Mathematik für Bauingenieure - Fakultät Mathematik

Mathematik für Bauingenieure
Doz.Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch
12. Oktober 2004
Kontakt:
• Willersbau C214, Telefon 34257
• Homepage: http://www.math.tu-dresden.de/~koksch
• e-mail: [email protected]
Grundlagen:
• Skripte „Mathematik für Bauingenieure“ für das Bauingenieurfernstudium an der TU
Dresden, Teil 1 und Teil 2, Professor Schirotzek.
• Vorlesung „Höhere Mathematik A“ von Prof.Dr.rer.nat.habil. Peter Beisel an der Bergischen Universität Gesamthochschule Wuppertal, Fachbereich Bauingenieurwesen Lehrgebiet Mathematik.
• Vorlesungen der Professoren Riedrich, Schirotzek, Weber, Voigt an der TU Dresden.
Literatur:
• Hofmann: Ingenieur-Mathematik für Studienanfänger: Formeln - Aufgaben -Lösungen,
Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden
• Fischer/Schirotzek/Vetters: Lineare Algebra: Eine Einführung für Ingenieure und
Naturwissenschaftler, Teubner Verlag Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden.
• Meyberg/Vachenauer: Höhere Mathematik 1 - Differential und Integralrechnung,
Vektor- und Matrizenrechnung. Springer Verlag Berlin 1990, ISBN 3-540-51798-7
(Standard-Begleitliteratur, Aufgabenteil ohne Lösungen).
• Burg/Haf/Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure, Bände 1+2. Teubner Verlag
Stuttgart 1992, ISBN3-519-22955-2 (viele Beweise, weitergehende Informationen,
viele Beispiele).
• Riedrich/Vetters: Grundkurs Mathematik für Bauingenieure. Teubner Studienbücher
Bauwesen 1999, ISBN 3-519-00217-5 (Aus Lehrveranstaltungen an der TU Dresden
entstanden).
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure, Band 1, Teubner Verlag Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02966-9
• von Finckenstein/Lehn/Schellhaas/Wegmann: Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure, Band 2, Teubner Verlag Stuttgart 2002, ISBN 3-519-02972-3
3
• Brauch/Dreyer/Haacke: Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag Stuttgart 1995,
ISBN 3-519-46500-0
• ...
Übungsbücher:
• Wenzel/Heinrich: Übungsaufgaben zur Analysis Ü1, Teubner Verlag Stuttgart
Leipzig 1997, ISBN 3-8154-2099-7 (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übungen!).
• Pforr/Oehlschlaegel/Seltmann: Übungsaufgaben zur linearen Algebra und zur linearen Optimierung, Teubner Verlag Stuttgart Leipzig. (MINÖL-Reihe, Grundlage für die Übungen!).
• Merziger/Wirth: Repetitorium der Höheren Mathematik. Binomi Verlag Springer
1999, ISBN 3-923 923-33-3 (reines Übungsbuch, riesige Menge von Beispielen und
Aufgaben mit Lösungen sowie jeweils schlagwortartig die zugrundeliegende Theorie.
Sehr empfehlenswert zum Üben).
• Furlan: Das gelbe Rechenbuch 1+2, Verlag Martina Furlan Dortmund, ISBN 3931645-00-2 (reines Rechenbuch, kompakte Theorie, Handlungsanweisungen, Rezepte).
• Gärtner/Bellmann/Lyska/Schmieder: Analysis in Fragen und Übungsaufgaben, Teubner Verlag Stuttgart 1995, ISBN 3-8154-2088-1
• ...
Nachschlagewerke:
• Hackbusch/Schwarz/Zeidler: Teubner-Taschenbuch der Mathematik, Teubner Verlag,
Wiesbaden.
• Rade/Westergren: Springers Mathematische Formeln, Springer Verlag Berlin 1996,
ISBN 3-540-60476-6 (paßt zum Buch von Vachenauer)
• Bronstein/Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch Frankfurt.
• ...
4
1 Grundlagen
1.1 Logik, Mengen
1.1.1 Gebrauch logischer Symbole
Eine Aussage A ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder
wahr oder falsch zu sein.
Negation: ¬A, Ā, „nicht A“; ist wahr genau dann, wenn A falsch ist.
Konjunktion: A ∧ B, „A und B“; ist wahr genau dann, wenn A und B beide wahr sind.
Disjunktion: A ∨ B, „A oder B“; ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden
Aussagen A, B wahr ist.
Implikation: A ⇒ B, „aus A folgt B“, „A ist hinreichend für B“, „B ist notwendig für A“;
ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
Äquivalenz: A ⇔ B, „A ist äquivalent zu B“, „A ist hinreichend und notwendig für B“; ist
genau dann wahr, wenn A und B stets zugleich wahr bzw. falsch sind.
