14 Die Tschebyschev`sche Unglei- chung

Die Tschebyschev'sche Ungleichung
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Die Tschebyschev'sche Unglei-
chung
Bezeichnet man X(ω) − E(X) als die
X(ω) vom Erwartungswert E(X), so
Auslenkung von Überblick
liefert die Tschebyschev'sche Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit der Menge all der ω ∈ Ω, für die die Auslenkung gröÿer als eine vorgegebene Zahl t ausfällt.
Eine Verschärfung der Tschebyschev'schen Ungleichung ist
nicht möglich, wie ein Beispiel lehrt.
Ein auf der
Tschebyschev'schen Ungleichung basierender
Sachverhalt
man das
gibt Anlass zur
Denition
einer
Bedingung,
schwache Gesetz der groÿen Zahlen
die
nennt.
Wir formulieren und beweisen zunächst einen Satz der
die Tschebyschev'sche Ungleichung beinhaltet.
14.1 Satz (Tschebyschev'sche Ungleichung)
Sei
(Ω, P(Ω), P )
ein WRaum. Die ZV
X : Ω → R
besitze eine endliche Varianz. Dann gilt:
(14.1.1)
P
V (X)
ω ∈ Ω X(ω)−E(X) ≥ t ≤
t2
(t ∈ R , t > 0) .
Beweis:
Für
A := ω ∈ Ω |X(ω) − EP (X)| ≥ t
gelten oen-
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
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bar die folgenden Abschätzungen
2 2 EP X−EP (X) ≥ EP X−EP (X) ·1A ≥ t2 ·EP (1A ) ≥ t2 ·P (A
so dass sich die Behauptung aufgrund von
V (X) = EP
2 2 X − E(X)
= EP X − EP (X)
ergibt.
Oenbar liefert (14.1.1) eine obere Schranke für die
ω ∈ Ω, für die die
X(ω) − E(X) gröÿer oder gleich t aus-
Wahrscheinlichkeit der Menge aller
Auslenkung
fällt. Die in Rede stehende obere Schranke ist gegeben
V (X)
durch
.
t2
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
Abbildung 14.1:
131
Darstellung der Menge
{ω ∈ Ω||X(ω) − E(X)| ≥ t} =: A
aus dem
Linksterm (14.1.1) :
R ............
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E(X) + t
E(X)
X
E(X) − t
A := {ω ∈ Ω||X(ω) − E(X)| ≥ t}
In diesem Zusammenhang verweisen wir auf Experiment 14.1, das die Tschebyschev'sche Ungleichung zum
Gegenstand hat.
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
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Ohne Nachweis halten wir fest, dass es nicht möglich
ist, die durch die Tschebyschev'sche Ungleichung gegebene Abschätzung zu verschärfen.
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
133
14.2 Satz
Sei
(Ω, P(Ω), P )
ein WRaum. Die ZVen
Xi : Ω → R
mit endlichen Varianzen seien stochastisch unabhängig
2
und es gelte E(Xi ) = a sowie V (xi ) = σ , i = 1, . . . , n.
Dann ist
(14.2.1)
P
n
1 X
σ2
Xi (ω)−a ≥ t
≤ 2
ω ∈ Ω
n i=1
nt
(t ∈ R , t > 0)
Beweis:
Wegen der vorausgesetzten stochastischen Unabhängigkeit der
Xi , i = 1, . . . , n erhält man für die Varianz
der ZV
n
X
Xi −
i=1
n
X
i=1
n
X
E(Xi ) =
Xi − na
i=1
aufgrund von 13.7.4 (Formel von Bienaymé) die Grö2
ÿe nσ . Damit folgt aufgrund der Tschebyschev'schen
Ungleichung
P
n
X
n
o
σ2
nσ 2
ω ∈ Ω
Xi (ω)−na ≥ nt
≤ 22 = 2,
nt
nt
i=1
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
wobei für
Zahl
nt
t
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(im Links wie im Rechtsterm) die
gesetzt wurde, woraus die Behauptung nun
folgt.
Oenbar konvergiert der Rechtsterm in (14.1.1), der
eine obere Schranke für die als Linksterm auftretende
Wahrscheinlichkeit darstellt, für
n→∞
gegen null.
Tatsächlich motiviert der angesprochene Sachverhalt
die Denition dessen, was man als
schwaches Ge-
setz der groÿen Zahlen versteht.
14.3 Denition
Seien
(Ω, P )
ein WRaum und
(Xi )
eine Folge reeller,
integrierbarer ZVen. Gilt dann für alle
ε>0
(14.3.1)
lim P
n→∞
n
1 X
ω ∈ Ω
Xi (ω)−E(Xi ) ≥ ε
= 0,
n i=1
so sagt man,
die Folge
(Xi )
genüge dem schwa-
chen (oder Bernoullischen) Gesetz der groÿen
Zahlen.
Die Bedingung (14.3.1) heiÿt das Gesetz der groÿen
Zahlen.
Die Tschebyschev'sche Ungleichung
135
In einer Vielzahl von Sätzen werden nun Bedingungen
die Folge
(Xi )
betreend formuliert derart, dass
das schwache Gesetz der groÿen Zahlen erfüllt ist.
(Xi )
Dies ist beispielsweise der Fall, wenn eine Folge
reeller, paarweise unabhängiger ZVen der Bedingung
n
1 X
V (Xi ) = 0
lim
n→∞ n2
i=1
genügt, was die Existenz der Varianzen
V (Xi ), i ∈ N,
voraussetzt.
14.4 Aufgabe
Sei
(Ω, P )
ein WRaum und seien
unabhängige ZVen auf
E(Xj ) = 10 ,
Wie groÿ muss
Ω
X1 , . . . , Xn
mit
V (Xj ) = 20
(j ∈ Nn ) .
n aufgrund von Satz 14.3 gewählt wer-
den, damit die Abschätzung
P
ω ∈ Ω X(ω) − E(X) ≥ 4
≤ 0.01
gilt, wobei
reelle
X=
1
n
Pn
j=1
Xj
ist?
L