Analysis in einer Variablen Eine Einführung für ein praxisorientiertes
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Analysis in einer Variablen Eine Einführung für ein praxisorientiertes Studium von Prof. Dr. Roman Liedl Universität Innsbruck und Ass.-Prof. Dr. Kristian Kuhnert Universität Innsbruck mit einem historischen Abriß von Prof. Dr. Detlef Laugwitz Technische Hochschule Darmstadt [23 Wissenschaftsverlag Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich i Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis v IX l.Kapitel: Grundlagen § 1. Rationale und reelle Zahlen 1. Rationale Zahlen 2. Dezimalbrüche 3. Die Strukturen auf den rationalen Zahlen 4. Reelle Zahlen 5. Das Rechnen mit den reellen Zahlen 6. Grundeigenschaften der reellen Zahlen 7. Abschätzungen 8. Intervalle 9. Minimum und Maximum 10. Intervallarithmetik 11. Rechengenauigkeit 1 1 1 3 3 4 6 8 10 12 12 13 §2. Approximation von reellen Zahlen durch rationale Zahlen 1. Die Gleitkommadarstellung rationaler Zahlen 2. Rundung 3. Kettenbrüche 4. Kettenbruchentwicklung rationaler Zahlen 5. Kettenbruchentwicklung zur Rekonstruktion rationaler Zahlen (Methode nach C. Simö) 15 15 15 17 25 §3. Mengen und Funktionen 1. Elementare mengentheoretische Operationen und Bezeichnungen 2. Produktmengen 3. Funktionen 4. Umkehrfunktionen 5. Einschränkungen von Funktionen 6. Identische Funktionen 7. Hintereinanderausführung von Funktionen 8. Konstante Funktionen 9. Einbettungen und Projektionen 10. Bild- und Urbildfunktion 11. Punktweise Verknüpfung von Funktionen 12. Verknüpfungssymbole 13. Funktionen in Produktmengen 14. Rechts- und linkskürzbarc Funktionen 15. Konstante und Variable 16. Äquivalenzrelationen 17. Funktionen mehrerer Variabler und Terme 18. Funktionale und Operatoren 19. Familien 20. Das Summationszeichen 27 27 33 36 38 39 41 41 42 42 43 44 45 46 47 47 49 55 60 61 64 25 X INHALTSVERZEICHNIS 21. Verallgemeinerungen des Summationszeichens 22. Allgemeine Relationen 67 68 §4. Vollständige Induktion und elementare Kombinatorik 1. Die vollständige Induktion 2. Beispiele zur vollständigen Induktion 3. Die Definition durch vollständige Induktion 4. Kombinatorische Formeln A. Permutationen B. Permutationen mit Wiederholung C. Kombinationen D. Variationen mit Wiederholung E. Praktische Anwendungen der Kombinatorik 69 69 74 77 79 79 81 83 86 87 §5. Logische Begriffe 1. Aussagen und Situationen 2. Die Implikation 3. Der modus ponens 4. Widersprüchliche Aussagen 5. Das Schema des indirekten Beweises 6. Die Negation 7. Die Beweisarbeit bei Äquivalenzen 8. Axiome und Definitionen 90 90 95 97 98 99 99 101 102 §6. Zur geschichtlichen Entwicklung der reellen Analysis 1. Vorbemerkungen 2. Funktionen A. Allgemeines B. Stetigkeit C. Funktionalgleichungen 3. Differential und Integral 4. Konvergenz 5. NichtStandard-Analysis 104 104 106 106 107 110 111 116 118 2.Kapitel: Folgen und Reihen §1. Folgen 1. Quantoren 2. Konvergenz 3. Beispiele für Konvergenz 4. Eindeutigkeit des Grenzwertes 5. Abschätzungen 6. Teilfolgen 7. Abzählbare und überabzählbare Mengen 8. Zufallsgeneratoren bei Rechnern 9. Divergente Folgen 10. Schranken 11. Die Vollständigkeit der reellen Zahlen 12. Infimum und Supremum 123 123 123 123 126 127 128 129 131 133 135 135 136 138 INHALTSVERZEICHNIS 13. Unendliche Grenzwerte 14. Häufungspunkte XI 