Existenz-Quantor: ∃x : P(x), „es existiert ein x mit der Eigenschaft P(x)“.
All-Quantor: ∀x : P(x), „für jedes x gilt P(x)“.
1.1.2 Mengen
Menge: Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen;
die dabei zusammengefaßten Dinge heißen die Elemente der betroffenen Menge.
Ist a ein Element der Menge M so schreibt man a ∈ M; ist a nicht Element von M, so
schreibt man a 6∈ M.
Mengengleichheit: Zwei Mengen M, N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen
Elemente besitzen:
M = N :⇔ (x ∈ M ⇔ x ∈ N) .
Schreibweise:
z.B. {a, b, c} für die Menge mit den Elementen a, b, c
und {x : P(x)} für die Menge aller x mit der Eigenschaft P(x).
5
1 Grundlagen
Teilmenge: M ⊆ N gilt, wenn jedes Element von M auch Element von N ist:
M⊆N
:⇔
(x ∈ M
⇒
x ∈ N) .
Leere Menge: 0/ = {} ist die Menge, die kein Element hat.
Vereinigung: M ∪ N ist die Menge aller Elemente, die in M oder N liegen:
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N} .
Durchschnitt: M ∩ N ist die Menge aller Elemente, die in M und N zugleich liegen:
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N} .
Differenz: M \ N ist die Menge aller Elemente, die in M aber nicht in N liegen:
M \ N := {x : x ∈ M ∧ x 6∈ N} .
Komplement: Sei eine Grundmenge X gegeben und sei M ⊆ X. {X M = {M = M ist die
Menge aller Elemente von X, die nicht in M liegen:
{X M = X \ M .
Kartesisches Produkt: M × N ist die Menge aller Paare aus M und N:
M × N := {(x, y) : x ∈ M ∧ y ∈ N} .
Potenzmenge: P(M), 2M ist die Menge aller Teilmengen von M:
2M := {N : N ⊆ M} .
Beachte: 0/ ∈ 2M , M ∈ 2M .
1.1.3 Zahlenmengen
* Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
* Die Menge der ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
* Die Menge der rationalen Zahlen Q = { qp : p, q ∈ Z, q 6= 0}. Die rationalen Zahlen sind
durch endliche oder periodisch unendliche Dezimalbrüche darstellbar.
* Die Menge der reellen Zahlen R. Die reellen Zahlen sind durch Dezimalbrüche darstellbar. Die nicht rationalen reellen Zahlen R \ Q heißen irrationale Zahlen.
* Die Menge der komplexen Zahlen C (werden später behandelt). Die komplexen Zahlen
sind durch Paare reeller Zahlen darstellbar.
6
1.2 Reelle Zahlen
Es gilt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C .
Ist M ⊆ R, dann definieren wir
M>a := {x ∈ M : x > a} ,
M≥a := {x ∈ M : x ≥ a} ,
... .
Intervalle:
[a, b] = {x ∈ R :
]a, b[ = (a, b) = {x ∈ R :
]a, b] = (a, b] = {x ∈ R :
[a, b[ = [a, b[ = {x ∈ R :
a ≤ x ≤ b}
a < x < b}
a < x ≤ b}
a ≤ x < b}
abgeschlossenes Intervall,
offenes Intervall,
links halboffenes Intervall,
rechts halboffenes Intervall.
1.2 Reelle Zahlen
1.2.1 Eigenschaften
1.2.1.1 Algebraische Eigenschaften
Sei K ∈ {Q, R}. Die Addition + und die Multiplikation · besitzen folgende Eigenschaften
(x, y, z ∈ K):
x+y = y+x, x·y = y·x
x + (y + z) = (x + y) + z , x · (y · z) = (x · y) · z
x · (y + z) = x · y + x · z
x+0 = x
x·1 = x
∃=1 − x ∈ K (x + (−x) = 0)
∀x 6= 0 ∃=1 x−1 ∈ K (x · x−1 = 1)
(Kommutativgesetze)
(Assoziativgesetze)
(Distributivgesetz)
(0 ist neutral bzgl. Addition)
(1 ist neutral bzgl. Multiplikation)
(additiv inverse Zahl)
(multiplikativ inverse Zahl)
Subtraktion und Division sind über Addition bzw. Multiplikation definiert:
x − y := x + (−y) ,
x : y := x · y−1 .
