mathematik 1 skript zur vorlesung von wolfgang langguth

Hochschule für
Technik und Wirtschaft
des Saarlandes
University of Applied Sciences
M ATHEMATIK 1
S KRIPT
ZUR
VORLESUNG
VON
W OLFGANG L ANGGUTH
V ERSION 1.1
B EARBEITUNG UNTER M ITWIRKUNG VON
D IPL .-I NG . R OLF K RÖNER -N AUMANN UND H AMIT F ILIZ
25. S EPTEMBER 2013
H OCHSCHULE FÜR T ECHNIK UND W IRTSCHAFT
FAKULTÄT FÜR I NGENIEURWISSENSCHAFTEN
S TUDIENGANG B IOMEDIZINISCHE T ECHNIK
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
v
I
1
1
2
3
4
Vektoralgebra
Grundbegriffe der Vektorrechnung
1.1 Skalare und Vektoren . . . . . . . . . . . .
1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . .
1.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
1.4 Der Begriff des Vektorraumes . . . . . . . .
1.5 Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Zerlegung von Vektoren in Komponenten . .
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3
3
6
9
10
11
11
Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
2.1 Basisvektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem . . . .
2.2 Rechengesetze für Vektoren in der Komponentendarstellung . .
2.3 Betrag und Richtungskosinus eines Vektors . . . . . . . . . . .
2.4 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . .
2.5 Vektorgleichung einer Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Punktrichtungsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Zweipunkteform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Vektorgleichung einer Ebene im Raum . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Punktrichtungsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Dreipunkteform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Der Vektorraum II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Teilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Linearkombinationen, Lineare Hülle, Erzeugendensystem
2.7.3 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Das Skalarprodukt
3.1 Definition des Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rechengesetze für das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Das Skalarprodukt in der Koordinaten-/Komponentendarstellung:
3.4 Anwendungen des Skalarprodukts . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vektorraum III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Skalarprodukträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Normierte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Das Vektorprodukt
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4.1 Definition des Vektorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Inhaltsverzeichnis
4.2
4.3
Rechengesetze für das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Anwendungen des Vektorprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5
Mehrfache Produkte von Vektoren
47
5.1 Möglichkeiten der Produktbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6
Übungsaufgaben
II
51
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten
7
Einführung
8
Matrizen
8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Addition und Multiplikation von Matrizen . . . . .
8.3 Die Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . .
8.5 Anwendungsbeispiel: Drehmatrizen . . . . . . . .
8.5.1 Drehmatrizen in der Ebene . . . . . . . .
8.5.2 Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum
8.5.3 Drehung einer Ebene im Raum . . . . . .
9
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Determinanten
9.1 Definition der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Berechnung der Inversen einer regulären Matrix . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Bestimmung des Rangs einer Matrix durch Umformungen der Matrix
10 Lineare Gleichungssysteme
10.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Der Gauß’sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Lösungsverhalten eines linearen (m, n) - Systems . . . . . .
10.4 Lösungsverhalten eines linearen (n, n) - Systems . . . . . . .
10.5 Lösungsverhalten eines homogenen (n, n) - Systems . . . . .
10.6 Die Cramer sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Anwendungsbeispiel: Berechnung eine elektrischen Netzwerks
10.8 Zur Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . .
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11 Übungsaufgaben
III
101
Grundlagen der Analysis und Algebra
12 Allgemeines
12.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Definition und Darstellung
12.1.2 Mengenoperationen . . . .
12.2 Die Menge der reellen Zahlen . . .
25. September 2013
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
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iii
Inhaltsverzeichnis
12.2.1 Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Grundgesetze der Addition und der Multiplikation
12.2.3 Grundgesetze der Anordnung . . . . . . . . . .
12.2.4 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz . . . . . . .
12.4.1 Summenschreibweise . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Der Binomische Satz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Funktionen
13.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.3 Einige einfache, spezielle Funktionen . . . . . . . . .
13.2 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . .
13.2.1 Beschränktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.3 Symmetrieeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.5 Periodizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.6 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.7 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Koordinatentransformation, Polarkoordinaten . . . . . . . . . .
13.3.1 Parallelverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Definition und Eigenschaften von Folgen . . . . . . . .
13.4.2 Darstellung von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.3 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.4 Rechnen mit Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . .
13.5 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . .
13.5.1 Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a . . .
13.5.2 Die Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . .
13.5.3 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . .
13.5.4 Grenzwerte von Funktionen für x → ±∞ . . . . . . .
13.6 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7.1 Nullstellen, Definitionslücken, Pole . . . . . . . . . . .
13.7.2 Asymptotisches Verhalten, d.h. Verhalten für x → ±∞
13.7.3 Partialbruchzerlegung: . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten . . . .
13.8.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.8.3 Potenzfunktion mit rationalem Exponenten . . . . . . .
13.8.4 Das Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . .
13.9 Algebraische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.9.1 Definition der algebraischen Funktion . . . . . . . . .
13.9.2 Allgemeine Gleichungen 2.Grades, Kegelschnitte . . .
13.10Trigonometrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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131
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134
134
137
140
140
140
142
146
146
148
148
153
157
157
162
165
168
170
175
175
178
179
180
180
181
183
183
184
184
184
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iv
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Inhaltsverzeichnis
13.11Arcusfunktionen . . . .
13.12Exponentialfunktionen .
13.13Logarithmusfunktionen
13.14Hyperbelfunktionen . .
13.15Areafunktionen . . . .
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206
209
217
218
14 Übungsaufgaben
223
IV
229
Komplexe Zahlen und Funktionen
15 Komplexe Zahlen
15.1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl . . . . . . . .
15.2 Definition einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Die Gauß’sche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . .
15.5 Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen
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231
233
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236
16 Komplexe Rechnung
16.1 Die vier Grundrechnungsarten
16.2 Potenzieren . . . . . . . . . .
16.3 Wurzeln komplexer Zahlen . .
16.4 Komplexe Funktionen . . . . .
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17 Anwendungen der komplexen Rechnung
257
17.1 Die komplexe Zeigerrechnung in der Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.2 Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
18 Ortskurven
267
19 Übungsaufgaben
269
Abbildungsverzeichnis
271
Tabellenverzeichnis
275
Literatur
277
1
Lehrbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2
Formelsammlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Lineare Gleichungssysteme
279
3
Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.1
Eigenschaften von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Lösungen zu den Übungsaufgaben
4
Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten
6
Analysis und Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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281
282
283
287
v
Vorwort
Das hier vorgelegte, stetig in der Überarbeitung befindliche, Skript zur Vorlesung Mathematik 1 soll als detaillierte Ergänzung zur Vorlesung dienen und es den Studierenden ermöglichen, selbstständig die Vorlesung
nachzuarbeiten.
Es ersetzt kein ausführliches Lehrbuch, noch weniger die vertiefte eigene Arbeit und auch nicht den Besuch und
die konzentrierte Mitarbeit in der Vorlesung.
Übungsaufgaben sind am Ende der Kapitel eingearbeitet worden. Zusammen mit der Sammlung alter Klausuraufgaben, die ständig aktualisiert wird und die sich selbst ständig erneuern, steht Ihnen weiteres Material für die
selbstständige Arbeit zur Verfügung.
Die Übungen und die alten Klausuraufgaben sollen selbstständig und parallel zur Vorlesung bearbeitet
werden, um das eigene Verständnis des aktuellen Inhalts der Vorlesung zu überprüfen und zu festigen. Sie
können in den Übungsstunden besprochen werden.
Eine ausgeprägte und intensive, selbständige Beschäftigung mit den hier vorgestellten Inhalten ist unabdingbar
für das Verständnis des Stoffes und somit auch für ein erfolgreiches Bestehen der Klausur.
Die bei der Erstellung der Vorlesung verwendeten Lehrbücher sind summarisch im Anhang zusammengestellt
und können ohne Bedenken auf Nebenwirkungen zusätzlich zum Skript verwendet werden.
Sollten Sie Fehler oder Unklarheiten entdecken - und davon gibt es in der aktuellen Version bestimmt noch viele
- oder aber Fragen haben, bitte nehmen Sie mit mir Rücksprache.
[email protected]
Tel. 0681 - 5867-279
Saarbrücken, den 25. September 2013
gez. Wolfgang Langguth
© Wolfgang Langguth
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
vii
Teil I.
Vektoralgebra
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
1.1. Skalare und Vektoren
In der Naturwissenschaft und Technik werden zur Beschreibung der verschiedenen physikalischer Größen
(Masse, Kraft, Geschwindigkeit usw.) verschiedene mathematische Größen benötigt:
Skalare Größen (Skalare) werden beschrieben durch eine reelle Zahl und einer Maßeinheit .
Beispiele: Länge, Zeit, Masse, Arbeit, Energie, Temperatur, elektrisches Potential usw
Vektorielle Größen (Vektoren) werden beschrieben durch eine reelle Zahl (Maßzahl, auch Betrag oder Länge), eine Maßeinheit und ihre Richtung .
Beispiele: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke usw.
Man unterscheidet verschiedene Typen von Vektoren:
1. Freie Vektoren: Dürfen beliebig im Raum verschoben werden ohne dabei ihre Richtung zu verändern
(Parallelverschiebung)
Beispiel: Translation von Objekten im Raum
Abb. 1.1.: Translationsvektor
2. Liniengebundene Vektoren: Dürfen entlang einer Linie, ihrer „Wirkungslinie“ beliebig verschoben werden.
Beispiel: Kraft auf den Schwerpunkt eines Körpers
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
3
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
Abb. 1.2.: liniengebundene Vektoren
3. Ortsgebundene, raumfeste Vektoren: Sind an einem bestimmten Ort im Raum gebunden.
Beispiel: Elektrische und magnetische Feldstärke in der Umgebung von elektrischen Leitern.
Abb. 1.3.: ortsfeste Vektoren
4
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
1.1. Skalare und Vektoren
Schreibweise von Vektoren:
• ~a , a (häufig auch für komplexe Zahlen), a, usw.
Beschreibung und eindeutige Charakterisierung von Vektoren: Vektoren werden durch zwei Bestimmungsstücke eindeutig beschrieben, durch
• Betrag des Vektors (Maßzahl, Länge)
|~a| = a, a ∈ R, a ≥ 0; a = 0 x
y ~a = ~0, „Nullvektor“ (s.später)
• Richtung des Vektors
Gegeben durch seine Lage im Raum und durch die Orientierung seiner
Pfeilspitze (Durchlaufsinn)
Dies führt zwangsläufig auf die Definition
Definition: Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren ~a , ~b sind genau dann gleich, ~a = ~b, wenn sie in Betrag und Richtung
übereinstimmen.
Sprachgebrauch:
• Grundrechnungsarten mit Vektoren ( + , −, ∗ ): Vektoralgebra
• Differential-und Integralrechnung mit vektoriellen Größen: Vektoranalysis
(„Höhere Mathematik 1“ im Masterstudiengang BMT)
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
5
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
1.2. Addition und Subtraktion von Vektoren
Gegeben seien die Vektoren ~a und ~b in der Ebene. Ein Objekt werde zunächst um den Vektor ~a dann um den
Vektor ~b verschoben. Die resultierende Translation, ~
s,
~s = ~a + ~b
(1.1)
heißt die Summe der Vektoren ~a und ~b:
Abb. 1.4.: Verschiebung von Objekten
Abb. 1.5.: Addition von Vektoren
Additionsvorschrift
Verschiebe den Vektor ~b so, dass sein Anfangspunkt auf den Endpunkt von ~a fällt. Der resultierende Vektor, ~
s,
vom Anfangspunkt von ~a zum Endpunkt von ~b, heißt der Summenvektor ~
s = ~a + ~b.
Eigenschaften der Addition von Vektoren
Abb. 1.6.: Kommutativität der Addition
Abb. 1.7.: Assoziativität der Addition
1. Die Addition ist kommutativ
~a + ~b = ~b + ~a
2. Die Addition ist assoziativ
~|a {z
+ ~}b
~s1
+ ~c = ~a + ~b| {z
+ ~}c
= ~a + ~b + ~c = ~s
~s2
Damit ist bei der Addition keine Klammersetzung nötig
~s = ~a + ~b + ~c
6
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
1.2. Addition und Subtraktion von Vektoren
Nullvektor
Der Summenvektor einer Vektoraddition, bei der der Anfangspunkt des ersten
Vektors mit dem Endpunkt des letzten Vektors zusammenfällt heißt Nullvektor:
~0 = ~a + ~b + ~c + . . . + d~
Der Betrag des Nullvektors |~0| = 0 ist Null,
seine Richtung ist nicht definiert.
Abb. 1.8.: Der Nullvektor
Die Subtraktion von Vektoren
Gesucht ist der Vektor ~c
~c = ~a − ~b = ~a + (−~b)
Die Subtraktion eines Vektors kann als Umkehrung der Addition verstanden werden. Man bezeichnet mit −~b
den gleichen Vektor wie ~b, aber mit entgegengesetztem Durchlaufsinn:
Abb. 1.9.: entgegengesetzte Vektoren
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Abb. 1.10.: Subtraktion von Vektoren
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
7
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
Dreiecksungleichung
Die sogenannte Dreiecksungleichung beschreibt Beziehungen der Beträge von Summen und Differenzen von
Vektoren in Form von Ungleichungen. Anhand der Längenverhältnisse in einem Parallelogramm kann die
folgenden Aussagen zum größten Teil sofort nachvollziehen1 :
Es gilt
00 00
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b| ;
= x
y ~a = λ ~b, λ ∈ R
|~a| − |~b| ≤ |~a − ~b| ≤ |~a| + |~b|
(1.2)
(1.3)
Abb. 1.11.: Dreiecksungleichung
zur
Übung!
Nehmen wir die Ungleichung der ersten Zeile als bewiesen an, so folgen daraus die beiden Ungleichungen der
zweiten Zeile Gl.(1.3)
Für die rechte Ungleichung zeigt sich leicht:
|~a − ~b| = |~a + (−~b)|
≤ |~a| + | − ~b|
= |~a| + |~b|
Für die linke Ungleichung ersetzen wir in der ersten Ungleichung:
|~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|
~a → ~a − ~b : |~a| ≤ |~a − ~b| + |~b|
~b → ~b − ~a : |~b| ≤ |~a| + |~b − ~a|
Damit erhalten wir
−|~a − ~b| ≤ |~a| − |~b| ≤ |~a − ~b|
Insgesamt also
~
|~
a
|
−
|
b|
≤ |~a − ~b|
Was zu zeigen war. ]
1
8
Die hier schon verwendete Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor wird im nächsten Kapitel behandelt.
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
1.3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
1.3. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Hier betrachten wir die Verknüpfung eines Skalars mit einem Vektor. Zum ersten Verständnis betrachten wir
zunächst zwei Spezialfälle:
k -fache Addition eines Vektors ~a
k -fache Subtraktion eines Vektors ~a
~b = ~a + ~a + . . . + ~a
|
{z
}
~b = −~a − ~a − . . . − ~a
{z
}
|
k Summanden
k Summanden
~b = k ~a
|~b| = k |~a|
~b = −k ~a
|~b| = k |~a|
Somit gilt
Somit gilt
∴ ~b und ~a sind parallel ~b ↑ ↑ ~a und
∴ ~b und ~a sind antiparallel ~b ↑ ↓ ~a und
∴ ~b hat den k -fachen Betrag von ~a
∴ ~b hat den k -fachen Betrag von ~a
Wir verallgemeinern jetzt von ganzen Zahlen k ∈ Z auf reelle Zahlen λ ∈ R, indem wir definieren:
Definition: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Unter dem Produkt einer reellen Zahl λ ∈ R und einem Vektor ~a verstehen wir wieder einen
Vektor ~b
~b = λ ~a, λ ∈ R
mit den Eigenschaften
|~b| = |λ| |~a|
~b ↑ ↑ ~a
für
λ > 0
~b ↑ ↓ ~a
für
λ < 0
~b = ~0
für
λ=0
Bezeichnung
Die Vektoren ~a und ~b = λ ~a heißen kollineare Vektoren ( gleiche oder entgegengesetzte Richtung,
unterschiedlicher Betrag ).
Beispiele
~ = m ~a
• F
• p
~ = m ~v
3. Newton’sche Gesetz
Impuls eines Körpers der Masse m
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
9
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
Eigenschaften der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar:
kommutativ :
λ ~a = ~a λ
assoziativ :
λ (ν~a) = ν (λ~a) = λν~a
λ (~a + ~b) = λ~a + λ~b
distributiv :
(λ + ν) ~a = λ~a + ν~a .
1.4. Der Begriff des Vektorraumes
An dieser Stelle soll damit begonnen werden, am Beispiel von reellen Vektoren des n-dimensionalen Raums den
Begriff des „Vektorraum“ oder „Linearen Raums“, der in der Mathematik eine wichtige Rolle spielt, schrittweise
aufzubauen:
Ausgangspunkt sei die Menge V der Vektoren des n-dimensionalen reellen Raums Rn und der Körper R der
reellen Zahlen (Skalare). Die Menge V heißt Vektorraum (oder Linearer Raum) über R, wenn auf V eine Addition
der Elemente v ∈ V und eine Multiplikation mit Zahlen α ∈ R mit den „üblichen“ Rechenregeln definiert ist:
Für die Addition in V gilt:
u, v ∈ V y u + v ∈ V
(1.4)
u+v =v+u
(1.5)
(u + v) + w = u + (v + w)
(1.6)
u+0=u
(1.7)
u+x=v
(1.8)
Es gibt einen Nullvektor 0 ∈ V :
und die Gleichung
besitzt genau eine Lösung x ∈ V : x = v − u.
Für die Verknüpfung mit den Skalaren α, β ∈ R gilt:
u ∈ V, α ∈ R y α u ∈ V
(1.9)
(α + β) u = α u + β u
(1.10)
α (u + v) = α u + α v
(1.11)
α (β u) = (α β) u
(1.12)
1u = u
(1.13)
Beispiel:
Vektoren in der Ebene, im 3-dimensionalen Raum
10
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
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1.5. Einheitsvektoren
1.5. Einheitsvektoren
Definition: Einheitsvektor
Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, â , mit beliebiger Richtung, aber vom Betrag |~a| = a = 1 .
Damit können alle zueinander parallelen oder anti-parallelen (kollinearen) Vektoren durch einen Einheitsvektor,
â, in ihre Richtung und einen reellen Skalar, λ dargestellt werden:
~a = λ â = a â · „Vorzeichen“ (~a)
denn: |~a| = |a| |â| = a
~a ↑↑ oder ↑↓ â
Betrag, |λ| = a X
Richtung, je nach Vorzeichen von λ X
Übung
1.6. Zerlegung von Vektoren in Komponenten
Gegeben seien drei Vektoren ~a, ~b, ~c in der Ebene.
Gesucht ist eine Zerlegung von ~c in der Form:
~c = c1 â + c2 b̂ .
Abb. 1.12.: Drei Vektoren in der Ebene
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
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A 6.1
1. Grundbegriffe der Vektorrechnung
Konstruktive Lösung der Problemstellung:
a) Zeichne die Vektoren ~a, ~b, ~c
b) Zeichne Parallelen zu den Vektoren ~a und ~b durch
den Anfangs- und Endpunkt von ~c, bestimme c~1
und c~2 .
Notwendig: ~a und ~b dürfen nicht kollinear sein, es
sei denn alle drei Vektoren ~a, ~b, ~c sind kollinear.
c) damit erhalten wir:
y
y
c~1 || ~a und c~2 || ~b
c~1 = α ~a = α a â = c1 â , c1 = α a
c~2 = β ~b = β b b̂ = c2 b̂ , c2 = β b
Abb. 1.13.: Zerlegung eines Vektors
~c = c~1 + c~2 = c1 â + c2 b̂ .
Satz: Zerlegung von Vektoren
Gegeben seien drei komplanare (in einer Ebene liegende) Vektoren ~a, ~b und ~c. Sind ~a und ~b nicht
kollinear, so kann jeder Vektor ~c in der Ebene eindeutig zerlegt werden in der Form
~c = α ~a + β ~b = c1 â + c2 b̂ ,
α, β, c1 , c2 ∈ R
Gegeben seien vier Vektoren im 3 - dimensionalen Raum R3 , ~a, ~b, ~c und d~. Sind ~a, ~b und ~c nicht
komplanar, so kann jeder Vektor d~ im Raum eindeutig zerlegt werden in der Form
d~ = α ~a + β ~b + γ ~c = d1 â + d2 b̂ + d3 ĉ
mit Koeffizienten α, β, γ, d1 , d2 , d3 ∈ R
12
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
1.6. Zerlegung von Vektoren in Komponenten
Beispiel: Zerlegung von Kräften:
Frage: Welche Zugkräfte treten in den Seilen auf?
Abb. 1.14.: Zugkräfte in Seilen
Kräftedreieck
F~1 + F~2 = F~
Symmetrie
|F~1 | = |F~2 |
ähnliche Dreiecke
|F~1 |
=
1 ~
|F |
√
2
y
92 + 1.52
= 6.083
1.5
|F~1 | = 6.083
|F~ |
= 60.83 N = |F~2 | .
2
Abb. 1.15.: Summe der Einzelkräfte
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13
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
In diesem Kapitel betrachten wir die Darstellung und Zerlegung von dreidimensionalen Vektoren des R3 in
einem rechtwinkligen Koordinatensystem.
2.1. Basisvektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Als Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems wählt man die Einheitsvektoren entlang der x−, y−
und der z− Achse. Diese stehen senkrecht aufeinander und bilden somit eine rechtwinklige Basis (Orthonormalbasis).
Die Einheitsvektoren der Basis in den verschiedenen gebräuchlichen Notationen
î, ĵ, k̂ =
b x̂, ŷ, ẑ =
b êx , êy , êz
Sie bilden in dieser Reihenfolge ein so genanntes „Rechtssystem“
Abb. 2.1.: Basisvektoren des R3
Jeder Vektor ~a des R3 kann eindeutig in seine Komponenten entsprechend den Basisvektoren zerlegt werden:
~a = ~ax + ~ay + ~az
= ax î + ay ĵ + az k̂
= x î + y ĵ + z k̂
Man bezeichnet wird ~ax , ~ay , ~az die Komponenten des Vektors ~a in Bezug auf die Basis î, ĵ, k̂ und mit x, y, z
die Koordinaten des Vektors in dieser Basis.
Für das konkrete Rechnen ist eine so genannte „Darstellung“ der Vektoren als Spaltenvektoren, auch Komponentendarstellung genannt, von großer Bedeutung. Ausgehend von der Darstellung der Basisvektoren als
Spaltenvektoren mit drei Komponenten entwickeln wir die Darstellung des Vektors ~a:
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15
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Basisvektoren
 