142 143 §2. Doppelfolgen und Vertauschen von Grenzwertbildungen 1. Hintereinanderausführung von Grenzwertbildungen 2. Simultane Grenzwerte 146 146 151 §3. Konvergenz- und Wachstumsgeschwindigkeiten 153 §4. Intervallschachtelungen 1. Monotone Folgen 2. Intervallschachtelungen 154 154 155 §5. Kompakte Mengen 1. Kompakte Intervalle 2. Folgerungen für mehrere Variable 158 158 160 §6. Limes inferior und Limes superior 162 §7. Das Cauchysche Konvergenzkriterium 168 §8. Das Rechnen mit konvergenten Folgen 170 1. Nullfolgen 2. Rechnen mit Nullfolgen 3. Rechnen mit konvergenten Folgen 170 171 17 3 §9. Das Rechnen mit Folgen, deren Grenzwert unendlich ist 1. Das Unendliche 2. Rechnen mit ~ 3. Die geometrische Folge 176 176 176 180 § 10. Unbestimmte Formen 1. Die Division durch 0 2. Die Ausdrücke 0°, 1°° und 0! 182 182 183 §11. Zahlenreihen 1. Zahlenreihen 2. Geometrische Reihe und harmonische Reihe 3. Cauchysches Konvergenzkriterium für Zahlenreihen 4. Alternierende Reihen 185 185 187 190 191 §12. Umordnen von Reihen, absolute und bedingte Konvergenz 1. Konvergenzarten 2. Umordnen von Reihen 3. Doppelreihen und ihre Umwandlung in einfache Reihen 192 192 193 196 §13. Majorantenkriterium, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium 200 § 14. Das Rechnen mit konvergenten Zahlenreihen 1. Linearkombinationen konvergenter Reihen 203 203 * XII INHALTSVERZEICHNIS 2. Produkte konvergenter Reihen 3. Das Abelsche Konvergenzkriterium 4. Die Cauchysche Produktreihe §15. Unendliche Produkte 3.Kapitel: Stetigkeit 203 204 206 210 216 § 1. Stetige Funktionen 1. Definition und erste Beispiele 2. Standardbeispiele für stetige Funktionen 3. Rationale Funktionen 4. Erzeugung neuer stetiger Funktionen 5. Wichtige unstetige Funktionen 6. Das Vorzeichen stetiger Funktionen 7. Grenzwerte von Funktionen 8. Das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen 9. Stetigkeit aneinandergesetzter Funktionen 10. Periodische Funktionen 11. Stetigkeit in mehreren Variablen 12. Der Nachweis der Stetigkeit mit Hilfe der Termstruktur einer Funktion 13. Stetige Fortsetzbarkeit 216 216 220 223 224 225 226 227 232 234 236 240 242 245 §2. Zwischenwertsatz und Max-Min-Satz 1. Zwischenwertsatz und Max-Min-Satz in einer Variablen 2. Max-Min-Satz in mehreren Variablen 248 248 251 §3. Das Intervallhalbierungsverfahren und die Regula falsi zum Lösen von Gleichungen 1. Das Intervallhalbierungsverfahren 2. Die Regula falsi 253 253 255 §4. Umkehrfunktionen stetiger Funktionen 1. Monotone Funktionen 2. Umkehrfunktionen 261 261 262 §5. Reelle Wurzelfunktionen 1. Reelle Potenzfunktionen 2. Reelle Polynomfunktionen ungeraden Grades 267 267 270 §6. Grenzwerte rekursiv definierter Folgen 271 §7. Gleichmäßige Stetigkeit 1. e - 5 - Stetigkeitskriterium 2. Gleichmäßige Stetigkeit 273 273 274 §8. Diskretisierungen 1. Tabellen 2. Moire-Effekte 278 278 278 INHALTSVERZEICHNIS §9. Funktionenfolgen 1. Umgebungen von Funktionen 2. Gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen 282 282 287 § 10. Funktionenreihen (Potenzreihen) 1. Die geometrische Reihe 2. Gleichmäßige und absolute Konvergenz von Funktionenreihen 3. Das Majorantenkriterium für Funktionenreihen 4. Potenzreihen 5. Konvergenzradius 6. Das Cauchysche Quotientenkriterium 7. Wichtige Potenzreihen 8. Die Bestimmung des Konvergenzradius nach Hadamard 