Topologie und Geometrie: ¨Ubungsblatt 10

Prof. Dr. A. Beliakova
Sommersemester 2006
Topologie und Geometrie: Übungsblatt 10
Abgabe: Freitag, 16. Juni 2006, bis 12 Uhr in die Postfächer.
Aufgabe 1
Seien X und Y zwei n-dimensionale Mannigfaltigkeiten mit Rand. Zeige, dass es keinen
Homöomorphismus f : X → Y geben kann, der einen Randpunkt von X auf einen inneren
Punkt von Y abbildet.
Aufgabe 2
Sei n ≥ 2. Zeige:
a. π1 (Sn ) ist trivial.
b. [Sn , S1 ] und [Pn , S1 ] sind trivial.
Aufgabe 3
Seien G eine Gruppe und G = hg1 , . . . , gn |r1 , . . . , rm i eine Präsentierung von G mit Erzeugern gα und Relationen rβ . Der Cayley Graph Γ von G bezüglich den Erzeugern gα
ist der folgende Graph: Die Ecken von Γ sind die Elemente der Gruppe G. Zwei Ecken
x, y ∈ G werden mit einer Kante verbunden, wenn xgα = y für einen Erzeuger gα .
a. Zeige: Γ ist wegzusammenhängend.
b. Nimm an, dass in G gilt: gα 6= gα−1 für alle α und gα 6= gβ±1 für α 6= β. Finde eine
Operation von G auf Γ, sodass der Orbitraum Γ/G zu S1 ∨ . . . ∨ S1 (n Kreislinien)
homöomorph ist.
c. Sei G = hg1 , . . . , gn |−i eine freie Gruppe. In diesem Fall ist Γ einfach zusammenhängend. (Dies kann man beweisen, indem man verwendet, dass jeder Weg in Γ
simplizial approximiert werden kann, und dass sich jedes Element von G eindeutig
als reduziertes Wort in den gα schreiben lässt). Schliesse, dass π1 (S1 ∨ . . . ∨ S1 ) ' G.
Aufgabe 4
Für eine Matrix A = ( ac db ) ∈ M2 (Z) sei fA : S1 × S1 → S1 × S1 die Abbildung fA (z, w) :=
(z a wb , z c wd ). Zeige:
a. Für det(A) = 1 ist fA ein Homöomorphismus.
b. Für det(A) = m 6= 0 ist fA eine |m|–blättrige Überlagerung.
Aufgabe 5
Seien p, q zwei teilerfremde ganze Zahlen mit p ≥ 2. Fasse S3 als Menge aller (z, w) ∈ C2
mit |z|2 +|w|2 = 1 auf. Zeige: Die Gruppe Zp = {ζ ∈ C | ζ p = 1} der p-ten Einheitswurzeln
operiert eigentlich diskontinuierlich auf S3 durch ζ · (z, w) := (ζz, ζ q w). Der Orbitraum
L(p, q) := S3 /Zp heisst Linsenraum vom Typ (p, q). Berechne die Fundamentalgruppe von
L(p, q).
Aufgabe 6
Sei f ∈ C[z] ein nichtkonstantes Polynom, und seien D := C − f −1 (f (V (f 0 ))) und E :=
C − f (V (f 0 )), wobei V (f 0 ) := f 0−1 (0) die Nullstellenmenge von f 0 bezeichnet. Beweise:
a. f (D) ist nichtleer und E ist zusammenhängend. (Tipp: ]V (f 0 ) < ∞).
b. f (D) ist abgeschlossen in E. (Tipp: Beweise, dass f (C) in C abgeschlossen ist, indem
du verwendest, dass für |z| 0 auch |f (z)| 0 ist).
c. f (D) ist offen in C und jeder Punkt von f (D) hat eine Umgebung, welche von
f |D : D → E gleichmässig überlagert wird. (Tipp: Satz über Inverse Funktion).
Schliesse, dass f |D : D → E eine Überlagerung ist und dass f eine Nullstelle hat.