Komplexe Zahlen A1
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Komplexe
A1
Oh, die ist schwer.
Dafür brauchst du
Analysis und imaginäre
Zahlen.
Hier ist noch eine Matheaufgabe, die ich nicht lösen
kann. Was ist
9+4 ?
Imaginäre
Zahlen?!
Zahlenmengen
Komplexe Zahlen
Du weißt
schon. Elfzehn, zwölfunddreißig,
und so. Am
Anfang ist das
ein bisschen
verwirrend.
Woher weißt
du das alles?
Du bist doch
nie zur Schule gegangen!
Instinkt. Bei
uns Tigern
ist das
angeboren.
Zahlen
Bis jetzt sollten dir die folgenden Zahlenmengen bekannt sein:
{
}
= 1, 2, 3,…
{
Menge der natürlichen Zahlen
}
0 = 0, 1, 2, 3,…
Ein Leitprogramm in Mathematik
Menge der natürlichen Zahlen mit der 0
{
}
= …,−3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3,…
Menge der ganzen Zahlen
⎧⎪ a
⎫⎪
= ⎨ a ∈ und b ∈ \ 0 ⎬
⎪⎭
⎩⎪ b
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
{}
Wir betrachten verschiedene Gleichungen:
x+5=8
Diese Gleichung ist in lösbar, aber
x+5=5
ist erst in 0 lösbar. Die Gleichung
x+5= 3
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Verfasst von
Christina Diehl
Marcel Leupp
ist in , die Gleichung
5x = 3
ist in und die Gleichungen
x2 = 2 , 2x = 3 , 2x = x
sind in lösbar.
Wie löst man aber die folgende Gleichung?
x 2 = −1
Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ergibt. Hier wird ein neues Symbol
eingeführt.
Die komplexe Zahl
Definition: Es soll i diejenige Zahl sein, für die i 2 = −1 gilt. Das Symbol i wird imaginäre Einheit
genannt.
Beispiel:
Löse die folgende quadratische Gleichung:
x 2 + 4 x + 6.25 = 0
Lösung:
„Mitternachtsformel“
−4 ± 4 2 − 4 ⋅1⋅ 6.25
2 ⋅1
−4 ± 16 − 25
=
2
−4 ± −9
=
2
−4 ± 3 −1
=
2
−4 ± 3i
=
2
= −2 ± 1.5i
x1,2 =
Definition: Eine Zahl der Form z = a + b ⋅i mit a,b ∈ heisst eine komplexe Zahl.
z = a − b ⋅i heisst die dazu konjugiert komplexe Zahl.
a heisst der Realteil der komplexen Zahl z und b der Imaginärteil.
Schreibweise: a = Re ( z ) und b = Im ( z ) .
Die Menge der komplexen Zahlen werden mit bezeichnet. Die reellen Zahlen
bilden eine Teilmenge von .
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Übungen
1.
Berechne −i 3
2.
Gib den Real- und den Imaginärteil der Zahl
3.
“Für alle komplexen Zahlen z gilt Re ( Re ( z )) = 0 ”.
1
an.
2
Ist diese Aussage richtig oder falsch? Begründe deine Antwort!
4.
“Für alle komplexen Zahlen z gilt Re ( z ) + i ⋅ Im ( z ) = z .”
Ist diese Aussage richtig oder falsch? Begründe deine Antwort!
5.
Addition und Subtraktion
a)
6.
b)
( 3 + 5i ) − ( 7 + 4i )
b)
( 2 + 3i ) ⋅ 4i
( 4 + 3i ) ( 3 + 4i )
Multiplikation und Quadrieren
a)
c)
e)
7.
( 3 + 5i ) + ( 7 + 4i )
( 4 + 3i ) ( 2 + 5i )
( 4 + 3i ) ⋅ ( 4 − 3i )
( 5 − 2i )2
d)
Zeige dass für alle komplexen Zahlen z gilt:
a) z ⋅ z = ( Re ( z )) + ( Im ( z ))
2
2
b) z + z = 2 Re ( z )
c) z = z
8.
Für welche z ∈ gilt:
()
Im ( z ) = Im ( z )
a) Re ( z ) = Re z
c)
b) Im ( z ) + Im ( −z ) = 0
9.
Zeige: Sind z und w komplexe Zahlen, so gilt z ⋅ w = z ⋅ w .
10.
Division
a)
11.
b)
5 − 2i
4 − 3i
Wurzel ziehen
a)
12.
3 + 2i
3+ i
5 + 2i
b)
8 − 6i
Lineare Gleichungen lösen
a) 5z = 8iz + 81− 5i
c)
b)
( z + 3) (i + 4 ) − 3( 4 + i ) − iz = 4z
3/4
( 2 + i ) z − ( 5 + 2i ) = 8 − 3i
13.
Quadratische Gleichungen lösen
a) z 2 + 4z + 5 = 0
14.
b) z 2 + 7iz + 8 = 0
Gleichungssysteme
a) 3z1 + 2z2 = 7 + i
b) iz1 − 5z2 = 13
5z1 − 3z2 = −1+ 8i
15.
2z1 − 3iz2 = 13i
Gleichungen
a) z + 2iz = 8 + 7i
b) z − 2 Re ( z ) + 2i = 0
c) 2 z + z + 1 = 0
d) z 2 + z = −2 + 2i
e)
( 2 + i ) ⋅ z − 3⋅ Re ( z ) = −18 + 30i
f)
4/4
z 4 + 5z 2 + 4 = 0
