Formale Logik - Uni Bielefeld

Die Logik der Sprache AL
Erinnerung
Formale Logik
4. Sitzung
Prof. Dr. Ansgar Beckermann
Sommersemester 2005
Universität Bielefeld
Ein Satz ist genau dann logisch wahr, wenn er – unabhängig davon, was die in ihm vorkommenden
deskriptiven Zeichen bedeuten – allein aufgrund der
Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen
Ausdrücke wahr ist.
Ein Argument ist logisch gültig, wenn sich allein aus
der Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen
Ausdrücke ergibt, dass in allen Argumenten, die
dieselbe logische Form besitzen, die Konklusion wahr
ist, wenn alle Prämissen wahr sind.
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Die Logik der Sprache AL
Dass ein Satz A von AL unabhängig davon wahr ist,
was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen
bedeuten, können wir mit Hilfe der im letzten Kapitel
eingeführten Terminologie so ausdrücken:
A ist wahr bzgl. aller Bewertungen V.
Und dass für ein Argument A1, …, An, Also: A aus
Sätzen von AL gilt: Jedes strukturgleiche Argument
mit wahren Prämissen hat auch eine wahre Konklusion, können wir so ausdrücken:
Für alle Bewertungen V gilt: Wenn die Sätze A1,
…, An alle wahr sind bzgl. V, dann ist auch A
wahr bzgl. V.
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Die Logik der Sprache AL
Definition 11.1
Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch
wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm
vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl. aller
Bewertungen von AL wahr ist.
Definition 11.2
Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument A1, …, An, Also: A genau dann logisch gültig,
wenn sich allein aus der Bedeutung der in den Sätzen
A1, …, An und A vorkommenden Junktoren ergibt, dass
für alle Bewertungen V gilt: Sind die Sätze A1, …, An
alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V.
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1
Die Logik der Sprache AL
Frage
Die Logik der Sprache AL
Definition 10.3
Woher kennen wir eigentlich die Bedeutung der
logischen Ausdrücke von AL?
Die Bedeutung eines sprachlichen Ausdrucks ist sein
Beitrag zu den Wahrheitsbedingungen der Sätze, in
denen er vorkommt.
Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A
von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der
folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i) A ist ein Satzbuchstabe, und die Wahrheitsbedingung, die V A zuordnet, ist erfüllt;
(ii) A ist eine Negation, d.h. A = ¬B, und B ist falsch
bzgl. V;
(iii) A ist eine Konjunktion, d.h. A = (B ∧ C), und B und
C sind beide wahr bzgl. V;
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Die Logik der Sprache AL
Definition 10.3
Ist V eine Bewertung der Sprache AL, dann ist ein Satz A
von AL genau dann wahr bezüglich V, wenn eine der
folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(iv) A ist eine Adjunktion, d.h. A = (B ∨ C), und von den
Sätzen B und C ist mindestens einer wahr bzgl. V;
(v) A ist eine Subjunktion, d.h. A = (B → C), und B ist
falsch bzgl. V oder C ist wahr bzgl. V oder beides;
Die Logik der Sprache AL
Frage
Woher kennen wir eigentlich die Bedeutung der
logischen Ausdrücke von AL?
Antwort
Die Bedeutung der logischen Ausdrücke von AL
(der Junktoren) ergibt sich aus den Bedingungen
der Definition 10.3.
(vi) A ist eine Bisubjunktion, d.h. A = (B ↔ C), und die
Sätze B und C sind beide wahr oder beide falsch
bzgl. V.
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Die Logik der Sprache AL
Definition 11.1
Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch
wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in
ihm vorkommenden Junktoren ergibt, dass A bzgl.
aller Bewertungen von AL wahr ist.
Definition 11.3
Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch
wahr (symbolisch: gAL A), wenn sich allein aus den
Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass A bzgl.
aller Bewertungen von AL wahr ist.
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Die Logik der Sprache AL
Definition 11.2
Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument A1,
…, An, Also: A genau dann logisch gültig, wenn sich allein
aus der Bedeutung der in den Sätzen A1, …, An und A
vorkommenden Junktoren ergibt, dass für alle Bewertungen V
gilt: Sind die Sätze A1, …, An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A
wahr bzgl. V.