9. Eindeutigkeit der Potenzreihenentwicklung 10. Das Rechnen mit konvergenten Potenzreihen 289 290 291 292 293 294 298 300 304 306 308 4.Kapitel: Differential- und Integralrechnung 317 § 1. Differenzierbare Funktionen 1. Differenzierbarkeit 2. Rechts- und linksseitige Ableitungen 3. Höhere Ableitungen 4. Stetigkeit differenzierbarer Funktionen 5. Die Ableitung als (affin-) lineare Approximation 6. Elementargeometrische Interpretation der Ableitung 7. Interpretation der Ableitung mit Hilfe des Landausymbols 8. Die Leibnizsche Schreibweise der Ableitung 9. Erweiterung der Definition der Ableitung 10. Das partielle Differenzieren 11. Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen 12. Fallstudie zur Differenzierbarkeit 317 317 318 319 319 320 320 321 322 324 326 328 329 §2. Elementare Regeln des Differenzierens 1. Regeln für Funktionen einer Variablen 2. Die Kettenregel in mehreren Variablen 330 330 334 §3. Abgeleitete Differentiationsregeln 1. Arithmetische Regeln 2. Ableitung einer mittelbar gegebenen Funktion (implizites Differenzieren) 338 338 §4. Newtonsches Näherungsverfahren zur Lösung von Gleichungen 345 §5. Elementare Integration 1. Die Definition des Integrals 2. Die Linearität des Integrals 3. Abschätzungen 4. Abschätzungen für funktionalanalytische Zwecke 348 348 354 354 357 341 XIV INHALTSVERZEICHNIS 5. 6. 7. 8. 9. Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung Integrationsgrenzen Die geometrische Bedeutung des Integrals Die Höldersche Ungleichung Integration mittels eines Zufallsgenerators 359 360 362 365 368 §6. Der Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung 1. Hilfssätze 2. Hauptsätze 3. Unbestimmte Integrale 4. Monotone Funktionen 5. Die historische, intuitive Art der Beweise im Zusammenhang mit der Differential- und Integralrechnung 6. Differentiale auf einem Intervall 371 371 374 377 378 §7. Vertauschbarkeit partieller Ableitungen 3 86 5.Kapitel: Die elementartranszendenten Funktionen 379 380 388 §1. Gliedweise Differentiation und Integration 1. Differenzieren und Integrieren von Polynomfunktionen 2. Gliedweises Differenzieren und Integrieren von Potenzreihen 3. Gliedweises Differenzieren und Integrieren von Funktionenfolgen 388 388 389 395 §2. Die Exponentialfunktion, der Logarithmus und die Binomialreihe im Reellen 1. Die Exponentialfunktion 2. Der natürliche Logarithmus 3. Potenzen und Logarithmen 4. Mathematische Anwendungen der Logarithmen 5. Reihenentwicklungen für den natürlichen Logarithmus 6. Logarithmisches Differenzieren 7. Der Dekadische Logarithmus 8. Der Rechenschieber 9. Der Logarithmus dualis 10. Der Logarithmus in der Zinseszinsrechnung 11. Einfach und doppelt logarithmische Papiere zur Darstellung von Funktionen 12. DerGraphvon exp(ox + ß) 13. Das Gesetz von Weber und Fechner 14. Bei und Dezibel in der Physik 15. Logarithmische Maße in Wissenschaft und Technik 16. Logarithmus und Zahlendarstellungen 17. Homöopathische Dosen 18. Die binomische Reihe 399 399 404 405 410 413 414 415 417 418 418 419 421 422 422 423 425 427 428 §3. Die Winkelfunktionen 1. Winkel 2. Winkelmaße 3. Sinus und Cosinus 4. Gerade und ungerade Funktionen 433 433 436 442 443 INHALTS VERZEICHNIS 5. Kurvendiskussion der Graphen von Sinus und Cosinus und die Zahl it 6. Spezielle Winkelmaße 7. Elementargeometrische Konstruktion des Kurvenverlaufs 446 450 452 §4. Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 1. Der Hauptsatz über die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 2. Arcus sinus und Arcus cosinus ( = zyklometrische Funktionen) 3. Auflösen trigonometrischer Gleichungen 4. Physikalische Interpretationen 5. Die ebenen Polarkoordinaten 6. Die Interpretation der komplexen Zahlen als Drehstreckungen 453 453 455 458 460 460 462 §5. Tangens und Arcus tangens 1. Tangens 2. Arcus tangens 3. Die Arcus-tangens-Reihe 4. Die Zurückführung von Are sin und Are cos auf atn 5. Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten 6. Formeln für den Arcus tangens 7. Numerische Berechnung von Arcus tangens und n 8. Winkel zwischen zwei Halbstrahlen 465 465 466 469 469 470 472 475 477 §6. Formeln für die Winkelfunktionen 1. Historische Begriffe 2. Winkelfunktion nach Umkehrfunktion und Umrechnung einer Winkelfunktion in eine andere 3. Differentiation von Are sin und Are cos 4. Umkehrfunktion nach Winkelfunktion 5. Summenformeln 6. Doppelte Winkel, Halbwinkelformeln und Quadrate der Winkelfunktionen 7. Rationale Darstellung von sin (2x), cos (2x), tan (2x) durch tan (x) 8. Inverse Additionstheoreme 9. Cosinus und Sinus spezieller Winkelmaßzahlen 481 481 481 483 484 484 485 487 487 490 §7. Schwebungen und Modulationen 491 §8. Folgen und Reihen im Komplexen 1. Die komplexen Zahlen 2. Konvergenz und Stetigkeit im Komplexen 3. Rechnen mit konvergenten Folgen im Komplexen 4. Das Unendliche bei den komplexen Zahlen 5. Stetigkeit im Komplexen 6. Potenzreihen im Komplexen 493 493 499 502 503 506 510 §9. Die elementartranszendenten Funktionen im Komplexen 1. Die Exponentialfunktion im Komplexen 2. Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahlen 3. Geometrische Konstruktion des Kehrwertes einer komplexen Zahl 4. Die komplexe Exponentialfunktion als Homomorphismus 5. Der komplexe Logarithmus 516 516 517 519 520 520 XVI INHALTSVERZEICHNIS 6. Potenzen komplexer Zahlen 7. Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion, trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen 8. Die Additionstheoreme im Komplexen 9. Die Nullstellen des Cosinus im Komplexen 10. Der Tangens und Arcus tangens im Komplexen 11. Der Tangens hyperbolicus 12. Komplexe Linearkombinationen von Sinus und Cosinus 13. Die Hyperbelfunktionen im Reellen 14. Die Umkehrfunktionen der Hyperbel funktionen und ihre Ableitungen im Reellen 15. Die Formeln von Moivre und deren Umkehrung 16. Die Namensgebung Arcus und Area bei den Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen und der Hyperbelfunktionen 522 527 527 530 5 31 532 532 533 535 537 539 §10. Polynomfunktionen 1. Der Divisionsalgorithmus 2. Der Hauptsatz der Algebra 3. Eingrenzung der Nullstellen von Polynomfunktionen 4. Bestimmung der Nullstellen von Polynomfunktionen 541 541 544 551 551 § 11. Das Aufsuchen von Stammfunktionen 1. Integraltafeln 2. Partielle Integration 3. Substitutionsregel 4. Integration rationaler Funktionen f(x) = p(x)/q(x), Partialbruchzcrlcgung 5. Aufsuchen einer Stammfunktion durch Potenzreihenentwicklung 553 553 554 555 562 565 §12. Differentiationsarithmetik 1. Berechnung der ersten Ableitung mit Hilfe der Differentiationsarithmetik 2. Berechnung der höheren Ableitungen mit Hilfe der Diffcrcntiationsarithmetik 567 567 570 ö.Kapitel: