Klausurzusammenfassung Algebra

Klausurzusammenfassung Algebra
Examensvorbereitung
Frank Reinhold
20. März 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Gruppen
1 Gruppen
Beispiele spezieller Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zyklische Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isomorphiesätze der Gruppentheorie. . . . . . . . . . . . . . . . .
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen . . . . . . .
Ordnung eines Gruppenelements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalisator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen .
Sylowgruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfache Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zentrum einer Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Automorphismengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gruppenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 Ringe
Definition: Ring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition: Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) . . . . . . . . .
Euklidische Ringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Irreduzibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplikativ-Inverse in K[X]/(f ) finden. . . . . . . . . . . . . .
Cauchy-Produktformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Euler’sche ϕ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chinesischer Restsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nilpotenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln . . . . . . . . .
Isomorphiesätze der Ringetheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ringhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen Modulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einheiten und maximale Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
3 Körper
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q. . . . . . . . . . . .
Galoisgruppe einer Körpererweiterung. . . . . . . . . . . . . . .
Hauptsatz der Galoistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemente in Q(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primitive Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbildungen in Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
4
5
5
Beispiele spezieller Gruppen
1. G = hgi für ein g der Ordnung n, dann heißt G zyklisch
der Ordnung n. Typischerweise ist G = Z/nZ.
2. Die Gruppe Dn = x, y : x2 = y n = 1, xyx = y −1 heißt
Diedergruppe der Ordnung 2n.
3. Es ist Sn die
Gruppe aller Permutationen
einer Menge n,
z. B. S3 = σ, τ : σ 3 = τ 2 = 1, τ σ = σ 2 τ .
Zyklische Gruppen Eine zyklische Gruppe hat zu jedem
Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser
Ordnung.
Eine Gruppe von Primzahlpotenzordnung ist zyklisch.
Ist K = Fpn , so ist K × zyklisch der Ordnung (pn − 1).
Der Körper Q(ζn ) hat die multiplikative Gruppe Q(ζn )× , die
die zyklische Gruppe hζn i enthält.
Jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer zyklischen
Gruppe sind zyklisch.
Die Automorphismengruppe Aut(G) einer zyklischen Gruppe
G der Ordnung n ist abelsch. Ist n = pk für eine Primzahl p,
so ist Aut(G) zyklisch.
Homomorphismen Seien G, H Gruppen und ϕ : G → H
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist der Kern von ϕ
ker(ϕ) = {g ∈ G : ϕ(g) = 1} E G
(1)
ein Normalteiler und Das Bild von ϕ
Im(ϕ) = {h ∈ H : ∃g ∈ G : ϕ(g) = h} ≤ G
(2)
eine Untergruppe. ϕ heißt injektiv genau dann, wenn ker(ϕ) =
1. Für einen Gruppenhomomorphismus
h
i
η : H → Aut(G),
h 7→ η(h) = g 7→ g h
(3)
heißt
G o H = {(g, h) : g ∈ G, h ∈ H}
zusammen mit der Verknüpfung
h−1
(g1 , h1 )(g2 , h2 ) = g1 g2 1 , h1 h2
(4)
(5)
das semidirekte Produkt aus G und H.
Isomorphiesätze der Gruppentheorie Sei G eine Gruppe mit Normalteiler N / G, π : G → G/N der kanonische
Epimorphismus und H ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt
• 1. Isomorphiesatz: HN ≤ G, H ∩ N E H und
H/H∩N .
HN/N
∼
=
• 2. Isomorphiesatz: Aus M E G und N ≤ M (also auch
N E M ) folgt (G/N )/(M/N ) ∼
= G/M .
1
• Korrespondenzsatz: Durch die Zuordnung U 7→ π[U ] =
U/N ist eine Bijektion der Menge der Untergruppen U
von G mit N ≤ U auf die Menge der Untergruppen von
G/N definiert. Ebenso ist durch M 7→ π[M ] = M/N eine
Bijektion der Menge der Normalteiler M von G mit N ≤
M auf die Menge der Normalteiler von G/N definiert.
Autmorphismengruppe der rationalen Zahlen Sei ϕ ∈
Aut(Q, +) und a := ϕ(1) ∈ Q. Dann ist ϕ(n) = nϕ(1) = na
für alle natürlichen Zahlen n ∈ N. Gleiches Vorgehen für ganze
Zahlen und rationale Zahlen liefert die Automorphismengruppe.
Ordnung eines Gruppenelements Die Ordnung von g ∈
G ist die kleinste natürliche Zahl n > 0, für die g n = e gilt.
