Aufgabenblatt 11 - Philipps

Markus Bibinger, Tobias Zwingmann
Mathematische Statistik
Sommersemester 2016
Philipps-Universität Marburg
Aufgabenblatt 11
32.
(a) Es sei (Zn ) eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), für welche E[|Zn |] 6 C gilt mit einer Konstanten C und für alle
n ∈ N. Zeigen Sie, dass
Zn = OP (1) .1
(b) Es sei (Zn ) eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), für welche gilt |Zn (ω)| 6 1, ∀ ω ∈ Ω und für alle n ∈ N.
Zeigen Sie die Äquivalenz:
î
ó
Zn = oP (1) ⇔ E |Zn | → 0 für n → ∞ .
(c) Es sei (Zn ) eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), für welche gilt E[Zn ] = 0 und E[Zn2 ] = σ 2 δn2 mit einer Konstanten σ 2 und für eine deterministische Folge (δn ). Zeigen Sie, dass Zn = OP (δn ).
33. Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Zufallsvariablen mit Lebesgue-Dichtefunktion
fa (x) = exp (−(x − a))1{x > a}.
(a)
(b)
(c)
(d)
Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer â für a.
Zeigen Sie, dass â ein konsistenter Schätzer für a ist.
Ist dieser Schätzer â erwartungstreu?
Für den Fall dass die Dichtefunktion f der Zufallsvariablen Xi , 1 6 i 6 n, auch noch
von einem Skalen-Parameter λ > 0 abhängt, d. h.
fa,λ (x) = λ exp − λ(x − a) 1{x > a},
Ä
ä
bestimmen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzer für λ und a.
(e) Führen Sie (in R) eine Monte-Carlo Simulation der beiden MLEs durch. Veranschaulichen Sie für 10.000 Monte-Carlo-Iterationen und Stichprobenumfänge n =
10, 100, 1000 die empirische Verteilung der Schätzwerte und vergleichen Sie diese
mit der theoretischen asymptotischen Verteilung.
iid
34.* Es sei X1 , . . . , Xn ∼ U [0, 1] eine i.i.d. Stichprobe einer Uniformverteilung auf dem Einheitsintervall [0, 1]. Beweisen Sie:
ä d
√ Ä
n X̄n (3 − X̄n ) − a −→ N(0, b)
mit bestimmten reellen Konstanten a, b. Wie üblich bezeichnet X̄n = n−1
arithmetische Mittel. Bestimmen Sie a und b.
Pn
i=1
Xi das
Abgabe Donnerstag 30.06.2016 vor der Vorlesung; Besprechung in der Übung am 04.07.2016.
1
vgl. Definition 4.18