Supraleitung - Mischa Hildebrand

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Physik
Institut für Festkörperphysik
Versuch 3.16-B:
Supraleitung
Praktikum für Fortgeschrittene
Von
Daniel Rieländer
(1206706)
&
Mischa Hildebrand
(1270606)
21. April 2008
Versuchsleiter: Dr. Alexei Privalov
Diese Ausarbeitung wurde von Daniel Rieländer und Mischa Hildebrand eigenständig
erstellt. Eventuell aus anderen Quellen entnommene Zitate sind immer eindeutig als solche
gekennzeichnet und im Literaturverzeichnis gelistet.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Ziel des Versuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2 Vorbereitung
2.1 Was ist Supraleitung? . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Klassifikation der Supraleiter . . . . . .
2.1.2 Temperaturabhängigkeit des spezifischen
2.1.3 Die London-Theorie . . . . . . . . . . .
2.1.4 Die GLAG-Theorie . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Das Zwei-Flüssigkeiten-Modell . . . . .
2.1.6 Cooper-Paare und die BCS-Theorie . . .
2.2 Messtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
5
6
6
7
7
8
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Widerstands
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
3 Auswertung
9
3.1 Bestimmung der Sprungtemperatur von Y Ba2 Cu3 O7 . . . . . . . 9
3.2 Ermittlung der Abhängigkeit der Sprungtemperatur vom Magnetfeld bei Niob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Ergebnis
11
2
1 Einleitung
1 Einleitung
1.1 Ziel des Versuchs
In diesem Versuch soll das Phänomen der Supraleitung untersucht werden. Wir
verwenden zwei verschiedene Messmethoden (resistive und induktive Messung),
um das Verhalten je eines Typ I- und eines Typ II-Supraleiters zu analysieren.
Es soll überprüft werden, inwieweit unsere Messung mit den Vorhersagen der
London-Theorie übereinstimmt. Gleichzeitig soll ein Einblick in die Tieftemperaturtechnik gegeben werden.
2 Vorbereitung
2.1 Was ist Supraleitung?
Vor Beginn des 20. Jahrhunderts, als man noch weit davon entfernt war, Temperaturen nahe des absoluten Nullpunkts zu erreichen, gab es verschiedene
Theorien, wie sich der elektrische Widerstand in diesem Tieftemperaturbereich
verhalten würde. Beispielsweise wurde oft angenommen, dass der Widerstand
ein bestimmtes Minimalniveau nicht unterschreiten oder gar unterhalb einer
bestimmten Temperatur stark ansteigen würde.
Dem niederländischen Physiker Heike Kamerlingh Onnes gelang es im Jahr
1908 erstmals, das Edelgas Helium zu verflüssigen (Siedepunkt: 4.2 K) und
damit dauerhaft tiefe Temperaturen zu erreichen. Drei Jahre späte entdeckte
er dank seiner neuen Experimentiertechnik, dass der elektrische Widerstand
von Quecksilber unterhalb einer Schwellentemperatur von etwa 4.2 K ruckartig
auf unmessbar kleine Werte absank – er hatte damit die Supraleitung entdeckt.
Dies ließ bei Kamerlingh Onnes die Hoffnung aufkommen, auf relativ einfache Art und Weise völlig verlustfreie Spulen bauen zu können. Mit einiger
Enttäuschung musste er jedoch später feststellen, dass die perfekte Leitfähgikeit unterhalb einer kritischen Temperatur1 Tc nicht die einzige besondere
Eigenschaft eines Supraleiters ist und die Idee der perfekten Spule damit nicht
aufgehen konnte: Ein von außen angelegtes Magnetfeld wird im Innern des
Supraleiters (bis auf einen kleinen Randbereich, in dem die Flussdichte exponentiell abnimmt) vollständig verdrängt, solange die Sprungtemperatur Tc und
eine kritische Magnetfeldstärke Hc1 nicht überschritten wird. Dieses Verhalten
wird als Meißner-Ochsenfeld-Effekt bezeichnet. Würde ein Supraleiter nur ideal
leitend sein und nicht dem Meißner-Ochsenfeld-Effekt unterliegen, so wären
Änderungen im Temperatur-Magnetfeld2 -Phasendiagramm nicht reversibel und
man würde je nach Reihenfolge des Experimentierens zu unterschiedlichen supraleitenden Phasen gelangen (siehe dazu Abbildung 1). Da der Supraleiter
unter den genannten Bedingungen aber zum perfekten Diamagneten wird, ist
dieses Problem gelöst und die supraleitende Phase kann damit als echter thermodynamischer Zustand betrachtet werden (Meißner-Phase).
