Theoretische Informatik II

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Sommersemester 2013
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Theoretische Informatik II
8. Aufgabe
Aufgabe 8a Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen unter der
Annahme, dass P =
6 N P gilt:
1. Das Rucksackproblem hat keine absolute Approximationsgüte.
2. Das maximum independent set problem hat keine absolute Approximationsgüte.
Aufgabe 8b Das Kantenfärbungsproblem besteht darin, in einem Graphen den
Kanten Farben”, d. h. natürliche Zahlen zuzuweisen, so dass keine zwei Kanten mit
”
einem gemeinsamen Endknoten die gleiche Farbe haben. Dabei sollen so wenige Farben wie möglich verwendet werden. Geben Sie einen einfachen Greedy-Algorithmus
an und bestimmen Sie eine Schranke für die garantierbare Güte.
Aufgabe 8c MIN-COL sei die Optimierungsvariante von COLORING. Zeigen
Sie:
Ist P =
6 N P, dann gibt es für MIN-COL keinen Approximationsalgorithmus mit
Güte < 34 .
Aufgabe 8d MIN-TSP sei die Optimierungsvariante von TRAVELING SALESMAN.
Beim Traveling Salesman Problem mit Dreiecksungleichung (TSP4 ) ist ein vollständiger
Graph G = (V, E, d) mit Kantengewichtung d : E → N gegeben, so dass stets
d({x, z}) ≤ d({x, y}) + d({y, z})
für alle Knoten x, y, z ∈ V gilt.
Zeigen Sie, dass der folgende Algorithmus für MIN-TSP4 Güte höchstens 2 hat:
Double Edge Algorithmus
Eingabe: vollständiger Graph G = (V, E, d) mit Kantengewichtung d : E → N,
der die Dreiecksungleichung erfüllt
Ausgabe: Rundreise
Schritt 1:
Schritt 2:
Schritt 3:
Schritt 4:
Bestimme einen minimalen Spannbaum T für den Graphen G.
Verdopple alle Kanten von T und erhalte so den eulerschen Multigraphen
H.
Bestimme eine Euler-Tour in H.
Streiche aus dieser Tour alle mehrfach besuchten Knoten (bis auf den
Anfangs-/Endknoten). STOP.