1.2.1.2 Ordnungseigenschaften
In K ∈ {Q, R} gibt es eine Ordnungsrelation ≤ und eine Relation < definiert durch
x<y
:⇔
x ≤ y und
x 6= y
mit folgenden Eigenschaften (für x, y, z ∈ K):
7
1 Grundlagen
x≤x
(x ≤ y ∧ y ≤ x) ⇒ x = y
(x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z
x ≤ y∨y ≤ x
x < y ⇒ ∃u ∈ K(x < u < y)
x < y ⇔ x+z < y+z
z > 0 ⇒ (x < y ⇔ x · z < y · z)
(Reflexivität)
(Antisymmetrie)
(Transitivität)
(totale Ordnung)
(Dichtheit)
(Verträglichkeit mit Addition)
(Verträglichkeit mit Multiplikation)
Damit gilt die Trichotomie-Eigenschaft, daß für je zwei Zahlen x, y ∈ K genau eine der
drei Beziehungen
x < y, x = y, x > y.
Eine Zahl x ∈ K heißt positiv, nichtnegativ, nichtpositiv bzw. negativ, wenn x > 0, x ≥ 0,
x ≤ 0 bzw. x < 0.
1.2.1.3 Vollständigkeitseigenschaft von R
Bisher haben wir die gemeinsamen Eigenschaften von Q und R aufgezählt.
Sei wieder K ∈ {Q, R}. Sei M ⊆ R. M heißt
* nach oben beschränkt, wenn ein S ∈ K existiert mit x ≤ S für alle M (S ist eine obere
Schranke von M, Beispiel: ] − ∞, 1[ mit oberen Schranken 1, 2);
* nach unten beschränkt, wenn ein s ∈ K existiert mit x ≥ s für alle x ∈ M (s ist eine
untere Schranke von M);
* beschränkt, wenn M nach unten und oben beschränkt ist.
Wenn es unter den oberen Schranken von M eine kleinste Zahl in K gibt, so heißt sie
kleinste obere Schranke oder Supremum von M in K und wird mit sup M bezeichnet.
Analog ist die größte untere Schranke oder das Infimum inf M von M in K definiert.
Im Gegensatz zu Q besitzt R folgende Vollständigkeitseigenschaft: Jede nach oben beschränkte Teilmenge M von R besitzt ein Supremum in R.
Sei M = {x ∈ K : x ≥ 0, x2 <√2} in K ∈ {Q, R}. Diese Menge besitzt kein Supremum in Q
aber in R, nämlich sup M = 2.
1.2.2 Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen
Ein Grundproblem der Mathematik ist die Ermittelung aller Lösungen von Systemen von
Gleichungen und Ungleichungen. Am günstigsten ist immer eine äquivalente Umformung
von Gleichungen und Ungleichungen.
8
1.2 Reelle Zahlen
1.2.2.1 Äquivalente Umformungen
Äquivalente Umformungen sind Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern.
Nichtäquivalente Umformungen führen zu einer (potentiellen) Ausweitung der Lösungsmenge der Gleichungen oder Ungleichungen. Ergebnisse, die nach nichtäquivalenten Umformungen erhalten werden, müssen noch als Lösungen überprüft werden.
Folgende Regeln zur äquivalenten Umformung (für a, b, x, y, p, q ∈ R beliebig) ergeben
sich aus den Eigenschaften der reellen Zahlen:
x=y
x≤y
x≤y
x=y
⇔
⇔
⇔
⇔
x≤y
⇔
0<x≤y
⇔
x+a = y+a
x+a ≤ y+a
x + a ≤ y + b , falls a ≤ b
ax = ay , falls a 6= 0
(
ax ≤ ay , falls a > 0
ax ≥ ay , falls a < 0
1 1
0< ≤ .
y x
Folgende Regeln können zur Lösung von Gleichungen genutzt werden:
xy = 0
⇔
x = 0 oder
2
⇔
oder x = −a
r
p
p2
x=− +
− q oder
2
4
x =a
2
x2 + px + q = 0
⇔
y=0
x=a
p
x=− −
2
r
p2
−q,
4
wenn p2 ≥ 4q.
Beispiel 1.2.1. Man bestimme die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung
(x − 2)2 + x = 2 .
Es gibt mehrere Lösungswege, einer davon ist der folgende:
(x − 2)2 + x = 2
⇔ x2 − 4x + 4 + x = 2
⇔
x2 − 3x + 2 = 0
⇒
oder
und damit L = {1, 2}.
r
−3
9
x= −
+
−2 = 2
2
4
r
−3
9
x= −
−
−2 = 1,
2
4
♦
9
1 Grundlagen
1.2.2.2 Rechnen mit Beträgen
Das Rechnen mit Beträgen wird vom Anwender oft als unangenehm empfunden, da der
Begriff "Betrag" zweigeteilt definiert ist. Man kann aber alle Schwierigkeiten ausräumen,
wenn man sich stur an die Definition und die Rechenregeln hält. Diese seien im folgenden
benannt.