1
Die kritische Temperatur wird in der Literatur und im Folgenden auch als Sprungtemperatur
oder Schwellentemperatur bezeichnet.
2
Hierbei ist natürlich das von außen angelegte Magnetfeld gemeint.
3
2 Vorbereitung
Bc0
Magnetfeld Bc
Weg A
2
1
Weg B
Temperatur T
Tc
Abbildung 1: T -Bc -Phasendiagramm eines Supraleiters. Der blau eingefärbte
Bereich ist der Stabilitätsbereich der supraleitenden Phase. Wegen
des Meißner-Ochsenfeld-Effekts sind die Wege A und B äquivalent
und führen zum selben supraleitenden Zustand.
2.1.1 Klassifikation der Supraleiter
Supraleiter werden nach ihrem Magnetisierungsverhalten bei einem von außen
angelegten Magnetfeld in zwei Klassen unterschieden (vgl. Abbilung 2):
• Typ I:
Supraleiter des Typs I verhalten sich bis zum kritischen Punkt Hc des
äußeren Magnetfeldes wie ein idealer Diamagnet. Das Magnetfeld wird
also nach außen gedrängt, sodass das resultierende Magnetfeld im Innern
des Supraleiters verschwindet. Am Punkt Hc steigt die Magnetisierung
sprunghaft an, die supraleitende (Meißner-)Phase wird zerstört und der
Supraleiter verhält sich wie ein normaler Leiter.
• Typ II:
Supraleiter des Typs II zeigen bei sehr kleinen Temperaturen dasselbe
Verhalten wie Supraleiter des I. Typs. Ab einem Punkt Hc1 wird die Magnetiesierung jedoch langsam wieder positiver, bis sie an einem Punkt Hc2
gleich null wird. Der Übergang von der Meißnerphase zur normalleitenden
Phase geschieht also nicht abrupt und es gibt einen Bereich, in dem das
äußere Magnetfeld nur teilweise aus dem Supraleiter verdrängt wird, ihn
teilweise aber auch noch fädenartig durchsetzt. Dieser Bereich (zwischen
Hc1 und Hc2 ) wird Shubnikov-Phase genannt.
Obwohl es erheblich weniger Supraleiter des Typs I3 gibt als solche des Typs II4 ,
war man sich lange Zeit nicht bewusst, dass Typ II-Supraleiter überhaupt exis3
4
alle supraleitenden Elemente (außer Niob, Vanadium und Technetium)
alle Legierungen und Verbindungen
4
2 Vorbereitung
Magnetisierung M
0
Typ II
Typ I
Äußeres Magnetfeld B
0
Bc1
Bc
Bc2
Abbildung 2: Das Magnetisierungsverhalten von Typ I- und Typ II-Supraleitern
in Abhängigkeit des von außen angelegten Magnetfelds.
tieren. Messungen an Supraleitern, welche ein vom Typ I abweichendes Verhalten zeigten, wurden als Messungenauigkeiten verworfen. Shubnikov hatte
zwar bereits 1937 systematische Messungen an Typ II-Supraleitern durchgeführt; diese wurden aber durch Arbeiten anderer Wissenschaftler erst über
zwei Jahrzehnte später bekannt. Typ II-Supraleiter sind bis heute theoretisch
nicht hinreichend erklärt und sind daher Thema der aktuellen Forschung. Es
wird angenommen, dass wie bei den Typ I-Supraleitern sog. Cooper-Paare die
Ladungsträger sind (vgl. Abschnitt 2.1.6).