Definition 11.4
Sind A1, …, An und A Sätze von AL, dann ist das Argument
A1, …, An, Also: A genau dann logisch gültig (symbolisch:
A1, …, An gAL A), wenn sich allein aus den Bedingungen der
Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V gilt: Sind
die Sätze A1, …, An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr
bzgl. V.
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Die Logik der Sprache AL
Sprachliche Verabredung
1. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine
Tautologie heißen, wenn er logisch wahr ist.
2. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine
Kontradiktion (‘logisch falsch’) heißen, wenn sich
allein aus der Bedeutung der in ihm vorkommenden
Junktoren – d.h., allein aus den Bedingungen der
Definition 10.3 – ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL falsch ist.
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Die Logik der Sprache AL
Definition 11.5
Zwei Sätze A und B der Sprache AL heißen genau
dann logisch äquivalent (symbolisch: A gjAL B),
wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V von AL
gilt: A ist genau dann wahr bzgl. V, wenn B wahr ist
bzgl. V.
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3
Die Logik der Sprache AL
Frage
Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
Wie kann man feststellen, ob die Bedingungen der
Definitionen 11.3, 11.4 und 11.5?
Antwort
Z.B. durch die Wahrheitstafelmethode und durch die
Wahrheitsbaummethode.
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Betrachten wir z.B. den Satz
p ∧ q → p.
(1)
Wie kann man herausbekommen, ob sich allein aus
den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass
dieser Satz wahr ist bzgl. aller Bewertungen von
AL?
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Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
Es gibt nur 4 Arten von Bewertungen:
Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ und ‚q‘ beide wahr sind.
p
q
p ∧ q
Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ wahr und ‚q‘ falsch ist.
W
W
F
W
F
W
F
F
Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ falsch und ‚q‘ wahr ist.
Bewertungen, bzgl. deren ‚p‘ und ‚q‘ beide falsch sind.
Wenn für jede dieser 4 Arten gezeigt werden kann, dass
aus der Definition 10.3 folgt, dass der Satz
(1)
p∧q→p
q
W
F
W
F
W
F
Wahrheitswertverlauf
wahr ist bzgl. aller Bewertungen dieser Art, dann ist damit
gezeigt, dass (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL.
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W
F
F
→
W
W
W
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4
Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
Man kann mit der Wahrheitstafelmethode nicht nur
für einzelne Sätze von AL, sondern für alle Sätze
einer bestimmten Form überprüfen, ob sie logisch
wahr sind.
Ein zweites Beispiel
(p → q) ∧ ¬p → ¬q
(2)
p
q
(p → q)
¬
W
F
W
∧
F
F
W
W
W
W
F
F
F
W
F
p
→
¬
F W
F W
W F
W
W
F
F W
W F
F W
W
W
W
W
W
F
q
F
Denn auch für beliebige Sätze A und B von AL z.B. gilt,
dass es nur 4 Arten von Bewertungen gibt:
Bewertungen, bzgl. deren A und B beide wahr sind.
Bewertungen, bzgl. deren A wahr und B falsch ist.
Bewertungen, bzgl. deren A falsch und B wahr ist.
Bewertungen, bzgl. deren A und B beide falsch sind.
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Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
Beispiel
(A → B) → (¬B → ¬A)
A
B
W
W
W
F
F
F
W
F
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(A → B)
F
→ (¬
W
W
W
W
B
→
¬
F W
W F
W
F
W
F W
F W
W F
W
W
A)
F
Mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode kann man
außerdem auch prüfen, ob ein Satz von AL eine
Kontradiktion ist bzw. ob alle Sätze einer bestimmten Form Kontradiktionen sind.
Beispiel
(A → B) ↔ (¬B ∧ A)
A
B
(A → B)
↔ (¬
W
W
W
F
F
F
W
F
W
F
W
F
F
F
W
F
B
∧
A)
F W
W F
F
W
F
W
W
F
F
F
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Die Wahrheitstafelmethode
Satz 12.1
Die Wahrheitstafelmethode
Satz 12.1
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
1. gAL A → A
(Satz der Identität)
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
8. gAL A ∧ B → (A → B)
2. gAL A ∨ ¬A (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
9.
