Mathematik I — Analysis - Hochschule Ravensburg

Mathematik I — Analysis
WS 2011
Prof. Ekkehard Löhmann
Hochschule Ravensburg-Weingarten
Vorwort
Die Mathematik bereitet vielen Studenten große Probleme. Insbesondere Studenten mit viel
Praxiserfahrung und lange zurückliegender, teilweise sehr lückenhafter Mathematikausbildung haben erfahrungsgemäß große Schwierigkeiten, sich an die formale, abstrakte Denkweise der Mathematik zu gewöhnen. Wer jedoch erfolgreich durch diese Schule des Denkens
gegangen ist, besitzt gute Voraussetzungen, auch den speziellen Vorlesungen im Hauptstudium folgen zu können. Daher ist es von großer Wichtigkeit, im ersten — meiner Meinung nach
schwierigsten — Semester mit großer Anstrengung gerade an die Mathematik heranzugehen.
Insbesondere die Übungen zur Vorlesung sind sehr wichtig, denn Mathematik kann man nur
durch selbständiges Üben richtig lernen. Das Üben in einer kleinen Gruppe (2–3 Studenten)
trägt in großem Maße zu einem besseren Verständnis der Zusammenhänge bei.
Lesen Sie bitte auch gelegentlich in den ersten Wochen die Hinweise zum Umgang mit Beweisen und der Mathematik allgemein durch.
Ich bitte alle Studenten, mich auf eventuelle Fehler im Skript aufmerksam zu machen.
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Grundlagen
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Zahlen
2.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . .
2.1.1 Induktionsbeweis . . . . . . . . . .
2.1.2 Etwas Kombinatorik . . . . . . . .
2.2 Die ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . .
2.4 Unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . .
2.5 Axiome der rationalen Zahlen . . . . . . .
2.6 Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . .
2.7 Folgen, Grenzwerte . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Rechnen mit Grenzwerten . . . . .
2.8 Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Berechnung der Lösung von x2 = a
2.8.2 Konstruktion der reellen Zahlen . .
2.9 Zahlendarstellung . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
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18
18
3 Reihen
3.1 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Praktische Berechnung von exp(x) : . . . . . . . . .
3.2.2 Das Horner-Schema zur Berechnung von Polynomen
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4 Stetige Funktionen
4.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Unstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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30
5 Spezielle Funktionen
5.1 Ganze rationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Lineare Funktionen (n = 1) . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Polynome höheren Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Division von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Algebraische Funktionen / Relationen . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Quadratische Funktionen und deren Nullstellen: Kegelschnitte
5.6.1 Eigenschaften von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Klassifikation von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . .
5.7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Rechenregeln für Winkelfunktionen . . . . . . . . . . .
5.7.2 Periodische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Umkehrfunktionen von sin, cos, tan . . . . . . . . . . .
5.8 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . .
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6 Differentialrechnung
6.1 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Definitionsbereich . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Nullstellen von f, f 0 , f 00 . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.6 Pole, einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . .
6.1.7 Verhalten für große |x|, Asymptoten . . . .
6.2 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Anwendungen: . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Das Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen
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52
7 Integralrechnung
7.1 Eigenschaften, bzw. Rechenregeln des bestimmten Integrals
7.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Rechenregeln für die Integration . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Partielle Integration (Produktregel) . . . . . . . . .
7.3.2 Substitution (Variablentransformation) . . . . . . .
7.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Allgemeines Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Die Trapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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64
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Elementare Grundlagen
1
1.1
1
Elementare Grundlagen
Mengen
Menge wird in der linearen Algebra ausführlich behandelt, hier jedoch nur kurz und anschaulich. Mengen werden in der Mathematik axiomatisch definiert, d.h. durch ihre Eigenschaften.
Definition 1.1 Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunter
schiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die
Objekte heißen Elemente.
Problem 1 Abstützung auf Umgangssprache
Schreibweise:
A
B
C
{}
D
E
:=
:=
:=
:=
:=
:=
{a, b, c},
{1, 4, 113, 8}
{1, 2, 3, ..}
∅ = leere M enge
{x | x ∈ A ∧ x ∈ B} =
{x | x ∈ B ∧ x ∈
/ C} =
Eigenschaften lassen sich charakterisieren durch die Menge aller Objekte, die diese Eigenschaft besitzen.
Dualität Mengenlehre / Logik:
Umgangssprache : Alle Primzahlen größer als 2 sind ungerade.
Logik
: ∀x (x ist Primzahl ∧ x > 2) ⇒ x ist ungerade
Mengenlehre
: {x | x ist Primzahl } ∩ {x | x > 2} ⊂ {1, 3, 5, 7, 9, ..} =
= {2x − 1 | x ∈ N}
Definition 1.2 Die Menge M1 × M2 := {(x1 , x2 ) | x1 ∈ M1 ∧ x2 ∈ M2 } heißt Paar
menge oder Menge der geordneten Paare oder 2-stellige Relation.
Relationen: Jede Teilmenge R ⊆ M1 × M2 ×, ..., ×Mn heißt n-stellige Relation.
Bemerkung: Die einstelligen Relationen sind gerade die Mengen.
Beispiel 1.1
Die Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, 8, ...} ist eine 1-stellige Relation.
1.2
Funktionen
Definition 1.3 Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge D (Definitionsbereich)
in eine Menge B (Bildmenge) ordnet jedem Element aus D genau ein Element aus B zu.
2
Elementare Grundlagen
Schreibweise:
f
∀x ∈ D :
: D −→ B
D wird in B abgebildet
x 7−→ f (x)
x wird nach f (x) abgebildet
oder: {(x, y) | x ∈ D ∧ y ∈ B ∧ y = f (x)} = Graph (f )
Bemerkung: Funktionen sind spezielle Relationen, nämlich die (rechts) eindeutigen.
Beispiel 1.2
1. D = R, B = R, R = reelle Zahlen:
2.
f:
R→R
x 7−→ x2
g:
R→R
x 7−→ sin(x) y = g(x) = sin(x)
h:
1 7−→ 2
2 7−→ 4
3 7−→ 6
4 7−→ 8
y = f (x) = x2
f (D) := {y | f (x) = y ∧ x ∈ D} = Wertebereich (-menge)
f (D) ⊆ B
A
i: A -> B
B
Ist das eine Funktion ?
verschiedene Urbilder
auf 1 Bildelement
j: A -> B
keine Funktion
Definition 1.4 Eine Abbildung f : D → B heißt surjektiv g.d.w. ∀y ∈ B ∃x ∈ D
y = f (x)
Eine Abbildung f : D → B heißt injektiv g.d.w. ∀x, y ∈ D x 6= y ⇒
f (x) 6= f (y)
Eine Abbildung f : D → B heißt bijektiv g.d.w. sie surjektiv und injektiv ist.
Beispiel 1.3
:
1.2 Funktionen
3
D
B
injektiv
surjektiv
bijektiv
x
x2
Wertetabelle der Funktion f :
f:
f:
f:
a)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
16 9 4 1 0 1 4 9 16
Abbildung injektiv surjektiv in Abb.
R→R
x 7→ x2
a)
+
R→R
x 7→ x2
b)
+
+
R →R
x 7→ x2
c)
f(x)
b)
x
f(x)
c) f(x)
x
x
Definition 1.5 Eine Funktion f : D → B, D, B ⊂ R heißt monoton wachsend,
g.d.w. ∀x1 , x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ).
f heißt streng monoton wachsend, g.d.w.
∀x1 , x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).
Definition 1.6 Sei f : D → B bijektiv, d.h. jedes y ∈ B hat genau ein Urbild x ∈ D.
Die Funktion, welche jedem y ∈ B gerade das Urbild x bezüglich f zuordnet, heißt
Umkehrfunktion von f , symbolisiert durch f −1 : B → D .
Folgerung: f −1 (f (x)) = f (f −1 )(x) = x.
Lemma 1.1 Jede streng monotone, surjektive Funktion f : D → B,
besitzt eine Umkehrfunktion.
Beweis als Übung.
Berechnung von Umkehrfunktionen : y = f (x) nach x auflösen.
D ⊂ R,
B ⊂ R,
4
Zahlen
Beispiel 1.4
√
√
f : x 7→ 2x + 3, R+ → [ 3, ∞]
√
y = 2x + 3 ⇔ y 2 = 2x + 3 ⇔
2x = y 2 − 3
⇔
x = 12 y 2 −
3
2
f(x)
-1
-1
x
Das Berechnen der Umkehrfunktion entspricht beim Graphen der Funktion der Spiegelung
an der Winkelhalbierenden.
2
2.1
Zahlen
Die natürlichen Zahlen
Man könnte einfach festlegen N := {1, 2, 3, ...}. Damit ist aber noch nicht festgelegt, was 1“,
”
2“, 3“, etc. bedeuten soll. Daher hier die axiomatische Definition der natürlichen Zahlen.
”
”
Definition 2.1 Axiome der natürlichen Zahlen (Peano Axiome):
(i) 1 ist eine natürliche Zahl
(ii) jede natürliche Zahl n besitzt einen Nachfolger n+
(iii) Die Zahl 1 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl, d.h. ¬∃n ∈ N n+ = 1
(iv) ∀n, m ∈ N n+ = m+ ⇒ n = m, d.h. verschiedene natürliche Zahlen haben
verschiedene Nachfolger.
(v) Enthält eine Teilmenge A der natürlichen Zahlen die Zahl 1 und mit jeder
natürlichen Zahl auch deren Nachfolger n+ , so ist A = N.
(A ⊂ N ∧ 1 ∈ A ∧ (n ∈ A ⇒ n+ ∈ A)) ⇒ A = N.
(v) ist das sogenannte Induktionsaxiom.
Andere Formulierung: Gilt eine Aussage für die Zahl 1 und mit jeder Zahl auch für dessen
Nachfolger, so gilt sie für alle n ∈ N.
2.1 Die natürlichen Zahlen
Rechenregeln:
Addition:
5
Seien a, b, c ∈ N
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
in N ∪ {0} =: N0 gilt: a + 0 = a
!
Multiplikation: a · b := a
|+a+
{z... + a} = b| + b +
{z... + }b
b−mal
Komm.
Assoz.
0 ist neutrales Element
bezüglich +“
”
a−mal
Abkürzung der Schreibweise
⇒ a·1=a
1 ist neutrales Element
bezüglich ·“
”
Multiplikation ist auch kommutativ
und assoziativ !
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
Summenschreibweise: für Ausdrücke der Form x1 + x2 + ... + xn definiert man
n
P
xi := x1 + x2 + ... + xn
Analog:
i=1
n
Q
yj := y1 · y2 · ... · yn .
j=1
2.1.1
Induktionsbeweis
→ Übungen !
Satz 2.1
n
X
∀n ∈ N
i=1
i=
n(n + 1)
2
Beweis:
Induktionsvoraussetzung: n = 1 : 1 = 1
Induktionsschritt: n → n + 1 :
n
X
n(n + 1)
Annahme:
i=
2
i=1
n+1
X
(n + 1)(n + 2)
zu zeigen ist:
i=
2
i=1
n+1
X
i =
i=1
n
X
i + (n + 1)
i=1
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n(n + 1) + 2n + 2
=
2
n(n + 1) + 2 · (n + 1)
=
2
(n + 1)(n + 2)
=
2
=
6
Zahlen
Satz 2.2 Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl. Es gilt:
n
X
∀n ∈ N
(2k − 1) = n2
k=1
Beweis:
n=1:
n→n+1:
1
X
(2k − 1) = 1 = 12
1 = 1,
k=1
n+1
X
zu zeigen:
(2k − 1) = (n + 1)2
k=1
n+1
X
(2k − 1)
n
X
=
k=1
(2k − 1) + 2(n + 1) − 1
k=1
n2 + 2n + 1
=
↑
Ind.Vor.
(n + 1)2
=
Alternative Formulierung von Peano Axiom Nr.(v):
Sei f (n) = g(n) zu beweisen für alle n ∈ N.
f (n) = g(n) ist wahr, g.d.w. f (1) = g(1) und wenn aus f (n) = g(n) die Gleichung f (n+1) =
g(n + 1) folgt.
Satz 2.3 Für q 6= 1 und n ∈ N0 gilt:
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
(Summe der geometrischen Reihe).
Beweis:
n=0:
1=1
n → n + 1 : zu zeigen ist:
n+1
X
k=0
n+1
X
q
k
=
k=0
n
X
qk =
1 − q n+2
1−q
q k + q n+1
k=0
1 − q n+1 + (1 − q)q n+1
1 − q n+1
+ q n+1 =
1−q
1−q
n+1
n+1
n+2
1−q
+q
−q
=
1−q
n+2
1−q
=
1−q
=
2.1 Die natürlichen Zahlen
2.1.2
7
Etwas Kombinatorik
Definition 2.2 ∀n ∈ N
n! := n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 1 =
n
Q
k
k=1
0! := 1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto 6 Richtige zu tippen?
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die n Elemente eines n-Tuppels (x1 , x2 , ..., xn ) anzuordnen /
zu vertauschen, d.h. zu permutieren?
n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 1 =: n!
Beispiel 2.1
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)(3, 2, 1)
Wieviele Möglichkeiten 6 aus 49 zu wählen (anzukreuzen)?
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
49!
=
= 13983816
6!
6!(49 − 6)!
n!
Definition 2.3 n := n(n − 1)(n − 2) · ... · (n − (k − 1)) =
k
1 · 2 · 3 · ... · k
k!(n − k)!
Beispiel 2.2
n
n
=
=1
0
n
n
n
=
=n
1
n−1
n
n!
Lemma 2.1 ∀n ∈ N0 :
=
k!(n − k)!
k
Beweis: Übung
Satz 2.4 Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist
Pascalsches Dreieck:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
( nk)
(k = 0,...,n)
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
n
k
8
Zahlen
Frage: Wie berechnet man 10019 oder (a + b)17 ohne Taschenrechner ?
Satz 2.5 (Binomischer Lehrsatz)
Für alle n ∈ N und a, b ∈ R gilt:
n n−1
n n−2 2
n n−k k
n
n
(a + b) = a +
a
·b+
a
· b + ... +
a
· b + ... + bn
1
2
k
Beispiel 2.3
2
(a + b)
(a + b)3
1043
2
=a +
ab + b2 = a2 + 2ab + b2
1
3 2
3
3
=a +
a b+
ab2 + b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
1
2
2
s = (100 + 4)3 = 1003 + 3 · 1002 · 4 + 3 · 100 · 42 + 43
= 1000000 + 12 · 10000 + 48 · 100 + 64 = 1124864
Wieviele Schlüssel mit n Bit (n Zacken) gibt es?
10110100101
Wieviele Schlüssel mit k Zacken bei n Stellen gibt es ?
2.2
Die ganzen Zahlen
1,2,3,...
Guthaben, Schulden
-3
-2
-1
0
1
2
Forderung: Zu jedem n ∈ N existiert ein −n (inverses), so daß
(Null) nennt man: neutrales Element der Addition.
3
n + (−n) = 0. Die Zahl 0
Gesucht ist eine Zahl x, so daß für ein beliebiges b ∈ N gilt: x + n = b. Die Zahl x = b − n
löst die Gleichung.
k Definition 2.4 Z := {0, ±1, ±2, ±3, ...}
2.3 Die rationalen Zahlen
2.3
9
Die rationalen Zahlen
Gesucht ist nun eine Zahl x, so daß für a, b ∈ N gilt: x · b = a
Forderung: ∀b ∈ Z \ {0} ∃b−1 b · b−1 = 1
1
Schreibweise: := b−1
b
⇒
x·b·
1
1
=a·
b
b
⇔
x=a·
1
a
=:
b
b
a
Definition 2.5 Q := {x | x = ∧ a, b ∈ Z ∧ b 6= 0}
b
2.4
Unendliche Mengen
Definition 2.6 Die Anzahl der Elemente einer Menge M nennt man Mächtigkeit und
man schreibt dafür | M |.
Beispiel 2.4
| {7, 2, 13} | =
3,
|∅| =
0
Definition 2.7 Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt endlich, wenn es eine
natürliche Zahl n gibt mit n = | M |.
Definition 2.8 Eine unendliche Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn eine bi
jektive Abbildung f : N → M existiert (dann lassen sich also die Elemente von M
durchnummerieren). Nicht abzählbare unendliche Mengen heißen überabzählbar.
2.5
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
(A5)
Axiome der rationalen Zahlen
Assoziativität
Exist. des neutralen El.
Exist. des inversen El.
Kommutativität
Distributivität
a + (b + c)
a+0
a + (−a)
a+b
Addition
Multiplikation
= (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
= 0+a=a
a·1 = 1·a=a
= (−a) + a = 0
a · a−1 = a−1 · a = 1
= b+a
a·b = b·a
a · (b + c) = a · b + a · c
(A1) ∧ (A2) ∧ (A3)
: Gruppe
(A1) ∧ (A2) ∧ (A3) ∧ (A4) : abelsche Gruppe
Eine Menge M mit zwei Abbildungen + : M × M → M,
(A1),...,(A4) und (A5) erfüllen, heißt Körper.
Also ist Q ein Körper.
+:N×N→N
· : M × M → M , die jeweils
10
Zahlen
Satz 2.6 Die rationalen Zahlen sind abzählbar.
Beweis: zu zeigen: es gibt eine Bijektion ←→ auf die natürlichen Zahlen.
Weg: Q ←→ Z ←→ N
↑
Übung
1
2
3
4
5
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
1/4
.
.
.
2/4
3/4
4/4
5/4
Damit Bijektion von Q+ ←→ Z+ \ {0}
. . .
analog: Bijektion von Q− ←→ Z−
dadurch Bijektion von Q ←→ Z.
Satz 2.7 Die rationalen Zahlen sind dicht, d.h. zwischen je zwei rationalen Zahlen existiert
eine weitere rationale Zahl.
Folgerung: Zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale
Zahlen.
Beweis: Idee: Mittelwert zweier rationalen Zahlen ist rationale Zahl.
< b und a+b
ist rational!
Seien a, b ∈ Q a < b. Als Übungsaufgabe zu zeigen: a < a+b
2
2
2.6
Rechnen mit Ungleichungen
Definition 2.9 Die Signumfunktion

