Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 4
Übungsaufgabe 1
Gegeben sei die Formel (A ⇔ B) ⇒ ¬C. Bestimmen Sie mittels Äquivalenzumformungen
(a) eine äquivalente DNF.
(b) eine äquivalente KNF.
Hausaufgabe 1 [10 PUNKTE]
Gegeben sei die Formel (A ∧ ¬C) ⇔ B. Bestimmen Sie mittels Äquivalenzumformungen
(a) [5 PUNKTE]
eine äquivalente DNF.
(b) [5 PUNKTE]
eine äquivalente KNF.
Hausaufgabe 2 [8 PUNKTE]
Eine 3-KNF ist eine KNF mit maximal drei Literalen pro Klausel. Zum Beispiel ist die Formel
(A ∨ ¬B ∨ C) ∧ B ∧ (A ∨ ¬D) eine 3-KNF. Beweisen oder widerlegen Sie: Zu jeder Formel gibt
es eine äquivalente 3-KNF.
Hausaufgabe 3 [18 PUNKTE]
Eine KNF in den Atomen A1 , . . . , An heißt vollständig, wenn
(i) jede Klausel vollständig ist, also die Form L1 ∨ . . . ∨ Ln mit Li ∈ {Ai , ¬Ai } hat, und
(ii) die Klauseln paarweise verschieden sind.
Zum Beispiel ist (A1 ∨ A2 ∨ ¬A3 ) ∧ (A1 ∨ ¬A2 ∨ ¬A3 ) ∧ (¬A1 ∨ ¬A2 ∨ ¬A3 ) eine vollständige
KNF in den Atomen A1 , A2 , A3 . Beweisen Sie:
(a) [8 PUNKTE] Jede aussagenlogische Formel kann durch Anwendung elementarer Äquivalenzumformungen (siehe Rückseite) in eine äquivalente vollständige KNF transformiert
werden.
(b) [6 PUNKTE] Zu jeder Formel gibt es, bis auf die Reihenfolge der Klauseln, genau eine
äquivalente vollständige KNF.
(c) [4 PUNKTE] Zwei Formeln F und F 0 sind genau dann äquivalent, wenn sich F durch
Anwendung elementarer Äquivalenumformungen in F 0 transformieren lässt.
Elementare Äquivalenzumformungen:
Für alle Formeln F , G und H gelten die folgenden Äquivalenzen:
• Elimination von ⇒ und ⇔:
F ⇒ G ≡ ¬F ∨ G
F ⇔ G ≡ (F ⇒ G) ∧ (G ⇒ F ) ≡ (¬F ∨ G) ∧ (¬G ∨ F )
• Regeln für > und ⊥:
F ∨>≡>
F ∨⊥≡F
F ∧>≡F
F ∧⊥≡⊥
> ≡ F ∨ ¬F
⊥ ≡ F ∧ ¬F
¬> ≡ ⊥
• Assoziativität:
(F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H)
(F ∧ G) ∧ H ≡ F ∧ (G ∧ H)
• Kommutativität:
F ∨G≡G∨F
F ∧G≡G∧F
• Idempotenz:
F ∨F ≡F
F ∧F ≡F
• Distributivität:
F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
• De Morgansche Gesetze:
¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G
• Doppelte Negation:
¬¬F ≡ F
Abgabe bis Freitag, 15.5., 14:00 Uhr, in den Briefkästen vor Raum IZ 343