1
î = 0 ;
0
 
0
ĵ = 1 ;
0
 
0
k̂ = 0
1
Komponenten von ~a
 
 
1
x



~ax = x î = x 0 = 0  ,
0
0
 
 
0
0



~ay = y ĵ = y 1 = y 
0
0
 
 
0
0
~az = z k̂ = z 0 = 0
1
z
der Vektor ~a
y
     
 
 
x
0
0
x
ax
~a = ~ax + ~ay + ~az =  0  + y  + 0 = y  = ay 
0
0
z
z
az
Durch die Angabe der Komponenten ax , ay , az ist der Vektor ~a in der Basis î, ĵ, k̂ eindeutig bestimmt.
Gleichzeitig wird mit den Komponenten ax = x, ay = y, az = z ein Punkt P (x, y, z) festgelegt (s. Abb.2.1).
Damit ergibt sich der folgende
Satz: Ortsvektor
Bei einer vorgegebenen Basis kann jedem Punkt des Raumes ein Ortsvektor, und jedem Ortsvektor
ein Punkt des Raumes R3 zugeordnet werden.
In der Komponentendarstellung gilt weiterhin:
Definition: Nullvektor
Ein Ortsvektor ist genau dann der Nullvektor, wenn seine drei Koordinaten (Komponenten)
gleich null sind
 
0
~0 = 0
0
sowie
Satz: Gleichheit von Vektoren
Zwei Ortsvektoren sind (bei gleicher Basis) gleich, wenn ihre Komponenten paarweise gleich sind
16
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2.2. Rechengesetze für Vektoren in der Komponentendarstellung
Der Vektorgleichung
Vektorgleichung
~a = ~b
ax î + ay ĵ + az k̂ = bx î + by ĵ + bz k̂
im dreidimensionalen Raum entsprechen in der Komponentendarstellung somit drei skalare Gleichungen:
Vektorgleichung
  
bx
ax
ay  = by 
bz
az

mit
3 Komponenten
ax = bx
y
ay = by
az = bz
y
3 skalare Gleichungen
Satz: Vektorgleichung
Einer Vektorgleichung des 3 dimensionalen Raumes R3 entsprechen drei skalare Gleichungen.
2.2. Rechengesetze für Vektoren in der Komponentendarstellung
Addition, Subtraktion und Multiplikation von Vektoren (mit Skalaren) konnten bisher nur grafisch durchgeführt
werden.Mit der Einführung einer Basis ist dies auch rechnerisch möglich:
Gegeben seien zwei Ortsvektoren
~r1 = x1 î + y1 ĵ + z1 k̂
~r2 = x2 î + y2 ĵ + z2 k̂
damit gilt
~r1 ± ~r2 = (x1 ± x2 ) î + (y1 ± y2 ) ĵ + (z1 ± z2 ) k̂
Dies ergibt sich aus dem Kommutativ- und dem 2.Distributivgesetz, S.10.
Die Komponenten der Summe/Differenz zweier Vektoren sind somit gleich der Summe/Differenz der entsprechenden Komponenten der beiden einzelnen Vektoren.
In Komponentendarstellung schreibt sich dies als:


 


x1
x2
x1 ± x2
~r1 =  y1  , ~r2 =  y2  , ~r1 ± ~r2 =  y1 ± y2 
z1
z2
z1 ± z2
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2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Entsprechend gilt für die Multiplikation mit einem Skalar:
λ ~r = λ (x î + y ĵ + z k̂) = λ x î + λ y ĵ + λ z k̂
 
 
x
λx



λ ~r = λ y = λ y 
z
λz
:
Komponentenweise Multiplikation
dass alle Komponenten des Vektors mit dem Skalar multipliziert werden.
2.3. Betrag und Richtungskosinus eines Vektors
Abb. 2.2.: Betrag Ortsvektor
Abb. 2.3.: Vektor im Raum
Dem Betrag des Vektors ~a entspricht
 seiner Länge oder dem Abstand des durch ihn definierten Punktes
x
P (x, y, z) vom Ursprung. Für ~a = y  gilt:
z
a = |~a| =
q
p
a2x + a2y + a2z = x2 + y 2 + z 2
Der Abstand zweier Punkte im Raum ergibt sich aus der Länge des Verbindungsvektors:
P1 P2 = d12 = |~r2 − ~r1 | =
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Jeder Vektor ist eindeutig charakterisiert durch seinen Betrag (s.o.) und seine Richtung. Die Richtung wird
festgelegt durch die Angabe der Winkel α, β, γ des Vektors ~a zu den Basisvektoren ĵ, ĵ, k̂ im Raum. Diese
Winkel liegen jeweils in der vom Vektor ~a und dem entsprechenden Basisvektor aufgespannten Ebene:
18
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2.3. Betrag und Richtungskosinus eines Vektors
Abb. 2.4.: Winkel im Raum
Abb. 2.5.: Winkel zur x-Achse
Die Winkel des Vektors ~a zu den jeweiligen Koordinatenachsen berechnen sich aus
cos(α) = cos(^(~a , î)) =
ax
x
=
|~a|
a
cos(β) = cos(^(~a , ĵ)) =
ay
y
=
|~a|
a
cos(γ) = cos(^(~a , k̂)) =
az
z
=
|~a|
a
(2.1)
Die Größen cos α, cos β, cos γ heißen die Richtungskosinus von ~a. Aus der Beziehung für den Betrag des
Vektors ~a
a2x + a2y + a2z = a2
und den Gleichungen (2.1) für die Richtungskosinus ergibt sich die Beziehung:
cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = 1
(2.2)
Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften:
a) Die Richtungskosinus sind voneinander abhängig, nur zwei von den drei
Richtungskosinus sind unabhängig wählbar, der dritte berechnet sich z.
Bsp. zu
p
cos(γ) = ± 1 − cos2 (α) − cos2 (β)
für die anderen Winkel gilt das analog.
b) Von den drei Winkeln α, β, γ kann immer nur einer kleiner als π4 oder
π
3π
größer als 3π
4 sein. Sei z.B. α < 4 oder α > 4 , 0 ≤ α ≤ π dann gilt
cos2 (α) > 12 und es folgt für die anderen Winkel
1
cos (β) + cos (γ) <
2
2
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2
y
π 3π
β, γ ∈
,
4 4
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Abb. 2.6.: Kosinus
19
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Für die Darstellung eines Vektors durch Betrag und Richtungskosinus ergeben sich nun folgende Zusammenhänge:
~a = ax î + ay ĵ + az k̂
=a
na
x
a
î +
ay
az o
ĵ +
k̂
a
a
~a = a {î cos(α) + ĵ cos(β) + k̂ cos(γ)}
Im speziellen Fall des Einheitsvektors bestehen die Komponenten ausschließlich aus den Richtungskosinus:
â = î cos(α) + ĵ cos β + k̂ cos γ , (a = 1)
Bemerkung:
Eine immer wieder nützliche Betrachtung ist die Bilanz der Freiheitsgrade. Ein Vektor des R3 besitzt drei
Komponenten und somit drei Freiheitsgrade. Seine Darstellung durch Betrag und Richtungskosinus umfasst
vier Größen (den Betrag und drei Richtungskosinus). Nachdem die drei Richtungskosinus über die skalare
Gleichung miteinander verknüpft sind und deswegen von ihnen nur zwei Parameter unabhängig sind, bleiben
auch in dieser Art der Beschreibung nur drei Parameter übrig.
~a = a {î cos(α) + ĵ cos(β) + k̂ cos(γ)}
|
{z
}
drei Richtungskosinus
davon einer abhängig
|
{z
}
3 Parameter =
b 3 Komponenten
Beispiele:
1. Gegeben sei der Vektor ~
r = 2 î − ĵ − 2 k̂
Gesucht ist sein Betrag, der zugeordnete Einheitsvektor (Normierung des Vektors) und seine Winkel
mit den Koordinatenachsen.
Betrag:
r=
√
r̂ =
~r
r
4+1+4=3
Einheitsvektor:
Winkel mit den KO-Achsen:
 
2
2
1
2
1  
−1
= î − ĵ − k̂ =
3
3
3
3
−2
1
2
2
, cos(β) = − , cos(γ) = −
3
3
3
α = 48.19◦ , β = 109.47◦ , γ = 131.81◦ .
cos(α) =
20
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2.4. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
2. Gesucht ist der Ortsvektor der Länge 2
cos
y
π 3
1
= , cos
2
r
cos(γ) = ±
(
1−
60◦
3π
4
γ=
y
γ = 60◦ , cos(γ) =
√
y
2 mit α = 60◦ , β = 135◦ . Der Winkel γ sei ein spitzer Winkel.
1√
2
2
1 1
1
− = ±
4 2
2
←- spitzer Winkel
y
120◦
=−
√
1
2