3. gAL ¬(A ∧ ¬A)
(Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch)
4. gAL (A → ¬A) → ¬A
(Satz des Clavius)
10a. g AL (A → B) → (¬B → ¬A)
(Kontraposition)
10b. gAL (¬B → ¬A) → (A → B)
(Kontraposition)
5. gAL ¬A → (A → B)
6. gAL A ∧ B → A
(Satz des Duns Scotus)
(Satz des Petrus Hispanus)
7. gAL A → A ∨ B
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gAL A → (B → A)
11.a. gAL (A → B ∧ ¬B) → ¬A
11.b. gAL (¬A → B ∧ ¬B) → A
12. gAL (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
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Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein
Satz A aus den Sätzen A1, ..., An folgt, kann man die
Wahrheitstafelmethode anwenden.
Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein
Satz A aus den Sätzen A1, ..., An folgt, kann man die
Wahrheitstafelmethode anwenden.
Vorgehensweise I
Vorgehensweise II
Bei der ersten Vorgehensweise zieht man die Wahrheitstafeln für die Prämissen A1, ..., An und die Konklusion A in eine Wahrheitstafel zusammen, damit man
die Wahrheitswertverläufe dieser Sätze direkt vergleichen kann.
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Bei der zweiten Vorgehensweise prüft man, ob die
Subjunktion wahr ist, deren Vorderglied aus der Konjunktion der Prämissen und deren Hinterglied aus der
Konklusion besteht. D.h., wenn man prüfen will, ob der
Satz A aus den Sätzen A1, ..., An logisch folgt, überprüft
man, ob der Satz A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An → A logisch wahr
ist.
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Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
p ∨ q, ¬p gAL q ?
Frage
Folgt ‚q‘ logisch aus den Sätzen ‚p ∨ q‘ und ‚¬p‘ ?
D.h., gilt:
p ∨ q, ¬p gAL q ?
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q
p∨q
W
W
W
F
F
F
W
F
W
W
W
F
¬
p
q
F W
F W
W F
W F
W
F
W
F
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Die Wahrheitstafelmethode
Die Wahrheitstafelmethode
p ∨ q, ¬p gAL q ?
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p
p
q
W
W
W
F
F
F
W
F
Satz 12.2
(p ∨ q)
∧
F
F
F
¬
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
p
→
q
F W
W
W
W
W
F
W
3. A ∨ B, ¬B g AL A
W
F
4.
W
F
1. A → B, A g AL B
2. A → B, B → C g AL A → C
A → B, ¬B g AL ¬A
(Modus ponens)
(Kettenschluss)
(Modus tollens)
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7
Die Wahrheitstafelmethode
Satz
Die Wahrheitstafelmethode
Satz 11.6
Zwei Sätze A und B der Sprache AL sind genau dann
logisch äquivalent, wenn die Bisubjunktion A ↔ B
logisch wahr ist.
Satz 11.8
Ist A ein Satz der Sprache AL, der den Satz B als
Teilsatz enthält, und A′ der Satz, den man aus A erhält,
indem man in A den Teilsatz B durch den Satz C ersetzt, dann gilt:
Wenn B gj AL C, dann auch A gj AL A′.
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Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten
die folgenden Äquivalenzen:
1. A gjAL ¬¬A
(Gesetz der doppelten Negation)
2.a
A ∧ B gj AL ¬(¬A ∨ ¬B)
2.b
¬(A ∧ B) gj AL ¬A ∨ ¬B
(Erstes Gesetz von De Morgan)
3.a A ∨ B gj AL ¬(¬A ∧ ¬B)
3.b ¬(A ∨ B) gj AL ¬A ∧ ¬B
(Zweites Gesetz von De Morgan)
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Die Wahrheitstafelmethode
Satz 11.6
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten
die folgenden Äquivalenzen:
4. A → B gj AL ¬B → ¬A
(Gesetz der Kontraposition)
5. A → B gj AL ¬A ∨ B
6.
A → B gj AL ¬(A ∧ ¬B)
7.
A ↔ B gj AL ¬A ↔ ¬B
8.
¬(A ↔ B) gj AL ¬A ↔ B
9.
A ↔ B gj AL (A → B) ∧ (B → A)
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