(aij)n×n eine gegebene (n×n)-Matrix. Die zur Matrix A klassisch

Berechnung der Inversen
Definition 6. Es sei A = (aij )n×n eine gegebene (n×n)-Matrix. Die zur Matrix A klassisch
adjungierte Matrix bzw. die Adjunkte A∗ ist als die Transponierte der Matrix (ãij )n×n definiert,
also ist
∗
T
A := (ãij )n×n,
wobei die Komponenten der Matrix (ãij )n×n durch
⎛
ãij
1
⎜ 0
i+j
:= (−1) det ⎜
⎝ ...
0
0
···
Aij
0
⎞
⎟
⎟
⎠
gegeben sind und die hier angegebene Matrix Aij aus der Matrix A durch Streichen der i-ten
Zeile und der j -ten Spalte gewonnen wird.
Lemma 3. Es sei A eine (n × n)-Matrix mit det A = 0. Dann ist die zu A inverse Matrix
durch
1
−1
∗
A =
A
det A
gegeben. Für det A = 0 besitzt A keine Inverse.
D. Horstmann: Oktober 2016
108
Berechnung der Inversen
Beispiel 16. Es sei
a b
A=
c d
mit a · d − b · c = 0. Die Inverse von A ist nach dem oben genannten Satz gegeben durch
A
−1
1
=
a·d−b·c
d
−c
−b
a
.
Für (2 × 2)-Matrizen hat man also eine einfache Formel zur Bestimmung der Inversen zur
Hand.
D. Horstmann: Oktober 2016
109
Berechnung der Inversen
Beispiel 17. Es sei nun
⎞
2
3
−4
A = ⎝ 0 −4
2 ⎠.
1 −1
5
Die Berechnung der Determinante ergibt in diesem Fall: det A = −46. Nun bestimmen wir
die Einträge der Matrix (ãij )3×3. Nach der Formel zur Berechnung der Einträge erhalten wir:
⎞
⎛
1
0
0
1+1
ã11 = (−1)
· det ⎝ 0 −4 2 ⎠ = −18,
0 −1 5
⎛
⎞
1 0 0
1+2
ã12 = (−1)
· det ⎝ 0 0 2 ⎠ = 2,
0 1 5
⎛
⎞
1 0
0
1+3
· det ⎝ 0 0 −4 ⎠ = 4,
ã13 = (−1)
0 1 −1
D. Horstmann: Oktober 2016
⎛
110
⎛
ã21
=
ã22
=
ã23
=
ã31
=
ã32
=
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1
2+1
(−1)
· det ⎝ 0
0
⎛
1
2+2
(−1)
· det ⎝ 0
0
⎛
1
2+3
(−1)
· det ⎝ 0
0
⎛
1
3+1
(−1)
· det ⎝ 0
0
⎛
1
3+2
(−1)
· det ⎝ 0
0
⎞
0
−4 ⎠ = −11,
5
⎞
0
0
2 −4 ⎠ = 14,
1
5
⎞
0
0
2
3 ⎠ = 5,
1 −1
⎞
0
0
3
−4 ⎠ = −10,
−4
2
⎞
0
0
2 −4 ⎠ = −4,
0
2
0
3
−1
111
⎛
ã33
und somit insgesamt:
woraus:
=
(−1)
3+3
1
· det ⎝ 0
0
0
2
0
⎞
0
3 ⎠ = −8,
−4
⎞
−18
2
4
(ãij )3×3 = ⎝ −11 14
5 ⎠
−10 −4 −8
⎞
⎛
−18 −11 −10
1
−1
A =− ⎝ 2
14
−4 ⎠
46
4
5
−8
⎛
folgt.
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112
Spezielle Gleichungssysteme und die Eigenwerte einer Matrix
Von besonderem Interesse sind Gleichungssysteme, bei denen auf der rechten Seite nicht
ein konstanter Spaltenvektor b steht, sondern ein Vielfaches des Variablenvektors x. Solche
Gleichungssysteme haben die Gestalt:
A · x = λ · x.
