Algebra, ET/IT WS 2015/2016 Aufgaben zur

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. H. Dathe
Algebra, ET/IT
WS 2015/2016
Aufgaben zur Wiederholung
1. Gegeben sind die komplexen Zahlen
z1 = j +
1+j
3+j ,
z2 = (1 + j)4 .
a) Bestimmen Sie den Betrag von z1 und das Argument von z2 .
b) Geben Sie das Produkt z1 · z2 in arithmetischer Form an.
2. Es seien u = −2 + 2i und v = −4 + 3i. Geben Sie u in trigonometrischer Darstellungsform
an.
Berechnen Sie u · v, uv und u10 !
3. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a)
z 4 = −i ,
b)
z 3 = 3 + 4i .
Skizzieren Sie die Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene.
4. Von einer komplexen Zahl z sind bekannt : ϕ = arg(z) =
Sie z in trigonometrischer und kartesischer Form an.
π
6
sowie Re(z) =
√
3
. Geben
5. Es seien die Vektoren p~ = (3, 2, −2)T und ~q = (−2, 4, 1)T gegeben.
a) Berechnen Sie die Länge der Projektion des Vektors p~ auf die Richtung von ~q.
b) Ermitteln Sie einen Vektor ~n mit |~n| = √
14, der senkrecht auf p~ und ~q steht.
c) Für welche reelle Zahl λ gilt |~
p + λ~q| = 38 ?
6. Bestimmen Sie den Punkt P der x-Achse, der von den Punkten A = (2, −4, 5) und
B = (−3, 2, 7) den gleichen Abstand besitzt.
7. Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A = (1, 2, −1), B = (−1, 3, −4), C = (0, 5, −7) und
D = (2, 4, −4) in einer Ebene liegen.
8. Die Gerade g1 geht durch die Punkte P1 = (1, −2, 1) und P2 = (−2, 3, 5), die Gerade g2
durch die Punkte Q1 = (1, −5, −2) und Q2 = (10, −11, −5). In welchem Punkt und mit
welchem spitzen Winkel schneiden sich g1 und g2 ?
9. Die Punkte P1 = (0, 0, 1), P2 = (1, −1, 0) und P3 = (−2, 1, 1) spannen eine Ebene auf.
Geben Sie die Gleichung dieser Ebene in der Form ax + by + cz = d an. Bestimmen Sie
den Abstand des Punktes Q = (4, 5, 3) von dieser Ebene.
10. Sind die Vektoren ~a = (2, −1, −3)T , ~b = (−2, 1, 1)T , ~c = (−2, 1, −3)T linear abhängig
oder nicht?
Geben Sie im Fall linearer Abhängigkeit wenigstens eine nicht-triviale Linearkombination
dieser Vektoren an, die den Nullvektor ergibt.
1
11. a) Für welches reelle a ist die Determinante von A negativ?




A=
2
0 1
0
−5
a 0
0
0 −4 1 −3
0
7 3
0





b) Bestimmen Sie DetA für




A=


1
0 1
0
0
0
0 2
2 −2
0
4 0 −1 10
−1 −2 1
1 −4
0
0 1
1 −1




!


12. Ermitteln Sie die Werte a, b ∈ R, für die das lineare Gleichungssystem
x − 2y + 3z = 4
3x + y − 5z = 5
2x − ay + 4z = b
keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder eine Parameterlösung hat. Geben Sie die
Parameterlösung an!
13. Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A =
2 1
1 a
!
regulär ? Berechnen Sie die
Inverse A−1 für a = −1.
14. Gegeben seien die folgenden Vektoren und Matrizen :


!
!
−1
1
1 −2


a=
, b= 3  , A=
und B =
2
3
4
2
Berechnen Sie, falls möglich, die folgenden Ausdrücke :
B + a · bT ,
A · B · b + A · a und
4
8 −6
2 −3
5
!
.
A · a − B · b · aT .
15. Berechnen Sie alle!reellen symmetrischen (2, 2)-Matrizen A, die Lösung der Gleichung
4 0
A · AT =
sind.
0 9
16. Für die Matrizen
A=
1 3
−1 2
!
,
B=
−3 1
5 2
!
,
C=
2 0
3 1
!
berechne man die Matrix
X = 5B T · A−1 − 2C
.
17. Der folgenden Tabelle sind die Werte (xi , yi ), i = 1, 2, ..., 7 einer Meßreihe zu entnehmen.
xi
yi
1
2
2
3
3.5
4
5
4
8
6
13
7
14
7
2
Berechnen Sie die Parameter a und b einer linearen Funktion y = ax + b, die sich den
Meßwerten möglichst gut anpaßt.
3