 1 f alls x > 0
sgn(x) :=
0 f alls x = 0

−1 f alls x < 0
gibt das Vorzeichen einer Zahl an.
| x |:=
x falls x ≥ 0
−x falls x < 0
|x|
sgn(x)
1
1
x
-1
-1
1
x
2.6 Rechnen mit Ungleichungen
11
Der Körper der reellen Zahlen ist angeordnet, d.h. für a, b, c, d ∈ R gelten folgende Regeln:
a<b ∨ b<a ∨ a=b
a<b ∧ b<c
=⇒ a < c
a>b
⇐⇒ a + c > b + c
a>b c>d
⇐⇒ a + c > b + d
c>0:
a>b
⇐⇒ a · c > b · c
c<0:
a>b
⇐⇒ a · c < b · c !
Vorsicht bei Kehrwertbildung ! (nicht erlaubt!)
Satz 2.8 Dreiecksungleichung
|a + b| ≤ |a| + |b|
Beweis: 1.Fall: a + b ≥ 0 a + b ≤ |a| + |b|, da a ≤ |a| und b ≤ |b|
2.Fall: a + b < 0 −(a + b) = −a + −b ≤ |a| + |b|
Satz 2.9 Bernoullische Ungleichung
Für alle x ≥ −1 und n ∈ N gilt: (1 + x)n ≥ 1 + nx
Beweis: n = 0 klar
Da 1 + x > 0 und (1 + x)n ≥ 1 + nx gilt:
(1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x)
= 1 + (1 + n)x + nx2
≥ 1 + (n + 1)x
Beispiel 2.5
1.015 ≈ 1.05101 ≥ 1.05
12
Zahlen
2.7
Folgen, Grenzwerte
Definition 2.10 Eine Abbildung N → R, n 7→ an wird Folge genannt.
Schreibweise: (an )n∈N oder (a1 , a2 , a3 , ...)
Beispiel 2.6
(1, 2, 3, 4, ...) = (n)n∈N
(1, 21 , 13 , 14 , ...) = ( n1 )n∈N
(1, 2, 4, 8, 16, ...) = (2n−1 )n∈N
Gegeben seien die Folgen:
1. 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
2. 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,..
3. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...
4. 8,9,1,-8,-10,-3,6,9,4,-6,-10
5. 1,2,3,4,6,7,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24,26,27, 29,30,..
Geben Sie die nächsten 5 Elemente der Folge an. Falls Sie nicht weiter kommen oder weitere Rätsel lösen wollen, können Sie unter http://www.research.att.com/˜ njas/sequences/
nachsehen.
Definition 2.11 (an )n∈N heißt beschränkt, wenn es A, B ∈ R gibt mit ∀n A ≤ an ≤
B
(an )n∈N heißt monoton wachsend (fallend), wenn ∀n an+1 ≥ an (an+1 ≤ an )
Definition 2.12 Eine Folge reeller Zahlen (an )n∈N heißt konvergent gegen a ∈ R, falls
gilt:
∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ N, so daß |an − a| < ε ∀n ≥ N (ε)
Schreibweise: lim an = a
n→∞
2.7 Folgen, Grenzwerte
13
an
ε
ε
{
{
a
N( ε )
n
k Definition 2.13 Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.
Beispiel 2.7
1.)
2.)
3.)
4.)
(1, 12 , 13 , ...) ist konvergent gegen 0 (Nullfolge)
(1, 1, 1, ...) ist konvergent gegen 1
(1, −1, 1, −1, ...) ist divergent
(1, 2, 3, ...) ist divergent
Satz 2.10 Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Bemerkung: Die Umkehrung des Satzes gilt nicht! (siehe Beispiel 3)
Beweisidee: für ε = 1 : N (1), erste N (1) Glieder beschränkt, der Rest ist durch a ± N (1)
beschränkt.
Satz 2.11 Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent
B
A
14
2.7.1
Zahlen
Rechnen mit Grenzwerten
Seien (an ), (bn ) zwei konvergente Folgen mit: lim an = a, lim bn = b , dann gilt:
n→∞
lim (an ± bn ) =
n→∞
=
lim (c · an ) =
n→∞
=
lim (an · bn ) =
n→∞
a n
lim
=
n→∞ bn
Beispiel 2.8
lim an ± lim bn
n→∞
n→∞
a±b
c · lim an
n→∞
c·a
a·b
a
b
f alls bn , b 6= 0
1 n
Man zeige, daß die Folge an = 1 +
, n ∈ N konvergiert.
n
zuerst ausrechnen, dann beweisen:
an
n
1
2
2
2.25
3
2.37
2.44
4
..
..
.
.
10
..
.
2.59
..
.
100
..
.
2.705
..
.
1000
..
.
2.717
..
.
10000
..
.
2.7181
..
.
n→∞
Die Zahlenkolonnen
legen nahe, daß die
Folge konvergiert.
1.) Beschränktheit:
2.8 Die reellen Zahlen
∀n an > 0
an =
=
=
<
<
<
=
=
15
1 n
n
1 n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
1
1+n· +
· 2+
· 3 + ... + n
n
2
n
2·3
n
n
1
1
1 1 2
1
1 2
1+1+
1−
+
1−
1−
+ ... +
1−
1−
· ...
2
n
2·3
n
n
n!
n
n
n − 1
... · 1 −
n
1
1
1
1+1+ +
+ ... +
2 2·3
n!
1 1 1
1
1 + 1 + + + + ... + n
2 4 8
2
1 1 1
1 + 1 + + + + ...
2 4 8
1
1+
1 − 21
3
1+
2.) Monotonie:
Ersetzen von n durch n + 1 in (1.) ergibt: an < an+1 , da in an+1 jeder Summand größer !
1 n
= 2.718281828... Eulersche Zahl
e := lim 1 +
n→∞
n
2.8
Die reellen Zahlen
Eigentlich genügt Q in der Praxis. Aber: beim Bilden von Grenzwerten ergeben sich Probleme, wie wir im Folgenden sehen werden.
√
Satz 2.12 2 ist keine rationale Zahl, d.h. die Gleichung x2 = 2 hat keine Lösung x ∈ Q .
Beweis: (Widerspruchsbeweis)
n
Annahme: x2 = 2 hat rationale Lösung x = m
, mit n, m ∈ N. Dann ist (n, m teilerfremd)
2
n
2
2
2
= 2 ⇔ n = 2m
⇒ n gerade ⇒ n gerade ⇒ n2 = 4l ⇒ 4l =
m2
⇒
2m2
m gerade
⇒
n, m nicht teilerfremd.
Berechnung der Lösung von x2 = a
a
1
a
a
2x = x +
x=
x+
x2 = a x =
x
x
2
x
Iterationsfolge: (direkte Iteration, Fixpunktiteration)
2.8.1
Beispiel 2.9
a = 5, x0 = 2
n
0
1
2
3
4
xn
2
2.25
2.236111
2.23606798
2.23606798
√
5 = 2.23606798 ± 10−8
xn+1
1
a
=
xn +
2
xn
16
Zahlen
y
y=x
a
1
( x+ x )
2
4
3
2
1
.x
1
Satz 2.13 Seien
konvergiert gegen
a > 0,
√
x
0
2
3
4
a, x0 ∈ R. Die Folge (xn )n∈N mit
a
1
xn+1 :=
xn +
2
xn
x0 > 0,
a, d.h. gegen die eindeutige positive Lösung von x2 = a.
Beweis: 4 Teile: Beschränktheit, Monotonie, Limes, Eindeutigkeit
1.) Beschränktheit: zu zeigen ist: ∀n ≥ 0 xn > 0.
1
a
x0 > 0, wenn xn > 0 ⇒ xn+1 =
xn +
> 0 untere Schranke s.u. (2.)
2
xn
2.) Monotonie: z.z.: xn+1 ≤ xn .
1
a
1
xn − xn+1 = xn −
xn +
=
(x2 − a) ≥ 0, da
2
xn
2xn n
a 2
1
xn−1 +
−a
4
xn−1
a2 1 2
x
+ 2a + 2
−a
=
4 n−1
xn−1
1
a 2
=
xn−1 −
≥0
4
xn−1
x2n − a =
⇒ (xn )n∈N ist konvergent.
3.) Berechnung des Grenzwerts von (xn ):
Sei lim xn = x
n→∞
⇒
a
1
a 1
xn +
=
lim xn +
lim
n→∞ 2
xn
2 n→∞
lim xn
n→∞
1
a
=
x+
2
x
a
1
xn +
= lim xn+1
lim
n→∞
n→∞ 2
xn
= lim xn
n→∞
= x
2.8 Die reellen Zahlen
17
√
1
a
x+
⇒ x2 = a ⇒ x = a
2
x
4.) Eindeutigkeit :
Sei x0 > 0 eine weitere Lösung von x0 2 = a
⇒ x2 = a = x0 2 ⇒ 0 = x2 − x0 2 = (x + x0 )(x − x0 ) wegen a > 0
0 ⇒ x − x0 = 0 ⇒ x = x0
⇒
2.8.2
x=
⇒
(x + x0 ) >
Konstruktion der reellen Zahlen
Idee: Grenzwerte von (konvergenten) Folgen rationaler Zahlen
aber: Grenzwerte existieren nicht
also: neuer Folgenbegriff
Definition 2.14 Eine Folge rationaler Zahlen (an )n∈N heißt Cauchyfolge gdw.
∀ε > 0 ∃N (ε) |an − am | < ε für alle n, m > N (ε)
Folgerung: d.h. ab einem bestimmten Index N liegen alle Folgenglieder beliebig nahe zusammen.
Definition 2.15 Eine Cauchyfolge rationaler Zahlen, die keinen Grenzwert besitzt, de
finiert eine irrationale Zahl.
R := Q ∪ Menge der irrationalen Zahlen
Satz 2.14 Jede Cauchyfolge reeller Zahlen ist konvergent. (R ist vollständig)
Satz 2.15 R ist überabzählbar unendlich !
Beweis:
Ann.: R ist abzählbar. Dann ist auch [0, 1) abzählbar und es existiert eine Folge (xi ) mit
[0, 1) = {xi | i ≥ 1}
aij ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
x1 = 0, a11 a12 a13 ...
x2 = 0, a21 a22 a23 ...
x3 = 0, a31 a32 a33 ...
.
.
.
Sei nun (y) := 0, b1 b2 b3 b4 ... wie folgt definiert:
bi :=
1 falls aii =
6 1
2 falls aii = 1
damit sind alle Folgen (xi ) von (y) verschieden. Laut Annahme existiert aber eine Folge xn
mit (y) = (xn )
Folgerung: Die Menge R \ Q der irrationalen Zahlen ist überabzählbar.
18
Zahlen
2.9
Zahlendarstellung
Definition 2.16 In einem Zahlensystem mit der Basiszahl B ∈ N und den B verschie
denen Ziffern b1 , ..., bB schreibt man für jede natürliche Zahl Z:
n
X
zn zn−1 ...z0 := Z
⇔
Z=
zi B i
i=0
für positive reelle Zahlen:
n
−∞
X
X
zn zn−1 ...z0 , z−1 z−2 ... := Z
⇔
Z=
zi B i +
zi B i
i=0
i=−1
Beispiel 2.10
Dezimalsystem
Binärsystem
(347.1)10
(10110)2
Oktalzahl
Hexadezimalsystem
=
=
=
3·102 +4·101 +7·100 +1·10−1
1·24 +0·23 +1·22 +1·21 +0·20
16 + 4 + 2 = (22)10
0.123456789ABCDEF
Umwandlung:
beliebiges System → Dezimalsystem: addieren der Summanden.
oktal → dezimal
(725)8 = 7 · 82 + 2 · 81 + 5 · 80
=
448 + 16 + 5
=
(469)10
Dezimalsystem → beliebiges System:
dezimal → oktal

