Ubungsblatt 9 - Institut für Mathematik - Humboldt

Humboldt-Universität zu Berlin
Prof. E. Kirchberg
Institut für Mathematik
Rudower Chaussee 25, 1.103
Übungsblatt 9
Analysis auf Mannigfaltigkeiten – WS 05/06
Abgabe am 11.1.2006
Aufgabe 1
(2 Punkte)
Sei V eine Vektorraum der Dimension dim(V ) = n ≥ 1, B0 = (v1 , . . . , vn−1 , vn ) und B1 =
(v1 , . . . , vn−1 , wn ) (geordnete) Basen von V , die sich nur um die letzten Vektoren un und
wn unterscheiden. Es sei ut := (1 − t)vn + twn für t ∈ [0, 1].
Man zeige: B0 und B1 sind genau dann gleichorientiert, wenn (v1 , . . . , vn−1 , vt ) für jedes
t ∈ [0, 1] eine Basis von V ist.
Aufgabe 2
Man beweise:
(1+1+1+1 Punkte)
(i) Jedes C k -Vektorbündel ξ auf einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M hat höchstens zwei Orientierungen.
(ii) Jede zusammenhängende Mannigfaltigkeit M hat höchstens zwei Orientierungen.
(iii) Die Involution v 7→ −v ist eine orientierungs-umkehrende Abbildung von S 2 in S 2 ⊂
R3 .
(iv) Die projektive Ebene RP 2 = G3,1 ist nicht orientierbar.
Hinweis: Zuerst (i) und (iii) zeigen, und daraus (ii) und (iv) herleiten. (Bemerke, das
RP 2 = G3,1 ∼
= G3,2 zu S 2 /{+1, −1} isomorph ist.)
Aufgabe 3
(1 Punkt)
n
Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und ω ∈ Alt V von Null verschieden, ferner sei
(v a ω)(v1 , . . . , vn−1 ) := ω(v, v1 , . . . , vn−1 ) für v, v1 , . . . , vn−1 ∈ V .
Man zeige, dass die Abbildung v 7→ v a ω ein Isomorphismus von V auf Altn−1 V ist.
Aufgabe 4
(1+2 Punkte)
2
Sei gα ⊂ R die von 0 ausgehende Halbgerade mit dem Winkel α ∈ [0, 2π) zur positiven
x-Achse. Es bezeichne
ϕα : R2 \ gα → (α − 2π, α)
die Winkelfunktion der Polarkoordinaten von v ∈ R2 \ gα .
Man zeige:
(i) Es gibt (genau) eine Pfaffsche Form ω ∈ Ω1 (R2 \ {0}) mit ω|R2 \ gα = dϕα für jedes
α ∈ [0, 2π).
(ii) Es gibt keine differenzierbare Funktion f : R2 \ {0} → R mit ω = df .