Definition 1.2.2. Für eine reelle Zahl a ∈ R wird der Betrag von a festgesetzt durch |a| :=
a, falls a ≥ 0 und −a, falls a < 0.
Beispiel 1.2.3. Es ist |3| = 3, aber auch | − 3| = 3 = −(−3).
Rechenregeln (für a, b, x ∈ R beliebig):
| − a| = |a|
−|a| ≤ a ≤ |a|
|a · b| = |a| · |b|
1
= 1
(a 6= 0)
a |a|
|a + b| ≤ |a| + |b|
(Dreiecksungleichung)
|a| ≤ |b| ⇔ −b ≤ a ≤ b oder b ≤ a ≤ −b
|x − a| ≤ b ⇔ a − b ≤ x ≤ a + b
√
a2 = |a|
|a|2 = a2
Eine Auflösung von Betragsungleichungen geschieht in der Regel durch Fallunterscheidung
oder durch Veranschaulichung auf der Zahlengeraden.
Beispiel 1.2.4. Man bestimme die Lösungsmenge L von |x + 1| + |x − 1| ≤ 2 .
Fallunterscheidung:
1. Fall: x < −1. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
−(x + 1) − (x − 1) ≤ 2 ⇔
x ≥ −1 ,
und daher L1 = ] − ∞, −1[ ∩ [−1, ∞[ = 0.
/
2. Fall: −1 ≤ x < 1. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
und daher L2 = [−1, 1[ ∩R = [−1, 1[.
10
(x + 1) − (x − 1) ≤ 2
⇔
2 ≤ 2,
1.2 Reelle Zahlen
3. Fall: 1 ≤ x. Dann gilt
|x + 1| + |x − 1| ≤ 2
⇔
(x + 1) + (x − 1) ≤ 2
⇔
x ≤ 1,
und daher L3 = [1, ∞[ ∩ ] − ∞, 1] = {1}.
Zusammengefaßt: L = L1 ∪ L2 ∪ L3 = [−1, 1].
♦
1.2.3 Das Induktionsprinzip und einige Anwendungen
1.2.3.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Eine Aussage A(n), die von n ∈ N abhängt, ist gültig für alle n ≥ n0 , wenn gilt:
1. (Induktionsanfang) A(n0 ) ist gültig.
2. (Induktionsschritt) Aus n ≥ n0 und der Aussage A(n) folgt die Aussage A(n + 1).
Beispiel 1.2.5. Die Ungleichung n2 ≥ n + 5 gilt für alle natürlichen Zahlen n ≥ 3.
(Beweis durch vollständige Induktion)
1. Induktionsanfang: Die Ungleichung gilt für n = n0 = 3, da
32 = 9 ≥ 8 = 3 + 5 .
2. Induktionsschritt: Die Ungleichung gelte für ein beliebiges n, d.h., es sei
n2 ≥ n + 5 .
(1.2.1)
Zu zeigen ist, daß sie dann auch für n + 1 gilt. Nun, es gilt unter Verwendung von (1.2.1)
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1 ≥ n + 5 + 2n + 1 ≥ (n + 1) + 5 .
♦
1.2.3.2 Prinzip der rekursiven Definition
Ein Begriff, der für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 definiert werden soll, kann folgendermaßen festgelegt werden:
1. Definiere ihn für n = n0 .
2. Definiere ihn für n unter Zuhilfenahme der (hypothetisch) bereits erfolgten Definition für
n − 1, n − 1 ≥ n0 .
Für n ∈ N und x ∈ R definieren wir die Potenzen mit natürlichen Exponenten rekursiv
durch
x0 := 1 , xn := x · xn−1
(n ∈ N≥1 ) .
Dies findet speziell Anwendung in den folgenden drei Abschnitten.
11
1 Grundlagen
1.2.3.3 Summen- und Produktzeichen
Für vorgegebene Zahlen a0 , a1 , ..., an , ... ∈ R setzen wir rekursiv fest
n
∑ ai := a0 für n < 0 ,
i=0
n
∏ ai := 1
für n < 0 ,
i=0
n
n−1
∑ ai := an + ∑ ai =: a0 + · · · + an für n ≥ 0 ,
i=0
n
i=0
n−1
∏ ai = an · ∏ ai =: a0 · · · · · an
i=0
für n ≥ 0 .
i=0
Aus der Dreiecksungleichung folgt mit vollständiger Induktion:
n n
a
≤
∑ i ∑ |ai | .
i=0 i=0
1.2.3.4 Die Fakultäten
Für n ∈ N definieren wir n! (sprich: n-Fakultät) rekursiv durch
0! := 1 ,
n! := n · (n − 1)!=: n · (n − 1) · · · 2 · 1 für n ∈ N≥1 .