469 : 8 = 58 Rest 5 
58 : 8 = 7 Rest 2

7 : 8 = 0 Rest 7
2.10
(725)8
Komplexe Zahlen
Die Gleichung x2 + 2x + 5 = 0 hat keine reelle Lösungen, ebenso wie x2 = −1. Um auch
solche Gleichungen lösen zu können, definiert man:
k Definition 2.17 i :=
√
−1
Damit hat die obige Gleichung die Lösung x1,2 = −1 ± 2i
Definition 2.18
Imaginäre Zahlen: {i · b | b ∈ R}
Komplexe Zahlen: C := {a + i · b | a ∈ R, b ∈ R}
2.10 Komplexe Zahlen
19
Definition 2.19 Seien z, z1 , z2 ∈ C, a, b, a1 , b1 , a2 , b2 , α ∈ R
z1 = z2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2
α · z = α · a + i · αb
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
Re(z) = a Realteil
Im(z) = b Imaginärteil
−
Für z = a + ib ist z= a − ib die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Division:
z1
a1 + ib1
a1 a2 + b1 b2
a2 b1 − a1 b2
=
=
+i·
2
2
z2
a2 + ib2
a2 + b2
a22 + b22
Betrag einer komplexen Zahl:
Im z
Z
b
2
a + b
2
a
geometrisch : |z| =
√
Re z
a2 + b2
q
√
Definition 2.20 |z| = z· −
z = a2 + b2
−
z· z= (a + ib)(a − ib) = a2 − i2 b2 = a2 + b2
z 2 = (a + ib)2
= a2 + i · 2ab − b2
= a2 − b2 + i · 2ab
Achtung:
√
z 2 6= z
√
z 2 6= |z|
20
Reihen
3
Reihen
Definition 3.1 Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Folge
n
X
sn :=
ak , n ∈ N
k=0
∞
der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit P ak bezeichnet.
k=0
Falls (sn )n∈N konvergiert
∞
n
X
X
ak := lim
ak .
n→∞
k=0
k=0
Beispiel 3.1
1.
n
Folge an
0 1
0 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
...
...
Reihe
n
X
ak
Sn =
0 1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
...
k=0
2.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Folge an
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64
1
128
1
256
1
518
1
1024
Reihe
n
X
ak
Sn =
1
3
2
7
4
15
8
31
16
63
32
127
64
255
128
511
256
1023
512
2047
1024
1.75
1.875
1.938
1.969
1.984
1.992
1.996
1.998
1.999
k=0
(dezimal)
3.1
1 1.5
Konvergenzkriterien für Reihen
Satz 3.1 (Cauchy) Die Reihe
∞
P
an konvergiert g.d.w.
n=0
∀ε > 0 ∃N ∈ N
n
X
ak < ε
k=m
für alle n ≥ m ≥ N
Beweis: Sei sp :=
p
P
ak . Dann ist sn − sm−1 =
k=0
⇔
n
X
ak . Damit ist (sn )n∈N Cauchyfolge
k=m
(sn ) ist konvergent.
Satz 3.2 Eine Reihe mit ak > 0 f ür
beschränkt ist.
k ≥ 1 konvergiert gdw. die Folge der Partialsummen
3.2 Die Exponentialreihe
21
Beweis: als Übung
Satz 3.3 (Majorantenkriterium)
∞
X
Sei
cn eine konvergente Reihe mit ∀n
n=0
∀n ∈ N. Dann konvergiert
cn
∞
X
cn ≥ 0 und (an )n∈N eine Folge mit |an | ≤
an .
n=0
Satz 3.4 (Quotientenkriterium)
∞
X
Sei
an eine Reihe mit an 6= 0 für alle n ≥ n0 . Es gebe eine reelle Zahl q mit 0 < q < 1,
∞
X
an+1 ≤ q für alle n ≥ n0 . Dann konvergiert die Reihe
an .
so daß an n=0
an+1 Gilt jedoch von einem Index n0 an an ≥ 1, so ist die Reihe divergent.
n=0
Beweisidee (f. 1. Teil): Man zeigt, daß
∞
X
|a0 |q n eine Majorante ist.
n=0
Beispiel 3.2
∞
X
n2
n=0
Beweis:
2n
konvergiert.
an+1 (n + 1)2 2n
1
1 2
an = 2n+1 n2 = 2 (1 + n )
1
1
8
(1 + )2 = < 1.
2
3
9
≤
↑
für n ≥ 3
3.2
Die Exponentialreihe
Satz 3.5 und Definition Für jedes x ∈ R ist die Exponentialreihe
∞
X
xn
exp(x) :=
n!
n=0
konvergent.
Beweis: Das Quotientenkriterium liefert
an+1 xn+1 n! |x|
1
an = (n + 1)!xn = n + 1 ≤ 2
f ür
n ≥ 2|x| − 1
∞
X
1
Definition 3.2 Eulersche Zahl e := exp(1) =
n!
n=0
+
Die Funktion exp : R → R
x 7→ exp(x) heißt Exponentialfunktion.
Satz 3.6 (Restglied)
exp(x) =
N
X
xn
n=0
mit |RN (x)| ≤ 2
|x|
(N + 1)!
N +1
f ür
n!
+ RN (x)
|x| ≤ 1 +
N
2
N − teN äherung
bzw.
N ≥ 2(|x| − 1)
22
Reihen
3.2.1
N
X
xn
n=0
Praktische Berechnung von exp(x) :
x2
xN −1
xN
+ ... +
+
n!
2
(N − 1)! N !
x
x
x
x
= 1 + x(1 + (1 + ... +
(1 +
(1 + ))...))
2
N −2
N −1
N
1
1
1
1
e = 1 + 1 + (... +
(1 +
(1 + ))...) + RN
2
N −2
N −1
N
= 1+x+
mit RN ≤
2
(N + 1)!
2
Für N = 15: |R15 | ≤ 16!
< 10−13
e = 2.718281828459 ± 2 · 10−12 (Rundungsfehler 15 mal 10−13 !)
Satz 3.7 Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion
∀x, y ∈ R gilt: exp(x + y) = exp(x) · exp(y).
Beweis: Der Beweis des Satzes erfolgt über die Reihendarstellung (Definition 3.2), ist jedoch
nicht einfach, denn er benötigt einen weiteren Satz über das Produkt von Reihen, den wir
hier nicht behandeln.
Folgerungen:
1
a) ∀x ∈ R exp(−x) = (exp(x))−1 =
exp(x)
b) ∀x ∈ R exp(x) > 0
c) ∀n ∈ Z exp(n) = en
Schreibweise: Auch für reelle Zahlen x ∈ R : ex := exp(x)
Beweis:
1
x 6= 0
a) exp(x) · exp(−x) = exp(x − x) = exp(0) = 1 ⇒ exp(−x) =
exp(x)
x2
b) 1.Fall x ≥ 0 : exp(x) = 1 + x +
+ ... ≥ 1 > 0
2
1
2.Fall x < 0 : −x > 0 ⇒ exp(−x) > 0 ⇒ exp(x) =
> 0.
exp(−x)
c) vollständige Induktion exp (1) = e exp (n) = exp (n − 1 + 1) = exp (n − 1) · e = en−1 · e
Bemerkung: für große x := n + h n ∈ N
exp(x) = exp(n + h) = en · exp(h)
(für große x schneller als Reihenentwicklung.)
3.2.2
Das Horner-Schema zur Berechnung von Polynomen
N
X
Definition 3.3 Jede Funktion der Form f (x) =
ak · xk wird Polynom in x oder
k=0
ganzrationale Funktion genannt.
Beispiel 3.3
a0 x2 + a1 x + a2 = a2 + a1 x + a0 x2 = a2 + x(a1 + x · a0 )
Stetige Funktionen
23
Allgemein:
f (x) =
n
X
ak xn−k
k=0
= a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an
= an + an−1 x + an−2 x2 + ... + a0 xn
= an + x(an−1 + x(an−2 + x(... + x(a2 + x(a1 + xa0 )...))
Iteration:
y0 := a0
yk := yk−1 x + ak f ür k = 1, ..., n
Rechenzeit für die Auswertung von Polynomen:
ohne Hornerschema: n Multiplikationen + n Additionen + n − 1 Potenzierungen.
mit Hornerschema : n Multiplikationen + n Additionen
4
4.1
Stetige Funktionen
Stetigkeit
Funktionen werden unter anderem bezüglich der Glattheit“ charakterisiert. Die schwächste
”
Form der Glattheit ist die Stetigkeit.
Definition 4.1 Sei D ⊂ R, f : D → R eine Funktion und a ∈ R. Man schreibt
lim f (x) = C,
x→a
falls für jede Folge (xn )n∈N , (xn ) ∈ D mit lim xn = a gilt:
n→∞
lim f (xn ) = C.
n→∞
f(x)
C
.
..
f(x 2 )
f(x 1 )
.
x1
x2
x
3
......
a
x
Definition 4.2 Für x ∈ R bezeichnet man mit bxc die eindeutig bestimmte ganze Zahl
n mit n ≤ x < n + 1.
Beispiel 4.1
24
Stetige Funktionen
1. lim exp(x) = 1
x→0
2. lim bxc existiert nicht!
x→1
linksseitiger Grenzwert 6= rechtsseitiger Grenzwert
4
11
00
00
11
00
11
00
11
3
2
11
00
00
11
00
11
.
00
11
1
1
2
3
4
3. Sei f : R → R ein Polynom der Gestalt f (x) = xk + a1 xk−1 + ... + ak−1 x + ak ,
Dann gilt: lim f (x) = ∞
x→∞
∞ , f alls k gerade
und
lim f (x) =
−∞ , f alls k ungerade
x→−∞
Beweis: für x 6= 0
a1 a2
ak
f (x) = xk (1 +
+ 2 + ... + k )
x {z
x}
|x
k ≥ 1.
=:g(x)
da lim g(x) = 0 folgt lim f (x) = lim x = ∞. Damit folgt der Satz.
k
x→∞
x→∞
x→∞
Anwendung: Das asymptotische Verhalten für x → ∞ von Polynomen ist immer durch die
höchste Potenz in x bestimmt.
Definition 4.3 (Stetigkeit)
Sei f : D → R eine Funktion und a ∈ D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
lim f (x) = f (a).
x→a
f heißt stetig in D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.
f(x)
f(a )
.
..
Für die abgebildete Funktion gilt
lim f (x) 6= a. Sie ist im Punkt a unx→∞
stetig.
f(x 2 )
f(x 1 )
x1
x2
x
3
......
a
x
4.1 Stetigkeit
25
Beispiel 4.2
1.) f : x 7→ c (konstante Funktion) ist stetig auf ganz R.
2.) Die Exponentialfunktion ist stetig auf ganz R.
3.) Die Identität f : x 7→ x ist stetig auf ganz R.
Satz 4.1 Seien f, g : D → R Funktionen, die in a ∈ D stetig sind und sei r ∈ R. Dann sind
f
in a
auch die Funktionen f + g, rf, f · g im Punkt a stetig. Falls g(a) 6= 0, ist auch
g
stetig.
Beweis: Sei (xn ) eine Folge mit (xn ) ∈ D und lim xn = a.
n→∞
zu zeigen :