Elementare Anwendungen der Differential- und Integralrechnung 574 §1. Wege und Kurven im Rn 1. Sprachgebrauch 2. Physikalische und geometrische Vorstellungen, die mit einem Weg verbunden sind A. Dynamische Auffassung einer Kurve B. Zeichnerische Darstellung von Wegen (a) Risse (ß) Drehungen des Weges (y) Wahl des Sehstrahles (5) Zentralprojektionen eines Weges (E) Stereobilder C. Statische Auffassung eines Weges 3. Gleichungssysteme und Parametrisierungen A. Aufsuchen eines Gleichungssystems für das Bild eines Weges 574 574 576 576 577 578 578 579 580 580 581 582 582 INHALTSVERZEICHNIS 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. B. Aufsuchen einer Parametrisierung für die Lösungsmenge eines Gleichungssystems Weitere Beispiele für Wege Umparametrisierungen Geschwindigkeit und Beschleunigung auf Wegen im Rn Kurven ohne Knick Schnittwinkel zwischen Kurven Tangential- und Zentripetalbeschleunigung Die Bogenlänge Die Deutung des mathematischen Winkelmaßes als Bogenlänge Die Bogenlänge der Ellipse und elliptische Integrale Berechnung der Ableitungen einer Funktion aus einer Parametrisierung ihres Graphen Der Schmiegkreis Die Parametrisierung nach der Bogenlänge Die Scheitelkrümmungsmittelpunkte der Ellipse Die Evolute der Ellipse 583 584 587 588 589 591 592 595 601 601 605 606 608 613 615 §2. Die einfachen Differentialgleichungen 1. Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung 2. Die Differentialgleichungen der Bewegungsaufgaben A. Grundaufgabe 1: y'(x) = f(x) B. Grundaufgabe 2: y"(x) = f(x) (cc) Gleichförmige Bewegung (ß) Gleichförmig beschleunigte Bewegung C. Grundaufgabe 3: y'(t) = b(y(t)) (a) Reguläre Punkte (ß) Singulare Punkte D. Grundaufgabe4: y"(t) = o(y(t)) Differentialgleichung des mathematischen Pendels E. Grundaufgabe5: y"(t) = o*(y'(0) 3. Nichtautonome Differentialgleichungen erster Ordnung 4. Trennung der Variablen 5. Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten A. Die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums B. Die Schwingungsgleichung 6. Inhomogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten A. Die inhomogene Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums B. Die inhomogene Schwingungsgleichung 7. Die Lösungsmenge einer linearen inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten A. Die Lösungsmenge der Differentialgleichung des exponentiellen Wachsums B. Die Lösungsmenge der Schwingungsgleichung 8. Resonanz 616 617 619 619 621 622 622 623 624 632 636 637 638 639 640 642 642 646 654 655 657 §3. Interpolation und Approximation 1. Die Interpolationsformel von Lagrange 2. Differenzen, Steigungen und das Newtonsche Interpolationspolynom A. Differenzen 665 665 668 668 659 659 661 662 XVIII INHALTSVERZEICHNIS B. Das Newtonsche Interpolationspolynom 3. Satz von Henrici 4. Splines A. Idee des Splines B. Die Berechnung von Splines 3. Ordnung 5. Approximation durch Bernsteinpolynome 6. Bezierkurven 7. Interpolation von Drehungen (= Winkeln) 8. Approximation im quadratischen Mittel 9. Fourierreihen 10. Approximationseigenschaften der trigonometrischen Summen 11. Spezielle Formen von Fourierreihen A. Cosinus- und Sinusreihen B. Fourierreihen im Komplexen 12. Gleichmäßige Konvergenz von Fourierreihen §4. Numerische Differentiation, Integration und Konvergenzbeschleunigung 1. Numerisches Differenzieren 