Damit gilt zum Beispiel
0! = 1 ,
1! = 1 · 0! = 1 ,
2! = 2 · 1! = 2 ,
... .
Definition 1.2.6. Sei M eine Menge. Eine Anordnung aller Elemente von M unter Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Permutation.
Beispiel 1.2.7. Es werde die Menge {1, 2, 3} betrachtet. Deren Elemente kann man in folgenden Weisen anordnen:
1−2−3,
1−3−2,
2−1−3,
2−3−1,
3−1−2,
3−2−1.
♦
Dies sind 6 = 3! Anordungen.
Satz 1.2.8. Sei n ∈ N\{0}. Dann besitzt eine n-elementige Menge genau n! Permutationen.
1.2.3.5 Binomialkoeffizienten
Für k, n ∈ N, n ≥ k setzen wir
12
n
n!
:=
.
k!(n − k)!
k
1.2 Reelle Zahlen
Rechenregeln für 1 ≤ k ≤ n:
n
n
n
n
n
n
n+1
n
n
=
= 1,
=
= n,
=
,
=
+
.
0
n
1
n−1
k
n−k
k
k−1
k
Letztere Formel ist Grundlage für das Pascalsche Dreieck:
0
1
0
1
1
1
k
2
1
2
1
k
3
1
3
3
1
k
4
1
4
6
4
1
k
5
1
5
10
10
5
1
k
..
..
.
.
1.2.3.6 Anwendungen der Binomialkoeffizienten
Definition 1.2.9. Sei M eine Menge. Die Auswahl von k Elementen von M ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung von Elementen heißt Kombination zur k-ten
Klasse.
Satz 1.2.10. Seien n, k ∈ N, 0 < k ≤ n. Dann gibt es
Menge zur k-ten Klasse.
n
k Kombinationen einer n-elementigen
Folgerung 1.2.11. Seien n, k ∈ N, 0 < k ≤ n. Dann gibt es nk verschiedene, k-elementige
Teilmengen einer n-elementigen Menge.
Beispiel 1.2.12. Lottozahlen 6 aus 49: 49
6 = 13 983 816 Möglichkeiten.
Satz 1.2.13 (Binomischer Lehrsatz). Für a, b ∈ R und n ∈ N gilt
n n k n−k
n
ab .
(a + b) = ∑
k=0 k
Folgerungen:
n n k n−k
n
2 = (1 + 1) = ∑
11
=∑
,
k=0 k
k=0 k
n
n
n
n
n k
(1 + x) = ∑
x .
k=0 k
n
Folgerung 1.2.14. Die Potenzmenge 2M einer n-elementigen Menge hat 2n Elemente.
13
1 Grundlagen
1.2.4 Potenzen und Logarithmen
1.2.4.1 Potenzen
Wir definieren hier die Potenzen mit reellen Exponenten.
√
Für x ∈ R≥0 und n ∈ N≥1 sei die n-te Wurzel n x definiert als die nichtnegative Lösung der
Gleichung w der Gleichung wn = x:
√
n
x := sup{v ≥ 0 : vn ≤ x} .
Für x ∈ R>0 und r ∈ Q≥0 , r =
Exponenten durch
p
q
mit p, q ∈ N≥1 , definieren wir die Potenzen mit rationalen
p
√
q
x
1
.
xr
Schließlich seien für x ∈ R>0 , y ∈ R die Potenzen mit reellen Exponenten definiert durch

 sup{xr : r ∈ Q ∩ [0, y]} , falls y ≥ 1 ,
y
inf{xr : r ∈ Q ∩ [0, y]} , falls y ∈ [0, 1[ ,
x :=

1/x−y ,
falls y < 0 .
p
xr := x q :=
und
x−r :=
Die Definition kann zum Teil auch auf nichtpositive Basen fortgesetzt werden.
Die Potenzen zu positiven Basen a, b genügen folgenden Potenzgesetzen:
ar · as = ar+s ,
ar /as = ar−s ,
ar br = (ab)r ,
ar /br = (a/b)r ,
(ar )s = ars .
Beachte: Die Potenzgesetze gelten nicht immer für negative Basen: Zum Beispiel gilt
√
x2 = |x|
√
p
für x ∈ R und nicht x2 = x (häufiger Fehler!), z.B. (−1)2 = 1.
