Inhalt - Informatik, TU Wien

Inhalt
PROLOG-1A: Mathematik?
PROLOG-1B: Aussagen
PROLOG-2: Mengen, Funktionen
PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2
PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen
Mathematik in Semestern 1+2
Mathematik in Sem. 1+2
I
2 × 2 Lehrveranstaltungen:
I
I
I
1
Algebra & Diskrete Mathematik f. Inf. u. WInf.1
Analysis f. Inf. u. WInf.
Bestehen jeweils aus Vorlesung (VO) und Übung (UE).
1. VO: morgen, 9:00, Audimax
Mathematik in Sem. 1+2
I
VO-Teil:
I
I
I
Tafel-Vortrag. Definitionen, Sätze, Beweise, Beispiele.
Vor-Lesen hilfreich!
Keine Anwesenheitspflicht.
Mathematik in Sem. 1+2
I
VO-Teil:
I
I
I
I
Tafel-Vortrag. Definitionen, Sätze, Beweise, Beispiele.
Vor-Lesen hilfreich!
Keine Anwesenheitspflicht.
Benotung: VO-Prüfung (findet ,,regelmässig” statt, siehe
TISS).
Mathematik in Sem. 1+2
I
UE-Teil:
I
I
I
I
2
Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff).
Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL.
In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel.
LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert.
20 Punkte pro Test erreichbar
Mathematik in Sem. 1+2
I
UE-Teil:
I
I
I
I
I
2
Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff).
Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL.
In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel.
LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert.
Anwesenheitspflicht! 3× Test (ca. alle 4 Wochen)!
20 Punkte pro Test erreichbar
Mathematik in Sem. 1+2
I
UE-Teil:
I
I
I
I
I
I
Lösen von Beispielen als Hausaufgabe (UE-Stoff = VO-Stoff).
Vor der UE: Bekanntgabe der gerechneten Bspe via TUWEL.
In der UE: Präsentation der Lösungen an der Tafel.
LVA-Leiter korrigiert und kontrolliert.
Anwesenheitspflicht! 3× Test (ca. alle 4 Wochen)!
Benotung:
I
I
I
2
≥ 60% Bspe gerechnet.
Insgesamt positive Tafelleistung.
≥ 20 Punkte auf die 2 besten Tests2
20 Punkte pro Test erreichbar
Mathematik in Sem. 1+2
I
M. Drmota et al. Mathematik für Informatik, Heldermann,
2007.
Mathematik in Sem. 1+2
I
M. Drmota et al. Mathematik für Informatik, Heldermann,
2007.
I
Vorsicht: 3. Auflage enthält nicht den gesamten VO-Stoff.
I
4. Auflage erscheint Mitte Oktober.
Inhalt
PROLOG-1A: Mathematik?
PROLOG-1B: Aussagen
PROLOG-2: Mengen, Funktionen
PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2
PROLOG-3B: Funktionen, Induktion, Ungleichungen
Funktionen
Definition
Eine Funktion f : D → B heißt injektiv falls gilt
∀x, y ∈ D : x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y ).
In anderen Worten: Unterschiedliche Elemente haben
unterschiedliche Bilder unter f .
Funktionen
Definition
Eine Funktion f : D → B heißt surjektiv falls gilt:
∀y ∈ B : ∃x ∈ D : f (x) = y .
In anderen Worten: Jedes Element von B tritt als Bild mindestens
eines Elements von D auf.
Funktionen
Definition
Eine Funktion heißt bijektiv, falls sie surjektiv und injektiv ist.
I
Für eine Menge M führen wir eine Schreibweise für eine
einfache, aber wichtige bijektive Funktion ein:
idM : M → M : x 7→ x.
Funktionen
I
Für bijektive Funktionen f gibt es eine nützliche
Umkehrfunktion f −1 .
Definition
Für bijektive Funktionen f : D → B definieren wir
B→D
−1
f
:
b 7→ a, falls f (a) = b.
Funktionen
I
Funktionen f , g werden als gleich aufgefasst, wenn sie den
gleichen Definitions- und Bildraum haben und alle Elemente
gleich abbilden.
Definition
Für Funktionen f1 : D1 → B1 und f2 : D2 → B2 legen wir fest, dass
f1 = f2 ⇔ (D1 = D2 ∧ B1 = B2 ∧ ∀x ∈ D1 : f1 (x) = f2 (x)).
Funktionen
I
Eine wichtige Operation von Funktionen:
Hintereinanderausführung (auch: Zusammensetzung,
Komposition).
Definition
Für Funktionen f : A → B and g : B → C definieren wir die
Abbildung
A→C
f ◦g :
a 7→ g (f (a)).
Vollständige Induktion
N und Induktion
Wir betrachten die natürlichen Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Mit den natürlichen Zahlen kommt die Beweisregel der
vollständigen Induktion:
((A(0)∧∀N ∈ N : (∀n ≤ N : A(n)) ⇒ A(N+1))) ⇒ ∀N ∈ N : A(n).
wobei A(n) eine Aussage über eine natürliche Zahl n ist.
Induktionsbeweis — mit anderen Worten
I
I
Ziel: Beweisen, dass ∀n ∈ N : A(n) wahr ist.
Beweis durch Induktion:
1. A(0) (Induktionsanfang) beweisen.
2. A(N + 1) (Induktionsbehauptung) beweisen.
I
I
Erlaubte Annahmen (Induktionsvorraussetzung):
A(0), A(1), A(2), . . . , A(N) (in anderen Worten
∀n ≤ N : A(n)).
N und Induktion
I
Nebenbemerkung:
I
Vollständige Induktion sehr eng mit rekursiver
Programmierung verbunden.
I
Induktionsvorraussetzung =
b Rekursivem Funktionsaufruf.
N und Induktion
I
Induktion wichtig zum Verstehen von Algorithmen:
I
Wieso liefert ein Algorithmus das richtige Ergebnis?
I
Dijkstra’s Algorithmus, Quicksort, . . .
Ungleichungen
I
Eine wichtige Relation zwischen Zahlen (ausser ,,=”) ist ,,≤”.
I
x ≤ y gilt falls x auf der Zahlengeraden links von y liegt.
Ungleichungen
I
I
Welche Regeln dürfen wir im Beweis mit Ungleichungen
verwenden?
Regeln für Totalordnungen:
I
I
I
I
x ≤ y ∨ y ≤ x (total)
(y ≤ x ∧ x ≤ y ) ⇒ x = y (Antisymmetrie)
(x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z (Transitivität)
Regeln für angeordnete Körper:
I
I
I
∀x, y , c ∈ R : x ≤ y ⇒ x + c ≤ y + c,
x ≤ y, c ≥ 0 ⇒ c · x ≤ c · y,
x ≤ y, c ≤ 0 ⇒ c · x ≥ c · y,
Ungleichungen
I
I
Beweise werden oft mittels Fallunterscheidung geführt:
Annahme x ≤ y ∨ y ≤ x führt zu Fallunterscheidung:
I
I
I
Fall 1: x ≤ y . . .
Fall 2: y ≤ x . . .
z.B. für y = 0:
I
I
Fall 1: x ≤ 0 . . .
Fall 2: x ≥ 0 . . .
Ungleichungen
I
Die Betragsfunktion | · | : R → R sei erwähnt:
x
für x ≥ 0
|x| =
.
−x für x ≤ 0