2.1.2 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands
Der Verlauf der Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands unterscheidet sind bei Metallen, Halbleitern und Supraleitern. Metalle haben einen
mit sinkender Temperatur monoton abfallenden Widerstand. Im Gegensatz dazu
steigt der Widerstand von Halbleitern bei fallender Temperatur erst an, fällt
aber ab einer bestimmten Temperatur aber ebenfalls ab. Beide Materialien
können auch Supraleiter sein. Unterschreitet die Temperatur den kritischen
Punkt eines Supraleiters, so ist kein Widerstand mehr vorhanden und der Strom
kann quasi unendlich lange im Supraleiter fließen.
2.1.3 Die London-Theorie
Die Gebrüder London entwickelten 1935 eine Theorie, welche die Supraleitung
(und den Meißner-Ochenfeld-Effekt) phänomenologisch erklärt. Ihre zentrale
Aussage ist in der London-Gleichung enthalten:
2
~ − nq A
~
~j = nqh̄ ∇S
m
m
5
(1)
2 Vorbereitung
Die Theorie erläutert außerdem, warum ein Supraleiter nicht vollständig diamagnetisch ist, sondern in den Randbereichen noch vom äußeren Magnetfeld
durchsetzt wird. Die Gebrüder London führten zwei für Supraleiter chrakteristische Abstände ein:
• Die Londonsche Eindringtiefe λL gibt an, bei welchem Abstand zur Oberfläche das Magnetfeld im Innern des Supraleiters auf 1e seines ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Hat man beispielsweise nur eine sehr dünne
Schicht eines Supraleiters mit d ¿ λL , so durchdringt das äußere Magnetfeld diese gesamte Schicht.
• Die Kohärenzlange ξ gibt den mittleren Abstand der Elektronen in den
Cooper-Paaren an.
Der Stromfluss in Supraleitern ist abhängig von der Eindringtiefe. Dieses Verhalten wird nach der London-Theorie durch die folgende Gleichung beschrieben:
1
j=−
µ0 λ2L
2.1.4 Die GLAG-Theorie
In der Theorie von Grinzgurg, Landau, Abrikosov und Gorkov (kurz: GLAG)
werden Supraleiter des Typs I von denen des Typs II durch den GinzburgLaundau-Parameter κ unterschieden. κ ist der Quotient aus der Eindringtiefe
und der Kohärenzlänge:
λL
κ=
ξ
Es wurde gezeigt, dass man abhängig vom Wert des Ginzburg-Landau-Parameters
die verschiedenen Supraleiter-Typen folgendermaßen kategorisieren kann:
• κ<
√1
2
⇒ Supraleiter Typ I
• κ>
√1
2
⇒ Supraleiter Typ II
2.1.5 Das Zwei-Flüssigkeiten-Modell
Gorter und Casimir untersuchten fanden 1934 mit ihrem Zwei-FlüssigkeitenModell eine realtiv einfache Beschreibung der Supraleitung, mittels derer sich
der Verlauf der Hc (T )-Kurve quantitativ vorhersagen ließ:
Ã
µ ¶2 !
T
Hc (T ) = Hc (0) 1 −
Tc
Durch Multiplikation dieser Gleichung mit µ erhält man daraus sofort dieselbe
Beziehung für die magnetische Flussdichte:
Ã
µ ¶2 !
T
Bc (T ) = Bc (0) 1 −
Tc
Es bleibt jedoch anzumerken, dass die Erklärungen von Gorter und Casimir in
erster Linie phänomenologischer Natur sind und somit die Temperaturabhängigkeit von Hc nur angenähert voraussagen können.
6
2 Vorbereitung
2.1.6 Cooper-Paare und die BCS-Theorie
Im Jahr 1957 lieferten John Bardeen, Leon N. Cooper und John R. Schrieffer
mit der nach ihnen benannten BCS-Theorie erstmals eine quantenmechanische
Erklärung der Supraleitung und erhielten 15 Jahre später dafür den Nobelpreis.
Obwohl sich die Theorie ursprünglich nur auf Typ I -Supraleiter bei sehr tiefen
Temperaturen bezog, kann sie auch die erst später entdeckte HochtemperaturSupraleitung erklären. Allerdings ist bist heute unklar, wie die Bildung der
sogenannten Cooper-Paare in diesem Fall zustande kommt.