Ist G = F × H, so ist die Ordnung von g = (f, h) ∈ G gegeben
durch ord(g) = kgV(ord(f ), ord(h)).
Normalisator Sei G eine Gruppe und H ≤ G eine Untergruppe. Dann ist der Normalisator von H in G
NG (H) = g ∈ G : gHg −1 = H ≤ G.
(6)
Die Zahl der zu H konjugierten Untergruppen entspricht
[G : NG (H)].
Ist N / G und P eine p-Sylowgruppe von N . Dann gilt G =
N · NG (P ).
Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem,
bis auf die Reihenfolge der Faktoren, eindeutig bestimmten direkten Produkt von zyklischen Gruppen, die entweder Primzahlpotenzordnung haben, oder die Gruppe Z sind.
Beispiel: Sei |G| = 24 = 23 ·3. Dann ist G isomorph zu einer der
Gruppen Z/3Z × Z/8Z, Z/3Z × Z/4Z × Z/2Z, Z/3Z × Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z.
Sylowgruppen Sei G eine endliche Gruppe. Zu jedem
Primzahlpotenzteiler pk der Gruppenordnung existieren Untergruppen. Die Zahl np der p-Sylowgruppen folgt dabei folgenden Gesetzmäßigkeiten
Untergruppe der Ordnung
|U N | = |U | · |N |
falls ggT(|U |, |N |) = 1.
(9)
Gruppen vom Index 2 sind normal.
G heißt einfach, wenn 1 und G die einzigen Normalteiler sind.
Eine endliche Gruppe G heißt nilpotent, wenn alle Sylowuntergruppen normal sind.
Zentrum einer Gruppe
Es ist
Z(G) = {h ∈ G : gh = hg ∀g ∈ G}
(10)
das Zentrum von G.
Automorphismengruppe Die Gruppe der inneren Automorphismen von G ist
Inn(G) = ϕg : G → G, h 7→ ghg −1 ∀g ∈ G ≤ Aut(G).
(11)
Gruppenoperationen Eine Gruppe G operiert auf einer
Menge M vermittels einer Abbildung
G × M → M,
(g, m) 7→ gm.
(12)
Sei G eine Gruppe und M eine Menge. G operiert auf M .
Dann ist für m ∈ M
Bm = {gm : g ∈ G}
(13)
die Bahn von m und
Gm = {g ∈ G : gm = m}
(14)
der Stabilisator von m.
Sei m1 , . . . , ms ein Repräsentantensystem für die Bahnen der
gegebenen Operation von G auf M . Dann gilt
|M | =
s
X
[G : Gmj ]
(15)
j=1
und |Gm | := [G : Gm ] teilt |G|.
1. np ≡ 1 mod p.
2. np |
ord(G)
.
pk
Symmetrische Gruppe
Ist np = 1, so ist die p-Sylowgruppe ein Normalteiler von G.
Sind alle p-Sylowgruppen von G Normalteiler von G, so ist G
abelsch.
Für n ≥ 3 ist Sn nicht abelsch.
Die Ordnung eines k-Zykels ist k.
Jedes π ∈ Sn ist eindeutig als Produkt von paarweise disjunkten Zykeln darstellbar.
|Sn | = n!, |An | = n!/2, An / Sn .
Einfache Gruppen Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie
nur triviale Normalteiler besitzt.
2 Ringe
Satz von Lagrange
Untergruppe N ≤ G
Es gilt für eine Gruppe G mit einer
|G| = |G/N | · |N |
(7)
Untergruppen Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Dann ist U ein Teiler von |G| und es bezeichnet
[G : U ] =
|G|
|U |
Definition: Ring
Ring, falls gilt:
Eine algebraische Struktur (R, +, ·) heißt,
1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
2. (R, ·) ist eine Halbgruppe, d. h. eine zweiseitige Verknüpfung auf R, die das Assoziativgesetz erfüllt.
3. Es gelten die Distributivgesetze: Für alle a, b, c ∈ R ist
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc.
(8)
den Index von U in G.
Ein Ring heißt kommutativ, falls die Verknüpfung · kommutativ ist. Ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich ·
heißt Ring mit 1.