1.2.4.2 Logarithmen
Wir wenden uns nun der Gleichung ax = b für a > 0, a 6= 1, b > 0 zu. Man kann zeigen,
daß die Menge
M(a, b) := {x ∈ R : ax ≤ b}
nichtleer und für a > 1 von oben und für a < 1 von unten beschränkt ist. Damit existiert ihr
Supremum bzw. Infimum und wir definieren den Logarithmus von b zur Basis a durch
loga b := sup M(a, b) für a > 1
14
und
loga b := inf M(a, b) für a < 1 .
1.3 Abbildungen und Funktionen
Man kann zeigen, daß die so definierte Zahl loga b die einzige Lösung von ax = b ist, d.h.,
aloga b = b .
(1.2.2)
Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Logarithmengesetze für a, b > 0, 6= 1, x, y >
0, r ∈ R:
loga b · logb a = 1 , loga (xy) = loga x + loga y ,
loga (xr ) = r loga x , logb x = logb a · loga x .
Übliche Basen sind 10, 2 (in der Informatik) und die irrationale Zahl e = 2.71828 . . ..
1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.1 Allgemeine Eigenschaften von Abbildungen und Funktionen
1.3.1.1 Definition
Definition 1.3.1. Seien X, Y Mengen. Eine Teilmenge f ⊂ X ×Y heißt Abbildung aus X
in Y , wenn aus (x, y1 ) ∈ f und (x, y2 ) ∈ f stets y1 = y2 folgt.
Eine Abbildung f ordnet damit Elementen x aus X genau ein Element y aus Y zu,
y = f (x)
:⇔
(x, y) ∈ f .
Die Mengen
D( f ) = {x ∈ X : ∃y ((x, y) ∈ f )} ,
graph( f ) = {(x, y) ∈ f } = f
W ( f ) = {y ∈ Y : ∃x ((x, y) ∈ f )} ,
heißen Definitions-, Wertebereich bzw. Graph von f .
Schreibweise:
f : D( f ) ⊆ X → Y ,
f : X → Y , wenn D( f ) = X ,
x 7→ f (x) für x ∈ D( f ) .
Gleichheit: Seien f : D( f ) ⊆ X → Y , g : D(g) ⊆ U → V . Dann
f =g
:⇔
(U = X) ∧ (Y = V ) ∧ (D( f ) = D(g)) ∧ ( f (x) = g(x) für x ∈ D( f )) .
15
1 Grundlagen
Reelle Funktionen von n reellen Variablen: X = Rn , Y = R.
Sei f : A → B eine Abbildung.
Bild f (A0 ) von A0 unter f :
f (A0 ) := {y ∈ B : ∃x ∈ A0 mit y = f (x)} .
Urbild f −1 (B0 ) von B0 unter f :
f −1 (B0 ) := {x ∈ A : f (x) ∈ B0 } .
Eine Abbildung f : A → B heißt:
surjektiv (oder Abbildung auf)
injektiv (oder eineindeutig)
bijektiv (oder eineindeutig auf)
:⇔
:⇔
:⇔
f (A) = B ,
(x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )) ,
f ist surjektiv und injektiv.
f : A → B ist nicht surjektiv, wenn es ein y ∈ B gibt, das nicht Bild eines Punktes aus A ist.
f : A → B ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Punkte x1 , x2 ∈ A mit gleichem
Bildwert f (x1 ) = f (x2 ) gibt.
Streng monotone Funktionen sind injektiv.
1.3.1.2 Zusammensetzung von Funktionen
Wir bilden folgende Zusammensetzungen von Funktionen mit dem sich natürlich ergebenden Definitionsbereich:
Seien dazu f und g reelle Funktionen mit Definitionsbereichen D( f ) bzw. D(g) und sei
λ ∈ R. Man setzt
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
auf
D( f + g) := D( f ) ∩ D(g)
( f + g)(x) := f (x) + g(x)
( f − g)(x) := f (x) − g(x)
auf
D( f − g) := D( f ) ∩ D(g)
( f · g)(x) := f (x) · g(x)
auf
D( f · g) := D( f ) ∩ D(g)
f
f (x)
f
(x) :=
auf
D( ) := (D( f ) ∩ D(g)) \ {x ∈ D(g) : g(x) = 0}
g
g(x)
g
und
skalares Vielfaches
(λ f )(x) := λ · f (x)
auf
D(λ f ) := D( f ) .
Schließlich definieren wir für f : D( f ) ⊆ X → Y , g : D(g) ⊆ Y → Z die Komposition
(zusammengesetzte Funktion) g ◦ f durch
Komposition
16
(g ◦ f )(x) := g( f (x))
auf
D(g ◦ f ) := f −1 (D(g)) ⊆ D( f ) .
