Analysis I – Was man wissen sollte 1. Die natürlichen Zahlen und
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Analysis I – Was man wissen sollte 1. Die natürlichen Zahlen und vollständige Induktion Prinzip der vollständigen Induktion, Bernoulli-Ungleichung, Fakultät und Binomialkoeffizienten. 2. Rationale und reelle Zahlen Körper, binomische Formel, geometrische Summenformel, Angeordnete Körper, Rechnen mit Ungleichungen, beschränkte Mengen, Infimum und Supremum, Vollständigkeitsaxiom, Archimedisches Prinzip, n-te Wurzel, Vorzeichen und Betrag, Intervalle, Youngsche Ungleichung. 3. Folgen Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen, Häufungspunkte, geometrische Folge, √ √ n n m limn→∞ a = 1, limn→∞ n = 1, Konvergenz monotoner Folgen, Teilfolgen und Satz von Bolzano-Weierstraß, Cauchy-Kriterium, Limes superior, Limes inferior und bestimmte Divergenz. 4. Unendliche Reihen Definition der Konvergenz, geometrische Reihe, alternierende Reihen und Leibniz-Kriterium, Absolute Konvergenz von Reihen und Cauchy-Kriterium, Kriterien für die absolute Konvergenz. 5. Funktionen und Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Stetigkeit der Umkehrfunktion, Annahme von Maximum und Minimum, punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen, Konvergenz von Potenzreihen, Exponentialfunktion und Logarithmus, trigonometrische Funktionen. 6. Komplexe Analysis Komplexe Zahlen, Dreiecksungleichung, inverse Dreiecksungleichung, Polardarstellung, Euklidischer Algorithmus, Partialbruchzerlegung, Potenzreihen, Exponentialfunktion. 7. Integration Mittelwertsatz, Vertauschung von gleichmäßiger Konvergenz und Integration. 8. Differentiation Regeln für die Berechnung der Ableitung, Mittelwertsätze. 9. Die Prinzipien der Analysis Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, gliedweise Differentiation von Potenzreihen und Ableitung der elementaren Funktionen, partielle Integration, Integration durch Substitution, uneigentliche Integrale und das Integralvergleichskriterium für Reihen, Satz von Taylor, Landausche Symbole, Taylorreihen. 1