Normalteiler Sei G eine Gruppe, U ≤ G eine Untergruppe
und N E G ein Normalteiler. Dann ist auch U N ≤ G eine
Definition: Ideal Eine Teilmenge I ⊂ R eines kommutativen Ringes R heißt ein Ideal von R, wenn gilt:
2
1. I 6= ∅.
2. Für alle a, b ∈ I ist a − b ∈ I.
3. Für alle r ∈ R und alle a ∈ I ist ra ∈ I.
Ein Hauptideal ist ein Ideal, das von nur einem Element erzeugt wird: I = (a), a ∈ R.
Ein Ideal heißt maximal, wenn für alle Ideale J ⊆ R gilt, dass
aus I ⊆ J und J 6= R schon I = J folgt.
Es gilt für I = (r) mit r ∈
R∗ ,
dass I = R ist.
Ist f irreduzibel über K, so ist \K[X](f ) ein Körper. Dazu:
Ist Fp ein Körper, dann ist Fp [X] ein Hauptidealring. Weil
K genau dann ein Körper ist, wenn (f ) ein maximales Ideal
ist und in Hauptidealringen genau die Primelemente maximal
sind, sowie die Eigenschaft prim und irreduzibel in Hauptidealringen äquivalent sind, gilt das besagte.
Multiplikativ-Inverse
in K[X]
/(f ) finden Sei
f (X) =
Pn
i, a
a
X
=
6
0.
Dann
ist 1, X, . . . , X n−1 eine Basis
n
i
i=1
des Körpers K[X]/(f ), falls f irreduzibel ist und es gilt
Charakterisierung von Ringen (aufsteigend) Integritätsring: Ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1, die
verschieden von 0 ist, heißt Integritätsring.
Faktorieller Ring: Ein Integritätsring, in dem alle Elemente
außer 0 eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen,
heißt faktorieller Ring.
Xn = −
1. Für alle x, y ∈ R \ {0} gibt es q, r ∈ R mit x = qy + r mit
r = 0 oder N (r) < N (y).
2. Für alle x, y ∈ R \ {0} gilt stets N (xy) ≥ N (x).
Vorgehen: bei Ringen wie etwa
n
o
√
R := Z[i 2] = a + ib 2 : a, b ∈ Z ⊂ C.
Euklidische Ringe
Dann ist das Inverse g(X) von h(X) mit folgendem Ansatz zu
bestimmen:
g(X) =
n−1
X
bi X i ,
(20)
i=1
g(x) · h(x) = 1.
(21)
Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert ein Gleichungssystem für die bi .
i=0
i=0
i=0
k=0
(16)
Bestimme eine Normfunktion anhand der üblichen Norm im
Komplexen
N (z) = <(z)2 + =(z)2 .
(19)
Cauchy-Produktformel für die Multiplikation von Potenzreihen: Es gilt
!
!
!
n
∞
∞
∞
X
X
X
X
αk βn−k xi
(22)
α i xi ·
βi xi =
heißt Euklidischer Ring.
√
ai X i .
i=1
Hauptidealring: Ein faktorieller Ring, in dem jedes Ideal ein
Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.
Euklidischer Ring: Ein Hauptidealring mit einer euklidischen
Norm N : R \ {0} → N0 mit:
n−1
X
Euler’sche ϕ-Funktion
Primfaktorzerlegung
(17)
Ist n ∈ N eine natürliche Zahl mit
n=
m
Y
r
pi i ,
(23)
i=1
Primelemente p haben die Eigenschaft, dass sie sich nicht
durch zwei Elemente aus R \ R∗ darstellen lassen, d. h. es gibt
kein r ∈ R mit N (r) = p, da sonst N (r2 ) = p2 = N (p) wäre.
In solchen Ringen funktioniert der euklidische Algorithmus, da
eine Division mit Rest existiert. Damit lässt sich der ggT zweier Zahlen bestimmen. Bestimme dazu zunächst die größere der
beiden Zahlen mit N (x) > N (y). Bilde anschließend den Quotienten
√
x
xȳ
=
= a + ib 2
y
N (y)
so ist der Wert der ϕ-Funktion
r −1
pi i
Ein Polynom von Grad deg f = 4 ohne Nullstelle ist entweder
irreduzibel, oder das Produkt zweier irreduzibler Polynome
mit deg g = 2.
(24)
Insbesondere gilt für Primzahlen q
ϕ(q m ) = q m−1 (q − 1),
(25)
ϕ(q) = q − 1.
(26)
Chinesischer Restsatz
Dann ist
Sei R = Z/pqZ mit Primzahlen p, q.
R = Z/pqZ ∼
= Z/pZ × Z/qZ,
Irreduzibilität Ein Polynom von Grad deg f ∈ {2, 3} ist
genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle hat.
