Logische Äquivalenz

11 Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
Erinnerung an die Ergebnisse von Kapitel 8
• Ein Satz ist genau dann logisch wahr, wenn er – unabhängig davon, was die in ihm vorkommenden
deskriptiven Zeichen bedeuten – allein aufgrund der
Bedeutung der in ihm vorkommenden logischen
Ausdrücke wahr ist.
• In einem Argument folgt die Konklusion genau dann
logisch aus den Prämissen, wenn sich allein aus der
Bedeutung der in den Prämissen und der Konklusion vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt,
dass alle strukturgleichen Argumente mit wahren
Prämissen auch eine wahre Konklusion haben.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
1
Was bedeutet das für die Sprache AL?
Dass ein Satz A von AL unabhängig davon wahr ist,
was die in ihm vorkommenden deskriptiven Zeichen
bedeuten, können wir mit Hilfe der im letzten Kapitel
eingeführten Terminologie so ausdrücken:
A ist wahr bzgl. aller Bewertungen V.
Und dass für ein Argument A1, …, An, Also: A aus
Sätzen von AL gilt: jedes strukturgleiche Argument
mit wahren Prämissen hat auch eine wahre Konklusion, können wir so ausdrücken:
Für alle Bewertungen V gilt: Wenn die Sätze A1,
…, An alle wahr sind bzgl. V, dann ist auch A
wahr bzgl. V.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
2
Definition 11.1
Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch
wahr, wenn sich allein aus der Bedeutung der in ihm
vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt, dass A
wahr ist bzgl. aller Bewertungen V von AL.
Definition 11.2
Sind A1, ..., An und A Sätze der Sprache AL, dann folgt
A genau dann logisch aus den Sätzen A1, ..., An, wenn
sich allein aus der Bedeutung der in diesen Sätzen
vorkommenden logischen Ausdrücke ergibt, dass für
alle Bewertungen V von AL gilt: Sind die Sätze A1, ...,
An alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
3
Frage
Woher kennen wir eigentlich die Bedeutung der
logischen Ausdrücke von AL?
Bisher ist diese Bedeutung doch noch nirgendwo
erklärt worden. Oder?
Antwort
Die Bedeutung der logischen Zeichen von AL ergibt
sich implizit aus den Bedingungen der Definition
10.3.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
4
Definition 11.3
Ein Satz A der Sprache AL ist genau dann logisch
wahr (symb.: ! AL A), wenn sich allein aus den
Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass A bzgl.
aller Bewertungen von AL wahr ist.
Definition 11.4
Sind A1, ..., An und A Sätze der Sprache AL, dann folgt
der Satz A genau dann logisch aus den Sätzen A1, ...,
An (symb.: A1, ..., An ! AL A), wenn sich allein aus den
Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle
Bewertungen V von AL gilt: Sind die Sätze A1, ..., An
alle wahr bzgl. V, dann ist auch A wahr bzgl. V.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
5
Verabredung
1. Ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine
Tautologie heißen, wenn er logisch wahr ist;
2. ein Satz A der Sprache AL soll genau dann eine
Kontradiktion (logisch falsch) heißen, wenn sich
allein aus den Bedingungen der Definition 10.3
ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL
falsch ist.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
6
Problem
In der Definition 11.3 ist zwar eine klare Bedingung
für die logische Wahrheit von Sätzen der Sprache AL
angegeben worden, aber noch kein Verfahren, mit
dessen Hilfe überprüft werden kann, ob dieses Kriterium im Einzelfall erfüllt ist oder nicht.
Das bekannteste und einfachste Verfahren dieser Art
ist die Wahrheitstafelmethode.
Grundbegriffe der Logik der Sprache AL
7
Die Wahrheitstafelmethode
Beispiel
(1)
p ∧ q → q.
Frage
Wie kann man herausbekommen, ob sich allein aus
den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass der
Satz (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen von AL?
Die Wahrheitstafelmethode
1
Offenbar zerfällt die Menge aller Bewertungen
von AL in vier Teilmengen
1. die Menge der Bewertungen, bzgl. deren die
Satzbuchstaben ‘p’ und ‘q’ beide wahr sind.
2. die Menge der Bewertungen, bzgl. deren der
Satzbuchstabe ‘p’ wahr und der Satzbuchstabe ‘q’
nicht wahr ist.
3. die Menge der Bewertungen, bzgl. deren der
Satzbuchstabe ‘p’ nicht wahr und der Satzbuchstabe ‘q’ wahr ist.
4. die Menge der Bewertungen, bzgl. deren die
Satzbuchstaben ‘p’ und ‘q’ beide nicht wahr sind.
