Topologie WS 2007/08 Blatt 3 Professor Deitmar Dr. Mark Blume

Topologie WS 2007/08
Professor Deitmar
Dr. Mark Blume
Blatt
3
Abgabe am: 12.11.2007 in der Vorlesung
1. Seien X, Y wegzusammenhängende Räume. Zeige:
π1 (X × Y ) ∼
= π1 (X) × π1 (Y ).
2. (a) Sei G eine endliche Gruppe, die frei durch Homöomorphismen auf S n operiert, wobei n ≥ 2 ist.
Zeige, dass G ∼
= π1 (G\S n ).
(b) Sei G eine endliche Untergruppe der SU(2) = {g ∈ SL2 (C) : gg ∗ = I}. Zeige: Die natürliche
Operation von G auf C2 lässt die Sphäre S 3 ⊂ R4 ∼
= C2 stabil und G operiert frei auf S 3 .
3. (a) Sei F2 die freie Gruppe in zwei Erzeugern a, b. Seien α, β : Z → F2 die Gruppenhomomorphismen gegeben durch α(k) = ak und β(k) = bk . Zeige, dass F2 die folgende universelle
Eigenschaft hat: Sei Γ eine Gruppe und seien ϕ, ψ : Z → Γ zwei Gruppenhomomorphismen,
dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus θ : F2 → Γ, so dass ϕ = θ ◦α und ψ = θ ◦β.
α
F2 Z
pp
6 pp θ
ϕ
β
pp
Rp ?
- Γ
Z
ψ
(b) Sei S 1 ∨ S 1 die Verheftung von zwei Kopien von S 1 in einem Punkt. Zeige: π1 (S 1 ∨ S 1 ) ∼
= F2 .
1
1
Die in der Vorlesung gegebene Beschreibung der universellen Überlagerung von S ∨ S kann
benutzt werden.
4. Sei X wegzusammenhängend und π : E → X eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein
Homöomorphismus d : E → E mit der Eigenschaft, dass das Diagramm
d
E
@
R
@
- E
X
kommutiert. Sei Γ(π) die Gruppe der Decktransformationen. Die Überlagerung π heißt galoisch,
falls π einen Homöomorphismus X ∼
= Γ(π)\E induziert. Zeige:
(a) Ist E zusammenhängend und ist d(e) = e für ein e ∈ E, so ist d = Id. Folgere: Ist π universell,
dann ist Γ(π) ∼
= π1 (X).
(b) Ist E = Σ\X̃ für eine normale Untergruppe Σ von π1 (X), dann ist π galoisch.
(Beachte: Ist Σ ⊂ Γ eine normale Untergruppe und operiert Γ auf einer Menge S, so permutiert
Γ die Σ-Bahnen in S.)