1
1
2
1
1  √ 
r̂ = î −
ĵ + k̂ =
− 2
2
2
2
2
1

Abb. 2.7.: Kosinus
1√
1√
1+2+1 =
4 = 1
2
2

√ 

1
2
√
√
√
√
√



−2 = î 2 − ĵ 2 + k̂ 2
~r = 2 2 r̂ = 2 − 2 = √
1
2
Probe: |r̂| =
y
2.4. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
Der Begriff der „linearen Abhängigkeit“, sei es von Vektoren, Gleichungen oder anderen Objekten spielt in der
Mathematik eine große Rolle. In diesem Kapitel lernen wir diesen Begriff in seiner Anwendung auf Vektoren
kennen.
Definition: Lineare Abhängigket von zwei Vektoren
Zwei Vektoren ~a und ~b heißen linear abhängig, falls gilt:
~b = λ ~a ,
λ 6= 0
(2.3)
Sie sind dann kollinear.
Die Vektorgleichung Gl.2.3, die im R3 aus drei skalaren Gleichungen besteht, wird im Falle der linearen
Abhängigkeit der beiden Vektoren von genau einem Wert für λ gelöst. Dieser Wert von λ lässt sich aus einer der
drei skalaren Gleichungen von Gl. 2.3 berechnen - die restlichen zwei Gleichungen werden automatisch erfüllt.
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21
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Definition: Lineare Abhängigket von drei Vektoren
Drei Vektoren ~a, ~b, ~c heißen linear abhängig falls gilt:
~c = λ ~a + µ ~b ,
λ 6= 0, µ 6= 0 .
Sie sind dann komplanar, möglicherweise aber auch kollinear.
Die Werte von λ und µ ergeben sich eindeutig aus der Vektorgleichung
~c = λ ~a + µ ~b
(2.4)
entsprechend aus den drei skalaren Gleichungen
cx = λ ax + µ bx
cy = λ ay + µ by
(2.5)
cz = λ az + µ bz
Es liegen hier drei Gleichungen für zwei Unbekannte vor. Damit diese beiden Unbekannten, λ, µ, daraus
bestimmt werden können, müssen die Gleichungen voneinander abhängig sein, das heißt, es dürfen maximal
zwei Gleichungen linear unabhängig sein, die dritte Gleichung muss sich aus diesen beiden Gleichungen
ergeben.
Eine Möglichkeit, die Abhängigkeit der Gleichungen zu untersuchen, besteht darin, die Determinante der
Koeffizienten des linearen Gleichungssystems 2.5, die durch die Koeffizienten der Vektoren ~a, ~b, ~c gegeben
sind, zu untersuchen. Verschwindet diese Determinante, so ist das lineare Gleichungssystem lösbar und die
drei Vektoren sind linear abhängig. Dies fast der folgende Satz zusammen:
Satz: Lineare Abhängigkeit dreier Vektoren im R3
Gilt für die drei Vektoren ~a, ~b, ~c
ax bx cx D = ay by cy = 0,
az bz cz (2.6)
so sind die Vektoren linear abhängig (komplanar). Ist die Determinante D von Null verschiedenen,
D 6= 0 , so sind die Vektoren linear unabhängig (nicht komplanar oder kollinear).
Den Begriff der Determinante werden wir ausführlich im nächsten Kapitel 9 (Lineare Gleichungssysteme,
Matrizen und Determinanten) behandeln. In drei Dimensionen kann die Determinante (2.6) mit der Regel von
Sarrus Gl. (9.3) berechnet werden. Wir werden diese Regel im nächsten Beispiel kennen lernen.
In drei Dimensionen kann jeder beliebige Vektor d~ in drei nicht komplanare Vektoren ~a, ~b und ~c zerlegt werden,
d.h. die Vektorgleichung
d~ = λ ~a + µ ~b + ν ~c
22
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25. September 2013
2.4. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit
besitzt eine eindeutige Lösung für die Entwicklungskoeffizienten λ, µ, ν .
Bemerkung: Wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, besitzt das dreidimensionale lineare Gleichungssystem
(LGS) eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Koeffizienten des Gleichungssystems von Null
verschieden ist. Dies bedeutet, dass die zugeordneten Spaltenvektoren linear unabhängig und damit nicht
komplanar sind:
In drei Dimensionen haben wir somit eine Korrespondenz zwischen der Lösbarkeit des dreidimensionalen
linearen Gleichungssystems und der linearen Abhängigkeit der zugeordneten Spaltenvektoren:
 

 
λ
ax bx cx
λ
~





µ = d~ ist eindeutig lösbar für |(~a, ~b, ~c)| =
(~a, b, ~c) µ = ay by cy
6 0!
ν
az bz cz
ν
~a, ~b, ~c nicht komplanar
y
|(~a, ~b, ~c)| =
6 0 s.oben.
In n Dimensionen gilt entsprechend:
2
3
4
Dimensionen
...
...
(Ebene)
...
...
2
3
4
linear unabh. Vektoren
...
...
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
n
...
...
n
...
Beispiel:
Gegeben sei der Vektors ~
r = î + 74 ĵ − k̂
Gesucht ist die Zerlegung von ~
r in die Vektoren ~a = î + 2 ĵ − 3 k̂,
Wir untersuchen zunächst, ob die Vektoren linear abhängig sind
~b = 2 î − ĵ + k̂ , sofern dies möglich ist.
1
2
1 1 2
24
4
4 +2− 3+ −4 =0
D = 2 −1 7 2 -1 = 1 −
7
7
−3 1 −1 -3 1
y ~r, ~a und ~b sind komplanar X
und bestimmen dann die Zerlegung:
Ansatz: ~
r = λ ~a + µ ~b
1 = λ + 2µ
4
= 2λ − µ
7
y
λ = 1 − 2µ
y
4
= 2 − 4µ − µ y
7
9 2
Probe: − 1 = −3 λ + µ = − + = −1 X
7 7
3
2
insgesamt: ~
r = ~a + ~b
7
7
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3
7
2
µ=
7
λ=
23
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
2.5. Vektorgleichung einer Geraden im Raum
2.5.1. Punktrichtungsform
Eine Gerade wird eindeutig bestimmt durch einen Punkt P0 , der auf der Geraden liegt und einem Richtungsvektor
~a der die Richtung der Geraden beschreibt. Mit der Geradengleichung g kann man durch Variation des reellen
Parameters λ jeden Punkt auf der Geraden darstellen:
g:
λ ∈ R
~r = r~0 + λ ~a ,
(2.7)
Abb. 2.8.: Punktrichtungsform
2.5.2. Zweipunkteform
Eine Gerade wird ebenfalls eindeutig durch zwei Punkte bestimmt. Der Verbindungsvektor der beiden Punkten
übernimmt dabei die Rolle des Verbindungsvektors der Geraden:
~r = ~r0 + λ (~r1 − ~r0 ) ,
λ∈R
Abb. 2.9.: Zweipunkteform
2.6. Vektorgleichung einer Ebene im Raum
Genauso wie Geraden können wir Ebenen im Raum durch Richtungsvektoren und Punkte beschreiben. Eine
weitere Möglichkeit mit Hilfe des Skalareproduktes lernen wir im nächsten Kapitel kennen.
Wir betrachten hier zunächst die so genannte Parameterdarstellung einer Ebene.
2.6.1. Punktrichtungsform
Gegebenen seien ein Punkt in der Ebene sowie zwei Vektoren die nicht linear abhängig (kollinear) sind.
24
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
2.6. Vektorgleichung einer Ebene im Raum
Jeder Punkt P der Ebene wird erreicht über
den Punkt P1 und die Linearkombination
zweier nicht kollinearer Vektoren ~a und ~b
~r = ~r0 + λ ~a + µ ~b
λ, µ ∈ R
(2.8)
Abb. 2.10.: Ebenengleichung
2.6.2. Dreipunkteform
Jede Ebene ist durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig definiert. Die Verbindungsvektoren
von zwei Paaren dieser drei Punkte entsprechen den beiden Richtungsvektoren von eben und ergeben eine
qualitativ identische Gleichung wie die Punkt-Richtungsform:
Die drei Punkte P1 , P2 , P3 seien gegeben
und definieren die folgenden Richtungsvektoren:
−−−→
−−−→
~a = P1 P2 = ~r2 − ~r1 , ~b = P1 P3 = r~3 − ~r1
Damit ergibt sich für die Ebenengleichung
~r = ~r1 + λ (~r2 − ~r1 ) + µ (r~3 − ~r1 ) (2.9)
Abb. 2.11.: Ebenengleichung
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25
2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
2.7. Der Vektorraum II
2.7.1. Teilräume
Definition: Teilraum
Die Menge V sei ein Vektorraum über dem Körper K = R
Eine nichtleere Teilmenge U heißt Teilraum oder Untervektorraum von V , wenn gilt:
1. Der Nullvektor 0 ∈ U ist Element U
2. u + v ∈ U , falls u, v ∈ U
3. α u ∈ U , falls u ∈ U und α ∈ K
Die Eigenschaften 1. - 3. kann man so zusammenfassen, dass mit den Elementen u und v auch jede Linearkombination α u + β v Element des Unterraums U ist. Der Teilraum U ist somit vollständig unter den Verknüpfungen
des Vektorraums V in dem Sinne, dass diese Verknüpfungen nicht aus U herausführen.
Beispiel:
Beispiele:
1. Eine Folge von ineinander geschachtelten Teilräumen sind: Eine Gerade R, eine Ebene R2 , der
dreidimensionale Raum R3 der n-dimensionale Raum Rn , usw.
2. Die Menge der Polynome Pn (x) vom Grad n = 1, 2, 3, ....
2.7.2. Linearkombinationen, Lineare Hülle, Erzeugendensystem
Gegeben seien n Vektoren v1 , v2 , . . . , vn des Vektorraums V . Wir definieren:
Definition: Linearkombination und lineare Hülle
Jeder Vektor der Form
α1 v1 + · · · + αn vn =
n
X
αk vk
(2.10)
k=1
heißt „Linearkombination“ der Vektoren v1 , v2 , . . . , vn ∈ V .
Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v1 , v2 , . . . , vn heißt ihre „lineare Hülle“:
U = Span{v1 , v2 , . . . , vn }
(2.11)
Die Vektoren v1 , v2 , . . . , vn heißen ein „Erzeugendensystem“ von U .
Die lineare Hülle U der Vektoren v1 , v2 , . . . , vn ist ein Teilraum von V .
Beispiele:
1. Vektoren einer Geraden, einer Ebene des R3
26
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2.7. Der Vektorraum II
2. verschiedene Polynome 1., 2. und 3. Grades P1,2,3 (x)
In diesem allgemeinerem Rahmen definieren wir den Begriff der Linearen Abhängigkeit bzw. Linearen Unabhängigkeit:
Definition: Lineare Abhängigkeit und Lineare Unabhängigkeit
Gilt für die Linearkombination der Vektoren v1 , v2 , . . . , vn eines Vektorraums V
α1 v1 + · · · + αn vn =
n
X
αk vk = 0
(2.12)
k=1
mit Skalaren α1 , . . . , αn , die nicht alle Null sind, so heißen diese Vektoren „linear abhängig“,
ansonsten heißen sie „linear unabhängig“
Beispiele:
1. kollineare und komplanare Vektoren des R3
2. verschiedene Polynome und Monome 1., 2. und 3. Grades P1,2,3 (x)
2.7.3. Basis
Mit den jetzt neu definierten Begriffen, können wir den Begriff der „Basis“ eines Vektorraums definieren:
Definition: Basis
Eine Menge v1 , . . . , vn von Vektoren des Vektorraums V heißt eine „Basis“ von V , wenn
jeder Vektor v ∈ V sich als genau eine Linearkombination
v = α1 v1 + · · · + αn vn =
n
X
αk vk
(2.13)
k=1
mit eindeutig bestimmten Koeffizienten α1 , . . . , αn darstellen lässt.
Im Zusammenhang mit der Basis spricht man gelegentlich auch von einem so genannten „geordneten n-Tupel“
B = (v1 , . . . , vn )
(2.14)
Es gilt der folgende Zusammenhang:
Satz: Basis
Das geordnete n-Tupel B = (v1 , . . . , vn ) ist genau dann eine Basis, wenn die Vektoren
v1 , . . . , vn ein linear unabhängiges Erzeugendensystem sind.
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2. Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Beweis zur Übung.
Beispiele:
1. verschiedene Basisvektoren des R3
2. verschiedene Basisvektoren für Polynome 1., 2. und 3. Grades P1,2,3 (x)
28
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3. Das Skalarprodukt
3.1. Definition des Skalarprodukt
~,
Aus der Physik ist der Begriff der Arbeit bekannt: Arbeit= Kraft * Weg. liegen die vektoriellen Größen Kraft, F
~
und Weg, ~
s, parallel zueinander, so gilt W = F s = |F | |~s|. Liegen sie nicht parallel zueinander, so ist nur der
~ parallel zu ~s wirksam:
Anteil von F
W = Fk s = |F~k | |~s |
= |F~ | |~s | cos(ϕ)
= F~ · ~s
Abb. 3.1.: Skalarprodukt
Definition: Skalarprodukt
Unter dem Skalarprodukt (oder inneren Produkt) zweier Vektoren ~a und ~b versteht man
den Ausdruck
~a · ~b = |~a| |~b| cos(^(~a ~b))
(3.1)
Bemerkung:
i) ~a · ~b = 0
a ~b)) = 0
|a = 0 oder
{z b = 0} oder cos(^(~
|
{z
}
~a , ~b = 0
~a ⊥ ~b
√
ii) ~a · ~a = a a cos(^(~a, ~a)) = a2 y a = ~a · ~a .
y
3.2. Rechengesetze für das Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist
kommutativ: ~a · ~b = ~b · ~a
~a · ~b = a b cos(~a , ~b) = b a cos(~b , ~a) = ~b · ~a ]
assoziativ:
(λ ~a) · ~b = λ (~a · ~b),
λ∈R
(λ ~a) · ~b = λ a b cos(ϕ) = λ ~a · ~b ]
distributiv: ~a · (~b + ~c) = ~a · ~b + ~a · ~c
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29
3. Das Skalarprodukt
Beispiele:
1.
(~a + ~b)2 = (~a + ~b) · (~a + ~b) = ~a2 + 2 · ~a · ~b + ~b2
= a2 + b2 + 2 · a · b · cos(ϕ)
2. Kosinussatz der ebenen Trigonometrie
~c = ~a − ~b
~c 2 = (~a − ~b ) 2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(ϕ)
Abb. 3.2.: Kosinussatz
3.3. Das Skalarprodukt in der Koordinaten-/Komponentendarstellung:
~r1 = x1 î + y1 ĵ + z1 k̂
~r2 = x2 î + y2 ĵ + z2 k̂
~r1 · ~r2 = x1 î · (x2 î + y2 ĵ + z2 k̂)+
y1 ĵ · (x2 î + y2 ĵ + z2 k̂)+
z1 k̂ · (x2 î + y2 ĵ + z2 k̂)
Für die Einheitsvektoren (Orthonormalbasis) gilt:
î2 = ĵ 2 = k̂ 2 = 1 ; î · ĵ = î · k̂ = ĵ · k̂ = 0
~r1 · ~r2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
y
In der Komponentendarstellung:
 
 
x1
x2



~r1 = y1 , ~r2 = y2 
z1
z2
 
x2

~r1 · ~r2 = x1 , y1 , z1 · y2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
z2
30
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25. September 2013
3.3. Das Skalarprodukt in der Koordinaten-/Komponentendarstellung:
Beispiel:
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren


 
−6
3
~r1 =  8  und ~r2 = −4:
0
12
~r1 · ~r2 = r1 r2 cos(ϕ)
y
ϕ = arccos
~r1 · ~r2
r1 r2
~r1 · ~r2 = −18 − 32 = −50
√
√
r1 = 36 + 64 = 10; r2 = 9 + 16 + 144 = 13
−50
ϕ = arccos
= 112.62◦
130
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31
3. Das Skalarprodukt
3.4. Anwendungen des Skalarprodukts
a) Abstand eines Punktes von einer Geraden Gegeben sei eine Gerade g in der Punkt-Richtungsform
und ein Punkt im Raum P1 . Gesucht Ist der kürzeste Abstand dieses Punktes von der Geraden.
Punkt P1 :
~r1
Gerade g :
~r = r~0 + λ ~a
Abb. 3.3.: Abstand: Punkt, Gerade
Der Fußpunkt des Lotes von P1 auf die Gerade sei P⊥ . Der kürzeste Abstand, d, ist gegeben durch den
Betrag des Abstandsvektors d~ der Punkte P1 und P⊥ : d~ = ~
r − ~r1
−−−→
~
Abstand = d = |P1 P⊥ | = |d|
(I) ~
r=
r~0 + λ0 ~a = ~r1 + d~
(II) P ist Lotpunkt
y
d~ ⊥ ~a
~a · (I)
y
unbekannt :
y
d~ · ~a = 0
~a · ~r1 + d~ · ~a = ~a · ~r0 + λ0 ~a 2
y
y
y
y
32
d~ , λ0
λ0 =
(~r1 − r~0 ) · ~a
a2
~r = r~0 +
(~r1 − r~0 ) · ~a
~a
a2
(~r1 − r~0 ) · ~a
d~ = ~r − ~r1 = r~0 − ~r1 +
~a
a2
(~r1 − r~0 ) · ~a ~
|d| = r~0 − ~r1 +
~a
a2
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3.4. Anwendungen des Skalarprodukts
Blick in die Ebene, definiert durch
die Gerade und dem Punkt P1 :
Abb. 3.4.: Abstand: Punkt, Gerade
b) Schnittwinkel zweier Geraden
Gerade 1 : ~
r = ~r1 + λ1 · ~a1
Gerade 2 : ~
r = ~r2 + λ2 · ~a2
cos(^(~a1 , ~a2 )) =
~a1 · ~a2
a1 a2
Bemerkung:
Als Schnittwinkel zweier Geraden bezeichnet man den Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren, auch
wenn sich die Geraden nicht schneiden.
c) Gleichung einer Ebene durch einen Punkt, senkrecht zu einem (Normalen-) Vektor.
Punkt in der Ebene : P0
Normalenvektor der Ebene: ~
n
Abb. 3.5.: Gleichung: Ebene, Punkt
Gleichung für alle Punkte P =
b ~r in der Ebene:
−−→
(P P0 ) · ~n = −(~r − r~0 ) · ~n = 0 oder ~n · ~r = ~n · r~0
25. September 2013
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(3.2)
33
3. Das Skalarprodukt
Ist ~
n = n̂ ein Einheits-Normalen-Vektor, so ist n̂ · r~0 der Abstand d der Ebene vom Ursprung.
Setze ~
n · r~0 = konstant = −D
~n = A î + B ĵ + C k̂
~r = x î + y ĵ + z k̂
y
~n · ~r = A x + B y + C z = −D
und wir erhalten die Ebenengleichung
Ax + By + C z + D = 0
(3.3)
d) Parameterdarstellung einer Ebene
i) Punkt P1 und zwei nicht kollineare Vektoren ~a, ~b
~r = ~r1 + λ ~a + µ ~b
2 Parameter
ii) Drei Punkte P1 , P2 , P3 seien gegeben:
−−−→
−−−→
~a = P1 P2 = ~r2 − ~r1 , ~b = P1 P3 = r~3 − ~r1
y
~r = ~r1 + λ (~r2 − ~r1 ) + µ (r~3 − ~r1 )
e) Abstand eines Punktes von einer Ebene:
Ebene : ~
n · ~r = ~n · r~0
−−→
Lotvektor d~ = P1 P
d~ =Parallelkomponente von
−−−→
P0 P1 = r~0 − ~r1 zu ~n :
Abb. 3.6.: Abstand: Punkt, Ebene
~
~n · (r~0 − ~r1 ) = ~n · d~ = ± |~n| |d|
34
y
d=
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|~n · (r~0 − ~r1 )|
|~n|
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3.5. Vektorraum III
3.5. Vektorraum III
Mit dem Skalarprodukt haben wir eine multiplikative Verknüpfung der Elemente des Vektorraums kennen gelernt,
die es uns ermöglicht, Längen und Winkel zu definieren.
3.5.1. Skalarprodukträume
Wir betrachten einen Vektorraum V über einem Körper K = R, C und definieren das
Definition: Skalarprodukt
Das Skalarprodukt oder innere Produkt ist die multiplikative Verknüpfung zweier Vektoren
u, v ∈ V :
hu, vi 7→ K
(3.4)
mit den folgenden Eigenschaften:
hu, αv1 + βv2 i = αhu, v1 i + βhu, v2 i
(a)
hu, vi = hv, ui
(b)
hu, ui ≥ 0, hu, ui x
yu=0
(c)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Dabei bedeutet hv, ui in Gleichung (3.6) , dass ein komplexer Wert des Skalarprodukts konjugiert komplex zu
nehmen ist. 1 Diese Eigenschaften bezeichnet man mit
(a) Linearität im zweiten Argument
(b) Symmetrie
(c) positive Definitheit
des Skalarprodukts. Für den Fall K = R gilt
(b) hu, vi = hv, ui
(3.8)
und das Skalarprodukt ist linear im ersten und im zweiten Argument. Für den Fall K = C ist das Skalarprodukt
linear im ersten, semilinear im zweiten Argument:
hαu1 + βu2 , vi = αhu1 , vi + βhu2 , vi
(3.9)
Man bezeichnet es dann insgesamt als „ sesquilinear“.
Ein Vektorraum V über einem Körper K heißt Skalarproduktraum wenn zu je zwei Vektoren u, v ∈ V ein
Skalarprodukt (inneres Produkt), hu, vi ∈ K definiert ist, das die obigen Eigenschaften besitzt.
1
siehe Kap. xxx Komplexe Zahlen
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35
3. Das Skalarprodukt
3.5.2. Normierte Räume
Ist auf einem Vektorraum ein Skalarprodukt definiert, so können wir dieses dazu benutzen um eine „ Norm“ auf
diesem Vektorraum einzuführen. Mithilfe dieser Norm ist es möglich, Längen und Abstände in diesem Raum zu
messen. Ein solcher Vektorraum heißt dann „normierter“ Raum:
Definition: normierter Raum
Ein Vektorraum V über K = R, C heißt normierter Raum, wenn auf ihm eine Norm k·k als
reellwertige Abbildung
k·k : u ∈ V 7→ ||u|| ∈ R
(3.10)
mit folgenden Eigenschaften definiert ist:
kuk > 0,
(a)
kuk = 0 x
yu=0
(3.11)
kαuk = |α|kuk für α ∈ K
(b)
(3.12)
ku + vk ≤ kuk + kvk Dreieicksungleichung
(c)
(3.13)
In jedem Skalarproduktraum kann man mit
kuk :=
p
hu, ui
(3.14)
eine Nom definieren. Man spricht hier von der „induzierten“ Norm. Dies Norm erfüllt die so genannte „CauchySchwartz’sche Ungleichung“
|hu, ui| ≤ kukkvk
(3.15)
wobei die Gleichheit gilt, genau dann wenn die beiden Vektoren u und v linear unabhängig sind. Der Beweis
dieser Ungleichung sowie der Normeigenschaften sei dem Leser zur Übung überlassen.
3.5.3. Orthonormalsysteme
Zwei Vektoren eines Vektorraums V nennt man orthogonal, u ⊥ v , falls hu, vi = 0.
Eine endliche (oder abzählbare) Menge von Vektoren v1 , v2 , . . . ∈ V bilden ein Orthonormalsystem, falls gilt:
hvi , vk i = δi,k =
1
0
für
für
i=k
i 6= k
(3.16)
Die Vektoren v1 , v2 , . . . , vn eines endlichen Orthonormalsystems sind linear unabhängig.
Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge:
(a) Sind die Vektoren v1 , v2 , . . . , vn ein Orthonormalsystems eines n-dimensionalen Vektorraums V , so
bilden diese eine Basis.
(b) Die Darstellung eines Vektors u ∈ V in Bezug auf die Orthonormalbasis v1 , v2 , . . . , vn ergibt sich zu
u=
n
X
k=1
36
hvk , uivk
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(3.17)
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3.5. Vektorraum III
(c) Sind u und v zwei Vektoren des Vektorraums V so gilt:
hu, vi =
n
X
k=1
hvk , uihvk , vi
(3.18)
(d) insbesondere gilt die Parseval’sche Gleichung:
kuk2 =
n
X
k=1
|hvk , ui|2
(3.19)
Die Beweise dazu seien wiederum als Übung empfohlen!
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37
4. Das Vektorprodukt
4.1. Definition des Vektorprodukts
~ an einem um den Punkt 0 frei drehbaren Körper:
Physikalisches Beispiel: Drehmoment M
~
Im Punkt P wirkt die Kraft F
Betrag des Drehmoments:
~ | = a F = a |F~ |
|M
~ | = r |F~ | sin(ϕ)
|M
~
Abb. 4.1.: Das Drehmoment M
Lage der Drehachse und Drehrichtung:
~ liegt auf der Drehachse und zeigt in die „Drehrichtung“ ( rechte Hand Regel ). Man schreibt:
M
~ = ~r × F~
M
Definition: Vektorprodukt
Unter dem Vektorprodukt zweier Vektoren ~a und ~b versteht man einen Vektor ~a × ~b mit:
i) ~a × ~b steht senkrecht auf ~a und ~b
ii) ~a, ~b und ~a × ~b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.
iii) |~a × ~b| = a b sin(^(~a, ~b)) mit 0 ≤ ^(~a, ~b) ≤ π .
Bemerkung:
~a × ~b = ~0 falls ~a = ~0 oder ~b = ~0
sin(^(~a, ~b)) = sin(0 oder π ) = 0 .
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oder ~a k ~b , d.h.
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39
4. Das Vektorprodukt
Geometrische Bedeutung des Vektorprodukts:
|~a × ~b| = a b sin(ϕ)
|~a × ~b| = Fläche des Parallelogramms
Abb. 4.2.: Betrag des Vektorprodukts
4.2. Rechengesetze für das Vektorprodukt
a) Anti-kommutativ:
~a × ~b = −~b × ~a
da ~a, ~b, ~a × ~b bzw. ~b, ~a, ~b × ~a ein Rechtssystem bilden müssen:
Abb. 4.3.: Rechtssystem der Vektoren
y
Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ!
b) Assoziativ bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar:
λ (~a × ~b) = (λ ~a) × ~b = ~a × (λ ~b)
c) Nicht assoziativ bzgl. der Vektormultiplikation:
(~a × ~b) × ~c 6= ~a × (~b × ~c)
40
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25. September 2013
4.2. Rechengesetze für das Vektorprodukt
Betrachte dazu die komplanaren Vektoren ~a, ~b, ~c :
~a × ~b und ~b × ~c stehen senkrecht
auf der Zeichenebene.
~v1 = ~a × (~b × ~c) liegt in der Ebene
~v2 = (~a × ~b) × ~c liegt in der Ebene
~v1 und ~v2 haben aber unterschiedliche Richtungen
y
~v1 6= ~v2 .
Abb. 4.4.: Vektormultiplikation
d) Distributiv bzgl. der Addition von Vektoren:
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
ist anschaulich klar über das Flächenverständnis:
Abb. 4.5.: Rechtssystem der Vektoren
Koordinatendarstellung des Vektorprodukts:
Ortsvektoren:
~r1 = x1 î + y1 ĵ + z1 k̂
~r2 = x2 î + y2 ĵ + z2 k̂
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41
4. Das Vektorprodukt
~r1 × ~r2 = (x1 î + y1 ĵ + z1 k̂) × (x2 î + y2 ĵ + z2 k̂)
(4.1)
= x1 x2 î × î + y1 x2 ĵ × î + z1 x2 k̂ × î
(4.2)
+ x1 y2 î × ĵ + y1 y2 ĵ × ĵ + z1 y2 k̂ × ĵ
(4.3)
+ x1 z2 î × k̂ + y1 z2 ĵ × k̂ + z1 z2 k̂ × k̂
(4.4)
î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0
(4.5)
ĵ × î = −k̂ , î × ĵ = k̂
(4.6)
î × k̂ = −ĵ , k̂ × î = ĵ
(4.7)
ĵ × k̂ = î , k̂ × ĵ = −î
(4.8)
In Gl. 4.5 sind die Vektoren zueinander parallel, in Gl. 4.6-4.8 sind die einzelnen Produkte durch zyklische
Permutationen der Faktoren miteinander verknüpft.
y
~r1 × ~r2 = (y1 z2 − y2 z1 ) î + (z1 x2 − z2 x1 ) ĵ + (x1 y2 − x2 y1 ) k̂
Formale Darstellung als Determinante:
î ĵ k̂ ~r1 × ~r2 = x1 y1 z1 x2 y2 z2 Entwicklung nach der ersten Zeile:
~r1 × ~r2 = î (y1 z2 − y2 z1 ) − ĵ (x1 z2 − x2 z1 ) + k̂ (x1 y2 − x2 y1 )
oder in der Komponentenschreibweise:
   


x1
x2
y1 z2 − z1 y2
~r1 × ~r2 =  y1  ×  y2  = z1 x2 − x1 z2 
z1
z2
x 1 y2 − y1 x 2
Beispiel:


 
3
−1



3
~r1 = −2 ; ~r2 =
4
−3

  


 
3
−1
6 − 12
−6
~r1 × ~r2 = −2 ×  3  = −4 + 9 =  5 
4
−3
9−2
7
42
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4.3. Anwendungen des Vektorprodukts
4.3. Anwendungen des Vektorprodukts
a) Tangentialgeschwindigkeit
Ein Körper dreht sich um eine
Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ω
~ .
Tangentialgeschwindigkeit am Punkt ~
r:
|~v | = ω r sin(^(~
ω , ~r))
y
~v = ω
~ × ~r
Abb. 4.6.: Tangentialgeschwindigkeit
b) Abstand zweier windschiefer Geraden:
~r = ~r1 + λ1 a~1
Geraden:
)
Abstand d ?
~r = ~r2 + λ2 a~2
Abb. 4.7.: Abstand windschiefer Geraden
Die windschiefen Geraden definieren und liegen in zwei parallelen Ebenen. Der Lotvektor zu beiden
Ebenen ist gegeben durch ~
n = a~1 × a~2 . Der Abstand d ergibt sich als Projektion des Vektors ~r2 − ~r1 auf
25. September 2013
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43
4. Das Vektorprodukt
n̂ :
d~ = n̂ ((~r2 − ~r1 ) · n̂) y n̂ · d~ = ± d = (~r2 − ~r1 ) · n̂
(~r2 − ~r1 ) · (a~1 × a~2 ) d=
|a~1 × a~2 |
c) Lorentz-Kraft
~ -Feld:
Kraft auf ein geladenes Teilchen der Ladung q und der Geschwindigkeit ~
v in einem B
~
F~ = q · (~v × B)
(a) B-Feld der Erde
(b) geladene Teilchen im B-Feld
(c) Sonnenwind
Abb. 4.8.: Sonnenwind
44
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25. September 2013
4.3. Anwendungen des Vektorprodukts
Abb. 4.9.: Polarlicht in Kanada
25. September 2013
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45
5. Mehrfache Produkte von Vektoren
5.1. Möglichkeiten der Produktbildung
multiplikative Verknüpfung zweier Vektoren:
- Skalarprodukt:
~a · ~b
- Vektorprodukt:
~a × ~b
Produkte mit drei Vektoren:
- Spatprodukt:
(~a × ~b) · ~c
- Vektorprodukt:
(~a × ~b) × ~c
Produkte mit vier Vektoren:
~
- (~a × ~b) · (~c × d)
Skalar
~
- (~a × ~b) × (~c × d)
Vektor
- [(~a × ~b) × ~c] · d~
Skalar
- [(~a × ~b) × ~c] × d~
Vektor
Produkte mit mehr als vier Vektoren lassen sich auf obige Typen zurückführen.
25. September 2013
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47
5. Mehrfache Produkte von Vektoren
5.2. Das Spatprodukt
(~a × ~b) · ~c
geometrische Deutung:
Abb. 5.1.: Ein Spat oder Parallelepiped
~a × ~b =
b Fläche des Parallelogramms ~a, ~b
V = (~a × ~b) · ~c =
b Volumen des aufgespannten Spates.
Das Vorzeichen von V ist abhängig von der Orientierung der drei Vektoren ~a, ~b, ~c :
(
~a, ~b, ~c =
Rechtssystem : V > 0
Linkssystem : V < 0
Das Volumen und somit das Spatprodukt ist invariant gegen zyklisches Vertauschen:
(~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b,
Es ändert sein Vorzeichen beim Übergang vom Rechtssystem zum Linkssystem:
(~a × ~b) · ~c = −(~b × ~c) · ~a = −(~c × ~a) · ~b.
Wegen der Kommutativität des Skalarprodukts gilt:
~a · (~b × ~c) = (~b × ~c) · ~a
48
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25. September 2013
5.2. Das Spatprodukt
Koordinatendarstellung des Spatprodukts:
Vektorprodukt:
î ĵ k̂ y1 z1 x1 z1 x1 y1 î − ~r1 × ~r2 = x1 y1 z1 = x2 z2 ĵ + x2 y2 k̂
y2 z2 x2 y2 z2 Spatprodukt:
y
(~r1 × ~r2 ) · r~3 = 1
y2
x3
= x1
x2
x1 z1 x1 y1 z1 y +
z
x −
z2 3 x2 z2 3 x2 y2 3
x1 y1 z1 y3 z3 y1 z1 = x2 y2 z2 .
x3 y3 z3 y2 z2 x1 y1 z1 (~r1 × ~r2 ) · r~3 = x2 y2 z2 x3 y3 z3 25. September 2013
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49
6. Übungsaufgaben
1. Normieren Sie die folgenden Vektoren:
 
 
2
−1
~a = 1 , ~b = 3êx − 4êy + 8êz , ~c =  1  .
4
−1


1
2. Bestimmen Sie den Einheitsvektor, der zum Vektor ~a = −4 die entgegengesetzte Richtung hat.
3
3. Bestimmen
 Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P = (3, 1, −5) in Richtung des Vektors
3

~a = −5 20 Längeneinheiten entfernt ist.
4
4. Liegen die drei Punkte P1 = (3, 0, 4), P2 = (1, 1, 1), P3 = (−1, 2, −2) auf einer Geraden?
5. Bestimmen Sie Betrag und Richtung (Richtungskosinus) folgender Vektoren:
 
 
 
1
1
4
~





3 .
~a = 1 , b = 4 , ~c =
1
0
−2
6. Ein Vektor ~a ist durch Betrag, |a| = 10, und Richtungswinkel (α = 30◦ , β = 60◦ , 90◦ ≤ γ ≤ 180◦ )
festgelegt. Wie lauten seine Komponenten?
7. Wie muss der Parameter λ gewählt werden, damit folgende Vektoren komplanar sind:
 
 
 
1
−2
−3
~a = λ , ~b =  4  , ~c =  5  .
4
11
1
8. Liegen die Punkte P1 = (1, 1, 1), P2 = (3, 2, 0), P3 = (4, −1, 5) und P4 = (12, −4, 12) in einer
Ebene?
9. Sind die Vektoren ~a = 2î + 5ĵ + 8k̂, ~b = î − 4ĵ + 6k̂, ~c = −3î + 9ĵ − 7k̂ linear abhängig oder linear
unabhängig?
10. Berechnen Sie folgende Determinanten:
1
12 6 −4
a
2
5
1
a
7 , det D2 = 6 −4 4 , det D3 = −1 a 1 .
det D1 = 3 −4
−3 12 −15
3
a −1 a
2
8
25. September 2013
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51
6. Übungsaufgaben
11. Bilden Sie mit den Vektoren
 
 
 
1
−3
4
~a = 1 , ~b =  0  , ~c =  10  .
1
4
−2
die folgenden Skalarprodukte:
a) ~a · ~b,
b) (~a − 3~b) · (4~c),
c) (~a + ~b) · (~a − ~c).
12. Welchen Winkel schließen die Vektoren ~a und ~b ein?