Diese Cooper-Paare bilden das Kernstück der BCS-Theorie: Ein CooperPaar besteht aus zwei Elektronen, welche über elektromagnetische Wechselwirkung aneinander gebunden sind. Natürlich würden sich Elektronen unter
normalen Umständen durch die Coulomb-Kraft gegenseitig abstoßen. Nach der
BCS-Theorie zieht ein Elektron ebenfalls aufgrund der Coulomb-Kraft die Gitteratomkerne des supraleitenden Festkörpers in seiner Umgebung ein Stück aus
ihrer ruhenden Position heraus, sodass die Ladung in einem größeren Bereich
nicht mehr gleichverteilt ist. Es entsteht um das Elektron eine Verdichtung
von positiven Ladungen; das Gitter wird also polarisiert. Da die Gitteratome
aufgrund ihrer weit höheren Masse dem Elektron nur stark zeitverzögert folgen5 ,
entsteht insgesamt eine Polarisationswelle, welche sich durch den Festkörper ausbreitet und die Coulomb-Wechselwirkung der Elektronen untereinander überkompensiert. Sie wird qunatenmechanisch als Quasi-Teilchen betrachtet und als
Phonon bezeichnet.
Dieses Phonon wirkt eine attraktive Kraft auf andere Elektronen aus, sodass
der „Polarisationsspur“ eines Elektrons ein anderes (mit entgegengesetztem Spin
und Impuls) folgt; beide zusammen bilden dann ein Cooper-Paar. Damit hat ein
Cooper-Paar den Spin 0 und kann als Boson betrachtet werden. Für das CooperPaar gilt folglich das Pauli-Prinzip nicht (es dürfen alle Bosonen denselben
Quantenzustand besetzen) und es muss auch der Fermi-Statistik nicht genügen.
2.2 Messtechnik
Zum Nachweis der Supraleitung stehen zunächst aufgrund der charakteristischen
Eigenschaften eines supraleitenden Materials zwei verschiedene Messmethoden
zur Verfügung:
Bei der resistiven Messung (Vierpol-Widerstands-Messmethode) macht man
sich zunutze, dass Materialien in der supraleitenden Phase quasi widerstandsfrei
sind. Während die Probe über zwei Kontakte mit einem konstant gehaltenen
Gleichstrom I durchflossen wird, misst man über zwei weitere Kontakte direkt
über dem Widerstand den Spannungsabfall U (vgl. Abbildung 3a). Supraleitung
liegt damit genau dann vor, wenn kein Spannungsabfall mehr messbar ist, denn
es gilt wegen I = const.:
U
U =0 ⇔ R=
=0
I
5
Hierin liegt auch der Grund für den Isotopen-Effekt: Schwerere Isotope können der
polarisierenden Wirkung eines Elektrons aufgrund ihrer Trägheit nur langsam folgen.
Insgesamt resultiert dies in einer weniger starken Polarisation und letztlich auch in einer
niedrigeren kritischen Temperatur.
7
2 Vorbereitung
(a) Resistive Messmethode
(b) Induktive Messmethode
Abbildung 3: Messanordnung der verschiedenen Messmethoden
Durch zweifache Messung mit verschiedener Stromrichtung (aber gleichem Betrag) können unerwünschte Effekte wie Thermospannung oder intrinsische Widerstände einfach eliminiert werden. Obwohl die Zuleitungskabel einen wesentlich höheren Widerstand haben als die Probe selbst, kann der Widerstand durch
Differenzbildung somit sehr präzise gemessen werden.
Die induktive Messung benutzt die Meißner-Phase, um Supraleitung nachzuweisen. Die Messapparatur besteht aus einer sog. Primärspule und zwei Sekundärspulen, welche beide baugleich, aber in entgegengesetzte Richtung gewickelt
sind (Abmessungen und Windungszahl ist identisch, vgl. Abbildung 3b). Legt
man einen Strom an die Primärspule an, so wird ein Magnetfeld erzeugt, welches die beiden Sekundärspulen durchdringt und dort wieder eine Spannung
induziert. Verbindet man nun die Sekundärspulen und misst die resultierende
Spannung, so gleichen sich im Idealfall beide Spannungen aufgrund der umgekehrten Wicklung gerade aus. Führt man nun aber eine Probe in einer der
Sekundärspulen ein, so wird das Magnetfeld aus dem Innern diese Spule teilweise
verdrängt und die Induktivität ändert sich. Folglich ist die Spannungsdifferenz
nicht mehr Null. In einem Supraleiter wird das gesamte Magnetfeld aus der
Probe verdrängt, sodass die Suszeptibilität ruckartig einen Minimalwert erreicht,
sobald die Probe in den supraleitenden Zustand übergeht.