Die Wahrheitstafelmethode
2
Also
Wenn man für jede dieser Teilmengen nur mit Hilfe
der Bedingungen der Definition 10.3 zeigen kann,
dass (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen dieser
Teilmenge, dann hat man damit auch gezeigt, dass
sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3
ergibt, dass (1) wahr ist bzgl. aller Bewertungen V
von AL
Die Wahrheitstafelmethode
3
p
q
p ∧ q
W
W
W
F
F
F
W
F
W
F
F
→
W
W
W
q
W
F
W
F
W
F
Wahrheitswertverlauf
4
Die Wahrheitstafelmethode
(p → q) ∧ ¬p → ¬q
(2)
p
q
(p → q)
∧
¬
W
W
W
F
F
F
W
F
W
F
W
F
F
W
W
W
Die Wahrheitstafelmethode
→
¬
F W
F W
W F
W
W
F
F W
W F
F W
W
W
W
p
F
q
F
5
(p → q) ∧ ¬p → ¬q
(2)
p
q
W
W
W
F
F
F
W
F
(p → q)
W
∧
¬
p
→
¬
F
F
W
W
W
F
W
W
F
F W
W F
F W
W
W
q
F
6
Die Wahrheitstafelmethode
Man kann mit der Wahrheitstafelmethode nicht nur
für einzelne Sätze von AL, sondern für alle Sätze einer
bestimmten Form überprüfen, ob sie logisch wahr
sind.
Die folgende WT z.B. zeigt, dass alle Sätze der Form
(A → B) → (¬B → ¬A) logisch wahr sind.
A
B
W
W
W
F
F
F
W
F
(A → B)
Die Wahrheitstafelmethode
F
→ (¬ B
F W
W
W
W F
W
→
¬
W
F
W
F W
F W
W F
W
W
W
A)
F
7
Mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode kann man
außerdem auch prüfen, ob ein Satz von AL eine
Kontradiktion ist bzw. ob alle Sätze einer bestimmten
Form Kontradiktionen sind.
Die folgende WT z.B. zeigt, dass alle Sätze der Form
(A → B) ↔ (¬B ∧ A) Kontradiktionen sind.
A
B
(A → B)
W
W
W
F
F
F
W
F
W
F
W
↔ (¬ B
F W
F
F
W F
F
F
W
∧
A)
F
W
F
W
W
F
F
F
8
Die Wahrheitstafelmethode
Satz 11.5
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
1. !AL A → A
2. !AL A ∨ ¬A
3. !AL ¬(A ∧ ¬A)
(Satz der Identität)
(Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
(Satz vom ausgeschl. Widerspruch)
4. ! AL (A → ¬A) → ¬A
5. ! AL ¬A → (A → B)
Die Wahrheitstafelmethode
(Satz des Clavius)
(Satz des Duns Scotus)
9
6. ! AL A ∧ B → A
(Satz des Petrus Hispanus)
7. ! AL A → A ∨ B
8. ! AL A ∧ B → (A → B)
9. ! AL A → (B → A)
10a. ! AL (A → B) → (¬B → ¬A)
(Kontraposition)
10b. !AL (¬B → ¬A) → (A → B)
(Kontraposition)
11. ! AL (A → (B → C))→ ((A → B) → (A → C))
10
Die Wahrheitstafelmethode
A
B
C
W
W
W
W
W W
W F
F W
F F
F
F
F
F
W W
W F
F W
F F
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
W
W
W
W
W
F
F
F
F
W
W
W
W
F
W
F
Die Wahrheitstafelmethode
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
11
Auch wenn es darum geht, zu überprüfen, ob ein
Satz A aus den Sätzen A1, ..., An folgt, kann man die
Wahrheitstafelmethode anwenden.
Dabei gibt es zwei Vorgehensweisen.
Vorgehensweise I
Bei der ersten Vorgehensweise zieht man die
Wahrheitstafeln für die Prämissen A1, ..., An und die
Konklusion A in eine Wahrheitstafel zusammen,
damit man die Wahrheitswertverläufe dieser Sätze
direkt vergleichen kann.
Die Wahrheitstafelmethode
12
Vorgehensweise II
Bei der zweiten Vorgehensweise prüft man, ob die
Subjunktion wahr ist, deren Vorderglied aus der
Konjunktion der Prämissen und deren Hinterglied
aus der Konklusion besteht. D.h., wenn man prüfen
will, ob der Satz A aus den Sätzen A1, ..., An logisch
folgt, überprüft man, ob der Satz
A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ An → A
logisch wahr ist.
Die Wahrheitstafelmethode
13
Frage
Folgt der Satz
(14)
q
logisch aus den Sätzen
(15)
p∨q
und
(16)
¬p?
D.h., gilt:
p ∨ q, ¬p !AL q ?