(11)
Natürlich stellt sich als erstes die Frage, ob es überhaupt solche Zahlen λ und derartige Vektoren
gibt, so dass Gleichungen der Form (11) auftreten. Wobei hier zuerst das Augenmerk auf der
Frage nach der Existenz derartiger Zahlen λ liegt und man sich erst im zweiten Schritt die
Frage nach der Existenz des Vektors x stellt, der diese Gleichung erfüllt und nicht gleich dem
Nullvektor ist. Zunächst stellen wir fest, dass sich die Gleichung (11) wie folgt umschreiben
lässt:
(A − λ · I) · x = 0
(12)
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113
Spezielle Gleichungssysteme und die Eigenwerte einer Matrix
Wenn die Matrix A − λ · I invertierbar ist, so ist x = 0 die einzige denkbare Lösung der
Gleichung (12). Wir suchen aber gerade Lösungen dieser Gleichung, die nicht gleich Null sind.
Das bedeutet, dass die Matrix A − λ · I nicht invertierbar sein darf. Nach dem vorangegangenen
Überlegungen ist dies genau dann der Fall, wenn
det(A − λ · I) = 0
(13)
gilt. Da die Berechnung der Determinante von A − λ · I auf ein Polynom in der Unbekannten
λ führt, nennt man det(A − λ · I) auch charakteristisches Polynom der Matrix A und die
Gleichung (13) charakteristische Gleichung.
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114
Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiel 18. Es sei
1 3
A=
.
2 4
Wir suchen die λ, für die das charakteristische Polynom der Matrix A Null wird. Das
charakteristische Polynom ist in diesem Fall gegeben durch
1−λ
3
det(A − λ · I) = det
2
4−λ
=
(1 − λ)(4 − λ) − 6
=
λ − 5λ − 2.
2
Damit erhalten wir als Nullstellen des charakteristischen Polynoms die Werte
5
5
33
33
.
λ1 = +
und λ1 = −
2
4
2
4
D. Horstmann: Oktober 2016
115
Eigenwerte und Eigenvektoren
Die Nullstellen λi des charakteristischen Polynoms der Matrix A bezeichnet man als die
Eigenwerte der Matrix. Für diese Werte existieren also Vektoren xλi , die von 0 verschieden sind
und die die entsprechende Gleichung
A · x λi = λ i · x λi
(14)
lösen. Einen derart besonderen Spaltenvektoren xλi , der für einen festen Eigenwert λi die
entsprechende Gleichung (14) löst, nennt man dann einen zum Eigenwert λi gehörenden Eigenvektor. Zu einem Eigenwert kann es auch mehr als einen Eigenvektor geben und offensichtlich
ist mit xλi auch jedes Vielfache dieses Vektors (c · xλi ) erneut Eigenvektor zum Eigenwert λi.
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116
Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiel 19. Wir suchen Lösungen der Gleichungssysteme
(1 − λ1)x1 + 3x2
=
0
2x1 + (4 − λ1)x2
=
0
(1 − λ2)y1 + 3y2
=
0
2y1 + (4 − λ2)y2
=
0.
und
D. Horstmann: Oktober 2016
117
Eigenwerte und Eigenvektoren
Setzt man in diese Gleichungssysteme die im vorangegangenen Beispiel gefundenen Werte für
λ1 und λ2 ein, so erhält man die Gleichungssysteme
5
33
x1 + 3x2 = 0
1− −
2
4
5
33
2x1 + 4 − −
x2 = 0
2
4
und
1−
2y1 +
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5
+
2
4−
33
4
5
+
2
y1 + 3y2
33
4
=
0
=
0.
y2
118
Eigenwerte und Eigenvektoren
Betrachten wir zunächst das System:
33
5
x1 + 3x2
1− −
2
4
5
33
x2
2x1 + 4 − −
2
4
=
0
=
0.
Man sieht leicht, dass man in Wirklichkeit nur die Gleichung
33
5
x2 = 0
2x1 + 4 − −
2
4
vorliegen hat, die für x1 die nachfolgende Gleichung ergibt:
√
(−3 + 33)
x1 =
x2
4
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119
Eigenwerte und Eigenvektoren
Wenn wir nun x2 gleich dem Parameter m setzen, so sehen wir, dass für alle m ∈ IR Lösungen
des Systems durch
√
(−3 + 33)
x2 = m und x1 =
m
4
gegeben sind. Wenn wir m = 1 setzen, erhalten wir als einen Eigenvektor zum Eigenwert λ1
den Vektor
√
x λ1 =
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−3+ 33
4
1
.