2.3 Versuchsaufbau
Da Supraleitung nur bei tiefen Temperaturen auftritt, muss die Messanordnung
in diesem Versuch gut isoliert sein. Es wird ein doppelwandiger Kryostat verwendet, dessen Zwischenschicht evakuiert ist. In ihm befindet sich ein Probenhalter,
an dem sämtliche für das experiment benötigte Proben6 und Messvorrichtungen7
montiert sind (siehe Abbildung 4). Außerdem befindet sich an dem Probenkopf
zur Regelung der Temperatur eine Heizspule.
Nach der Befüllung des Kryostaten mit flüssigem Stickstoff wird die Messung
der Übergangstemperatur von Y Ba2 Cu3 O7 gestartet. In einem Zyklus von fünf
6
7
Niob, YBCO, GaAs/GaAlAs
Mutual Inductance Bridge, Vierpol-Schaltung, Temperaturfühler
8
3 Auswertung
Abbildung 4: Anordnung der Proben im Probenhalter
Sekunden wird jeweils ein Datenpaar aufgenommen und im angeschlossenen
Computer gespeichert.
Anschließend wird der Stickstoff aus dem Kryostaten entfernt und durch
flüssiges Helium ersetzt. Es beginnt nun die Messung der resistiven Übergänge
von Niob, wobei für verschieden starke von außen angelegte Magnetfelder jeweils
eine Messreihe durchgeführt wird. Für jede dieser Messreihen wird die Temperatur manuell modifiziert, wobei jeweils einmal mit steigender und einmal mit
fallender Temperatur gemessen wird, um Hysterese-Effekte zu eliminieren. Es
ergibt sich für jede Messreihe ein Diagramm, aus dem die Sprungtemperatur
zum jeweiligen Magnetfeld abgelesen werden kann.
3 Auswertung
3.1 Bestimmung der Sprungtemperatur von Y Ba2 Cu3 O7
Zur Bestimmung der Übergangstemperatur von Y Ba2 Cu3 O7 verwendeten wir
die induktive Messmethode. Die erhaltenen Messpunkte sind in Abblidung 5
dargestellt. Um einen möglichst genauen Wert für die Sprungtemperatur zu
erhalten, haben wir zwei Geraden an die Messpunkte angefittet (eine an die
Messpunkte der Anstiegsflanke, eine an die Messpunkte in der normalen Phase).
Deren Schnittpunkt liefert uns den Wert der Sprungtemperatur Tc . In unserer
Messung lag er bei
Tc = (89.00 ± 0.10) K
In der Literatur wird häufig ein Wert von 92.0 K für die Sprungtemperatur
von Y Ba2 Cu3 O7 angegeben; in einigen anderen Quellen8 wird aber auch eine
niedrigere Temperatur von etwa 90.0 K angegeben. Berücksichtigt man diese
Schwankungen in den Literaturangaben und das Alter der Probe, so lässt sich
sagen, dass wir – obwohl unser Wert nicht innerhalb der Fehlerschranken liegt –
die Sprungtemperatur von Y Ba2 Cu3 O7 dennoch recht genau bestimmen konnten.
