¨Ubungen zur Vorlesung “Mathematische Statistik” Blatt 4 Aufgabe

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Wintersemester 2007/08
Übungen zur Vorlesung “Mathematische Statistik”
Blatt 4
Aufgabe 14.
Zeigen Sie, dass im Modell mit einer binomial-(n, p)-verteilten Zufallsvariablen X (wobei
p ∈ ( 0 , 1 ) der Parameter ist) der Schätzer pb(x) = x/n, (x ∈ M = {0, 1, . . . , n}), der
einzige erwartungstreue Schätzer für p ist.
Welche erwartungstreuen Schätzer für p gibt es im Modell mit n u.i.v. Bi(1, p)-verteilten
Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn ?
Aufgabe 15.
Als Approximation für ein π-Quantil c = cπ (hier bezeichne π eine Zahl im Intervall
( 0 , 1 )) der Binomial-(n, p)-Verteilung wird oft verwendet:
p
c ≈ d np − 21 + np(1 − p) Φ−1 (π) e ,
(wobei dae die kleinste ganze Zahl ≥ a bezeichnet, für a ∈ R).
Wie lässt sich diese (approximative) Formel begründen ?
Aufgabe 16.
Betrachten Sie das Binomialmodell (eine binomial-(n, p)-verteilte Zufallsvariable, wobei
p ∈ ( 0 , 1 ) der Parameter ist), und das Testproblem
H0 : p ≤
1
2
gegen H1 : p >
1
2
.
Geben Sie für die Fälle n = 10 und n = 20 den gleichmäßig optimalen 5%-Signifikanztest
explizit an. Berechnen Sie noch die Approximationen der kritischen Werte gemäß Aufg. 15.
Aufgabe 17.
Zeigen Sie: Die Verteilungsfamilien der nachfolgend in (a), (b), (c) genannten Modelle
sind jeweils eine einparametrige Exponentialfamilie und auch eine Familie mit isotonen
DQ; die Verteilungsfamilie in (d) ist eine Familie mit isotonen DQ.
(a) n u.i.v. Poisson-(λ)-verteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , wobei λ ∈ ( 0 , ∞) der
Parameter ist.
(b) n u.i.v. negativ-binomial-(r, p)-verteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , wobei
p ∈ ( 0 , 1 ) der Parameter ist, (r ∈ N gegeben).
(c) Das Exponentialverteilungsmodell mit Typ-II-Zensierung: Beobachtet werden die
Werte der r kleinsten Ordnungsstatistiken X(1) ≤ . . . ≤ X(r) von n u.i.v. exponential(1/ϑ)-verteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , wobei ϑ ∈ ( 0 , ∞) der Parameter (Erwartungswert der Xi ) ist, (r, n gegeben, 1 ≤ r < n).
(d) X1 , . . . , Xn u.i.v. Rechteck-(0, ϑ)-verteilte reelle Zufallsvariablen, wobei ϑ ∈ ( 0 , ∞)
der Parameter ist.
Anmerkung: In (a), (b) und (d) ist auch der Fall n = 1 zugelassen.
Aufgabe 18.
Zeigen Sie: Wenn ( PϑX )ϑ∈Θ , wobei Θ ⊂ R, eine einparametrige Exponentialfamilie ist,
dann gilt für je zwei ϑ1 , ϑ2 ∈ Θ: PϑX1 ¿ PϑX2 .