Logik für Informatiker (WS 09/10)

Universität Augsburg
Prof. Dr. W. Vogler
Logik für Informatiker (WS 09/10)
Übungsblatt 10 (Abgabe bis 13.01.2009, 13:45 Uhr im
Briefkasten Lst. Vogler)
Aufgabe 1
(5 Punkte)
Leiten Sie im Hilbert-Kalkül her: ∀ x ∀ y x = y → y = x
Tipp: Benutzen Sie Ax7 und überlegen Sie sich was x = x mit y = x zu tun hat!
Aufgabe 2
(7 Punkte)
In einer Firma kann Team 1 die Projekte A und B vollenden, wenn die Statistik C vorliegt.
Team 2 kann Projekt D vollenden, wenn Projekt A fertig ist und die Statistik E vorliegt.
Team 3 kann Projekt F fertig stellen, wenn die Projekte B und D abgeschlossen sind.
1. Zeigen Sie, dass diese Situation durch die folgende Menge von Hornklauseln beschrieben
wird:
M = {{¬ C, A}, {¬ C, B}, {¬ A, ¬ E, D}, {¬ B, ¬ D, F }}
2. Können die Teams Projekt F fertig stellen, wenn die Statistiken C und E vorliegen?
Formulieren Sie die gewünschte Aussage als eine aussagenlogische Formel. Die Frage ist
also, ob diese Aussage aus obiger Situation folgt. Zur Beantwortung negieren Sie diese
Formel und bringen Sie die Formel in konjunktive Normalform. (Sie müssen dabei keine
Zwischenschritte angeben.) Verknüpfen Sie wie im Beispiel im Skript diese KNF mittels
∧ mit der in 1. enthaltenen KNF zu einer neuen KNF und testen Sie diese Formel
schrittweise auf Unerfüllbarkeit mit Hilfe des Resolutionssatzes.
Aufgabe 3
(5,5 Bonuspunkte)
Auf Übungsblatt 6 herausgearbeitet werden, dass für existentielle Formeln die Rückrichtung
von Proposition 1.9 gilt.
Zeigen Sie:
Sei I eine Teilinterpretation von J, β eine Belegung zu I und A eine existentielle Formel.
Dann gilt: I, β |= A ⇒ J, β |= A.
Aufgabe 4
Leiten Sie im Gentzen-Kalkül her:
(7 Punkte)
1. ` G A ∧ B → A ∨ B
2. ` G A ∧ (B ∨ C) → (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
Aufgabe 5
(5 Bonuspunkte)
In Anwendung 3.23 i) wurde gezeigt, dass Endlichkeit nicht elementar definierbar ist. Zeigen
Sie nun in ähnlicher Weise, dass diese Eigenschaft auch nicht definierbar ist.