120
Eigenwerte und Eigenvektoren
Das analoge Vorgehen bei dem Gleichungssystem
5
33
y1 + 3y2
1− +
2
4
5
33
y2
2y1 + 4 − +
2
4
führt uns hier mit
yλ2 =
√
−3− 33
4
=
0
=
0
1
auf einen zum Eigenwert λ2 gehörenden Eigenvektor.
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121
Eigenwerte und Eigenvektoren
Beispiel 20. Es sei die Matrix
3
1
A=
−2 5
gegeben. Wir wollen nun die Eigenwerte dieser Matrix bestimmen. Hierbei erhalten wir die
charakteristische Gleichung
3−λ
1
det
= (3 − λ)(5 − λ) + 2
−2
5−λ
=
2
λ − 8λ + 17 = 0
Mit Hilfe der p − q−Formel berechnet man nun die Nullstellen
√
λ1 = 4 + −1
√
λ2 = 4 − −1.
√
Aber macht der Ausdruck −1 überhaupt Sinn?
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122
Komplexe Zahlen
Definition 7. Da keine reelle Zahl existiert, deren Quadrat -1 ist, definieren wir die imaginäre
Einheit i durch die Gleichung
2
i = −1.
Als die Menge aller komplexen Zahlen C definieren wir alle Zahlen z , die sich in der Form
z =a+i·b
darstellen lassen. Hierbei sind a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit. Die Zahl a
bezeichnet man als Realteil und die Zahl b als Imaginärteil der komplexen Zahl z und schreibt
hierfür
Re(z) = a und Im(z) = b.
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123
Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen kann man mit Vektoren in der Ebene identifizieren. Identifiziert man
komplexe Zahlen mit Vektoren in der in der Graphik dargestellten Ebene, so sieht man (mit Hilfe
des Satzes von Pythagoras, der allen aus der Schule bekannt sein dürfte), dass die Definition
des Betrags einer komplexen Zahl, die durch
|z| :=
2
(Re(z)) + (Im(z))
2
gegeben ist, sinnvoll ist. Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht also der Länge des Vektors
in der komplexen Ebene.
Definition 8. Die zu der komplexen Zahl z = a + ib konjugierte komplexe Zahl z ist definiert
als
z = a − ib.
D. Horstmann: Oktober 2016
124
Rechnen mit komplexen Zahlen
Für das Rechnen mit komplexen Zahlen sind die nachfolgenden Rechenvorschriften zu beachten:
1. Addition: Zwei komplexe Zahlen werden miteinander addiert, indem man jeweils die Realteile
und Imaginärteile addiert, d.h. für z1 = a + ib und z2 = c + id gilt
z1 + z2 = (Re(z1) + Re(z2)) + i (Im(z1) + Im(z2)) = (a + c) + i(b + d).
2. Multiplikation: Zwei komplexe Zahlen werden miteinander multipliziert, indem man die
übliche Multiplikation von “Klammern” anwendet, d.h. für z1 = a + ib und z2 = c + id
gilt
2
z1 · z2 = (a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + (i) db = ac − bd + i(ad + bc).
D. Horstmann: Oktober 2016
125
3. Division: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den vorliegenden Bruch mit
der zum Nenner konjugierten komplexen Zahl erweitert und den resultierenden Bruch in
Realteil und Imaginärteil umsortiert. D.h. für z1 = a + ib und z2 = c + id = 0 gilt:
z1
z2
=
=
=
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a + ib
a + ib c − id
=
·
c + id
c + id c − id
ac + bd + i(bc − ad)
(a + ib)(c − id)
=
c2 + d 2
c2 + d 2
ac + bd
bc − ad
+
i
.
c2 + d2
c2 + d2
126
Rechnen mit komplexen Zahlen
Abbildung 1: Die Addition und die Subtraktion von komplexen Zahlen dargestellt
in der komplexen Ebene (Gaußschen Zahlenebene).
D. Horstmann: Oktober 2016
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