lim (f + g)(xn ) = (f + g)(a) 

n→∞


lim (rf )(xn )
=
(rf )(a) 

n→∞
lim (f · g)(xn ) = (f · g)(a)  gilt wegen Rechenregeln f ür F olgen.
n→∞



f
f

lim ( )(xn )
=
( g )(a) 
n→∞ g
Definition 4.4 Seien A, B, C Teilmengen von R mit den Funktionen f : A → B und
g : B → C. Dann heißt g ◦ f : A → C, x 7→ g(f (x)) die Komposition von f und g.
Beispiel 4.3
1.)
f ◦ g(x) =
√
2.)
◦ sin(x) =
√
3.) sin ◦
(x) =
fp(g(x))
sin(x)
√
sin( x)
Satz 4.2 Sei f : A → B stetig in a ∈ A und g : B → C stetig in y = f (a). Dann ist auch
die Komposition g ◦ f stetig in a.
Beweis: zu zeigen: lim xn = a ⇒
n→∞
↑
lim f (xn ) = f (a)
n→∞
⇒
↑
lim g(f (xn )) = g(f (a)).
n→∞
Stetgk.v.g
Stetgk.v.f
Beispiel 4.4
x
ist stetig auf ganz R, weil f (x) = x2 , g(x) = f (x) + a
x2 + a
sind.
und
h(x) =
Satz 4.3 (ε − δ− Definition der Stetigkeit)
Eine Funktion f : D → R ist genau dann stetig in x0 ∈ D, wenn gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D
(|x − x0 | < δ
⇒
|f (x) − f (x0 )| < ε)
x
stetig
g(x)
26
Stetige Funktionen
f(x)
}
{
ε
f(x0) ε
δ xδ
x
0
f(x)
ε
2
1
=
2
1
.
x0
x
Satz 4.4 Sei f : [a, b] → R stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend) und A :=
f (a), B := f (b). Dann ist auch die Umkehrfunktion f −1 : [A, B] → R (bzw. [B, A] → R)
stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend).
Beispiel 4.5 (Wurzeln)
Sei k ∈ N, k ≥ 2. Die Funktion f : R+ → R+ , x 7→ √xk ist stetig und streng monoton
wachsend. Die Umkehrfunktion f −1 : R+ → R+ , x 7→ k x ist stetig und streng monoton
wachsend.
Für
k ungerade ist f (x) = xk sogar auf ganz R streng monoton wachsend und daher ist auch
√
k
x auf ganz R streng monoton wachsend.
4.1 Stetigkeit
27
f(x)
xk
k
x
x
Beispiel 4.6
Elektronische Schaltung f :
UI
f: R
UI
U0
−→ R
7−→ f (UI ) = U0
Problem 2 Ist es möglich UI so einzustellen, daß U0 exakt gleich Null wird?
Wenn ja, für welche(n) Wert(e) von UI wird U0 Null?
z.B.:
U0
UI
oder:
U0 = 0.31 · UI5 + 2.1 · UI2 − 4 · UI + 3.5 V olt
Satz 4.5 (Zwischenwertsatz)
Sei f : [a, b] → R stetig mit f (a) < 0 und f (b) > 0. Dann existiert ein p ∈ [a, b] mit f (p) = 0.
28
Stetige Funktionen
f(x)
f(x)
f unstetig, keine Nullstelle
b
a
a
x
b
x
Bemerkung: falls f (a) > 0, f (b) < 0 nehme man −f statt f und wende Zwischenwertsatz
an.
Beispiel 4.7
D=Q:
x 7→ x2 − 2 = f (x) f (1) = −1, f (2) = 2 aber es gibt kein p ∈ D mit f (p) = 0.
−
Corollar 4.1 Ist f : [a, b] → R stetig und y eine beliebige Zahl zwischen f (a) und f (b),
−
−
−
dann gibt es mindestens ein x∈ [a, b] mit f (x) =y .
f(x)
f(b)
y
f(a)
a
x
b
x
Bemerkung: Damit ist klar, daß jede auf [a, b] stetige Funktion jeden Wert im Intervall
[f (a), f (b)] annimmt.
Beweis des Zwischenwertsatzes: (konstruktiv)
Berechnung einer Nullstelle mit dem Intervallhalbierungsverfahren.
−
−
zu zeigen: Es gibt eine Folge (xn ), die gegen ein x konvergiert mit f (x) = 0.
zuerst die Intuition:
4.1 Stetigkeit
29
f(x)
a
1
a
0
x
b1
b
b2
a
2
0
b
3
a
3
b4
a
4
probieren geht, aber besser: systematisch suchen.
Konstruiere Folgen (an ), (bn ) mit
an + bn
a0 := a; b0 := b; mn :=
2
an falls f (mn ) > 0
mn
an+1 :=
bn+1 :=
mn falls f (mn ) < 0
bn
b−a
Es gilt: [a0 , b0 ] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ ... mit bn − an = n
⇒
2
für n → ∞
⇒ (an ) ist Cauchyfolge, (bn ) ist Cauchyfolge und lim
falls f (mn ) > 0
falls f (mn ) < 0
∀m ≥ n |am − an | ≤
b−a
→0
2n
−
n→∞
an = lim bn =:x
n→∞
Wegen f (an ) < 0 < f (bn ) und Stetigkeit von f folgt

