Quantenmechanik I Wintersemester 2012/13 Aufgabenblatt 7

Quantenmechanik I
Wintersemester 2012/13
Aufgabenblatt 7
Abgabetermin: Freitag 07.12.2012 um 12.00 Uhr
QMI7.1: (5 Punkte)
Die Schrödingergleichung für ein Teilchen, das sich in einer Dimension im Potential
V (x) bewegt lautet
i~∂t |Ψi(t) = H|Ψi(t)
mit
H = p2 /(2m) + V (x) .
(1)
(a) Machen Sie für die Zustandsfunktion den Separationsansatz
|Φn i(t) = f (t)|Φn i .
(2)
und bestimmen sie f (t). (Es kann nützlich sein, die Ortsdarstellung zu wählen
und die Methode der Variablentrennung zu verwenden.) Begründen Sie, dass
die beiden Zustände |Φn i(t0 ) und |Φn i(t1 ) mit t0 6= t1 physikalisch nicht zu
unterscheiden sind, es handelt sich also um stationäre Zustände.
(b) Welche Gleichung erfüllen die stationären Zustände |Φn i? Was wird folglich
durch den Index n beschrieben? Geben Sie auch die Ortsraumdarstellung der
Gleichung an. Welche physikalische Bedeutung hat die Separationskonstante
aus (a)?
Bemerkung: Bei dieser Gleichung handelt es sich um die stationäre Schrödingergleichung, die äquivalent zu einem Sturm-Liouville-Problem ist.
(c) Geben Sie die allgemeinste Lösung von (1) an.
Referatvorschlag: (20 Punkte) Diskutieren Sie die Sturm-Liouville-Gleichung. Gehen
Sie dabei besonders auf Beispiele ein, die für die Physik von Relevanz sind, und
präsentieren Sie Lösungsstrategien dieser Differentialgleichungen.
QMI7.2: (4 Punkte) Nutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 7.1, um die allgemeine
Lösung der Schrödingergleichug für eine freie Bewegung (V = 0) in einer Dimension
abzuleiten. Gehen Sie dafür wie folgt vor:
(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes (2) die stationären Zustände in der
Ortsraumdarstellung. Worum handelt es sich bei diesen Lösungen? Warum
liegen diese Zustände nicht im physikalischen Zustandsraum?
(b) Ermitteln Sie einen Ausdruck für die Energieeigenwerte, die zu den stationären
Lösungen korrespondieren.
(c) Wie lautet die allgemeine Lösung? Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit
es sich um einen physikalischen Zustand handelt?
1
QMI7.3: (5 Punkte)
Der Zeitentwicklungs-Operator U (t, t0 ), definert als
|Ψi(t) = U (t, t0 )|Ψi(t0 ),
(3)
beschreibt die zeitliche Evolution eines Zustandes |Ψi vom Zeitpunkt t0 hin zum
Zeitpunkt t.
(a) Geben Sie die Operatorgleichung für U an (DGL 1. Ordnung in t), welche
äquivalent zur Schrödinger-Gleichung ist. Wie lautet die Lösung für zeitunabhängige Systeme?
Für zeitabhängige Systeme H = H(t) kann die Gleichung nicht so einfach integriert
werden, da der Hamilton-Operator zu verschiedenen Zeitpunkten dann nicht mehr
mit sich kommutiert. Man kann aber immer noch eine formale Lösung angeben, die
sogenannte Dyson-Reihe:
Z
t
U (t, t0 ) = T exp
0
H(t )dt
0
(4)
t0
Hierbei bezeichnet T die Zeitordnung, d. h. Operatoren werden so umgeordnet, dass
diejenigen zu früheren Zeiten rechts stehen:
(
A(t1 )B(t2 ) falls t1 > t2
(5)
T [A(t1 )B(t2 )] :=
B(t2 )A(t1 ) falls t1 < t2
und entsprechend für mehrere Operatoren.
(b) Schreiben Sie Gleichung (3) durch einmaliges Integrieren in eine Integralgleichung für U um, und implementieren Sie dabei die Anfangsbedingung U (t0 , t0 ) =
1. Ersetzen Sie U im Integranden nun iterativ und verwenden Sie die Definition
(5) um Gleichung (4) herzuleiten.
QMI7.4: (8 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m in einer Dimension im unendlich tiefen
Potentialtopf
(
0 für 0 < x < a
V (x) =
(6)
∞ sonst
(a) Stellen Sie die stationäre Schrödinger Gleichung im Ortsraum auf. Welche
Randbedingungen muss die Wellenfunktion erfüllen?
(b) Bestimmen Sie die Energie-Eigenwerte und zugehörigen normierten Wellenfunktionen.
2
(c) Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System in einer Überlagerung aus dem
Grundzustand |φ1 i und dem ersten angeregten Zustand |φ2 i:
Ψ(x, t = 0) = N (φ1 (x) + φ2 (x))
Bestimmen Sie
|Ψ(x, t = 0)|2 .
die
Normierungskonstante
N
(7)
und
skizzieren
Sie
(d) Berechnen Sie die Wellenfunktion Ψ(x, t) sowie ihr Betragsquadrat zur Zeit t.
Drücken Sie dabei |Ψ(x, t)|2 unter Verwendung der Frequenz ω = π 2 ~/2ma2
aus.
(e) Berechnen Sie den Orts-Erwartungswert als Funktion der Zeit. Mit welcher
Frequenz und mit welcher Amplitude oszilliert dieser? Vergleichen Sie mit der
Amplitude (=maximale Auslenkung) der Trajektorie eines klassischen Teilchens im Potentialtopf und interpretieren Sie.
(Hinweis: Verwenden Sie, dass der Erwartungswert von x − a2 aus Symmetriegründen in jedem stationären Zustand φn verschwindet, sowie das folgende
Integral:
Z π
8
(8)
x sin(x) sin(2x)dx = − )
9
0
(f) Nun werde die Energie gemessen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man
welchen Wert? Was ist der Erwartungswert der Energie?
3