 
3
1
a) ~a =  1  , ~b = 4,
−2
2
 


10
3
b) ~a = −5 , ~b =  −1 ,
10
−0.5
c) ~a = î − 2ĵ + 5k̂, ~b = −î − 10k̂ .
13. Zeigen Sie, dass die drei Vektoren
 

 
−1
−2
1
~





6 ,
2 , ~c =
4 ,b=
~a =
1
3
−2

ein rechtwinkliges Dreieck bilden!


2
14. Berechnen Sie Komponente des Vektors ~b in Richtung des Vektors ~a = −2:
1
 
5
~

a) b = 1,
3
 
−2
b) ~b =  5 ,
0
 
10
c) ~b =  4 .
−2
15. Gegeben sind die Vektoren:


 
 
1
2
0
~a =  4  , ~b = −1 , ~c = 2 .
−6
2
3
Berechnen Sie folgende Vektorprodukte:
a) ~a × ~b;
52
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
b) (~a − ~b) × (3~c);
c) (2~a) × (−~b + 5~c).
 
2
16. Von der Geraden g ist der Punkt P1 = (4, 2, 3) und der Richtungsvektor ~a = 1 bekannt. Berechnen
3
Sie den Abstand des Punktes Q = (4, 1, 1) von dieser Geraden.
17. P1 = (1, 4, 3) sei ein Punkt
 der
 Geraden g1 , P2 = (5, 3, 0) ein Punkt der Geraden g2 . Beide Geraden
3
haben die Richtung ~a = −1. Wie groß ist ihr Abstand?
2
18. Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare g1 und g2 zueinander? Bestimmen Sie ggf. Abstand,
Schnittpunkt und Schnittwinkel.
a) g1 durch P1 = (3, 4, 6) und P2 = (−1, −2, 4); g2 durch P3 = (3, 7, −2) und P4 = (5, 15, −6)
 
 
5
−2



1 ;
b) g1 : ~
r = ~r1 + λ~a1 , ~r1 = 1 , ~a1 =
0
3
 
 
1
6
g2 : ~r = ~r2 + λ~a2 , ~r2 = 1 , ~a2 = −3.
5
−9
19. Wie groß ist der Abstand eines Punktes P1 = (x1 , y1 , z1 ) von einer Ebene, die in der Normalenform,
~n · ~r = ~n0 · ~r0 , gegeben ist. Dabei liegt der Punkt ~r0 in der Ebene und der Vektor ~n ist ein Normalenvektor
der Ebene.
 
2

20. Eine Ebene E1 gehe durch den Punkt P1 = (1, 2, 3), ihr Normalenvektor sei ~
n = 1. Bestimmen Sie
a
den Parameter a so, dass der Abstand des Punktes Q = 0, 2, 5) von der Ebene E1 , d = 2 beträgt.
~ ~c in einer gemeinsamen Ebene liegen:
21. Zeigen 
Sie, dass
 die Vektoren
  ~a, b, 

−3
−2
−1
~





4 ,b=
3 , ~c =
3 ;
a) ~a =
0
5
25
 
 
 
1
1
1
b) ~a = 1 , ~b = 0 , ~c =  4 .
1
2
−2
22. Berechnen
des
 Sie dasVolumen

 Spates,
 der von den Vektoren
−1
3
1
~a =  1  , ~b = 4 , ~c =  2  aufgespannt wird.
−1
7
−8
23. Zeigen Sie, dass die beiden
g1 und
g2 windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand:
 Geraden

 
1
1



g1 : ~r = ~r1 + λ~a1 , ~r1 = −2 , ~a1 = 1;
3
1
 
 
3
0
g2 : ~r = ~r2 + λ~a2 , ~r2 = 3 , ~a1 = 2.
3
1
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
53
6. Übungsaufgaben
24. Ein Normalenvektor, ~
n, einer Ebene besitzt die drei Richtungswinkel α = 60◦ , β = 120◦ und γ mit
cos(γ) < 0. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, wenn sie durch den Punkt P1 = (3, 5, −2) geht?
25. Berechnen
Sie den Flächeninhalt
des,
 
 
 vonden Punkten
−1
4
7





2 , p~2 = −5 , p~3 = −8 gebildeten Dreiecks.
p~1 =
−3
6
9
54
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25. September 2013
Teil II.
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten
7. Einführung
Wir betrachten folgende Brückenschaltung:
Gesucht ist der Strom Ig als Funktion der Widerstände R1 , . . . , R4 . Aus den Kirchhoff’schen Regeln, d.h.
i) KnotenregelX
(Summe aller Ströme im Knoten
gleich Null,
Ii = 0 )
i
ii) Maschenregel (Summe aller
X Spannungen in
jeder Masche gleich Null,
Ri Ii = 0)
Abb. 7.1.: Brückenschaltung
i
erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Teilströme in nebenstehender Brückenschaltung:
I1
+I2
−I1
= I
Knoten:1
= 0
Knoten:2
+Ig = 0
Knoten:3
+I3
I2
R1 I1 −R2 I2
−I4
+Rg Ig = 0 Masche:1
R3 I3 −R4 I4 −Rg Ig = 0 Masche:2
Dies ist ein System von 5 linearen Gleichungen für die 5 Unbekannten (I1 , . . . , I4 , Ig ).
Die Lösung dieses Gleichungssystem hängt ab von den Koeffizienten der Ströme (die Widerstände) und vom
äußeren Strom I .
Wir beschreiben den allgemeinen Fall:
Eine lineare Gleichung von n Variablen x1 , . . . , xn hat die Form
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b xi , ai ∈ R∀ i = 1, . . . , n
m solcher Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem:
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
57
7. Einführung
Definition: Lineares Gleichungssystem
Es seien ai,k , ci ∈ R für alle i = 1, . . . n und k = 1, . . . m.
Dann heißt
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = c2
..
.
..
.
..
.
..
.
+ ... +
(7.1)
.
= ..
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = cm
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen für n Unbekannte (Variable)
x1 , x2 , . . . , xn , oder auch kurz ein (m,n) - System.
Bemerkungen:
1. Die Zahlen aik heißen die Koeffizienten des Systems.
i = Zeilenindex , k = Spaltenindex
2. Die Zahlen ci heißen Störglieder, rechte Seiten oder Inhomogenitäten des Systems.
ci = 0 y homogenes Gleichungssystem,
ci 6= 0 y inhomogenes System.
3. m = n: System ist quadratisch
Wir betrachten zunächst ein quadratisches System mit genau einer Lösung: Es hat die Form
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2
..
.
..
.
..
.
..
.
+ ... +
.
= ..
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + . . . + ann xn = bn
Durch Addition geeigneter Vielfacher einer Gleichung zu den übrigen Gleichungen kann man daraus ein
gestaffeltes System der Form
c11 x1 + c12 x2 + c13 x3 + . . . + c1n xn = d1
c22 x2 + c23 x3 + . . . + c2n xn = d2
..
.
+ ... +
..
.
.
= ..
cn−1,n xn−1 + cnn xn = dn−1
cnn xn = dn
erhalten. Daraus kann man xn , xn−1 , . . . , x1 durch einfaches Auflösen berechnen. Diese Methode heißt
das Gauß’sche Eliminationsverfahren. Es kann auch bei nicht-quadratischen Systemen angewandt werden.
Im Folgenden sollen anhand einiger einfacher Beispiele die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten linearer
Gleichungssystemen (m,n) aufgezeigt werden. In Kap. 10 werden wir dies nochmals im allgemein gültiger Form
diskutieren.
58
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Beispiele:
1. (3,3)-System
x1
−4x2
+2x3 =
−9 (a)
−3x1
+x2
=
6 (b)
4x1
+2x2
−2x3 =
−2 (c)
x1
−4x2
+2x3 =
−9 (a)
−11x2
+6x3 =
18x2
−10x3 =
−4x2
+2x3 =
−11x2
+6x3 =
x1
−
−21 (b0 ) = (b) + 3(a)
34 (c0 ) = (c) − 4(a)
−9 (a)
−21 (b0 )
2
4
x3 = −
11
11
x3 =
2
x2 =
3
x1 =
−1
(c00 ) = (c0 ) +
18 0
(b )
11
Dieses System hat genau eine Lösung (x1 = −1, x2 = 3, x3 = 2).
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
59
7. Einführung
2. (3,3)-System
x1 −3x2 +5x3 =
2x1 −2x2
26
+x3 =
12
−3x1 +5x2 −6x3 =
2
Abgekürzte Notation:
1
−3
5
26 (a)
2
−2
1
12 (b)
−3
5
−6
2 (c)
1
−3
5
26 (a)
4
−9
−4
9
80 (c0 ) = (c) + 3(a)
−3
5
26 (a)
4
−9
−40 (b0 )
1
0
0 x3 =
−40 (b0 ) = (b) − 2(a)
40 (c00 ) = (c0 ) + (b0 )
40 geht nicht!
Das System hat keine Lösung.
60
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25. September 2013
3. (3,3)-System
−2x3
=
3
24x1 +10x2 −13x3
=
25
−6x1
−4x2
+x3
=
−7
3
+1
−2
3
(a)
24
+10
−13
25
(b)
−6
−4
+1
−7
(c)
3
+1
−2
3
(a)
+2
+3
1
(b0 ) = (b) − 8(a)
−2
−3
−1
+1
−2
3
(a)
+2
+3
1
(b0 )
0
0
(c00 ) = (c0 ) + (b0 )
=
0
: wahre Aussage!
∀ x3
∈
R
λ
∈ R
3x1
3
+x2
0 x3
x3
=
x2
=
x1
=
(c0 ) = (c) + 2(a)
1 3
− λ
2 2
5 7
+ λ y
6 6
einparametrige Lösungsschar
(∞ viele Lösungen)
Geometrische Bedeutung: Die Lösungsmannigfaltigkeit stellt eine Gerade im R3 dar:
~r = ~r0 + λ~a
5
6
(7.2)
5
6
 
 
=  12  + λ  32 
0
25. September 2013
(7.3)
1
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61
7. Einführung
Anwendung des Gauß’schen Eliminationsverfahrens auf nicht-quadratische Systeme:
4. (3,4)-System
x1 +2x2
−7x3 +2x4 =
−3 (a)
4x1 +7x2 −26x3 +9x4 = −10 (b)
−3x1 −5x2 +19x3 −7x4 =
1
1
7 (c)
2
−7
2
−3 (a)
−1
2
1
1
−2
−1
2
−7
2
−1
2
1
2 (b0 )
0
0 (c00 ) = (c0 ) + (b0 )
2 (b0 ) = (b) − 4(a)
−2 (c0 ) = (c) + 3(a)
−3 (a)
=
b 2 Gleichungen für 4 Unbekannte:
x1 +2x2 −7x3 +2x4 = −3
−x2 +2x3
+x4 =
2
setze:
x3 = λ, x4 = µ,
y
x1 = 1 + 3λ − 4µ
λ, µ ∈ R
x2 = −2 + 2λ + µ
y
λ, µ ∈ R
2-parametrige Lösungsschar
Geometrische Bedeutung: Die Lösungsmannigfaltigkeit stellt eine Ebene im R4 dar:
~r = ~r0 + λ~a + µ~b
 
 
 
1
3
−4
−2
2
1

 
 
=
 0  + λ 1 + µ  0 
0
0
1
62
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25. September 2013
8. Matrizen
8.1. Grundbegriffe
Die Koeffizienten des Gleichungssystems zur Brückenschaltung kann man in einem
Schema zusammenfassen

1
1
0
0
0
−1
0
1
0
1 


0
1
0
−1
1 


 R1 −R2 0
0
Rg 
0
0
R3 −R4 −Rg

(8.1)
Dieses Schema bezeichnet man als eine (5,5)-Matrix.
Allgemein definiert man:
Definition: Matrix
Unter einer (m, n)-Matrix A versteht man ein rechteckiges
Zahlenschema aus m · n Zahlen:

a11 a12
 a21 a22

 ..
..
 .
.

A=
a
a
i2
 i1
 ..
..
 .
.
am1 am2
···
···
a1k
a2k
···
aik
..
.
..
.
· · · amk

a1n
a2n 

.. 
. 

· · · ain 

.. 
. 
· · · amn
···
···
(8.2)
angeordnet in m Zeilen und n Spalten.
Bezeichnungen:
aik : Elemente der Matrix, aik ∈ R i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n
i : Zeilenindex („zuerst“)
k : Spaltenindex
m = n : n-reihige quadratische Matrix
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
63
8. Matrizen
Bemerkungen:
1. Wir bezeichnen Matrizen mit großen lateinischen Buchstaben A,B,C,. . .
2. Ist A eine (m,n)-Matrix, oder vom Typ (m,n), so schreibt man auch
A, A(m,n) , (aik ), (a)ik
3. Eine Matrix vom Typ (1,n) heißt auch Zeilenmatrix oder Zeilenvektor, vom Typ (m,1): Spaltenmatrix
(Spaltenvektor).
4. Haupt- und Nebendiagonale einer n-reihigen , quadratischen Matrix:
Abb. 8.1.: Haupt- und Nebendiagonale
Hauptdiagonale : a11 , a22 , a33 , . . . , ann
Nebendiagonale : an,1 , an−1,2 , . . . , a2,n−1 , a1,n
Beispiele:
3
−16
π
A = (aik ) = √
3
0
6

1
0
2
√
B = (bij ) = − 5 16 2 
π
3 −4
Typ(2, 3)

C = (cjl ) = 6
√
 
6
4

D = (dst ) = 
3
0
2 0 3
Typ (3, 3), 3-reihig quadratisch
(1, 4) Zeilenvektor
(4, 1) Spaltenvektor
Diskussion:
Elemente a11 = 3 , a13 = π usw.
Hauptdiagonale von B: (1,16,-4)
Nebendiagonale von B: (π, 16, 2)
64
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25. September 2013
8.1. Grundbegriffe
Definition: Transponierte Matrix
A = (aik ) sei eine (m,n)-Matrix. Unter der transponierten Matrix von A versteht man die
(m,n)-Matrix
B = (bik ) mit bik = aki ∀ i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m
(8.3)
Man schreibt: B = AT .
Bemerkungen:
1. Durch Transponieren werden Zeilen und Spalten untereinander vertauscht.
2. Ist A quadratisch, so erhält man AT durch Spiegelung der Elemente an der Hauptdiagonalen.
3. Es gilt (AT )T = A.
Beispiele:


1 3
A = 4 2 
0 −8
1 4 0
A =
3 2 −8
T
;


1 1 1
B = 0 −2 5
7 6 0


1 0 7
B T = 1 −2 6
1 5 0
;

3
0

CT = 
4
−6

C = 3 0 4 −6
;
Wir betrachten und definieren jetzt spezielle quadratische Matrizen. Sie spielen in Naturwissenschaft und
Technik eine besondere Rolle (s. Brückenschaltung S.57), insbesondere bei Systemen von n Gleichungen für n
Unbekannte.
Definition: Spezielle Matrizen
A = (aik ) sei eine n-reihige quadratische Matrix.
A heißt
a) eine Diagonalmatrix, wenn aik = 0 ∀ i 6= k
b) eine Einheitsmatrix, wenn aik = δik ∀ i, k , d.h.
(
1 i=k
0 i 6= k
c) eine obere (untere) Dreiecksmatrix wenn aik = 0 für i > k (i < k)
d) symmetrisch, wenn aik = aki ∀ i, k ist.
e) (anti) schiefsymmetrisch, wenn aik = −aki ∀ i, k ist.
Bemerkungen:
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
65
8. Matrizen
1. Ist A symmetrisch
y
2. Ist A schiefsymmetrisch
A = AT
y
aii = 0 , AT = −A
Beispiele:
1. Diagonalmatrix

a11 0
 0 a22

 ..
..
 .
.
D=
 0
0

 ..
..
 .
.
0
0
···
···
..
.
..
.
· · · aii
..
.
···

0
0 

.. 
. 
;
··· 0 

.. 
..
.
. 
· · · ann
···
···
0
0
0


4 0 0
A = 0 5 0 
0 0 −3
2. Einheitsmatrix

1
0

 ..
.
E=
0

 ..
.
0

0 ··· 0 ··· 0
1 · · · 0 · · · 0

.. . .
..
.. 
. .
.
.
;
0 · · · 1 · · · 0

..
.. . .
.
. .. 
.
.
0 ··· 0 ··· 1


1 0 0
A = 0 1 0
0 0 1
3. Dreiecksmatrix
obere Dreiecksmatrix:

a11 a12
 0 a22

 ..
..
 .
.

