3. ¨Ubung Graphentheorie I - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. L. Volkmann
http://www.math2.rwth-aachen.de
SS 2006
3. Übung Graphentheorie I
Aufgabe 1. Es sei n ≥ 4 und d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn eine Folge nicht negativer ganzer Zahlen. Zeigen Sie, daß d1 , d2 , . . . , dn genau dann durch einen Multigraphen realisiert wird, wenn
d1 − dn , d2 , . . . , dn−1 durch einen Multigraphen realisiert wird.
Aufgabe 2. Konstruieren Sie mit Hilfe von Aufgabe 1 einen Multigraphen mit der Gradsequenz 12, 8, 5, 5, 5, 4, 4, 3.
Aufgabe 3. Es sei G ein schlichter, zusammenhängender Graph der Ordnung n ≥ 6. Ist Ḡ
zusammenhängend, so zeige man
dm(G) · dm(Ḡ) ≤ 2(n − 1).
Aufgabe 4. Es sei G ein schlichter, zusammenhängender Graph der Ordnung n = 2p ≥ 2, der
p paarweise nicht inzidente Brücken enthält.
Man beweise m(G) ≤ p+1
.
2
Darüber hinaus gebe man für jedes p ∈ N ein Beispiel mit m(G) = p+1
an.
2
Aufgabe 5. Es sei G ein schlichter und zusammenhängender Graph der Ordnung n ≥ 2.
a)
Ist Ḡ zusammenhängend, so zeige man me(G)+me(Ḡ) ≥ 3.
b)
Ist G ein Baum, so zeige man me(G) ≥ 2 − n2 .
c)
Für alle n ≥ 2 gebe man einen Baum Hn der Ordnung n an mit me(Hn ) = 2 − n2 .
Aufgabe 6. Für jeden Baum T der Ordnung n ≥ 2 gibt es eine Ecke u ∈ E(T ), so dass keine
Komponente von T − u mehr als n2 Ecken enthält.
Aufgabe 7. Es sei G ein zusammenhängender Graph der Ordnung n ≥ 2 und a ∈ E(G). Man
zeige, dass G ein Gerüst T mit d(a, T ) = κ(G − a) besitzt.
Aufgabe 8. Es sei G ein schlichter Graph ohne Brücken und ohne isolierte Ecken. Zeigen Sie,
dass m(G) ≥ n(G) gilt und dass Gleichheit genau dann gilt, wenn G nur aus eckendisjunkten
Kreisen besteht.
Aufgabe 9. Man bestimme alle nicht isomorphen Bäume mit 6 Ecken.