Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1
Grundlagen. Diskrete Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
2
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1
2.2
2.3
2.4
3
Algebra der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Geometrie und Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Binäre Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Algebraische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Codierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Ebene Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Sphärische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Vektoren in der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Ebene analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Analytische Geometrie des Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lineare Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Eigenwerte. Diagonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6
5
Inhaltsverzeichnis
Die elementaren Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Logarithmus, Exponentialfunktion, Potenzen und
hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Trigonometrische und Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
115
116
Differentialrechnung (Eine reelle Variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
6.1
6.2
6.3
6.4
Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Monotonie. Extremwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
130
132
135
7
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Anwendungen von Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . .
7.4 Tabelle von unbestimmten Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Tabelle von bestimmten Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
137
142
144
149
174
8
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spezielle Summen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
l80
181
183
185
188
Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGLn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
Allgemeine Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen l. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Autonome Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
199
200
204
211
215
10 Mehrdimensionale Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
6
9
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
n
Der Raum R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen. Tangentialebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Extremstellen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
122
217
218
219
220
223
225
Inhaltsverzeichnis
10.7
10.8
10.9
10.10
7
Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vertauschung von Grenzprozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
230
234
240
11 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
11.1
11.2
11.3
11.4
Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
244
249
252
12 Orthogonalreihen. Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
Orthogonale Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orthogonale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bernoulli- und Euler-Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bessel-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Durch Integrale erklärte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sprung- und Impulsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funktionalanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lebesgue-Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) . . . . . . . . . . . . . . . .
255
259
265
266
283
293
294
299
304
13 Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
Trigonometrische Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamische Systeme (LTI-Systeme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hankel- und Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
311
320
322
325
333
336
14 Komplexe Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
Funktionen einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nullstellen und Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
342
344
345
346
15 Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
15.1
15.2
15.3
15.4
Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtlineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dynamische Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
361
365
367
8
Inhaltsverzeichnis
16 Numerische Mathematik und Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
369
Approximationen und Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Lösung von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Integration und Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Lösung von DGLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Programmieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
370
376
382
390
399
402
17 Wahrscheinlichkeitstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmen zur Berechnung von Verteilungsfunktionen . . . . . . .
Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wartesysteme (Bedienungstheorie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zuverlässigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
416
421
425
427
431
434
441
18 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
18.10
18.11
Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabellen für Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verteilungsfreie Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistische Qualitätskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Faktorielle Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse von Lebens- und Ausfallzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wörterbuch der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
461
470
473
477
483
489
494
500
504
507
508
19 Verschiedenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
Griechisches Alphabet, mathematische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berühmte Zahlen, physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verwendete Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Englische Abkürzungen der Informatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
512
513
516
525
526
528
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
529
Namen- und Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
533