U =
0
0

 ..
..
 .
.
0
0

· · · a1k · · · a1n
· · · a2k · · · a2n 

..
.. 
..
.
.
. 
;
· · · akk · · · akn 

..
.. 
..
.
.
. 
· · · 0 · · · ann


1 2 3
A = 0 2 3 
0 0 3
untere Dreiecksmatrix:

a11 0
 a21 a22

 ..
..
 .
.
L=
 ai1 ai2

 ..
..
 .
.
an1 an2
66
···
···
..
.
···
0
0
..
.
aii
..
.
· · · ani

0
0 

.. 
. 
;
··· 0 

.. 
..
.
. 
· · · ann
···
···

1 0 0
A = 1 2 0 
1 2 3
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
25. September 2013
8.1. Grundbegriffe
4. Symmetrische Matrix

a11 a21
 a21 a22

 ..
..
 .
.

S=
 ai1 ai2
 ..
..
 .
.
an1 an2
· · · ai1
· · · ai2
..
.
···
..
.
aii
..
.
· · · ani

· · · an1
· · · an2 

.. 
. 
 = ST ;
· · · ani 

.. 
..
.
. 
· · · ann


1 2 3
A = 2 4 6 = AT
3 6 5
5. Schiefsymmetrische Matrix

0 −a21
 a21
0

 ..
..
 .
.
A=
 ai1
a
i2

 ..
..
 .
.
an1 an2

· · · −ai1 · · · −an1
· · · −ai2 · · · −an2 

..
.. 
..
.
.
. 
 = −AT ;
···
0
· · · −ani 

..
.. 
..
.
.
. 
· · · ani · · ·
0


0
1 2
A = −1 0 3 = −AT
−2 −3 0
Definition: Gleichheit von Matrizen
Zwei Matrizen A = (aik ) und B = (bik ) vom gleichen Typ (m,n) heißen gleich, A = B , falls
gilt aik = bik .
Beispiel:
1 2
;
A=
3 4
1 0
C=
3 4
25. September 2013
1 2
B=
3 4
A = B.
aber: A 6= C, da a12 6= c12 !
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
67
8. Matrizen
8.2. Addition und Multiplikation von Matrizen
Wir definieren die folgenden Rechenoperationen für Matrizen:
- Addition und Subtraktion
- Multiplikation von Matrizen mit einem Skalar
- Multiplikation zweier Matrizen
Definition: Addition und Subtraktion von Matrizen
Die Matrizen A = (aik ) und B = (bik ) seien vom gleichen Typ (m,n). Unter ihrer Summe
bzw. Differenz versteht man die Matrizen
C = A + B,
bzw. D = A − B,
cik = aik + bik
i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n
dik = aik − bik .
(8.4)
(8.5)
Beispiel:
A=
A+B =
−3 12 5
;
8
0 6
0
8
7
;
20 −12 10
B=
3 −4 2
12 −12 4
−6 16 3
A−B =
−4 12 2
Bemerkung:
Es gelten die Rechengesetze der
A+B =B+A
Kommutativität:
Assoziativität:
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Definition: Multiplikation mit einem Skalar
Unter dem Produkt der (m,n)-Matrix A = (aik ) mit einem Skalar λ ∈ R versteht man die
(m,n)-Matrix
C = (cik ) = λ A;
cik = λ aik ∀ i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , n
(8.6)
Bemerkung:
68
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
8.2. Addition und Multiplikation von Matrizen
Sind A und B zwei Matrizen vom gleichen Typ und λ, µ ∈ R, so gelten folgende Rechengesetze
Assoziativgesetz:
λ (µ A) = (λ µ) A
Distributivgesetze:
(λ + µ) A = λ A + µ A
λ (A + B) = λ A + λ B
Beispiel:
1 2 3
A=
,
4 5 6
5A =
5 10 15
20 25 30
Multiplikation von Matrizen:
Zur Multiplikation von Matrizen betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Multiplikation der Matrizen
1 2
1 2 3
A=
und B =
3 4
4 5 6
Multiplikation der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B im Sinne eines Skalarprodukts
C = AB
c11
= 1 2
| {z }
1.Zeile
1
=1+8=9
4
|{z}
1.Spalte
c12
2
= 2 + 10 = 12
= 1 2
| {z } 5
|{z}
1.Zeile
2.Spalte
c13
3
= 1 2
= 3 + 12 = 15
6
c21
1
= 3 + 16 = 19
= 3 4
4
c22
2
= 3 4
= 6 + 20 = 26
5
c23
3
= 3 4
= 9 + 24 = 33
6
y
C = AB =
1 2
3 4
1 2 3
9 12 15
=
.
4 5 6
19 26 33
Beachte: Das Produkt B A ist nicht möglich!
25. September 2013
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69
8. Matrizen
Definition: Multiplikation von Matrizen
A = (aik ) sei eine (m,l)-Matrix, B = (bjk ) sei eine (l,n)-Matrix. Unter dem Produkt der
Matrizen A und B, C = A B , versteht man die Matrix
C = A B = (cik );
cik =
l
X
aij bjk
(8.7)
j=1
für i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . , l,
k = 1, . . . , n.
Bemerkungen:
1. Das Produkt C = A B ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von
B übereinstimmt.
2. Die Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ, d.h. i.a. gilt A B 6= B A
3. Schematische Darstellung der Matrixmultiplikation (Falk’sches Schema):

B(l,n) =

A(m,l)



=



a11 a12
..
.
..
.
ai1 ai2
..
.
..
.
am1 am2
b11 . . . b1k
 b21 . . . b2k

 ..
..
 .
.
bl1 . . . blk

c11 . . . ↓
. . . a1l
..   ..

↓
. 
 .


. . . ail   → → cik
..   ..
.  .
c1m . . . . . .
. . . aml
|
{z

. . . b1n
. . . b2n 

.. 
. 
. . . bln

. . . c1n
.. 
. 



.. 
. 
. . . cmn
}
C(m,n)
Beispiele:
 
1
3 4 −1
A=
, B = −2
2 −7 6
3
 
1
3 4 −1  
−8
−2 =
AB =
2 −7 6
34
3




1
1 −2 3
B B T = −2 1 −2 3 = −2 4 −6
3
3 −6 9
(dyadisches Produkt)


1
B T B = 1 −2 3 −2 = 1 +4 +9 = 14 (Skalarprodukt)
3
70
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25. September 2013
8.3. Die Inverse einer Matrix
1 2
5 6
C=
,D =
3 4
7 8
CD=
DC =
5 + 14 6 + 16
15 + 28 18 + 32
=
19 22
43 50
5 + 18 10 + 24
23 34
=
6= C D.
7 + 24 14 + 32
31 46
Satz: Rechenregeln der Matrizenmultiplikation
A,B und C seien Matrizen für die die folgenden Produkte definiert sind, E die Einheitsmatrix, λ ∈ R.
Es gilt
A (B C) = (A B) C
Assoziativgesetz
A E = A und E A = A
(8.8)
(8.9)
A (B + C) = A B + A C
Distributivgesetz
(8.10)
(A + B) C = A C + B C
Distributivgesetz
(8.11)
λ (A B) = (λ A) B = A (λ B)
(8.12)
(A B)T = B T AT
(8.13)
AB = BA
y
k
k
k
A B = (A B)
∀k∈N
(8.14)
8.3. Die Inverse einer Matrix
Rechnen mit reellen Zahlen: Wir betrachten die Lösung der Gleichung a x = 1: x =
„inverses Element“ von a bezüglich der Multiplikation.
1
, a 6= 0. x = a−1 heißt
a
Die entsprechende Definition für quadratische Matrizen lautet:
Definition: Inverse Matrix
A sei eine quadratische, n-reihige Matrix. B ist die inverse Matrix von A („Inverse von A“),
wenn gilt
A B = B A = E,
B = A−1
(8.15)
Falls A eine inverse Matrix besitzt, heißt A regulär, sonst singulär.
Definition: Eindeutigkeit der Inversen
Jede reguläre Matrix besitzt genau eine Inverse.
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71
8. Matrizen
Beweis:
Annahme: Es gäbe zwei Matrizen B und C mit: A B = E und A C = E , A sei regulär
B (A C) = (B A) C = E C = C
y
y
B = BE =
B=C ]
Beispiel:
Die Inverse einer zweireihigen Matrix
a11 a12
A=
a21 a22
sei regulär.
x11 x12
X=
= A−1
x21 x22
y
a11 a12
x11 x12
1 0
AX = E =
=
a21 a22
x21 x22
0 1
Dies ergibt 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten x11 , . . . , x22 :
a11 x11 + a12 x21 = 1
a21 x11 + a22 x21 = 0
a11 x12 + a12 x22 = 0
a21 x12 + a22 x22 = 1
oder
(a11 a22 − a12 a21 ) x11 = a22
(a11 a22 − a12 a21 ) x21 = −a21
(a11 a22 − a12 a21 ) x12 = −a12
(a11 a22 − a12 a21 ) x22 = a11
Wir setzen D = a11 a22 − a12 a21 .
Ist D 6= 0, so hat A genau eine Inverse:
X = A−1 = (xij )
also:
1
X=
D
a12
a21
a11
a22
, x12 = −
, x21 = −
, x22 =
.
D
D
D
D
−a12
mit D = a11 a22 − a12 a21 .
a11
x11 =
mit den Elementen:
a22
−a21
Zahlenbeispiel:
72
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8.4. Lineare Abbildungen und Matrizen
A=
1 2
3 4
X=A
−1
D = 4 − 6 = −2 6= 0
;
1
=−
2
4 −2
−3 1
=
−2
3
2
1
− 12
Probe:
1 2
−2 1
−2 + 3 1 − 1
1 0
AX =
=
=
3
3 4
− 12
−6 + 6 3 − 2
0 1
2
Satz: Rechenregeln für inverse Matrizen
A und B seien reguläre Matrizen. Alle folgenden Matrizen existieren und es gilt
(A−1 )−1 = A
T −1
(A )
(8.16)
−1 T
= (A
)
(An )−1 = (A−1 )n ; n ∈ N
−1
(A B)
(λ A)−1
−1
−1
=B A
1
= A−1 ; λ ∈ R, λ 6= 0
λ
(8.17)
(8.18)
(8.19)
(8.20)
8.4. Lineare Abbildungen und Matrizen
Wir betrachten eine „lineare Abbildung“ zwischen zwei Vektorräumen V und W :
Definition: lineare Abbildung
Eine Abbildung
L : V 7−→ W
(8.21)
zwischen zwei Vektorräumen V, W über demselben Körper K heißt linear, wenn für beliebige
Vektoren u1 , u2 ∈ V und Skalare α1 , α2 ∈ K gilt:
L [α1 u1 + α2 u2 ] = α1 L [u1 ] + α2 L [u2 ]
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(8.22)
73
8. Matrizen
Lineare Abbildungen haben folgende einfache Eigenschaften:1
a) L [0] = 0
b) L [u + v] = L [u] + L [v]
c) L
n
P
αk uk =
k=1
n
P
k=1
αk L [uk ]
Beispiel:
Ein Beispiel für lineare Abbildungen ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor:
A : R2 7−→ R2
ax + by
x
a b
= ~v
=
A~u =
cx + dy
y
c d
(8.23)
(8.24)
oder allgemeiner
(A)m×n : Rn 7−→ Rm
(8.25)
8.5. Anwendungsbeispiel: Drehmatrizen
8.5.1. Drehmatrizen in der Ebene
Zweidimensionale Drehmatrizen beschreiben die Drehung von Vektoren in der (x, y)- Ebene. Drehachse ist die
z -Achse, senkrecht zur x, y -Ebene im Rechtssystem. Die Drehung wird beschrieben durch den Winkel ϕ, im
mathematisch positiven Sinn d.h. entgegen der Uhrzeigerrichtung:
Dϕ ~r = ~r 0
0
cos(ϕ) − sin(ϕ)
x
x
0
Dϕ =
, ~r =
, ~r =
y0
sin(ϕ) cos(ϕ)
y
0 cos(ϕ) − sin(ϕ)
x
x
x cos(ϕ) − y sin(ϕ)
=
=
sin(ϕ) cos(ϕ)
y
y0
x sin(ϕ) + y cos(ϕ)
1
(8.26)
(8.27)
(8.28)
Beweis zur Übung!
74
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25. September 2013
8.5. Anwendungsbeispiel: Drehmatrizen
Abb. 8.2.: Drehung in der Ebene
Die inverse Drehung ergibt sich durch Drehung um den gleichen Winkel in die entgegengesetzte Richtung , also
um den Winkel −ϕ:
Dϕ−1 = D−ϕ
cos(−ϕ) − sin(−ϕ)
=
sin(−ϕ) cos(−ϕ)
cos(ϕ) sin(ϕ)
=
− sin(ϕ) cos(ϕ)
= DϕT
(8.29)
(8.30)
(8.31)
(8.32)
Drehungen um den Koordinatenursprung in der Ebene sind kommutativ, die Produktmatrix zweier Einzeldrehungen jeweils um den Winkel α und β entspricht einer Drehmatrix um den Summenwinkel α + β :
cos(α) − sin(α)
cos(β) − sin(β)
sin(α) cos(α)
sin(β) cos(β)
cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) − cos(α) sin(β) − sin(α) cos(β)
=
cos(α) sin(β) sin(α) cos(β)
cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
cos(β + α) − sin(β + α)
=
= Dβ+α
sin(β + α) cos(β + α)
Dα Dβ =
(8.33)
(8.34)
(8.35)
analog:
Dβ Dα = Dα+β = Dβ+α
(8.36)
(8.37)
8.5.2. Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum
Im dreidimensionalen Raum werden Drehungen beschrieben durch eine Drehung um einen Winkel ϕ um eine
im Raum frei wählbare Drehachse.
Bleibt die Drehachse konstant, so hat man effektiv Drehungen in einer Ebene wie im vorangegangenen Kapitel.
Ändert man die Drehachse und betrachtet nacheinander Drehungen um unterschiedliche Drehachsen, so sind
diese i. a. nicht kommutativ. Wir betrachten als Beispiel die Drehungen um den gleichen Winkel ϕ um die x−
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
75
8. Matrizen
und y− Achse in unterschiedlichen Reihenfolgen


1
0
0
Dϕx = 0 cos(ϕ) − sin(ϕ) ,
0 sin(ϕ) cos(ϕ)


cos(ϕ) 1 − sin(ϕ)

1
0
Dϕy =  0
sin(ϕ) 0 cos(ϕ)
(8.38)
und erhalten die beiden Drehmatrizen

cos (ϕ)
0
− sin (ϕ)