1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.1.3 Umkehrabbildungen
Definition 1.3.2. g : D(g) ⊆ Y → X heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung zu
f : D( f ) ⊆ X → Y , wenn D(g) = f (X), D( f ) = g(Y ) und g( f (x)) = x für x ∈ D( f ).
Sie wird mit f −1 bezeichnet.
Satz 1.3.3 (Umkehrabbildung). Ist f : A → B bijektiv, so existiert die zu f inverse Abbildung f −1 : B → A.
Ist f : A → B bijektiv, so erhält man f −1 : B → A durch:
y = f (x) nach x auflösen:
x = f −1 (y)
x und y formal vertauschen: y = f −1 (x)
1.
2.
Für eine Funktion f erhält man graph f −1 durch Spiegelung von graph f an der Geraden
x = y.
1.3.2 Elementare Funktionen
1.3.2.1 Potenzfunktionen
Wir definieren die Potenzfunktion potr zum Exponenten r ∈ R durch
potr : R>0 → R>0 ,
x 7→ xr
Die Potenzgesetze ergeben entsprechende Eigenschaften der Potenzfunktion, z.B.
y
10
Wegen
x2
8
1
1
potr (pot1/r x) = (x r )r = x r r = x
für x > 0 ,
6
√
4
ist pot 1 die Umkehrfunktion zu potr .
r
x
2
2
4
6
8
10
x
1.3.2.2 Polynome und gebrochen-rationale Funktionen
Seien n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R. Dann ist p : R → R mit
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
ein Polynom.
17
1 Grundlagen
Gilt an 6= 0 oder n = 0, so heißt n der Grad deg p des Polynoms.
Gilt p(x0 ) = 0, so heißt x0 eine Nullstelle von p.
Eine Funktion R : D(R) ⊆ R → R heißt gebrochen-rationale Funktion, wenn Polynome p
und q existieren, so daß
p(x)
für x ∈ D(R) .
R(x) =
q(x)
(Insbesondere muß q so existieren, daß q(x) 6= 0 für x ∈ D(R).)
R heißt echt-gebrochen, wenn deg p < deg q.
Eine Zahl x0 ∈ D(R) heißt Nullstelle von R, wenn R(x0 ) = 0, d.h., p(x0 ) = 0.
Eine Zahl x0 6∈ D(R) heißt Polstelle von R, wenn p und q so existieren, daß p(x0 ) 6= 0 und
q(x0 ) = 0.
1.3.2.3 Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen)
Dies sind sin : R → R, cos : R → R und die daraus abgeleiteten Funktionen tan, cot, sec,
cosec, wobei
sin β
=
tan β
=
secβ
=
b
,
c
b
=
a
c
=
a
cos β =
a
,
c
sin β
,
cos β
1
,
cos β
a cos β
cot β = =
,
b
sin β
c
1
cosecβ = =
.
b sin β
c
β
a
Der Winkel α ist dabei im Bogenmaß zu nehmen: 2π = 360◦ .
Wertetabelle:
x
cos x
sin x
18
0
0√◦
1
2 √4
1
2 0
π
6
◦
30
√
1
2 √3
1
2 1
π
4
◦
45
√
1
2 √2
1
2 2
π
3
◦
60
√
1
2 √1
1
2 3
π
2
◦
90
√
1
2 √0
1
2 4
b
1.3 Abbildungen und Funktionen
Wichtigste Eigenschaften:
Symmetrie:
Additionstheoreme:
Periodizität:
sin(−x) = − sin x ,
2
cos(−x) = cos(x) ,
2
sin x + cos x = 1 ,
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ,
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y ,
sin(π − x) = sin x , sin(x + 2kπ) = sin(x) ,
cos(π − x) = − cos x , cos(x + 2kπ) = cos(x) .
Weitere Eigenschaften siehe in einer Formelsammlung.
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen können nur auf Monotonieintervallen definiert werden:
y
1
• Die Einschränkung sin [− π , π ] der Sinusfunktion auf
2 2
das Intervall [− π2 , π2 ] ist streng monoton wachsend mit
dem Bildbereich [−1, 1].
-3
-2
-1
sin x
1
2
x
3
-1
y
1
Daher existiert dazu die Umkehrfunktion
-1
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , ] ,
2 2
-1
1
arcsin x
x
Arcussinus genannt.