(pi − 1)) .
i=1
(18)
und Runde a, b auf Zahlen in Z. Anschließend folge dem euklidischen Algorithmus wie gewohnt.
m
Y
ϕ(n) =
a 7→ (a1 , a2 ).
(27)
Insbesondere gelten Voraussetzungen für a auch für das Tupel (a1 , a2 ). Die Umkehrabbildung ist eine Spielerei. Ist das
Inverse zu (x, y) gesucht, so muss das Gleichungssystem
a≡x
a≡y
mod p,
mod q,
(28)
Gauß: Ist ein Polynom f (X) ∈ Z[X] irreduzibel über Z, dann
auch über Q.
gelöst werden.
Ist ein Polynom irreduzibel über Z/nZ, dann auch über Z.
Pn
i
Eisenstein: Ist f (x) =
i=1 ai x mit an 6= 0 und p eine
Primzahl (bzw. ein Primelement) mit p - an , p|ai für alle
i = 0, . . . , n − 1 und p2 - a0 , dann ist f irreduzibel.
Nilpotenz Ein Element a ∈ R heißt nilpotent, wenn es eine
natürliche Zahl n ∈ N gibt, sodass an = 0.
Artin-Schreier: Ein Artin-Schreier Polynom, also ein Polynom, von der Form X p − X + C mit einer Primzahl p hat
entweder eine Nullstelle, oder ist irreduzibel.
Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln
n-ten Kreisteilungspolynome gilt
Es ist f (x) irreduzibel, genau dann wenn f (x − d) irreduzibel
ist.
fζn (X) = Q
Xn − 1
.
i|n fζi (X)
Für die
(29)
3
Insbesondere ist deg(fζn (X)) = ϕ(n). Die n-te komplexe Einheitswurzel ist
2πi
ζn = exp
,
(30)
n
und erfüllt die Gleichung
n
= 1.
ζn
3 Körper
Zerfällungskörper eines Polynoms über Q Ein
Zerfällungskörper von f ist ein kleinste Körper, über dem das
Polynom f vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Finde dazu
alle Nullstellen des Polynoms f . Adjungiere alle Nullstellen
βi von f zu Q, sodass gilt
(31)
βj ∈
/ Q(βi ),
∀i 6= j.
(37)
Der Grad des Zerfällungskörpers L ist dann
Isomorphiesätze der Ringetheorie Sei R ein kommutativer Ring mit dem Ideal I, π : R → R/I der kanonische Epimorphismus und S ein Unterring von R. Dann ist I + S ein
Unterring von R mit dem Ideal I und es gilt
• 1. Isomorphiesatz:
(I+S)/I
∼
= S/S∩I .
• 2. Isomorphiesatz: Ist A ⊆ I ein Ideal, so ist
R/I .
(R/A)/(I/A)
∼
=
• Korrespondenzprinzip: Durch die Zuordnung J 7→ π[J] =
J/I := {a + I : a ∈ J} ist eine Bijektion von der Menge
der Ideale (Primideale, maximalen Ideale) J von R mit
I ⊆ J auf die Menge der Ideale (Primideale, maximalen
Ideale) von R/I definiert.
Ringhomomorphismen Seien R, S Ringe. Eine Abbildung
ϕ : R → S heißt Ringhomomorphismus, falls ϕ(x + y) =
ϕ(x) + ϕ(y) für alle x, y ∈ R. Die Menge
ker(ϕ) = {r ∈ R : ϕ(r) = 0}
(32)
[L : Q] =
n
Y
[Q(βi ) : Q] =
i=1
n
Y
deg(fβi (x)),
(38)
i=1
mit βi nach obigen Kriterien in der Anzahl minimiert und
fβi (x) das Minimalpolynom von βi , als das irreduzible, normierte Polynom über Q, das βi als Nullstelle besitzt.
Ist βi = ζn eine n-te Einheitswurzel, so ist
[Q(ζn ) : Q] = ϕ(n),
(39)
mit ϕ der Euler’schen ϕ-Funktion.