−
lim f (an ) = f (x) ≤ 0 
n→∞
−
lim f (bn ) = f (x) ≥ 0 
−
f (x) = 0
n→∞
Beispiel 4.8
Nullstellenberechnung von f (x) = x2 − 2, d.h. näherungsweise Berechnung von
a0 = 0, b0 = 2
y
n
0
1
2
3
4
5
6
an
bn
mn
f (mn )
1
2
1.5
>0
1
1.5
1.25
<0
1.25
1.5
1.375
<0
1.375
1.5
1.4375
>0
1.375
1.4375
1.40625
<0
1.40625 1.4375
1.421875
>0
1.40625 1.421875 1.4140625
.
-2
Konvergenzgeschwindigkeit
a
b
2
x
√
2.
30
Stetige Funktionen
Sei δ0 = |a − b|, δn = |an − bn |
Berechnung der Nullstelle mit einer relativen Genauigkeit von m Kommastellen in k Schritten
!
δn = δ0 · 2−k = δ0 · 10−m ⇒ 2k = 10m ⇒ k · ln 2 = m · ln 10
k =m·
ln 10
= 3.322 · m
ln 2
für obiges Beispiel mit δ0 = 1 wird eine Genauigkeit von 8 Stellen nach d3.322 · 8 = 27e
Schritten erreicht.
Zusammenfassung: Intervallhalbierung ist
• einfach (zu programmieren)
• universell anwendbar (Stetigkeit)
−
• global konvergent (d.h. für jeden Startwert [a, b] mit a <x< b)
• stabil, d.h. unanfällig gegen Rundungsfehler
• langsam
4.2
Unstetigkeit
Definition 4.5 Man schreibt lim f (x) = c (lim f (x) = c), wenn für jede Folge (xn )
x&a
x%a
mit
x
>
a
(x
<
a)
und
lim
x
=
a
gilt:
lim
f (xn ) = c.
n
n
n
n→∞
n→∞
Man nennt lim f (x) (lim f (x)) den rechtsseitigen (linksseitigen) Grenzwert von f an
x&a
x%a
der Stelle x = a .
Satz 4.6 Eine Funktion ist stetig im Punkt a, wenn rechts– und linksseitiger Grenzwert
gleich sind und mit dem Funktionswert f(a) übereinstimmt.
Lemma 4.1 Eine Funktion ist unstetig im Punkt a, wenn der Grenzwert lim f (x) nicht
x→a
existiert.
Folgerung: Eine Funktion ist unstetig im Punkt a, wenn es zwei Folgen (xn ), (zn ) gibt mit
lim xn = lim zn = a und lim f (xn ) 6= lim f (zn ).
Beispiel 4.9
1. Sprung: lim f (x) = c1 6= c2 = lim f (x)
x%a
f (x) = x − n f ür
x&a
n−
1
2
≤x<n+
1
2
n∈Z
4.2 Unstetigkeit
31
f(x)
1
1
-2
.
.
-1
.
-
.
1
1
.
2
x
2
2. Polstelle: lim f (x) = ∞
x→x0
oder lim f (x) = −∞
x→x0
Beispiel: f (x) =
1
x2
3. Oszillationsstellen:
1
Die Funktion f (x) = sin ,
x
x 6= 0 ist unstetig im Punkt x = 0
1
sin(1/x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.5
Beweis:
⇒
sin
aber:
sei
1
=1
xn
sei
-1
-0.5
0
xn =
2
1
,
π =
n· 2
n·π
n∈N
⇒
lim xn = 0,
lim sin
n→∞
1
zn =
, n∈N
n·π
⇒
lim zn = 0,
n→∞
n→∞
→ Grenzwert nicht eindeutig, daher ist sin x1
1
=1
xn
1
=0
zn
unstetig.
lim sin
n→∞
0.5
1
1.5
32
Spezielle Funktionen
Bemerkung: Ist eine Funktion f stetig ∀x ∈ [a, b], dann gilt für jede konvergente Folge
(xn ) :
lim f (xn ) = f ( lim xn ).
n→∞
n→∞
Beweis: als Übung
Folgerung: Stetigkeit von f in x0 = lim xn bedeutet, daß f und lim vertauscht werden
n→∞
n→∞
dürfen.
5
Spezielle Funktionen
Funktionen
algebraische F.
transzendente F.
implizite
rationale F.
trigonometrische F.
exp, log
sonstige
algebraische F.
ganze
gebrochen
rationale F.
rationale F.
(Polynome)
5.1
Ganze rationale Funktionen (Polynome)
Definition 5.1 (Siehe auch Horner Schema)
n
X
Jede Funktion der Form f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn =
a k xk
k=0
wird Polynom oder ganze rationale Funktion genannt. Die Zahl n ist der Grad des Poly
noms.
Satz 5.1 Zwei Polynome sind gleich, gdw. alle Koeffizienten gleich sind, d.h.
(∀x
n
X
k=0
5.1.1
k
ak x =
n
X
k=0
Lineare Funktionen (n = 1)
Gerade y = ax + b
b k xk )
⇔
∀k
ak = bk
5.2 Polynome höheren Grades
33
.
P2
.
∆ y
P1
∆ y
∆ x
∆ x
Bestimmung der Koeffizienten aus zwei Punkten
gesucht: Gerade y = ax + b durch P1 = (x1 , y1 ) und P2 = (x2 , y2 )
y1 − y2
P1 : y1 = ax1 + b
⇒ a=
P2 : y2 = ax2 + b
x 1 − x2
b = y1 − ax1
y1 x1 − y1 x2 − y1 x1 + y2 x1
=
x1 − x2
x1 y2 − x2 y1
=
x1 − x2
Beispiel 5.1
gleichförmige Bewegung: Weg
5.1.2
s = s0 + v · t
Quadratische Funktionen
y = ax2 + bx + c
Beispiel 5.2
s = s0 + v · t + 12 at2
r
p
p2
2
Nullstellen: x + px + q = 0
x1,2 = − ±
−q
2
4
Bestimmung der Koeffizienten aus drei Punkten. ⇒ 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
beschleunigende Bewegung: Weg
5.2
Polynome höheren Grades
asymptotisches Verhalten:
a0 = 0, a 1 = 0
für x → ±∞
für x → 0
durch höchste Potenz bestimmt
durch kleinste Potenz bestimmt
a 0 = 0, a1 = 0
kleinste Potenz gerade
a0 = 0, a 1 = 0
kleinste Potenz ungerade
34
Spezielle Funktionen
Nullstellen
Satz 5.2 Fundamentalsatz der Algebra:
n
X
Jedes Polynom
ak xk mit an 6= 0 und ∀i ai ∈ R hat genau n Nullstellen x1 , ..., xn und
k=0
es gilt:
n
X
ak xk = an (x − x1 )(x − x2 ) · ... · (x − xn )
k=0
(Zerlegung in Linearfaktoren)
−
Satz 5.3 Komplexe Nullstellen treten immer in Paaren der Form (x − xk )(x− xk ) auf, d.h.
−
mit xk ist auch xk Nullstelle.
Folgerung: Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle. Lineare
Funktionen haben genau eine reelle Lösung.
5.2.1
Division von Polynomen
Beispiel 5.3
2x3 − 2.2x2 − 2.4x + 1.8 = 0
Die Nullstelle -1 ist bekannt. Andere Nullstellen?
2
(2x 3 - 2.2x 2 - 2.4x + 1.8) : (x + 1) = 2x - 4.2x + 1.8
2x 3 + 2x 2
-4.2x 2 - 2.4x
-4.2x 2 - 4.2x
1.8x + 1.8
1.8x + 1.8
0
0
Satz 5.4 Die Division eines Polynoms p(x) durch einen Linearfaktor (x − a) geht auf (ohne
Rest), gdw. a eine Nullstelle von p(x) ist.
5.3
Gebrochen rationale Funktionen
Definition 5.2 Der Quotient zweier Polynome
n
P
a k xk
k=0
m
P
b k xk
k=0
ist eine gebrochen rationale Funktion. Sie heißt echt gebrochen, wenn n < m und unecht
gebrochen, wenn n ≥ m.
5.4 Algebraische Funktionen / Relationen
35
Bemerkung: Jede unecht gebrochene rationale Funktion kann (evtl. mit Rest) dividiert
werden.
Ergebnis: Polynom + echt gebrochene rationale Funktion
Beispiel 5.4
7
x3 − 3x + 5
= x2 + 2x + 1 +
x−2
x−2
Asymptotisches Verhalten:
y
x3 - 3x + 5
x-2
x2 + 2x + 1
-1
2
x
-2.5
Lemma 5.1
1. für jede echt gebrochene rationale Funktion f gilt lim f (x) = 0.
x→±∞
2. für jede unecht gebrochene rationale Funktion f mit der Zerlegung f (x) = p(x)+e(x) in
Polynom p und echt gebrochene rationale Funktion e wird das asymptotische Verhalten
durch p bestimmt.
5.4
Algebraische Funktionen / Relationen
Definition 5.3 Jede Gleichung der Form
n
X
2
n
f (x, y) = p0 (x) + p1 (x) · y + p2 (x) · y + ... + pn (x) · y =
pk (x) · y k = 0
k=0
heißt algebraische Gleichung, deren Lösungsmenge {(x, y) | f (x, y) = 0} eine Relation
und gleichzeitig den Graphen von f (x, y) = 0 darstellt.
Beispiel 5.5
2x2 + 1 − y
=
x − y2
=
0 ⇔ y = 2x2 + √
1
y =
x
√
0 ⇔
y = − x
36
5.5
Spezielle Funktionen
Potenzfunktionen
m
y = c·xn
m, n ∈ Z
zugehörige algebraische Gleichung y n − cn xm = 0
y
y
y
m gerade
x
y
x
y
x n ungerade
y
m ungerade
x
y
x
y
x n gerade
y
m ungerade
x
m>n
x
m<n
x n ungerade
m/n negativ
m/n positiv
m und n teilerfremd
y=x
5.6
m/n
Quadratische Funktionen und deren Nullstellen: Kegelschnitte
Definition 5.4 Jede Funktion f : R × R → R der Form
f (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33
heißt quadratische Funktion.
Satz 5.5 Sei f eine quadratische Funktion. Die Nullstellenmenge {(x, y) | f (x, y) = 0}
ist ein Kegelschnitt, d.h. sie ist gleich der beim Schnitt eines Doppelkegels und einer Ebene
gebildeten Kurve. Umgekehrt können alle Kegelschnitte durch die Nullstellenmenge einer
quadratischen Funktion dargestellt werden.
5.6 Quadratische Funktionen und deren Nullstellen: Kegelschnitte
Kreis
37
Ellipse
Parabel
Hyperbel
Beispiel 5.6
1. Parabel y = ax2 + bx + c
(1)
y
.F
}c
x
2. Kreis um 0 mit Radius r
x2 + y 2 = r 2
(2)
y
r
y
x
x
x
y
3. Ellipse um 0 mit Halbachsen a und b ( )2 + ( )2 = 1
a
b
(3)
y
b
P
r1
r
}
}
e
e
2
a
x
38
Spezielle Funktionen
x
y
4. Hyperbel ( )2 − ( )2 = 1
a
b
b
y =± ·x
a
Asymptoten
5.6.1
(4)
Eigenschaften von Kegelschnitten
Kurve
Menge aller Punkte mit
Parabel:
gleicher Abstand von einer Geraden und einem Punkt F (Brennpunkt)
Ellipse:
Summe der Abstände r1 und r2 von zwei festen Punkten ist konstant:
r1 + r2 = 2a
Hyperbel:
Differenz der Abstände r1 und r2 von zwei festen Punkten ist konstant:
r1 − r2 = 2a
5.6.2
Klassifikation von Kegelschnitten
Nach Berechnung der Determinante
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23
a31 a32 a33
kann die Art des Kegelschnitts nach folgendem Schema (aus [2]) bestimmt werden.
D, D 11 , D 33 berechnen
D=0
nein
<0
ja
>0
D33
<0
=0
Hyperbel
=0
Parabel
2 sich schneidende
reelle Geraden
sgn D = sgn a11
nein
Ellipse
a 11= a 22
a 12 = 0
parallele
Geraden
ja
<0
nein
>0
D 33
ja
Kreis
komplexe
Kurve
reeller Schnittpunkt zweier
komplexer Geraden
>0
D 11
=0
reell und
verschieden
reell und
zusammenfallend
komplex
5.7 Trigonometrische Funktionen
39
Satz 5.6 Jeder Kegelschnitt kann durch eine Hauptachsentransformation (Drehung + Verschiebung) in eine der Formen (1),..,(4) gebracht werden .
5.7
Trigonometrische Funktionen
Definition 5.5 Für alle x ∈ R sei
∞
X
x2k+1
sin x :=
(−1)k
(2k + 1)!
k=0
∞
2k
X
k x
cos
x
:=
(−1)
(2k)!
k=0
sin x
tan x :=
cos x
Fig. 1
= x−
x3 x5 x7
+
−
+ −...
3!
5!
7!
= 1−
x2 x4 x6
+
−
+ −...
2!
4!
6!
x2
P=(x 1,x 2)
ϕ
x1
x2 Bogenlänge b
(r,0)
x1
Was ist ein Winkel?
anschaulich: Bruchteil einer vollen Umdrehung um den Ursprung.
Definition 5.6 Der Winkel x im Bogenmaß wird gemessen als x := b = Bogenlänge
r
Radius
Bemerkung:
1/4
Winkel x : π/2
1/2 1
π 2π
Umdrehung
360 · x
180
Definition 5.7 Der Winkel ϕ im Gradmaß wird gemessen als ϕ =
=
· x.
2π
π
Im folgenden werden Winkel immer im Bogenmaß angegeben.
Satz 5.7 Für die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0),
(x1 , 0), (x1 , x2 ) und dem Winkel x um den Ursprung (siehe Fig. 1) gilt:
x2
,
r
x1
cos x =
,
r
x2
tan x =
.
x1
sin x =
40
Spezielle Funktionen
y
1
π /2
0
π
3 π /2
2π
-1
Satz 5.8 Periodizität der Winkelfunktionen
Für alle n ∈ Z gilt:
sin (x + n · 2π) = sin (x),
cos (x + n · 2π) = cos (x),
tan (x + n · 2π) = tan (x).
Beweis: folgt aus vorhergehendem Satz
Satz 5.9 Symmetrie
Die Sinusfunktion (Cosinusfunktion) ist ungerade (gerade), d.h.
sin (−x) = − sin (x),
cos (−x) = cos(x)
ungerade Funktion:
gerade Funktion :
5.7.1
punktsymmetrisch zum Ursprung
achsensymmetrisch zur y - Achse
Rechenregeln für Winkelfunktionen
sin2 α + cos2 α = 1
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Spezialfälle:
Folgerungen:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = 2 cos2 α − 1
sin x +
cos x −
π
2
π
2
sin α + sin β
sin α − sin β
= cos x
= sin x
α+β
α−β
· cos
2
2
α+β
α−β
= 2 · cos
· sin
2
2
= 2 · sin
x
5.7 Trigonometrische Funktionen
5.7.2
41
Periodische Vorgänge
Physik: Zeit t, Winkelgeschwindigkeit ω =
y = a · sin (ωt + ϕ)
W inkel
,
Zeit
Amplitude a, Schwingungsdauer T
y
ϕ
ω
0
t
T
2π = ω · T
Frequenz f =
1
ω
=
T
2π
Beispiel 5.7
Überlagerung von Schwingungen (siehe Übungsaufgabe)
y = sin (ω1 t) + sin (ω2 t + ϕ)
ω1 + ω2
ϕ
ω1 − ω2
ϕ
= 2 · sin (
t + ) · cos (
t− )
2
2
2
2
Spezialfall: ω1 = ω2 (Interferenz)
ϕ
ϕ
y = 2 · sin (ωt + ) · cos ( )
2
2
⇒
Verstärkung bei ϕ =
0, 2π, 4π, ...
Auslöschung bei ϕ =
π, 3π, 5π, ...
Spezialfall: ω2 = ω1 + ε
ε ω1 , ϕ = 0
ε
ε
2ω1
· t + · t) · cos ( t)
2
2
2
ε
≈ 2 · sin (ω1 t) · cos ( t)
2
y = 2 · sin (
5.7.3
Umkehrfunktionen von sin, cos, tan
Satz 5.10 und Def. Die Funktion sin, (cos, tan) ist im Intervall [− π2 , π2 ] ([0, π], [− π2 , π2 ])
streng monoton wachsend (fallend, wachsend) und bildet dieses Intervall bijektiv auf [−1, 1]
42
Spezielle Funktionen
([−1, 1], R) ab. Die Umkehrfunktion
Π Π
arcsin : [−1, 1] → [− , ] heißt Arcus-Sinus
2 2
arccos : [−1, 1] → [0, Π] heißt Arcus-Cosinus
Π Π
arctan : R → [− , ] heißt Arcus-Tangens
2 2
π
π/2
-1
arcsin
1
arctan
1
-1
- π/2
- π/2
5.8
π/2
π/2 arccos
- π/2
Exponential- und Logarithmusfunktion
Die Exponentialfunktion exp x oder ex mit der Basis e ist schon bekannt. Für beliebiges
a > 0 und x ∈ R wird definiert
y = ax := exp(x · ln a).
Satz 5.11 Es gilt:
ax+y = ax · ay
Für n ∈ Z gilt:
an =