2
cos (ϕ) − sin (ϕ) cos (ϕ)
Dϕx Dϕy = 
 − (sin (ϕ))

2
sin (ϕ) cos (ϕ) sin (ϕ)
(cos (ϕ))


cos (ϕ) − (sin (ϕ))2 − sin (ϕ) cos (ϕ)



cos (ϕ)
− sin (ϕ)
Dϕy Dϕx = 
 0

2
sin (ϕ) sin (ϕ) cos (ϕ)
(cos (ϕ))
(8.39)
(8.40)
die nur für ϕ = 0, π gleich sind.
8.5.3. Drehung einer Ebene im Raum
Ebene
E
:
~r = ~r0 + α~a + β~b
(8.41)
Die Drehung ist eine lineare Abbildung, daher gilt
Dϕ [ E
E0
:
i
~r = ~r0 + α~a + β~b
h
i
Dϕ~r = Dϕ ~r0 + α~a + β~b
:
= Dϕ~r0 + αDϕ~a + βDϕ~b
~r 0 = ~r0 + α~a 0 + β~b 0
(8.42)
(8.43)
(8.44)
(8.45)
und die gedrehte Ebene wird von den gedrehten Bestimmungsvektoren aufgespannt.
76
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
9. Determinanten
9.1. Definition der Determinante
a11 a12
Die Inverse einer zweireihigen Matrix A =
existiert, falls die Größe
a21 a22
D = a11 a22 − a12 a21 6= 0 ist (siehe letztes Beispiel in Kapitel 8.3, S.72)
Definition: Zweireihige Determinane
A = (aik ) sei eine reelle (2,2)-Matrix. Dann heißt die reelle Zahl.
D = a11 a22 − a12 a21
(9.1)
a11 a12 .
D = |A| = det A = a21 a22 (9.2)
die Determinante von A:
Beispiel:
A=
1 2
1 2
= 1 · 4 − 2 · 3 = −2
; |A| = det A = 3 4
3 4
Bei der Berechnung der Inversen einer (3,3)-Matrix, entsteht ein zum obigen D analoger Ausdruck, d.h. die
Matrix


a11 a12 a13
a21 a22 a23 
a31 a32 a33
hat eine Inverse, sofern der Ausdruck
D = a11 (a22 a33 − a23 a32 )
−a12 (a21 a33 − a23 a31 )
+a13 (a21 a32 − a22 a31 ) 6= 0 ist.
a11 a12 a13 D ist wiederum die Determinante von A, D = a21 a22 a23 : drei-reihige Determinante.
a31 a32 a33 25. September 2013
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77
9. Determinanten
Diese Determinante kann man auf zweireihige Unterdeterminanten zurückführen. Mit
a22 a23 = a22 a33 − a23 a32
|U11 | = a32 a33 a21 a23 = a21 a33 − a23 a31
|U12 | = a31 a33 a21 a22 = a21 a32 − a22 a31
|U13 | = a31 a32 ergibt sich
D = a11 |U11 | − a12 |U12 | + a13 |U13 |
=
3
X
k=1
(−1)1+k a1k |U1k |.
U1k ist dabei die Untermatrix von A, die sich durch sStreichen der ersten Zeile und der k -ten Spalte ergibt.
Damit ist die Berechnung der dreireihigen Determinante auf die Berechnung von zweireihigen Determinanten
zurückgeführt. Damit formulieren wir die folgende
Definition: dreireihige Determinante
A = (aik ) sei eine (3,3)-Matrix. Dann ist die die Determinante von A gegeben durch die
reelle Zahl
a11 a12 a13
D = a21 a22 a23
a31 a32 a33

 a11 (a22 a33 − a23 a32 )−
=
 −a12 (a21 a33 − a23 a31 )+
+a13 (a21 a32 − a22 a31 )
= a11 |U11 | − a12 |U12 | + a13 |U13 | =
mit:
78
3
X
k=1
(−1)1+k a1k |U1k |
a22 a23
a21 a23
a21 a22
, |U12 | = |U11 | = a31 a33 , |U13 | = a31 a32
a32 a33
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9.1. Definition der Determinante
Die Regel von Sarrus:
Dreireihige Determinanten (und nur diese !!!) kann man aber auch nach der so genannten Regel von Sarrus
berechnen:
a11
a11
a12
a13
a12
&
&
&
%
a21
a22
a23
a22
D = a21
%
%
%
&
a31
a31
a32
a33
a23
(9.3)
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a23
(9.4)
− (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 )
(9.5)
Verallgemeinerung des Determinantenbegriffs auf (n,n)-Matrizen:
Definition: n-reihige Determinante
A = (aik ) sei eine (n,n)-Matrix, U1k sei die (n − 1, n − 1)- Matrix, die aus A durch Streichen
der 1. Zeile und der k -ten Spalte entsteht. Die Zahl
D=
n
X
(−1)1+k a1k |U1k |
(9.6)
k=1
heißt die Determinante von A:
a11 · · · a1n D = |A| = det A = ...
an1 · · · ann (9.7)
Der Term (−1)1+k |U1k | = A1k heißt die Adjunkte der oder das algebraische Komplement
von A zum Element a1k .
Ausgehend von der „einreihigen Determinante“ |A| = |a| = a erhält man rekursiv alle
höheren, n-reihigen Determinanten.
Beispiel:
3
−4
|A| = 2
4
1
2
1
0
0 4 4
4
X
1 6 X
=
a
A
=
(−1)1+k a1k |U1k |
1k 1k
0 3 k=1
k=1
2 −1
= a11 |U11 | − a12 |U12 | + a13 |U13 | − a14 |U14 |
−4 2 1
−4 1 6 2 1 6 = 3 1 0 3 − 1 2 0 3 + 0 − 4 2 1 0 = 3 · 1 − 1 · 62 − 4 · (−20) = 21
4 0 2
4 2 −1
0 2 −1
25. September 2013
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79
9. Determinanten
Die Konstruktion der Determinanten durch „Entwicklung nach der ersten Zeile“, kann auf die Entwicklung nach
beliebigen Zeilen oder Spalten verallgemeinert werden. Es gilt der folgende
Satz: Laplace’scher Entwicklungssatz
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix, Uik sei die (n − 1, n − 1)-Matrix, die durch Streichen der i-ten
Zeile und der k -ten Spalte von A aus A entsteht. Dann gilt
|A| =
|A| =
n
X
k=1
n
X
i=1
aik (−1)i+k |Uik |
für i = 1, . . . , n
aik (−1)i+k |Uik |
für k = 1, . . . , n
a11 a12 . . . a1k . . . a1n
..
..
..
..
.
.
.
.
|A| = ai1 ai2 . . . aik . . . ain
..
..
..
..
.
.
.
.
an1 an2 . . . ank . . . ann
Beispiel:
3
−4
A = 2
4
0 4 1 6 0 3 2 −1
1
2
1
0
siehe oben; Entwicklung nach der
3.Spalte (2 Nullen).
3 1 4 A = (−1)2+3 1 2 1 3 + (−1)4+3 2
4 0 −1
3 1 4
−4 2 6
2 1 3
3 1 4
2 1 3
4 0 −1
3 1
2 1 = −3 + 12 − 16 + 2 = −5
4 0
3 1 4
−4 2 6
2 1 3
3 1
−4 2 = −18 + 12 − 16 − 16 − 18 + 12 = −8
2 1
A = (−1) (−5) − 2 (−8) = 5 + 16 = 21.
80
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9.2. Eigenschaften von Determinanten
9.2. Eigenschaften von Determinanten
Beweise oder Beweisskizzen zu den folgenden Sätze siehe Kap. 3.1
Satz: Determinante der transponierten Matrix
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix. Dann gilt |AT | = |A|
Satz: Determinante einer Dreiecksmatrix
A = (aik ) sei eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix. Dann gilt
det A = a11 a22 · · · ann =
Insbesondere gilt :
n
Y
aii .
(9.8)
i=1
|E| = 1, |N | = 0, N = (0) =Nullmatrix.
Satz: Rechenregeln für n-reihige Determinanten
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix. Dann gilt
1. Beim Vertauschen zweier Spalten oder zweier Zeilen (müssen nicht benachbart sein!) ändert
die Determinante ihr Vorzeichen.
2. Multipliziert man alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit einem Faktor λ ∈ R, so
multipliziert sich die Determinante mit λ.
3. Addiert man zu allen Elementen einer Zeile oder Spalte von A ein λ- faches der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte von A, so ändert dies die Determinante
nicht.
Beispiel:
2 −6
4 0
4 −12 −1 2
=2
|A| = 1
7
2
1
0 10
3 9
1 −3 2
0 10 3
= −2 0 10 0
0 0 −9
1 −3
2 0
4 −12 −1 2
=2
1
7
2
1
0 10
3 9
0
9
= −2
1
2
1 −3 2 0
0 0 −9 2
0 10 0 1
0 10 3 9
1 −3 2
0
0 10 3
9 0 0 −3 −8 = −2
0 0 −9 2 1 −3 2
0
0 10 3
9 0 0 −3 −8
0 0
0 26 = (−2) · 1 · 10 · (−3) · 26 = 1560 .
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
81
9. Determinanten
Satz: Eigenschaften von n-reihigen Determinanten
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix. Die Determinante von A verschwindet, det A = 0 falls eine der
folgenden Aussagen gilt:
a) Zwei Zeilen (Spalten) von A sind gleich.
b) Alle Elemente einer Zeile (Spalte) sind Null.
c) Eine Zeile (Spalte) von A ist die Summe von Vielfachen anderer Zeilen (Spalten.)
Weiterhin gilt:
d) |λ A| = λn |A| für λ ∈ R
e)
n
X
k=1
l+k
aik (−1)
|Ulk | =
n
X
k=1
aik Aik = 0 für i 6= k .
Satz: Produktsatz für Determinanten
A und B seien (n, n)-Matrizen. Dann gilt
|A B| = |A| |B|
(9.9)
Beispiel:
1 2
5 6
19 22
,AB =
,B =
A=
3 4
7 8
43 50
det A = 4 − 6 = −2 , det B = 40 − 42 = −2
y
!
det A B = 4.
det (A B) = 19 · 50 − 43 · 22 = 4. X
9.3. Berechnung der Inversen einer regulären Matrix
Ausgehend von der Determinante einer Matrix und ihrem algebraischen Komplement soll hier die Inverse einer
Matrix A, sofern sie existiert, angegeben werden.
82
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
9.3. Berechnung der Inversen einer regulären Matrix
Definition: adjungierte Matrix
Definition: (adjungierte Matrix)
A sei eine (n, n)-Matrix und Aik = (−1)i+k |Uik | die Adjunkte zum Element aik . Dann
heißt die (n, n)-Matrix
T
B = (−1)i+k |Uik | = (Aik )T
die zu A adjungierte Matrix (Adjunkte zuA), B = Aadj .
|
{z
(∗)
}
(∗) : vgl. S.79 Adjunkte von A zum Element aik !
Beispiel:


3 −2 4
1 ;
A = 6 0
2 5 −3
0
|U11 | = 5
6
|U12 | = 2
6
|U13 | = 2
1 = −5
−3
1 = −20
−3
0
= 30
5
3 −2
3 4 −2 4 = −14, |U22 | = |U21 | = 2 −3 = −17, |U23 | = 2 5 = 19,
5 −3
−2 4
3 4
3 −2
= −2, |U32 | = |U31 | = 6 1 = −21, |U33 | = 6 0 = 12.
0 1
T 

−5 20
30
−5 14 −2
= (Aik )T =  14 −17 −19 =  20 −17 21 
−2 21
12
30 −19 12

Aadj
Die Adjungierte Matrix von A hat die folgende Eigenschaft:
Satz: Eigenschaft der adjungierten Matrix
A sei eine (n, n)-Matrix, E die (n, n)-Einheitsmatrix. dann gilt
Aadj A = A Aadj = |A| E
d.h. A und seine adjungierte Matrix kommutieren, und ihr Produkt ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
83
9. Determinanten
Beispiel:




3 −2 4
−5 14 −2
1  , Aadj =  20 −14 21 
A = 6 0
2 5 −3
30 −19 12

A Aadj

 

3 −2 4
−5 14 −2
65 0 0
1   20 −14 21  =  0 65 0 
= 6 0
2 5 −3
30 −19 12
0 0 65


1 0 0
= 65 0 1 0 = 65 E = |A| E
0 0 1
= Aadj A.
Aus diesem Satz ergibt sich unmittelbar eine Beziehung für die Inverse von A.
Satz: Inverse Matrix
A sei eine (n, n)-Matrix. Dann gilt
a) A ist genau dann regulär, wenn |A| =
6 0 ist.
b) Ist A regulär, so ist die Inverse von A gegeben durch
A−1 =
1
Aadj .
|A|
Beispiel:




3 −2 4
−5 14 −2
1  , Aadj =  20 −17 21  , |A| = 65
A = 6 0
2 5 −3
30 −19 12
A−1


−5 14 −2
1 
1
20 −17 21 
=
Aadj =
|A|
65
30 −19 12
A A−1 = A−1 A = E
X
9.4. Rang einer Matrix
Der Begriff der Determinante ist nur für quadratische Matrizen bestimmt. Bei (m, n)-Matrizen (m 6= n) kann
man durch Streichen von Spalten oder Zeilen quadratische Matrizen erzeugen, deren Determinanten nennt man
Unterdeterminanten der (m, n)-Matrix
84
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25. September 2013
9.4. Rang einer Matrix
Definition: p-reihige Unterdeterminante
Werden in einer (m, n)-Matrix A, m − p Zeilen und n − p Spalten gestrichen, so heißt die
Determinante der entstandenen p-reihigen Restmatrix eine Unterdeterminante p-ter Ordnung
der Matrix A.
Beispiel:


4 1 0 −1
A = 2 −1 5 3 
1 5 0 6
Typ(3, 4)
Streichen einer Spalte y 4 verschiedene 3-reihige Unterdeterminanten
z.Bsp.: streiche 1.Spalte y
1 0 −1
−1 5
3
5 0
6
streiche 2 Spalten und 1 Zeile
y
1 0
−1 5 = 30 + 25 = 55.
5 0
18 verschiedene 2-reihige Unterdeterminanten.

1

· 4 · 3 = 6
2
1

1 aus 3 = · 6 = 3 
2
2 aus 4 =
z.Bsp.: streiche 1. und 2. Spalte, 1.Zeile
y
6 · 3 = 18
y
5 3
0 6 = 30
Für das Lösungsverhalten von linearen Gleichungssystemen ist der „Rang“ der Koeffizientenmatrix von maßgeblicher Bedeutung.
Definition: (Rang einer Matrix
Der Rang einer (m, n)-Matrix A bezeichnet die höchste Ordnung aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A : Rg(A) = r .
Eine Möglichkeit1 der Bestimmung des Rangs von A(m,n) :
• Bilde alle (nötigen) Unterdeterminanten p-ter Ordnung von A,
• Rg(A) = größte Ordnung, für die eine Unterdeterminante nicht verschwindet.
1
...es gibt bessere!
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
85
9. Determinanten
Bemerkung:
1. r ≤ min(m, n)
2. Für quadratische Matrizen (n-reihig) : Rg(A) ≤ n
i) A regulär
y
ii) A singulär
y
|A| =
6 0
|A| = 0
y
r=n
y
r<n
Beispiel:


1 1 1 0
A = 2 −1 1 3
1 −2 0 3
Typ(3, 4)
y
r≤3
dreireihige Unterdeterminanten:
1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 −1 1 3 = 2 1 3 = 2 −1 3 = 2 −1 1 = 0
−2 0 3 1 0 3 1 −2 3 1 −2 0
3
=3
0 3
1
zweireihige Unterdeterminante y
y
r≤2
r=2
9.4.1. Bestimmung des Rangs einer Matrix durch Umformungen der Matrix
Durch folgende Umformungen wird der Rang einer Matrix nicht verändert:
1. Vertauschen zweier Zeilen (Spalten).
2. Addition von Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte).
Mit Hilfe dieser Umformungen lässt sich eine (m, n)-Matrix A,

a11
···
a1n


.. 
A =  ...
. ,
am1 · · · amn
umformen auf die Gestalt

b11 b12 . . .










B=









0
0
..
.
..
.
0
0
... ...
... ...
..
.
0
|
86
b22
..
.
..
.
r
... ...
{z
Spalten
b1r b1,r+1
..
.. .
. .. . .. ..
. .
brr br,r+1
0 0
.. ..
. .
0 0
} |
n−r


. . . b1n 
.. 

