist n0 6= 0.
4. Aus n0 = m0 folgt n = m.
5. Eine Menge M von natürlichen Zahlen, welche die 0 enthält und mit
jeder Zahl m ∈ M auch deren Nachfolger m0, ist mit N identisch.
Herbert Klaeren
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S. 7
Induktive Definition
1. Eine Verankerung, d. h. die Vorgabe endlich vieler Elemente.
2. Ein Erzeugungsverfahren zur Konstruktion weiterer Elemente aus
vorgegebenen und bereits erzeugten Elementen.
3. Ein Induktionsaxiom (induktiver Abschluß), das alle Elemente ausschließt, die nicht aus 1) und 2) entstanden sind.
Alternative Formulierungen für das Induktionsaxiom: „die kleinste
Menge mit . . . “, „Durch . . . werden alle Elemente erzeugt.“
Herbert Klaeren
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S. 8
Vollständige Induktion
Zum Beweis der Behauptung, daß ein bestimmtes Prädikat P für alle
natürlichen Zahlen gilt, genügt es, die folgenden Beweise zu führen:
1. P (0), d.h. das Prädikat gilt für die 0 („Induktionsverankerung“).
2. P (n) ⇒ P (n + 1), d.h. aus der Annahme, daß P für irgendein n ∈ N
gilt („Induktionsannahme“), läßt sich folgern, daß P (n + 1) gilt („Induktionsschluß“).
(P (0) ∧ ((∀n ∈ N) P (n) ⇒ P (n + 1))
Herbert Klaeren
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⇒
(∀n ∈ N) P (n)
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S. 9
Gaußsche Summenformel (1)
Behauptung:
(∀n ∈ N)
n
X
i=1
i=
n · (n + 1)
2
Induktionsverankerung: n = 0: In diesem Fall handelt es sich um
eine leere Summe, deren Wert 0 ist.
Induktionsvoraussetzung: Gelte die Behauptung bereits für ein
bestimmtes m und sei nun n = m + 1.
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S. 10
Gaußsche Summenformel (2)
Sei n = m + 1.
n
X
m
X
i = (
i) + m + 1
i=1
i=1
=
=
=
=
Herbert Klaeren
m · (m + 1)
+ m + 1 (nach Induktionsvoraussetzung)
2
m · (m + 1) + 2 · (m + 1)
2
(m + 1) · (m + 2)
2
n · (n + 1)
2
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S. 11
Wortmengen
Sei Σ = {a1, . . . , ak } eine endliche Menge, genannt Alphabet. Die
Elemente von Σ heißen auch Symbole. Die Menge Σ∗ der Wörter über
Σ ist die kleinste Menge mit den folgenden Eigenschaften:
1. Es gibt ein leeres Wort ∈ Σ∗.
2. Wenn w ∈ Σ∗ und a ∈ Σ, so ist wa ∈ Σ∗.
, a, b, c, aa, ab, ac, . . . , abc, . . . .
, a, b, c, aa, ab, ac, . . . , abc, . . .
Herbert Klaeren
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S. 12
Wortinduktion
Zum Beweis der Behauptung, daß ein bestimmtes Prädikat P für alle
w ∈ Σ∗ gilt, genügt es, die folgenden Beweise zu führen:
1. P () („Induktionsverankerung“)
2. P (w) ⇒ P (wa) („Induktionsschluß“).
(P () ∧ ((∀w ∈ Σ∗, a ∈ Σ)
Herbert Klaeren
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P (w) ⇒ P (wa))
⇒
(∀w ∈ Σ∗)P (w)
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S. 13
Terme
(3x + 1) · (5 · (y + z))2
(a ∧ (b ∨ c)) ⇒ (a ∨ b) .
Terme oder Ausdrücke bestehen aus Teiltermen und benutzen ggf.
Klammern, um diese Teilterme auszuzeichnen. Terme enthalten Operationssymbole; die Notwendigkeit von Klammern in den oben aufgeführten Termen ergibt sich dadurch, daß Operationssymbole zwischen ihre
Argumente geschrieben werden (Infixnotation).
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S. 14
Operationsalphabet
Ein Operationsalphabet oder Rangalphabet ist eine Menge Σ =
{F1, . . . , Fm} von Operationssymbolen zusammen mit einer Abbildung
σ : Σ → N . σ(F ) heißt die Stelligkeit oder auch der Rang von F . Für
n ∈ N sei
def
Σ(n) = {F ∈ Σ | σ(F ) = n}
Σ(n) heißt Menge der n-stelligen Operationssymbole. Statt F ∈ Σ(n)
wird auch die Schreibweise F (n) ∈ Σ verwendet.
Herbert Klaeren
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S. 15
Beispiel: Ganze Zahlen
Ganze Zahlen mit Nachfolger, Vorgänger und den vier Grundrechenarten: (Ω; σ) mit
Ω(0) = {0}
Ω(1) = {succ, pred}
Ω(2) = {+, −, ∗, div, mod}
Herbert Klaeren
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S. 16
Beispiel: Aussagenlog. Ausdrücke
Γ(0) = {W, F}
Γ(1) = {¬}
Γ(2) = {∧, ∨, ⇒, ⇔}
Herbert Klaeren
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S. 17
Terme (nach Łukasiewicz)
Sei X eine abzählbare Menge, genannt Menge der Variablen. Sei
ferner (Σ; σ) ein Operationsalphabet. Es gelte Σ ∩ X = ∅. Die Menge
TΣ(X) der Σ-Terme über X ist die kleinste Teilmenge von (Σ ∪ X)∗ mit
den Eigenschaften:
1. X ⊆ TΣ(X)
2. Falls t1, . . . , tn ∈ TΣ(X) und F ∈ Σ(n), so ist F t1 . . . tn ∈ TΣ(X)
(Aus Bedingung 2 für n = 0 folgt, daß Σ(0) ⊆ TΣ(X).)
Herbert Klaeren
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S. 18