a · a · ... · a

 | {z }
f ür
n>0



f ür
f ür
n=0
n<0
n−mal
1
1
a·a·...·a
x y
(a ) = ax·y
Die Exponentialfunktion ax strebt für x → ∞ schneller gegen unendlich als jedes Polynom
p(x), d.h. für jedes Polynom existiert ein x0 , so daß für alle x > x0 gilt: ax > p(x).
Beispiel 5.8
Die Zahl der Blätter eines homogenen Baumes mit festem Verzweigungsfaktor b und Tiefe n beträgt bn . Dabei gilt für n ≥ 2, n ∈
N:
n−1
X
n
b >
bk
k=0
Definition 5.8 Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(x), bzw. ax heißt Lo
garithmusfunktion ln x bzw. loga x.
Differentialrechnung
43
Satz 5.12 Es gilt für jedes a > 0, b > 0:
log 2 (x)
ln x
logb x
=
ln a
logb a
loga (x · y) = loga (x) + loga (y)
loga (pn ) = n · loga p
ln(x)
loga x =
6
log10(x)
Differentialrechnung
Definition 6.1 Sei D ⊂ R. Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar im Punkt
x ∈ D, falls der Grenzwert
f (x + h) − f (x)
h
h→0
f 0 (x) = lim
h6=0
existiert. f 0 (x) heißt Differentialquotient oder Ableitung von f im Punkt x. Man schreibt
df (x)
statt f 0 (x).
auch
dx
f(x)
f(x+h)
f(x+h) - f(x)
f(x)
.
h
x
x+h
Beispiel 6.1
f :R→R
1. f (x) = c
f (x + h) − f (x)
h→0
h
c−c
=0
=
h
f 0 (x) = lim
2. f (x) = c · x
f 0 (x) = lim
h→0
= c
c · (x + h) − c · x
h
x
44
Differentialrechnung
3. f (x) = x2
(x + h)2 − x2
h→0
h
2
x + 2hx + h2 − x2
= lim
h→0
h
= 2x
f 0 (x) = lim
4. f (x) =
1
x
− x1
h→0
h
1 x − (x + h)
= lim (
)
h→0 h
x(x + h)
−1
=
x2
f 0 (x) = lim
1
x+h
5. f (x) = exp(x)
exp (x + h) − exp (x)
h→0
h
exp (h) − 1
= lim exp (x)
h→0
h
exp (h) − 1
= exp (x) ·
lim
h→0
|
{z h
}
exp0 (x) = lim
=1
Bew. mit Restgliedabschätzung
= exp (x)
6. f (x) = sin (x)
sin (x + h) − sin (x)
h→0
h
1
2x + h
h
) · sin )
= lim (2 cos (
h→0 h
2
2
h
sin
h
= (lim cos (x + )) (lim h 2 )
h→0
2 h→0 2
| {z }
sin0 (x) = lim
h
2 )=1
= lim ( h
h→0
h
= cos (lim (x + ))
h→0
2
= cos(x)
7. f (x) = cos (x)
cos0 (x) = − sin (x)
2
Differentialrechnung
45
Satz 6.1 Seien f, g : D → R differenzierbar in x und r ∈ R. Dann sind auch f +g, r·f, f ·g :
D → R in x differenzierbar und es gilt
(f + g)0 (x)
(rf )0 (x)
(f · g)0 (x)
f
( )0 (x)
g
= f 0 (x) + g 0 (x)
= rf 0 (x)
= f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=
g(x)2
(1)
(2)
(3)
(4)
Beweis: (1),(2) folgen direkt aus Regeln für Grenzwerte
(3):
(f · g)0 (x)
1
lim (f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x))
h
1
lim [f (x + h)(g(x + h) − g(x)) + (f (x + h) − f (x))g(x)]
h→0 h
f (x + h) − f (x)
g(x + h) − g(x)
lim f (x + h) ·
+ lim
· g(x)
h→0
h→0
h
h
f (x) · g 0 (x) + f 0 (x) · g(x)
=
h→0
=
=
=
↑
Stetigkeit von f
(4): Als Übung
Satz 6.2 Ist f : D → R in x0 differenzierbar , so ist f in x0 auch stetig.
Beweis: Sei (xn ) mit lim xn = x0 , xn 6= x0 .
f (xn ) − f (x0 )
Dann Dn =
−→ f 0 (x0 )
xn − x0
⇒ f (xn ) − f (x0 ) = Dn · (xn − x0 ) −→ f 0 (x0 ) · 0 = 0
⇒ lim f (xn ) = f (x0 )
⇒ f stetig.
für n → ∞
Beispiel 6.2
8. (xn )0 = n · xn−1 n ∈ N
Beweis: vollständige Induktion : n = 0, 1, 2 in Beisp. 1,2,3.
n→n+1:
(xn+1 )0 = x0 · (xn ) + x · (xn )0 = xn + x · n · xn−1 = (n + 1) · xn
9. (
1 0
) = −n · x−n−1
xn
10. 2.) und 1.)
⇒
n∈N
(xn )0 = n · xn−1
∀n ∈ Z.
Satz 6.3 (Kettenregel)
Sei g : D → E in x ∈ D differenzierbar und f : E → R in g(x) differenzierbar . Dann ist
auch f ◦ g in x differenzierbar und es gilt:
(f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
46
Differentialrechnung
Beweis:
f (g(x))0
=
=
↑
f (g(x + h)) − f (g(x))
h→0
h
f (g(z)) − f (g(x))
lim
z→x
z−x
lim
z := x + h
falls g(z) − g(x) 6= 0 :
(f (g(z)) − f (g(x)))(g(z) − g(x))
z→x
(g(z) − g(x)) · (z − x)
f (g(z)) − f (g(x))
g(z) − g(x)
= lim
· lim
z→x
z→x
g(z) − g(x)
z−x
0
0
= f (g(x)) · g (x)
f (g(x))0 = lim
falls g(z) − g(x) = 0 für alle 0 < h < ε ist g 0 (x) = 0
⇒
f (g(x))0 = 0 = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Beispiel 6.3
[(1 + (1 + x2 )12 )7 ]0 = 7 · (1 + (1 + x2 )12 )6 · 12(1 + x2 )11 · 2x
Schreibweise: Mit y = f (z), z = g(x) und
(wegen y = (f ◦ g)(x).))
dy
dy dz
⇒ Kettenregel:
=
·
dx
dz dx
dy
dy dz du
mehrfache Anwendung:
=
·
·
dx
dz du dx
dy
dz
dy
= f 0 (z),
= g 0 (x) wird (f ◦ g)0 (x) =
dz
dx
dx
Satz 6.4 Ableitung der Umkehrfunktion
Sei f : D → E, D, E ⊂ R stetig und streng monoton, surjektiv und in y ∈ D differenzierbar
mit f 0 (y) 6= 0. Dann ist die Umkehrfunktion f −1 : E → D in x = f (y) differenzierbar und
es gilt:
1
1
(f −1 )0 (x) = 0
= 0 −1
f (y)
f (f (x))
mit Differentialen:
dy
1
= dx .
dx
dy
Beweis: Sei (xn ) eine Folge aus E mit xn → x, xn 6= x. Mit yn = f −1 (xn ) erhält man
f −1 (xn ) − f −1 (x)
xn − x
=
=
−→
Beispiel 6.4
1
1
1
=
=
ln0 x =
exp0 (ln (x))
exp (ln (x))
x
yn − y
f (yn ) − f (y)
1
f (yn )−f (y)
yn −y
1
f 0 (y)
6.1 Kurvendiskussion
47
Satz 6.5 Mittelwertsatz
Ist f : [a, b] → R differenzierbar , so gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
y
f(x)
a
Folgerung: Insbesondere gilt: für f (b) = f (a) :
Rolle).
6.1
b
x
∃x0 ∈ (a, b) :
f 0 (x0 ) = 0
(Satz von
Kurvendiskussion
Funktion Interpretation
>0
=0
<0
f (x)
Funktionswert
Nullstelle
f 0 (x)
Steigung
str. mon. wachsend waagrechte Tangente str. mon. fallend
00
f (x)
Krümmung
Linkskurve
Wendepunkt
Rechtskurve
f 000 (x)
(wenn f 000 (x) 6= 0)
Schaubilder1 von Funktionen werden gerade von Ingenieuren viel verwendet. Um den wesentlichen Verlauf einer reellen Funktion zu überblicken und ihr Schaubild skizzieren zu können,
geht man zweckmäßig die folgenden Gesichtspunkte der Reihe nach durch.
6.1.1
Definitionsbereich
Zuerst bestimme man den Definitionsbereich einer vorgelegten Funktion f , die von einer
reellen Variablen abhängt. Da f (x) häufig formelmäßig gegeben ist, müß geprüft werden, für
√
1
welche reellen x der Foremlausdruck sinnvoll ist. (Für x muß z.B. x ≥ 0 sein, für muß
x
x 6= 0 sein usw.). Beschreibt x z.B. eine Länge, eine Masse oder eine absolute Temperatur,
so ist nur x ≥ 0 sinnvoll. Definitionsbereiche sind in Anwendungsbeispielen normalerweise
Intervalle oder Vereinigungen endlich vieler Intervalle.
6.1.2
Symmetrie
Man prüfe, ob f eine gerade Funktion (d.h. f (−x) = f (x)) oder ungerade Funktion
(d.h. f (−x) = −f (x)) ist (evtl. nach Nullpunktverschiebung“ x0 = x − x0 , y 0 = y − y0 ).
”
1
Die Ausführungen in den folgenden Unterkapiteln zum Thema Kurvendiskussion sind dem Buch [4]
entnommen.
48
Differentialrechnung
6.1.3
Nullstellen von f, f 0 , f 00
Man berechne die Nullstellen von f, f 0 und f 00 und bestimme so die Intervalle, in denen diese
Funktionen positiv bzw. negativ sind. Damit ist insbesonder klar, wo f
positiv bzw. negativ
(f (x) > 0 bzw.
f (x) < 0)
0
streng monoton wachsend bzw. fallend (f (x) > 0 bzw. f 0 (x) < 0)
streng konvex bzw.konkav
(f 00 (x) > 0 bzw. f 00 (x) < 0)
6.1.4
Extremstellen
Die Nullstellen von f 0 , zusammen mit den Vorzeichen von f 00 , liefern lokale Maxima und
Minima. Man vergesse nicht die Randpunkte des Definitionsbereiches. (In Punkten x mit
f 0 (x) = f 00 (x) = 0 sind Sonderuntersuchungen durchzuführen.)
6.1.5
Wendepunkte
Man bestimme die Wendepunkte von f . Als Wendepunkt bezeichnet man dabei jeden
Nulldurchgang“ x0 von f 00 (d.h. x0 ist Nullstelle von f 00 , und es gibt eine δ-Umgebung U
”
um x0 , in der links von x0 die Funktionswerte von f 00 ein anderes Vorzeichen haben als rechts
von x0 ). Eine hinreichende Bedingung für Wendepunkte x0 ist f 00 (x0 ) = 0 und f 000 (x0 ) 6= 0.
(f dreimal stetig differenzierbar vorausgesetzt.)
Beim Durchgang durch einen Wendepunkt wechselt die Funktion von streng konvexem
zu streng konkavem Verhalten, oder umgekehrt. Da f in einer Umgebung eines Wendepunktes nahezu eine Gerade ist, sind die Wendepunkte technisch oft wichtig (etwa bei
Federkennlinien oder Kennlinien von Verstärkern).
6.1.6
Pole, einseitige Grenzwerte
Ist x0 ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches, gehört aber nicht dazu, so bestimme man
lim f (x) und
x → x0
x>x0
lim f (x)
x → x0
x<x0
und entsprechend für f 0 , falls möglich. Gilt lim |f (x)| = ∞, so heißt x0 ein Pol von f (s.
x→x0
Abschnitt 1.6.8.). Man ermittle die Pole von f . Ist beispielsweise f (x) = g(x)/h(x), so sind
die Nullstellen x0 von h Pole, in denen g(x0 ) 6= 0 ist. Im Falle g(x0 ) = h(x0 ) = 0 versuche
man lim f (x) durch die de l’Hospitalschen Regeln zu gewinnen.
x→x0
6.1.7
Verhalten für große |x|, Asymptoten
Man versuche lim f (x) und lim f (x) zu bestimmen, falls möglich. Allgemeiner suche man
x→∞
x→−∞
nach einfachen“ Funktionen h mit
”
|f (x) − h(x)| → 0 f ür
x → ∞ bzw. x → −∞.
Jede solche Funktion h heißt eine Asymptote von f . In Abschnitt 2.2.1. ist dargestellt, wie
man Asymptoten von rationalen Funktionen berechnet. Die Asymptoten sind dabei
Polynome. Besonders interessant sind Geraden als Asymptoten. Eine Gerade als Asymptote
tritt genau dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms um höchstens 1 größer ist als der
des Nennerpolynoms.
6.1 Kurvendiskussion
49
Beispiel 6.5
Gegeben sei die Funktion
f (x) =
e−x/2 (x + 2)2
.
(x − 2)2 (x + 4)