8
z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/YBCO
9
3 Auswertung
Suszeptibilität χ / Skt.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
Temperatur T / K
Abbildung 5: Diagramm mit Messdaten und Fitgeraden zur Bestimmung der
Sprungtemperatur von Y Ba2 Cu3 O7
3.2 Ermittlung der Abhängigkeit der Sprungtemperatur vom
Magnetfeld bei Niob
Mit der resistiven Methode haben wir für sechs verschiedene Magnetfeldstärken
die Sprungtemperatur Tc bestimmt. Dabei haben wir jedesmal den Widerstand
über der Temperatur gemessen (wieder computergestützt in fünf-SekundenIntervallen) und aus der Gesamtheit der Wertepaare einer Messreihe die Sprungtemperatur nach dem gleichen Verfahren wie in Abschnitt 3.1 bestimmt. Die
Parameter der jeweiligen Fitgeraden haben wir zusammen mit der angelegten
Flussdichte B und der aus dem Geradenschnittpunkt bestimmten Sprungtemperatur Tc in der folgenden Tabelle angegeben:
B/T
0.00
0.01
0.02
0.04
0.07
0.10
Tc / K
9.47
9.23
9.19
9.02
8.56
8.30
10− 2 · m1
1.90
2.06
2.57
2.01
1.75
1.80
10− 1 · n1
-1.77
-1.89
-2.34
-1.79
-1.47
-1.47
10− 5 · m2
3.72
2.74
3.99
2.85
4.10
2.81
10− 3 · n2
1.98
2.08
1.96
2.08
1.94
2.07
Die entsprechenden Diagramme und Fitgeraden sind in den Abbildungen 7
bis 12 zu sehen. Zur Überprüfung der von Gorter und Casimir experimentell
gefundenen Formel (Zwei-Flüssigkeiten-Modell, siehe 2.1.5) haben wir diese an
unsere Messpunkte angefittet und erhielten folgende Parameter:
Bc (0) = (0.424 ± 0.019) T
Tc = (9.44 ± 0.03) K
10
4 Ergebnis
Magnetische Flussdichte B / T
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
9.2
9.4
9.6
9.8
Sprungtemperatur Tc / K
Abbildung 6: Abhängigkeit der Sprungtemperatur Tc von Niob vom angelegten
Magnetfeld B und Fit der Gorter-Casimir-Funktion an die
experimentell bestimmten Wertepaare
An der Verteilung der Messpunkte und dem Verlauf der Gorter-CasimirFunktion in Abbildung 6 wird schnell einsichtig, dass der von uns untersuchte
Temperaturbereich viel zu klein ist, um das Zwei-Flüssigkeiten-Modell glaubhaft
zu bestätigen. Zwar folgt die angefittete Funktion hier in etwa dem Verlauf der
Messpunkte; man hätte aber ebenso gut eine Gerade durch die Messpunkte legen
können und auch keine größeren Abweichungen erhalten.
4 Ergebnis
Wir haben uns in diesem Versuch erstmals mit dem Phänomen der Supraleitung
beschäftigt und die grundlegenden Theorien zu deren Erklärung kennengelernt.
Es ist uns gelungen, die Sprungtemperaturen eines Typ I- und eines Typ IISupraleiters (bei verschiedenen äußeren Magnetfeldern) mit akzeptabler Genauigkeit zu bestimmen und haben zumindest nachweisen können, dass die
Sprungtemperatur in der Tat wie von den gängigen Theorien vorausgesagt,
vom äußeren Magnetfeld abhängig ist. Zur speziellen Abhängigkeitsfunktion der
beiden Größen konnten wir jedoch leider keine genauen Aussagen treffen.
Es ist uns durch diesen Versuch bewusst geworden, wie wenig erforscht Supraleitungseffekte selbst in der heutigen Zeit noch sind und wie sehr man sich
unterschiedlicher Modelle bedient, um physikalische Erscheinungen treffend und
möglichst einfach zu erklären.
11
4 Ergebnis
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
8.5
9
9.5
10
10.5
11
Temperatur T / K
Abbildung 7: R-T -Diagramm für B = 0.00 T
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
8.5
9
9.5
10
10.5
Temperatur T / K
Abbildung 8: R-T -Diagramm für B = 0.01 T
12
11
4 Ergebnis
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
8.5
9
9.5
10
10.5
11
Temperatur T / K
Abbildung 9: R-T -Diagramm für B = 0.02 T
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
8.5
9
9.5
10
10.5
Temperatur T / K
Abbildung 10: R-T -Diagramm für B = 0.04 T
13
11
4 Ergebnis
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
7.5
8
8.5
9
9.5
10
Temperatur T / K
Abbildung 11: R-T -Diagramm für B = 0.07 T
0.003
Widerstand R / Ω
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
7.5
8
8.5
9
9.5
Temperatur T / K
Abbildung 12: R-T -Diagramm für B = 0.10 T
14
10