Galoisgruppe
einer
Körpererweiterung Eine
Körpererweiterung heißt galoisch, wenn sie normal (d. h.
jedes Polynom, das eine Nullstelle hat, zerfällt in Linearfaktoren) und separabel (d. h. für jedes a ∈ L besitzt das
Minimalpolynom fa (x) über K keine mehrfachen Nullstellen)
ist. In Körpern wie Q mit Char(Q) = 0 ist jede normale
Körpererweiterung bereits galoissch.
ist ein Ideal in R und heißt der Kern von ϕ. Das Bild von ϕ
ist definiert als
Ist L der Zerfällungskörper eines über Q irreduziblen Polynoms f mit deg f = n, so ist die Galoisgruppe
im(ϕ) = {s ∈ S : ∃r ∈ R : ϕ(r) = s}
G := Gal (L/Q) ≤ Sn
(33)
und ist ein Teilring von S.
eine Untergruppe der Sn . Gilt zusätzlich
Jeder Ringhomomorphismus ϕ : R → S induziert einen Isomorphismus
R/ker(ϕ)
∼
−→ im(ϕ),
Rechnen Modulo
Z[X]/(p,f (X)
r̄ 7→ ϕ(r).
(34)
Es gilt
∼
= (Z[X]/pZ)/(f (X)) ∼
= Fp [X]/(f (X)).
|Sn | = n! = [L : Q],
(41)
so folgt schon, dass G ≡ Sn .
Ist L der Zerfällungskörper von f = g · h mit deg g = n,
deg h = m, so permutiert die Glaoisgruppe die Nullstellen von
g und h getrennt und ist damit eine Untergruppe von Sn ×Sm
(35)
Einheiten und maximale Ideale Sei M die Vereinigung
aller maximalen Ideale, dann gilt R× = R \ M . Insbesondere
ist x ∈ R× , so ist bereits (x) = R.
Für einen Körper K gilt K × = K \ {0}, für Z ist Z× = {±1},
für Z/nZ ist (Z/nZ)× = {a mod n : ggT(a, n) = 1}.
Quadratische Reste Sei p ∈ Z eine Primzahl. Für z ∈ Z
definiere


p|z
0
z
= 1
(36)
z mod p ist ein Quadrat in Fp .

p

−1 z mod p ist kein Quadrat in Fp
Quadratisches Reziprozitätsgesetz: Seien p, q Primzahlen und
z, z1 , z2 ∈ Z. Dann gilt
1. Ist z1 ≡ z2 mod p, dann gilt zp1 = zp2 .
z2
2. z1pz2 = zp1
.
p
p−1
3. pz ≡ z 2 mod p.
4
(40)
G := Gal (L/Q) ≤ Sn × Sm .
(42)
Die Galoisgruppe permutiert die Nullstellen von f , man kann
also die Erzeuger der Gruppe bestimmen. Die Relation σ n =
τ m = 1 und στ = τ p σ charakterisieren die Gruppe eindeutig.
Ihre Untergruppen sind
2 1,
G,
hσi ,
hτ i ,
hστ i ,
σ τ ,
...
(43)
Insbesondere ist für jede komplexe Nullstelle λ eines reellwertigen Polynoms auch das komplex Konjugierte λ̄ eine Nullstelle
von f und damit die komplexe Konjugation ein Element der
Galoisgruppe von Ordnung 2.
Finde Elemente der Galoisgruppe τ ∈ Gal mit | hτ i | = x durch
x = ord(τ ). Beispiel: Finde τ ∈ Gal(Q(ζ11/Q) mit | hτ i | = 2.
Dann suche τk : ζ 7→ ζ k mit 2 = ord(τk ) = ord(k mod 11).
Hauptsatz der Galoistheorie Zu jeder Untergruppe der
Galoisgruppe gibt es einen Zwischenkörper
Lhσi = Q(α),
(44)
wobei α das Element in L ist, das von σ fix gelassen wird.
Elemente in Q(α) Jedes Element x ∈ Q(α) ist von der
Form x = q1 + q2 α mit q1 , q2 ∈ Q. Es ist {1, α} eine Basis“
”
von Q(α).
Primitive Elemente Ein Element α ∈ E heißt primitiv,
wenn E = K(α) gilt, wobei E ein Erweiterungskörper von K
ist.
Die Zahl der primitiven Elemente in E ist die Zahl der Elemente in E abzüglich der Zahl der Elemente im größten Zwischenkörper der Körpererweiterung.
Abbildungen in Fq Jede Abbildung φ : Fq → Fq lässt
sich als Polynomiale Abbildung x 7→ f (x) mit deg f ≤ q − 1
darstellen. Sei nämlich
X
φ(a) 1 − (b − a)q−1 ,
(45)
f (x) =
a∈Fq
(b − a)q−1 =
(
0
1
b=a
.
sonst
(46)
Außerdem ist (x + y)q = xq + y q in Fq .
5