Definitionslücken und Pole: bei x = −4, x = 2.
Symmetrien: keine
Nullstellen von f : Doppelte Nullst. bei x = −2.
Asymptot. Verhalten: limx→±∞ f (x) = 1/(x ex/2 ).
Graph von f :
10
7.5
5
2.5
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
-2.5
-5
-7.5
-10
Satz 6.6 (Regel von de l’Hospital)
Seien f und g auf (a, b) differenzierbare Funktionen, und sei g 0 (x) 6= 0 für x ∈ (a, b) und sei
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→b
x→b
oder
lim f (x) = lim g(x) = ±∞.
x→b
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→b g(x)
x→b g (x)
Dann gilt:
falls
f 0 (x)
x→b g 0 (x)
lim
x→b
lim
a<x<b
existiert. (für x → a gilt die analoge Aussage.)
Beispiel 6.6
1 − cos x
x2
Beweis: (nur für f (b) = g(b) = 0)
f (x)
f (x) − f (b)
= lim
x→b g(x)
x→b g(x) − g(b)
lim
=
(b)
lim f (x)−f
x−b
x→b
lim g(x)−g(b)
x−b
x→b
0
=
f (b)
g 0 (b)
50
Differentialrechnung
1 − cos x
=?
x→0
x2
Problem 3 z.B. für Kurvendiskussion:
lim
1 − cos x
=?
x→0
x
lim
mit Regeln von de l’Hospital:
1 − cos x
sin x
= lim
2
x→0
x→0 2x
x
cos x
= lim
x→0
2
1
=
2
lim
aber
1 − cos x
sin x
= lim
x→0
x→0 1
x
= 0
lim
1 − cos x
sin x
= lim
3
x→0
x→0 3x2
x
cos x
= lim
x→0 6x
= ∞
lim
ex − 1
ex
lim
= lim
x→0
x→0 1
x
= 1
6.2
Lokale Extrema
Satz 6.7 Sei f differenzierbar auf einem offenen Intervall (a, b), dann gilt
f 0 (x0 ) = 0 (notwendige Bedingung für
1. hat f in x0 ∈ (a, b) ein Extremum, so gilt:
ein Extremum)
2. wenn für x0 ∈ (a, b) gilt:
Extremum.
f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) 6= 0, so hat f in x0 ein lokales
> 0 : M inimum
00
f (x0 )
< 0 : M aximum
f(x)
f(x)
lokales Max. / Min.
globales Max.
.
f’(x) = 0
f’’ < 0
.
a
globales Min.
f’’ > 0
b
x
a
b
x
6.2 Lokale Extrema
6.2.1
51
Anwendungen:
1. Bei welchem Seitenverhältnis a/b hat ein Rechteck mit festem Umfang maximale Fläche
?
Fläche F = a · b =
a+b=
a 2
· b = x · b2
b
U
2
F =a·b=a·(
U
U ·a
− a) = −a2 +
2
2
F 0 (a) = −2a +
U
=0
2
2a =
U
2
a=
U
4
b=
U
4
2. Bei welcher mittleren Geschwindigkeit ist der (Grenz-)Durchsatz einer einspurigen
Straße maximal?
l
d
Durchsatz:
D=
v
d
d = d(v)
b(v) =
d(v) = l + b(v) + v · tr tr
=
Bremsweg b(v): Energiesatz :
Fb · b(v) = m · a · b(v)
1 2
mv
=
2
v2
b(v) =
2a
Messung
für konstanten Abstand d wächst der Durchsatz linear mit der Geschwindigkeit v.
Bremsweg
Reaktionszeit
Bremsenergie = kinetische Energie
a = Bremsverzögerung
52
Differentialrechnung
⇒
v2
+ v · tr + l
2a
v
D(v) = v2
+ v · tr + l
2a
d(v) =
0
D (v) =
=
v2
2a
l + vtr +
− v · (tr + av )
2
v
( 2a
+ vtr + l)2
l−
v
l
v2
2a
2
v
( 2a
+ vtr + l)2
v
!
⇒
vopt
= 0
√
=
2·l·a
2la
Beispiel 6.7
l = 5m,
⇒
vopt
a = 0.6g ≈ 6 sm2
q
2
= 60 ms2 ≈ 7.75 ms ≈ 27.9 km
h
vopt ≈ Geschwindigkeit bei zähfließendem Verkehr, d.h. bei sehr hohem Verkehrsaufkommen!
6.3
Das Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen
y
f (x) = 0
x3
x2 x1
Tangente g(x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
Bestimmung von x1 : g(x1 ) = 0
⇒
f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x1 − x0 ) = 0
f (x0 )
⇔
x1 = x0 − 0
f (x0 )
f (xn )
f 0 (xn )
falls (xn ) konvergiert und f stetig differenzierbar mit f 0 (x) 6= 0 gilt für
Bestimmung von xn+1
xn+1 = xn −
−
lim xn = x
n→∞
−
−
x = x−
−
f (x)
−
f 0 (x)
⇒
−
f (x) = 0
x0
x
6.3 Das Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen
53
(xn ) konvergiert nicht immer:
f(x)
x
x0
1
x
Satz 6.8 Sei f : [a, b] → R zweimal differenzierbar und konvex (Linkskurve) mit f (a) < 0
und f (b) > 0. Dann gilt:
−
−
a) Es gibt genau ein x∈ (a, b) mit f (x) = 0
b) Ist x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) ≥ 0, so ist die Folge
xn+1 := xn −
f (xn )
f 0 (xn )
−
wohldefiniert und konvergiert monoton fallend gegen x.
−
c) Gilt f 0 (x) ≥ C > 0 und f 00 (x) ≤ K für alle x ∈ (a, b), so gilt für jedes n ≥ 1:
−
|xn+1 − xn | ≤ | x −xn | ≤
K
|xn − xn−1 |2
2C
(quadratische Konvergenz).
Bemerkung:
1.) Der Satz gilt analog, falls f konkav (Rechtskurve) ist oder f (a) > 0 und f (b) < 0 gilt.
2.) Aus c) folgt, daß sich in jedem Iterationsschritt die Zahl der gültigen (festen) Stellen
verdoppelt.
Beispiel 6.8
Wurzelberechnung
!
f (x) = x2 − a = 0
xn+1
x2 − a
= xn − n
2xn
1
a
=
xn +
2
2xn
1
a
=
(xn + )
2
xn
siehe auch Beispiel 4.8 auf Seite 29.
a=2:
xn
n
0
2
1
1.5
2 1.41666
3 1.4142156
4 1.4142135
54
7
Integralrechnung
Integralrechnung
Ziel; Flächeninhalt beliebig geformter Flächen
f(x)
a
x
b
Voraussetzungen an f ? stetig?, beschränkt,...
sei f beschränkt, f : [a, b] → R
f(x)
Mn
M2
mn
M3
M1
m2
m1
m3
x 0 =a x1
x2
x3
xn-1 b=x n x
sei ∆xk = xk − xk−1 , Ik = [xk−1 , xk ]
wähle Folge von Intervalleinteilungen mit
lim max{∆xk | k = 1, ..., n} = 0,
n→∞
(d.h.max{∆xk | k = 1, ..., n} −→ 0)
Da f beschränkt ist, gibt es für jedes Intervall Ik eine größte untere Schranke mk und eine
kleinste obere Schranke Mk mit mk ≤ f (x) ≤ Mk für x ∈ Ik
Obersumme :
U ntersumme :
So (x0 , ..., xn ) =
Su (x0 , ..., xn ) =
n
X
k=1
n
X
Mk ∆xk
mk ∆xk
k=1
Es gilt:
Su (x0 , ..., xn ) ≤ So (x0 , ..., xn )
(1)
Bei feiner Unterteilung von [a, b] wächst Su und So fällt. (Warum?) Mit (1) ist die Folge der
Su , bzw. So monoton beschränkt. Daraus folgt für n → ∞
Su (x0 , ..., xn ) ≤ So (x0 , ..., xn )
|
{z
} |
{z
}
↓
↓
Su∗
So∗
wenn :
max{∆xk | k = 1, ..., n}
|
{z
}
↓
0
Integralrechnung
55
Su∗ = größte untere Schranke von Su So∗ = kleinste obere Schranke von So .
Definition 7.1 (Riemann-Integral)
Sei f : [a, b] → R beschränkt. Gilt Su∗ = So∗ =: S ∗ , so heißt f integrierbar und der Wert
∗
S heißt das Integral von f auf [a, b]. Man schreibt:
Zb
S ∗ = f (x) dx.
a
Beispiel 7.1
√
f (x) = x x ∈ [0, a]
k2
xk = 2 · a
k = 1, 2, ..., n
n
f(x)
a
∆xk = xk − xk−1 =
a
(2k − 1),
n2
Mk = f (xk )
x1
So (x0 , ..., xn )
=
=
=
=
=
=
−→
n→∞
=
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
x2
x3
a
Mk ∆xk
f (xk ) · ∆xk
√
k a
· 2 (2k − 1)
n
n
k=1
√ n
n
X
X
a3
2
2
·
k
−
k
n3
k=1
k=1
√ 3
a n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) −
3
3
2
√n
3
a n(n + 1)(4n − 1)
·
n3
6
2√ 3
a
3
2 √
a· a
3
a·
x
56
Integralrechnung
Satz 7.1 Ist f : [a, b] → R stetig, so ist f integrierbar auf [a, b].
Beweisidee: Aus der Stetigkeit folgt Mk − mk −→ 0 für feine Unterteilung. Damit Su −
So −→ 0 ⇒ Su∗ = So∗ .
Satz 7.2 Ist f in [a, b] überall bis auf abzählbar viele Stellen stetig und beschränkt, so ist f
integrierbar.
7.1
Eigenschaften, bzw. Rechenregeln des bestimmten Integrals
Satz 7.3 Sind f : [a, b] → R und g : [a, b] → R integrierbar, so gilt:
Zb
1.
[c1 f (x) + c2 g(x)] dx = c1
a
f (x) dx + c2
Zc
f (x) dx =
a
g(x) dx
a
a
Zb
2.
Zb
Zb
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx
c
a
Zb
b
Za
f (x) dx = −
3.
c
a
f (x) dx
b
4. Mit m ≤ f (x) ≤ M für x ∈ [a, b] gilt
Zb
m(b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b − a)
M
m
a
a
Zb
Zb
5. Gilt f (x) ≤ g(x) für x ∈ [a, b], so gilt:
f (x) dx ≤
a
a
g(x) dx
a
Zb Zb
6. Für a, b gilt f (x) dx ≤ f (x) dx
a
b
sin(x)
a
b
(Dreiecksungleichung)
Satz 7.4 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Ist f : [a, b] → R stetig, so existiert (mindestens) ein xm ∈ [a, b] mit
Zb
f (x) dx = f (xm )(b − a)
a
7.2 Das unbestimmte Integral
57
f(x)
f(x m )
a
xm
b
Definition 7.2 Sei f : [a, b] → R integrierbar. Dann heißt
Rb
f (x) dx
a
M (f, a, b) =
b−a
der Mittelwert der Funktion f im Intervall [a, b].
n
P
Bemerkung: Arithmetisches Mittel:
A(y1 , ..., yn ) =
yi
i=1
n
Beispiel 7.2
M (sin2 (x), 0, 2π) =
7.2
1
2
2
sin (x)
sin(x)
Das unbestimmte Integral
Definition 7.3 Eine Funktion F : [a, b] → R heißt Stammfunktion von f : [a, b] → R,
gdw. F 0 = f .
Beispiel 7.3
Funktion f (x)
x2
∧
Stammfunktion F (x)
x3
,
3
x3
+5
3
cos x
sin x + c
ex
ex + c
Suchen einer Stammfunktion = Umkehrung der Differentiation.
58
Integralrechnung
Ziel: Wir wollen zeigen, daß die Integration die Umkehrung der Differentiation ist.
f(x)
Zb
Aber:
f (x) dx ist eine Zahl, keine Funktion!.
a
&
Fläche
a
x
b
Lösung:
f(x)
variable Obergrenze
a
Zx
G(x) :=
x
f (t) dt
x
a
f(t) dt
a
a
x
Satz 7.5 (Hauptsatz der (Differential- und) Integralrechnung)
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist die Funktion F : [a, b] → R definiert durch
Zx
f (t) dt x ∈ [a, b]
F (x) :=
a
eine Stammfunktion von f , d.h. es gilt F 0 (x) = f (x) für x ∈ [a, b].
Beweis: zu zeigen:
1.) F ist wohldefiniert
2.) F 0 (x) = f (x)
zu 1.) f ist auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, daher ist f auf [a, b] beschränkt
Zx
und nach Definition des Riemann-Integrals ist daher
f (t) dt ∈ R, d.h. endlich für jedes
x ∈ [a, b].
a
7.2 Das unbestimmte Integral
59
zu 2.)
F (x + h) − F (x)
h→0
h
x+h
Z
Zx
i
1h
= lim
f (t) dt − f (t) dt
h→0 h
F 0 (x) = lim
a
a
x+h
Z
Za
i
1h
= lim
f (t) dt + f (t) dt
h→0 h
a
x
x+h
Z
1
f (t) dt
= lim
h→0 h
x
1
= lim · (h · f (x + θ · h)) f ür
h→0 h
= lim f (x + θ · h)
0<θ<1
h→0
= f (x)
.
x
x+θ . h
x+h
Folgerung: Sei f : [a, b] → R stetig und F Stammfunktion von f . Dann gilt:
Zb
b
f (x) dx = F (b) − F (a) =: F (x) a
a
