Zahlenbereiche - Komplexe Zahlen C

Zahlenbereiche - Komplexe Zahlen C
Jeder komplexen Zahl z entspricht eineindeutig ein Punkt (x, y) der Zahlenebene.
Eine komplexe Zahl z besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil.
z=a+ib
Punkt mit Koordinaten x = a und y = b
reelle Einheit: 1
imaginäre Einheit: i
mit i ∗ i = i2 = -1
Realteil:
a
a∈R
a = Re(z)
mit
a = r ∗ cos(ϕ
ϕ)
Imaginärteil: b
b∈R
b = Im(z)
mit
b = r ∗ sin(ϕ
ϕ)
2
2
2
Betrag:
r
r∈R
r = |z| ≥ 0
mit
r =a +b ≥0
Argument: ϕ
ϕ∈R
ϕ = Arg(z)
mit
tan(ϕ
ϕ) = b / a
Unterteilung:
rein reelle Zahlen:
z=a
(b = 0)
(ϕ
ϕ = 0 oder ϕ = π)
rein imaginäre Zahlen:
z=ib
(a = 0, b ≠ 0) (ϕ
ϕ = π/2 oder ϕ = 3π
π/2)
sonstige komplexe Zahlen: z = a + i b
(a ∗ b ≠ 0)
(ϕ
ϕ : s.u.)
Normalformen komplexer Zahlen:
Arithmetische Normalform (ANF):
z=a+ib
Trigonometrische Normalform (TNF):
z = r ∗ (cos(ϕ
ϕ) + i sin(ϕ
ϕ))
Exponentielle Normalform (ENF):
z = r ∗ exp(i ϕ) = r ∗ ei ϕ
Normalintervall für ϕ:
0 ≤ ϕ < 2π
π
y
a < 0, b > 0
π/ 2 < φ < π
a > 0, b > 0
i
-1
a < 0, b < 0
π < φ < 3 π/2
0 < φ < π/ 2
1
-i
x
a > 0, b < 0
3π/ 2 < φ < 2π
Die komplexe Zahl a - i b heißt konjugiert komplex zu a + i b
mit (a + i b) ∗ (a - i b) = a2 + b2 = r2
Addition und Subtraktion (geeignet: ANF):
(a1 + i b1) + (a2 + i b2)
= (a1 + a2) + i (b1 + b2)
(a1 + i b1) - (a2 + i b2)
= (a1 - a2) + i (b1 - b2)
Multiplikation (geeignet: ANF, TNF, ENF):
(a1 + i b1) ∗ (a2 + i b2)
= (a1 ∗ a2 - b1 ∗ b2) + i (a1 ∗ b2 + a2 ∗ b1)
(r1 ∗ (cos(ϕ
ϕ1) + i sin(ϕ
ϕ1))) ∗ (r2 ∗ (cos(ϕ
ϕ2) + i sin(ϕ
ϕ2)))
= r1 ∗ r2 ∗ (cos(ϕ
ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ
ϕ1 + ϕ2))
i
ϕ
i
ϕ
i(ϕ
ϕ
ϕ
)
(r1 ∗ e 1)∗
∗ (r2 ∗ e 2)
= r1 ∗ r2 ∗ e 1 + 2
Division (geeignet: ANF, TNF, ENF):
(a1 + i b1) / (a2 + i b2)
= ((a1 ∗ a2 + b1 ∗ b2) + i (a2 ∗ b1 - a1 ∗ b2)) / (a22 + b22)
(r1 ∗ (cos(ϕ
ϕ1) + i sin(ϕ
ϕ1))) / (r2 ∗ (cos(ϕ
ϕ2) + i sin(ϕ
ϕ2)))
= (r1 / r2) ∗ (cos(ϕ
ϕ1 - ϕ2) + i sin(ϕ
ϕ1 - ϕ2))
i(ϕ
ϕ
ϕ
)
i
ϕ
i
ϕ
1
2
1
2
(r1 ∗ e ) / (r2 ∗ e )
= (r1 / r2) ∗ e
Potenzieren (geeignet: TNF, ENF):
(r ∗ (cos(ϕ
ϕ) + i sin(ϕ
ϕ)))n
= r n ∗ (cos(n ∗ ϕ) + i sin(n ∗ ϕ))
(r ∗ ei ϕ)n
= r n ∗ ei n∗∗ϕ
Radizieren (geeignet: TNF, ENF) - n Wurzeln wk mit Winkeln ϕk, k = 0, 1, ..., n-1:
(r ∗ (cos(ϕ
ϕ) + i sin(ϕ
ϕ)))1/n = r1/n ∗ (cos(ϕ
ϕk) + i sin(ϕ
ϕk))
i
ϕ
1/n
1/n
i
ϕ
k
(r ∗ e )
=r ∗e
mit ϕk = ϕ / n + 2 k π / n
Logarithmieren (geeignet: ENF) - unendlich viele Lösungen (k ∈ Z):
ln (r ∗ ei ϕ) = ln (r) + i (ϕ
ϕ + 2 k π)