14
Die Wahrheitstafelmethode
p
q
p∨q
W
W
W
F
F
F
W
F
W
W
W
p
q
W
W
W
F
F
F
W
F
F
(p ∨ q)
Die Wahrheitstafelmethode
F
¬
p
q
F W
F W
W F
W F
W
F
W
∧
p
→
q
F
F W
W
W
W
W
F
W
F
W F
W
F
F
¬
15
Satz 11.6
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
1. A → B, A ! AL B
(Modus ponendo ponens)
2. A → B, B → C ! AL A → C
(Kettenschluss)
3. A ∨ B, ¬B ! AL A
(Modus tollendo ponens)
4. A → B, ¬B ! AL ¬A
(Modus tollendo tollens)
Die Wahrheitstafelmethode
16
Logische Wahrheit
Ein Satz A von AL ist genau dann logisch wahr, wenn
sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3
ergibt, dass A bzgl. aller Bewertungen von AL wahr
ist.
Symbolisch: !AL A
Logische Folgerung
Ein Satz A folgt genau dann logisch aus den Sätzen
A1, ..., An, wenn sich allein aus den Bedingungen der
Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V
von AL gilt: Sind die Sätze A1, ..., An alle wahr bzgl.
V, dann ist auch A wahr bzgl. V.
Symbolisch: A1, ..., An ! AL A
Logische Äquivalenz
1
Logische Äquivalenz
Zwei Sätze A und B der Sprache AL sind genau dann
logisch äquivalent, wenn sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3 ergibt, dass für alle Bewertungen V von AL gilt: A ist genau dann wahr
bzgl. V, wenn B wahr ist bzgl. V.
Symbolisch: A ! " AL B
Logische Äquivalenz
2
Definition 11.7
Zwei Sätze A und B der Sprache AL heißen logisch
äquivalent (symb.: A ! " AL B) genau dann, wenn
sich allein aus den Bedingungen der Definition 10.3
ergibt, dass für alle Bewertungen V von AL gilt: A ist
genau dann wahr bzgl. V, wenn B wahr ist bzgl. V.
Logische Äquivalenz
3
Frage
Wie beweist man, dass zwei Sätze A und B der
Sprache AL zueinander logisch äquivalent sind?
Satz 11.8
Zwei Sätze A und B der Sprache AL sind genau dann
logisch äquivalent, wenn die Bisubjunktion A ↔ B
logisch wahr ist.
Logische Äquivalenz
4
Satz 11.9
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gelten die
folgenden Äquivalenzen:
1. A !"AL ¬¬A
2. A ∧ A !" AL A
(Gesetz der doppelten Negation)
(Idempotenz der Konjunktion)
3. A ∧ B !" AL B ∧ A
(Kommutativität der Konjunktion)
4. A ∧ (B ∧ C) !" AL(A ∧ B) ∧ C
(Assoziativität der Konjunktion)
Logische Äquivalenz
5
5.a A ∧ B !" AL ¬(¬A ∨ ¬B)
5.b ¬(A ∧ B) !" AL ¬A ∨ ¬B
(Erstes Gesetz von De Morgan)
6. A ∧ B !" AL ¬(A → ¬B)
7. A ∨ A !" AL A
(Idempotenz der Adjunktion)
8. A ∨ B !" AL B ∨ A
(Kommutativität der Adjunktion)
9. A ∨ (B ∨ C) !" AL (A ∨ B) ∨ C
(Assoziativität der Adjunktion)
Logische Äquivalenz
6
10.a A ∨ B !" AL ¬(¬A ∧ ¬B)
10.b ¬(A ∨ B) !" AL ¬A ∧ ¬B
(Zweites Gesetz von De Morgan)
11. A ∨ B !" AL ¬A → B
12. A ∧ (B ∨ C) !" AL (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
(Erstes Distributivgesetz)
13. A ∨ (B ∧ C) !" AL (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(Zweites Distributivgesetz)
14. A → B !" AL ¬B → ¬A
(Gesetz der Kontraposition)
Logische Äquivalenz
7
15. A → B !" AL ¬(A ∧ ¬B)
16. A → B !" AL ¬A ∨ B
17. A → (B → C) !" AL A ∧ B → C
(Importation und Exportation)
18. A ↔ B !" AL B ↔ A
(Kommutativität der Bisubjunktion)
19. A ↔ (B ↔ C) !" AL (A ↔ B) ↔ C
(Assoziativität der Bisubjunktion)
20. A ↔ B !" AL ¬A ↔ ¬B
21. ¬(A ↔ B) !" AL ¬A ↔ B
22. A ↔ B !" AL (A → B) ∧ (B → A)
Logische Äquivalenz
8
Satz 11.10
Sind A, B und C Sätze der Sprache AL, dann gilt:
Wenn A !"AL B und B !"AL C,
dann auch A !"AL C.
Satz 11.11 (Äquivalente Ersetzung)
Ist A ein Satz der Sprache AL, der den Satz B als Teilsatz enthält, und A′ der Satz, den man aus A erhält,
indem man in A den Teilsatz B durch den Satz C ersetzt, dann gilt:
Wenn B !" AL C, dann auch A !" AL A′.
Logische Äquivalenz
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