2. Numerische Integration A. Die Keplersche Faßregel B. Die Simpsonregel C. Quadraturformeln von Gauß D. Das Rombergschema 3. Konvergenzbeschleunigung A. Folgen, welche wie (l/n)P konvergieren B. Linear konvergente Folgen C. Die Eulersche Methode für alternierende Reihen 7.Kapitel: Erweiterung der Differentialrechnung 671 672 673 674 677 682 686 689 691 693 695 700 700 702 704 708 708 711 711 712 712 714 717 717 720 723 724 § 1. Die Mittelwertsätze der Differential- und Integralrechnung 1. Der Satz von Rolle und der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung 2. Der Satz von Lochs 3. Der erweiterte Mittelwertsatz der Differentialrechunung 4. Die Integralform des erweiterten Mittelwertsatzes der Differentialrechnung 5. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung 6. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Integralrechnung 724 724 725 728 729 730 730 §2. Die Taylorformel 1. Das Restglied nach Bernoulli 2. Das Restglied nach Schlömilch 3. Das Restglied nach Cauchy 4. Das Restglied nach Lagrange 5. Die Taylorsche Formel und der Taylorsche Satz 6. Anwendungen der Taylorformel 732 733 733 734 734 735 737 §3. Taylorpolynome und abgebrochene Potenzreihenentwicklungen 1. n-fache Differenzierbarkeit von durch Terme beschriebenen Funktionen 2. Berührung von Funktionen und Taylorpolynome 740 740 742 INHALTSVERZEICHNIS 3. 4. 5. 6. 7. Jets Das Rechnen mit Potenzreihen Potenzreihenentwicklungen im Unendlichen Fallstudien Das Taylorpolynom als Grenzwert von Interpolationspolynomen 746 753 757 758 759 §4. Unbestimmte Formen und die Regel von de 1 "Hospital 1. Die Regeln von de 1 "Hospital 2. Berechnung unbestimmter Formen durch Rechnen mit Potenzreihen 762 762 769 §5. Die Untersuchung einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitungen 1. Monotone Funktionen 2. Konvexe und konkave Funktionen 3. Relative Maxima und Minima 4. Absolute Maxima und Minima 5. Wendepunkte 6. Diskussion rationaler Funktionen 770 770 770 776 781 782 785 §6. Die Konvergenz des Newtonschen Verfahrens 788 H.Kapitcl: Erweiterung der Integralrechnung 792 § 1. Erweiterung des Integralbegriffs auf stückweise stetige Funktionen 792 §2. Uneigentliche Integrale 1. Konvergenz von uneigentlichen Integralen 2. Partielles Integrieren beim uneigentlichen Integral 3. Absolute Konvergenz beim uneigentlichen Integral 4. Die Eulersche Zahl C 796 796 802 803 805 §3. Parameter im Integranden eines Integrals 1. Hilfsmittel 2. Parameter in eigentlichen Integralen 3. Ableitung nach dem Parameter in eigentlichen Integralen 4. Vertauschung der Integrationsreihenfolge beim eigentlichen Integral 5. Ableitung nach dem Parameter und den Grenzen eines Integrals 6. Parameter in uneigentlichen Integralen 7. Vertauschung der Integrationsreihenfolge beim uneigentlichen Integral 8. Ableitung nach dem Parameter in uneigentlichen Integralen 9. Laplace-Transformierte und Dirichletsches Integral 807 807 808 810 812 813 815 818 819 820 §4. Höhere transzendente Funktionen 1. Die Gammafunküon 2. Das Gaußsche Fehlerintegral 3. Der Integralsinus 824 824 827 830 §5. C<~) - Funktionen, Glättungen 1. Beispiel für eine C<°°) - Funktion, welche reell analytisch ist 2. Beispiele für nicht reell analytische C<~) - Funktionen 3. Konstruktion von CM - Funktionen für Glättungszwecke 4. Glättungen 831 831 831 833 835