Praktische Berechnung von Integralen.
Zx
Beweis: F (x) = f (t) dt + c,
c = const.
a
⇒
F (a) = c,
Zb
F (b) =
Zb
⇒
F (b) − F (a) =
f (t) dt + c
a
f (t) dt
a
Beispiel 7.4
Zπ
π
sin x dx = − cos x 0 = 1 + 1 = 2
0
60
Integralrechnung
Definition 7.4 Sei F eine Stammfunktion von f , dann schreibt man
Z
f (x) dx := F (x) (unbestimmtes Integral).
Z
Damit gilt auch
f (x) dx = F (x) + c für jedes c ∈ R.
Beispiel 7.5
Z
xn+1
+ c n 6= −1,
n+1
Z
Z
dx
1
dx =
= ln |x| + c
2.
x
x
Beweis: für x > 0 : klar
xn dx =
1.
für x < 0 :
c = const.
(ln |x|)0 = (ln (−x))0 =
Z
1
1
(−1) =
−x
x
ex dx = ex + c
3.
Z
4.
cos x dx = sin x + c
Z1
5.
1
ex dx = ex + c 0 = e + c − 1 − c = e − 1 ≈ 1.71
⇒
Bei bestimmten Integralen
0
kann immer c = 0 benutzt werden.
Z
Zx
0
6.
f (x) dx = f 0 (x) dx + c = f (x) − f (a) + c = f (x) + d
a
Z
7.
f (x) dx
0
Zx
=
0
f (x) dx + c = F 0 (x) − F 0 (a) = F 0 (x) = f (x)
a
7.3
7.3.1
Rechenregeln für die Integration
Partielle Integration (Produktregel)
⇒
Zb
bestimmtes Integral:
a
Beispiel 7.6
(f · g)0 = f 0 g + f g 0
Z
Z
0
f g dx = f g − f 0 g dx
b
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) a −
Zb
a
f 0 (x)g(x) dx
7.3 Rechenregeln für die Integration
61
1.
Z
Z
x · e dx = x · e −
x
x
ex dx
g0
f
= ex (x − 1)
2.
Z
Z
x · e dx = x e − 2
2
f
2 x
x
xex dx
g0
= x2 ex − 2ex (x − 1)
= ex (x2 − 2x − 1)
3.
π
π
Z2
π
2
Z2
x · sin x dx = [−x · cos x]0 −
f
0
g0
− cos x dx
0
π
= [−x cos x + sin x]02
= 0+1+0+0=1
Merkregel: f soll sich beim differenzieren vereinfachen, g soll beim integrieren nicht viel
komplizierter werden.
7.3.2
Substitution (Variablentransformation)
Satz 7.6 Sei f stetig und ϕ differenzierbar . Dann gilt:
Z
Z
f (ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt
f (x) dx =
mit x = ϕ(t)
andere Schreibweise:
Z
Z
f (x) dx =
f (ϕ(t)) ·
dx
dt mit x = ϕ(t)
dt
bestimmtes Integral:
Zϕ(b)
Zb
f (x) dx = f (ϕ(t)) · ϕ0 (t) dt.
ϕ(a)
Beispiel 7.7
Z
1.
f (ax + b) dx a 6= 0
a
62
Integralrechnung
Substitution: ax + b = t
⇔
x=
t−b
a
dx
1
=
dt
a
Z
⇒
Z
f (t) ·
=
f (ax + b) dx
↑
1
· dt
a
Subst.
F (t)
a
=
↑
Integr.
F (ax + b)
a
=
↑
Subst. rückgängig machen
2. aus 1. folgt:
3.
Z
Z
dx
1
= · ln |ax + b|
ax + b
a
Z
ln x
dx
x
=
↑
x = eu , u = ln x
u u
· e du
eu
Z
=
u du
u2
2
(ln x)2
2
=
=
4.
Z √
ln x
dx
x
Z √
=
Z
=
↑
√
ln t
dt
t
x dx
x = ln t
=
=
7.4
2 3
x2
3
3
2
(ln t) 2
3
Partialbruchzerlegung
Berechnung von Stammfunktionen gebrochen rationaler Funktionen.
Beispiel 7.8
Z
Z
3x4 − 9x3 + 3x2 − 17x + 8
f (x) dx =
dx =?
x3 − 3x2 − x + 3
7.4 Partialbruchzerlegung
63
1. Division
3x4 − 9x3 + 3x2 − 17x + 8 : (x3 − 3x2 − x + 3) = 3x
3x4 − 9x3 + 3x2 + 9x
+ 6x2 − 26x + 8
Z
Z
Z
6x2 − 26x + 8
⇒
f (x) dx =
3x dx +
dx
x3 − 3x2 − x + 3
Z
3 2
6x2 − 26x + 8
=
x +
dx
2
x3 − 3x2 − x + 3
2. Nullstellen des Nenners
x3 − 3x2 − x + 3 = (x − 1)(x + 1)(x − 3)
3. Zerlegung in Partialbrüche
Ansatz:
6x2 − 26x + 8
C1
C2
C3
=
+
+
(x − 1)(x + 1)(x − 3)
x−1 x+1 x−3
C1 (x + 1)(x − 3) + C2 (x − 1)(x − 3) + C3 (x − 1)(x + 1)
=
(x − 1)(x + 1)(x − 3)
2
C1 (x − 2x − 3) + C2 (x2 − 4x + 3) + C3 (x2 − 1)
=
(x − 1)(x + 1)(x − 3)
2
x (C1 + C2 + C3 ) − x(2C1 + 4C2 ) + (−3C1 + 3C2 − C3 )
=
(x − 1)(x + 1)(x − 3)
Koeffizientenvergleich führt zu linearem Gleichungssystem:
C1
C1
−3C1
(1) + (3): −2C1
(2):
C1
in (2):
in (1):
+C2
+2C2
+3C2
+4C2
+2C2
4C2
C2
+C3
−C3
C1
C3
=
=
=
=
=
=
=
=
=
6 (1)
13 (2)
8 (3)
14
13
20
5
3
-2
4. Integration der Partialbrüche
Z
Ci
dx = Ci · ln |x − xi |
x − xi
Z
Z
Z
3
5
−2
⇒
dx +
dx +
dx = 2 ln |x − 1| + 5 ln |x + 1| − 2 ln |x − 3|
x−1
x+1
x−3
(x − 1)3 (x + 1)5 = ln (x − 3)2
Z
=
f (x) dx
64
Integralrechnung
7.5
Allgemeines Verfahren
1. Wenn f (x) unecht gebrochen rational ist, dann Zerlegung von f (x) in Summe aus
Polynom und echt gebrochen rationaler Funktion durch Division
2. Nullstellen des Nennerpolynoms berechnen
3. Zerlegung in Partialbrüche
je nach Art der Nullstellen aus 2.) versch. Ansatz:
(a) einfache reelle Nullstellen x1 , ..., xn
f (x) =
Cn
C1
+ ... +
x − x1
x − xn
(b) mehrfache reelle Nullstelle x1 (n-fach)
f (x) =
d2
d1
dn
+
+
...
+
x − x1 (x − x1 )2
(x − x1 )n
(c) zwei komplexe Nullstellen x1 , x2 :
Zerlegung nur bis in quadratische Terme der Form :
ai x + b
x 2 + pi x + q
(d) mehrfache komplexe Nullstellen:
schwierig ( → Bronstein, Computeralgebrasyst.)
4. Integration der Partialbrüche
Z
Ci
(a)
dx = Ci ln |x − xi |
x − xi
Z
di
−di
(b)
dx =
k
(x − xi )
(k − 1)(x − xi )k−1
Z
ai x + b
(c)
dx = siehe Bronstein
2
x + pi x + q
7.6
Numerische Integration
sehr wichtig, aber analytisch (symbolische) Integration immer vorzuziehen, wenn möglich.
7.6.1
Die Trapezregel
h
a=x 0
x 1........ x i-1
x i ........ xn =b
x
7.7 Uneigentliche Integrale
65
äquidistante Zerlegung von [a, b] durch x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, ..., xn = a · n · h = b
(b − a)
Schrittweite: h =
h
Zxi
f (x) dx ≈ h ·
Näherung:
f (xi−1 ) + f (xi )
2
xi−1
(Fläche des schraffierten Trapezes)
Es folgt:
Satz 7.7 (Trapezregel)
Sei f : [a, b] → R zweimal stetig differenzierbar . Dann gilt
Zb
a
mit
f (x) dx = h ·
|
f (x0 )
f (xn ) + f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn−1 ) +
+δ
2
2 }
{z
T (h)
|δ| ≤ (b − a)
M2 2
h
12
mit
M2 = max{|f 00 (x)| : x ∈ [a, b]}
Bemerkung: Bei Halbierung von h(h → h2 ) verdoppelt sich der Rechenaufwand (2n Funkδh
tionsauswertungen), wobei sich der Fehler um den Faktor 4 verringert: δ h ≈
2
4
Beispiel 7.9
Z1
ex dx
zu berechnen:
0
1/2
1
T
=
2
1
=
T
4
1
x
1
e0
e1 1 1
e
2
+e +
=
+ 1.6487 +
= 1.7539
2
2
2 2
2
e
1
+ 1.2840 + 1.6487 + 2.1170 +
= 1.7272
2
2
Z 1
1
1
h
2
4
exakter Wert:
ex dx ≈ 1.7182818
δ
0.036
0.089
0
7.7
1
2
1
4
Uneigentliche Integrale
Das bestimmte Integral ist nur für endliche abgeschlossene Intervalle und beschränkte Integranden definiert. Daher ist das Integral in folgendem Beispiel nicht definiert.
Beispiel 7.10
Z∞
e−x dx =?
0
66
Integralrechnung
1
x
Definition 7.5
Z∞
Zt
f (x) dx := lim f (x) dx,
t→∞
a
0
Z∞
Zt
f alls
lim
f (x) dx
t→∞
existiert.
0
e−x dx = lim
Zt
t→∞
0
e−x dx
0
= lim [−e−x ]t0
t→∞
= lim (1 − e−t ) = 1
t→∞
Beispiel 7.11
Z1
dx
√
=?
1−x
0
Definition 7.6 Ist f : [a, b] → R integrierbar auf [a, t] mit t < b, aber lim f (x) = ∞,
x→b
x<b
so sei:
Zb
Zt
Zb
f (x) dx = lim f (x) dx f alls lim f (x) dx existiert.
t→b
t→b
t<b a
t<b a
a
7.7 Uneigentliche Integrale
67
zu Beispiel 7.11:
Z
dx
√
1−x
Z
−
=
↑
Subst. 1 − x = u
ϕ(u) = x = 1 − u
=
=
↑
du
√
u
1
√
−2 u
√
−2 1 − x
Resubst.
1
Z1
0
dx
√
=
1−x
Zt
dx
t→1
1−x
t<1 0
√
= lim [−2 1 − x]t0
lim
t→1
t<1
=
√
√
lim (−2 1 − t + 2)
t→1
t<1
= 2
x
68
LITERATUR
Literatur
[1] G. Berendt and E. Weimar. Mathematik für Physiker. VCH Verlagsgesellschaft, Weinheim, 1983. Sehr gut verständliche Erklärungen, trotzdem nicht unexakt. Evtl. eine
gute Alternative zu [2].
[2] W. Brauch, J. Dreyer, and W. Haacke. Mathematik für Ingenieure. Teubner-Verlag,
Stuttgart, 1990. Leicht verständlich, viele Beispiele.
[3] I. N. Bronstein and K. A. Semendjajew. Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch,
Thun, Frankfurt, 1981. Das Standardnachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
[4] K. Burg, H. Haf, and F. Wille. Höhere Mathematik für Ingenieure, Band 1: Analysis. Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989. Ähnlich wie [2], jedoch noch ausführlicher, gute
Erklärungen ohne Verluste an Exaktheit. Die Vorlesung wird sich im Wesentlichen an
diesem Buch orientieren.
[5] Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, and Wolfgang Thomas. Einführung in die mathematische Logik. BI-Wiss.-Verl., 1992.
[6] E. Löhmann. Schule des Denkens, oder Wie führe ich einen Beweis, 2007.
[7] O. Forster. Analysis 1. Vieweg Verlag, Braunschweig, 1980. Behandelt den gleichen
Stoff wie die anderen Bücher, jedoch etwas abstrakter. Enthält alle Beweise.
[8] K. Läuger. Mathematik kompakt. Oldenbourg Verlag, München, 1992. Zur Vorbereitung
auf das Hochschulstudium mit vielen Beispielen und Aufgaben.
[9] L. Papula. Mathematik für Ingenieure 1. Vieweg Verlag, Braunschweig, 1991. Ähnlich
wie [2], teilweise gute anschauliche Erklärungen, manchmal aber etwas unexakt.
[10] George Pólya. Schule des Denkens — Vom Lösen mathematischer Probleme. Francke
Verlag, 1995.
[11] F. Reinhardt and H. Soeder. dtv–Atlas zur Mathematik (Band 1: Grundlagen – Algebra
und Geometrie, Band 2: Analysis und angewandte Mathematik). Deutscher Taschenbuchverlag, München, 1977. Umfassende Darstellung der gesamten Mathematik mit
allen wichtigen Teilgebieten. Viele, didaktisch gut ausgewählte Beispiele.
[12] W. Schäfer and K. Georgi. Mathematik–Vorkurs. Teubner-Verlag, Stuttgart, 1994.
Gutes Buch zum Auffrischen und Üben der verschiedenen für das Abitur benötigten
Rechentechniken.
[13] Uwe Schöning. Logik für Informatiker. Spektrum Akad. Verl., 1995.
[14] S. Wolfram. Mathematica, A System for Doing Mathematics by Computer. Addison
Wesley, 1991. Das Standardwerk des Mathematica-Entwicklers. Daneben gibt es viele
andere Bücher über Mathematica.