• Die Einschränkung cos [0,π] der Cosinusfunktion aufincludegraphics[scale=0.8]funktion004.mps
das Intervall [0, π] ist streng monoton fallend mit dem
Bildbereich [−1, 1].
y
3
2
Daher existiert dazu die Umkehrfunktion
arccos x
1
arccos : [−1, 1] → [0, π] ,
-1
1
x
Arcuscosinus genannt.
19
1 Grundlagen
y
tan x
5
• Die Einschränkung tan ]− π , π [ der Tangensfunktion
2 2
auf das Intervall ] − π2 , π2 [ ist streng monoton wachsend
mit dem Bildbereich ] − ∞, ∞[.
-3
-2
-1
1
2
x
3
-5
y
Daher existiert dazu die Umkehrfunktion
1
π π
arctan : ] − ∞, ∞[ → ] − , [ .
2 2
arctan x
-4
-2
Arcustangens genannt.
2
x
4
-1
1.3.2.4 Logarithmus- und Exponentialfunktion
y
20
15
Die Exponentialfunktion zur Basis b > 0 ist definiert durch
expb : R → R>0 ,
10
x 7→ expb (x) := bx .
5
-4
-2
0
2
4
x
Eigenschaften ergeben sich aus den Potenzgesetzen.
y
2
Die Logarithmusfunktion zur Basis b > 0, b 6= 1 ist definiert
durch
logb : R>0 → R , x 7→ logb x .
1
1
2
3
-1
-2
Eigenschaften ergeben sich aus den Logarithmengesetzen.
Insbesondere gilt
expb (logb x) = x
für x ∈ R>0
und
logb (expb x) = x
Damit sind expb und logb Umkehrfunktionen zueinander.
20
für x ∈ R .
4
5
x
1.3 Abbildungen und Funktionen
1.3.2.5 Hyperbelfunktionen
Eine besondere Rolle spielen die natürlichen Exponential- bzw. Logarithmusfunktion
exp := expe ,
ln := loge
mit der Basis e = 2.71828 . . . (diese Zahl wird später genau definiert).
Mit Hilfe der Exponentialfunktion können weitere Funktionen gebildet werden, die für die
Technik Bedeutung haben. Die bekanntesten sind die Hyperbelfunktionen.
Sinus hyperbolicus sinh : R → R und Cosinus hyperbolicus cosh : R → R>0 sind definiert
durch
ex − e−x
ex + e−x
, cosh x =
.
sinh x =
2
2
y
60
y
40
40
30
20
-4
sinh
2 x
-2
4
x
20
10
-20
-40
-4
-2
2
4
x
-60
Sie haben Eigenschaften, die sehr stark an Sinus und Cosinus erinnern, obwohl sie mit
diesen Funktionen nicht direkt etwas zu tun haben:
Symmetrie :
Additionstheoreme:
sinh(−x) = − sinh x ,
2
cosh(−x) = cosh(x) ,
2
cosh x − sinh x = 1 ,
sinh(x + y) = sinh x cosh y+ cosh x sinh y ,
cosh(x + y) = cosh x cosh y+ sinh x sinh y .
All diese Eigenschaften leiten sich unmittelbar aus den Definitionen her. Beachte sinh(0) =
0 und cosh(0) = 1.
Ein schönes Anwendungsbeispiel für die Hyperbelfunktionen ist
Beispiel 1.3.4. Ein homogenes, an seinen Endpunkten aufgehängtes, nur durch sein Eigengewicht belastetes Seil hat die Form einer Kettenlinie
x−b
y(x) = a cosh
+ c.
a
♦
Hierin sind a, b, c konstant, a > 0.
21
1 Grundlagen
1.3.2.6 Areafunktionen
Die Umkehrfunktionen von sinh und cosh R heißen Area sinus hyperbolicus bzw. Area
>0
cosinus hyperbolicus,
arsinh : R → R ,
arcosh : [1, ∞[ → R≥0 .
So wie sinh und cosh durch die exp-Funktion ausgedrückt werden, können die Area-Funktionen durch die Logarithmusfunktion beschrieben werden. Wir sehen dies durch Auflösen
der Gleichungen
y = sinh x bzw. y = cosh x
nach x. Es gilt
ex − e−x
⇐⇒ ex − 2y = e−x ⇐⇒ (ex )2 − 2yex = 1
2p
p
⇐⇒ ex = y + y2 + 1 oder ex = y − y2 + 1 .
y = sinh x ⇐⇒ y =
Dabei kannp
das „−“-Zeichen nicht wirklich auftreten, da
x = ln(y + y2 + 1).
p
y2 + 1 > y und ex > 0. Also gilt
Damit hat man
p
arsinh x = ln x + x2 + 1
p
2
arcosh x = ln x + x − 1
22
und entsprechend
(x ≥ 1) .