. 

brn  r Zeilen

.. 
. 

. . . brn 


... 0 
.. 
 m−r
. 

. . . 0  Zeilen
{z
}
Spalten
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25. September 2013
9.4. Rang einer Matrix
Die Matrix B hat folgende Eigenschaften:
1. B hat den gleichen Rang wie A.
2. die letzten m − r Zeilen von B sind gleich Null.
3. die ersten r Hauptdiagonalelemente der oberen (r, r) - Dreiecksmatrix sind ungleich Null,
bii 6= 0 für i = 1, . . . , r
4. Der Rang von B ist gleich r, da die Determinante obiger Teil-Dreiecksmatrix gegeben ist durch
b11 · · · b1r r
Y
..
.. .
.
bii 6= 0
.
.
. =
0 · · · brr i=1
Beispiel:


1 3 −5 0
A =  2 7 −8 7 
−1 0 11 21
Gesucht: Rang von A(3,4) .


1 3 −5 0
7
A → 0 1 2
0 3 6 21


−5 0
2 0
0 0 0 0
1

→ 0
3
1
det U = 1 6= 0.
25. September 2013
y
Rg(A) = 2
1 3
ist.
wobei: U = 0 1
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
87
10. Lineare Gleichungssysteme
10.1. Allgemein
Ein lineares Gleichungssystem von m Gleichungen für n Unbekannte hat die Form
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = c2
..
.
..
.
..
.
+ ... +
..
.
(10.1)
.
= ..
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = cm
Faßt man die Variablen x1 , x2 . . . , xn , die rechten Seiten c1 , c2 , . . . , cm jeweils in Spaltenvektoren; die Koeffizienten aik in einer Matrix zusammen,

a11
···
a1n


x1


c1

 
 

.. 
x =  ...  ; ~c =  ...  ,
A =  ...
. ; ~
cm
am1 · · · amn
xn
(10.2)
so schreibt sich das LGS Gl. 10.1 in der kompakten Form
A ~x = ~c.
(10.3)
Bemerkungen:
1. Das LGS heißt homogen, falls ~c = ~0; inhomogen für ~c 6= ~0.
2. Für m = n erhält man den wichtigen Sonderfall eines quadratischen LGS, (n, n)-System.
Bei der Lösung des LGS spielt die so genannte erweiterte Koeffizientenmatrix eine große Rolle.
Definition: erweiterte Koeffizientenmatrix
Die (m, n) - Matrix A sei die Koeffizientenmatrix, der Vektor ~c = (c1 , . . . , cm )T die rechten
Seiten eines (m, n) - Systems. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die
(m, n + 1) - Matrix

a11
···
a1n

..
(A|~c) =  ...
.
am1 · · · amn
c1

.. 
. 
(10.4)
cm
Im Kap. 7 haben wir bereits einige einfache inhomogene (m, n) - Systeme gelöst. Dabei traten die folgenden
verschiedenen Lösungstypen auf:
a) das inhomogene (m, n)-System hat ...
i) keine Lösung
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
89
10. Lineare Gleichungssysteme
ii) genau eine Lösung
iii) beliebig viele Lösungen
b) das homogene (m, n)-System hat ...
i) genau eine, die so genannte triviale Lösung, (~
x = 0).
ii) beliebig viele Lösungen
Im Folgenden soll das Lösungsverhalten allgemeiner (m, n) - Systeme untersucht werden. Zunächst betrachten
wir nochmals den Gauß’schen Algorithmus zur Lösung von (m, n) - Systemen.
10.2. Der Gauß’sche Algorithmus
Ausgangspunkt ist das lineare (m,n) Gleichungssystem
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = c1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = c2
..
.
..
.
..
.
+ ... +
..
.
.
= ..
(10.5)
A ~x = ~c
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + . . . + amn xn = cm
Durch elementare Operationen (Addition von Vielfachen von Zeilen) wird dies auf obere Dreiecksgestalt gebracht:
a∗11 x1 + a∗12 x2 + · · · + a∗1r xr + a∗1,r+1 xr+1 + . . . + a∗1n xn = c∗1
a∗22 x2 + · · · + a∗2r xr + a∗2,r+1 xr+1 + . . . + a∗2n xn = c∗2
..
.
..
.
..
.
.. ..
.=.
a∗rr xr + a∗r,r+1 xr+1 + . . . + a∗rn xn = c∗r
(10.6)
0 = c∗r+1
.. ..
.=.
0 = c∗m
mit a∗ii 6= 0 für i = 1, . . . , r .
Dem entspricht das System A∗ ~
x = ~c∗ , oder explizit die erweiterte Koeffizientenmatrix
a∗11 a∗12 . . . a∗1r a∗1,r+1
 0 a∗ . . . a∗ a∗
22
2r
2,r+1

 ..
..
..
.
.
.
.
 .
.
.
.
.

∗ ∗
∗
∗

(A |~c ) =  0 . . . 0 arr ar,r+1
 0 ...
0
0

 .
.
..
..
 ..
.
0 ...
0
0

. . . a∗1n
. . . a∗2n
..
.. .
. ∗
. . . arn . . . 0 .. . ... 0 
c∗1
c∗2 


..

.

∗
cr 

c∗r+1


..

.
∗
cm
(10.7)
Das (m, n)∗ -System besitzt offenbar nur eine Lösung, falls die rechten Seiten c∗r+1 , . . . , c∗m gleich Null sind,
90
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
10.3. Lösungsverhalten eines linearen (m, n) - Systems
d.h. es muss in diesem Fall gelten
a∗11 a∗12 . . . a∗1r a∗1,r+1
 0 a∗ . . . a∗ a∗
22
2r
2,r+1

 .
.
..
.
.
..
..
..
 ..
.

 0 . . . 0 a∗ a∗
∗ ∗
(A |~c ) = 
rr
r,r+1

 0 ...
0
0

 ..
..
..
 .
.
.
0 ...
0
0

. . . a∗1n
. . . a∗2n
..
.. .
. . . . a∗rn . . . 0 .. . ... 0 
c∗1
c∗2 

.. 
. 

c∗r 


0 

.. 
. 
0
(10.8)
d.h. der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A∗ , ~c ∗ ) muss gleich dem Rang von A∗ sein. Dies gilt auch
für das Ausgangssystem. Also erhalten wir als Bedingung für die Existenz einer Lösung:
Rg(A∗ ) = Rg ((A∗ |~c∗ ))
⇔
Rg(A) = Rg ((A|~c))
(10.9)
10.3. Lösungsverhalten eines linearen (m, n) - Systems
Satz: Lösbarkeit eines (m, n) - Systems
Ein lineares (m, n) - System A ~
x = ~c ist genau dann lösbar, wenn gilt
Rg(A) = Rg(A|c) = r
(10.10)
Es gilt zudem: r ≤ m, r ≤ n.
Bemerkung:
Für ein homogenes System gilt ~c = ~c ∗ = ~0 ; damit gilt Rg(A) = Rg(A|~c) und es existiert immer eine Lösung.
Fallunterscheidung im Fall eines lösbaren linearen Systems
1. r = n
a∗11 a∗12 . . . a∗1n
 0 a∗ . . . a∗
22
2n

∗ ∗
(A |~c ) =  .
..
..
..
.
 .
.
.
.
0 . . . 0 a∗nn


c∗1
c∗2 

.. 
. 
c∗n
(10.11)
Dieses gestaffelte Gleichungssystem kann sukzessiv von unten nach oben gelöst werden.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
91
10. Lineare Gleichungssysteme
2. r < n
a∗11 a∗12 . . . a∗1r a∗1,r+1
 0 a∗ . . . a∗ a∗
22
2r
2,r+1

 .
..
..
..
..
 ..
.
.
.
.

 0 . . . 0 a∗ a∗
∗ ∗
(A |~c ) = 
rr
r,r+1

 0 ...
0
0

 ..
..
..
 .
.
.
0 ...
0
0

. . . a∗1n
. . . a∗2n
..
.. .
. . . . a∗rn . . . 0 .. . ... 0 
c∗1
c∗2 

.. 
. 

c∗r 


0 

.. 
. 
0
(10.12)
in diesem Fall hat man r Gleichungen für n Unbekannte, d.h. die Unbekannten xr+1 , . . . , xn bleiben
unbestimmt. Die Lösung hängt ab von diesen n-r Parametern; man hat unendlich viele Lösungen, die
einen (n-r)-dimensionaler Lösungsraum aufspannen.
Satz: Lösungsmannigfaltigkeit eines lösbaren (m, n) - Systems
Ein lösbares (m, n) - System besitzt für
1. r = n genau eine Lösung.
2. r < n unendlich viele Lösungen (eine (n - r ) - parametrige Lösungsschar).
Rg(A) <> Rg((A|c))
keine Lösung
Lineares (m,n) System
Ax=c
r=n
eindeutige Lösung
r<n
(n-r)-parametrige Lösungsschar
Rg(A) = Rg((A|c)) = r
Lineares (m,n) System Ax=c.mmap - 15.11.2009 - The Mindjet Team
Abb. 10.1.: Lösungsmannigfaltigkeit eines lösbaren (m, n) - Systems
92
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
10.3. Lösungsverhalten eines linearen (m, n) - Systems
Beispiele:
3x1 − 4x2 = 2
−x1 + 5x2 = 4
1.
5x1 + 2x2 = 12


3 −4
A = −1 5 
5
2
3 −4
=
Rg(A) = 2 da: 6 0
−1 5 

3 −4 2
4  ; det (A, ~c) = | . . . | = −26 6= 0
(A, ~c) = −1 5
5
2 12
y
Rg(A, ~c) = 3 6= Rg(A)
y
Das LGS ist nicht lösbar
4x1 − x2 − x3 = 6
2.
x1 + 2x3 = 0
−x1 + 2x2 + 2x3 = 2
3x1 − x2 = 3




4 −1 −1 6
1
0
2 0
1


0
2 0
 →  4 −1 −1 6
(A|~c) = 
−1 2


2 2
−1 2
2 2
3 −1 0 3
3 −1 0 3

1 0
2
0 −1 −9
→
0 2
4
0 −1 −6



1 0
2
0
0

6
6

 → 0 −1 −9


0 0 −14 14 
2
0 0
3
−3
3

1 0
2
0
0 −1 −9 6
∗ ∗

→
0 0 −1 1 = (A |~c )
0 0
0
0
| {z } |{z}
A∗
~c∗

Rg(A) = 3, Rg(A∗ |~c∗ ) = Rg(A, ~c) = 3
y
25. September 2013
LGS lösbar: x3 = −1, x2 = 3, x1 = 2
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93
10. Lineare Gleichungssysteme
10.4. Lösungsverhalten eines linearen (n, n) - Systems
m=n
y
quadratisches LGS, besonders wichtig für die Anwendung
a11 x1
a21 x1
+ . . . +a1n xn
+ . . . +a2n xn
..
.
= c1
= c2
..
.
A ~x = ~c
..
.
(10.13)
an1 x1 + . . . +ann xn = cn


A=
a11
. . . a1n
..
.
..
.
an1 . . . ann


;

x1




~x =  ...  ;
xn
c1



~c =  ... 
cn
(10.14)
mit der erweiterten Koeffizientenmatrix


(A | ~c) = 
a11
..
.
an1

. . . a1n c1
.. .. 
. . 
. . . ann cn
Typ(n, n + 1)
(10.15)
Es übertragen sich die Ergebnisse aus dem vorigen Abschnitt für (m, n) - Systeme für den Spezialfall m = n:
Satz: Lösbarkeit und Lösung des quadratischen Systems
Sei A = (aik ) die (n, n) Koeffizientenmatrix eines linearen quadratischen Systems und ~c =
(c1 , . . . , cn )T die zugehörigen rechten Seiten.
a) Das System A ~
x = ~c ist genau dann lösbar, falls Rg(A) = Rg(A, ~c) ist.
b) das System besitzt genau eine Lösung, falls Rg(A) = n, also A regulär ist.
c) gilt Rg(A) < n, ist also A singulär, besitzt das System unendlich viele Lösungen.
Beispiele:
   
2
2
3
2
x
A ~x = −1 −1 −3 y  = −5
3
3
5
5
z

1.
2
3
2
−1 −1 −3
3
5
5
det A =
y
A regulär
y
2
3
−1 −1 = −10 − 27 − 10 + 6 + 30 + 15 = 4 6= 0
3
5
genau eine Lösung:






1 1 3 5
1 1 3
5
1 1 3
5
(A, ~c) → 2 3 2 2 → 0 1 −4 −8  → 0 1 −4 −8
3 5 5 3
0 2 −4 −12
0 0 4
4
y
94
z = 1, y = −4, x = 5 − 3 + 4 = 6.
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25. September 2013
10.5. Lösungsverhalten eines homogenen (n, n) - Systems
Rg(A) <> Rg((A|c))
keine Lösung
Lineares (n,n) System
Ax=c
eindeutige Lösung
r=n
A ist regulär und besitzt eine Inverse
Rg(A) = Rg((A|c)) = r
(n-r)-parametrige Lösungsschar
r<n
A ist singulär
Lineares (n,n) System Ax=c.mmap - 15.11.2009 - The Mindjet Team
Abb. 10.2.: Lösungsmannigfaltigkeit eines (n,n)-Systems

2.

 
1
1 1
1



A = −1 −2 1 , ~c = 2
1 −1 5
0
1
1 1
−1 −2 1
1 −1 5
det (A) =
y
A ist singulär
1
1
−1 −2 = −10 + 1 + 1 + 2 + 1 + 5 = 0
1 −1
y
Rg(A) < 3.

1 1 1
1
1 1 1
(A, ~c) = −1 −2 1 2 ; Rg(A) = 3 da −2 1 2 = −21 6= 0.
−1 5 0
1 −1 5 0

y
das System ist unlösbar.
10.5. Lösungsverhalten eines homogenen (n, n) - Systems
Das System A ~
x = ~0 ist ein Sonderfall des inhomogenen Systems. Es ist immer lösbar, da Rg(A) = Rg(A, ~0).
Ist A regulär, so besitzt A ~
x = ~0 genau eine Lösung: die triviale Lösung ~x = ~0.
Ist A singulär, so besitzt A ~
x = ~0 unendlich viele Lösungen, die von n − r Parametern abhängen (r = Rg(A)).
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
95
10. Lineare Gleichungssysteme
10.6. Die Cramer sche Regel
Eine reguläre Koeffizientenmatrix A besitzt eine Inverse A−1 . Damit gilt für die Lösung des LGS:
A ~x = ~c
−1
A
| {z A} ~x = A ~c
−1
E
~x = A−1 ~c
Mit der expliziten Form für die Inverse von A, kann man den Lösungsvektor ~
x berechnen:

 
A11 A21 . . . An1
c1



1  A12 A22 . . . An2   c2 

~x =
 .
..
..   .. 
|A|  ..
.
. .
A1n A2n . . . Ann
cn

c1 A11 + c2 A21 + . . . + cn An1

1 
 c1 A12 + c2 A22 + . . . + cn An2 
=


..
|A| 

.
c1 A1n + c2 A2n + . . . + cn Ann
(10.16)

(10.17)
n
1 X
ck Aki ,
xi =
|A|
i = 1, . . . , n
(10.18)
k=1
Zähler und Nenner dieses Ausdruckes sind durch eine Determinante gegeben:
Nenner = |A| X
Zähler:
D1 = c1 A11 + c2 A12 + . . . + cn An1
c1 a12 · · · a1n c2 a22 · · · a2n =.
.
.
cn an2 · · · ann Dies entspricht der Determinante von A mit der ersten Spalte durch den Vektor ~c ersetzt.
Di = c1 A1i + c2 A2i + · · · + cn Ani =
a11 a12 . . . a1,i−1
...
= ...
an1 an2 . . . an,i−1
n
X
ck Aki ,
i = 1, . . . , n
k=1
c1 a1,i+1 . . . a1,n ..
..
..
.
.
.
cn an,i+1 . . . an,n ↑ i−te Spalte
Dies entspricht der Determinante von A mit der i-ten Spalte durch den Vektor ~c ersetzt.
96
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
10.7. Anwendungsbeispiel: Berechnung eine elektrischen Netzwerks
Satz: Cramer’sche Regel
Das reguläre (n,n)-System A ~
x = ~c besitzt die eindeutige Lösung
xi =
Di
;
D
i = 1, . . . , n
(10.19)
mit
D = det (A) und
Di = Hilfsdeterminante (ersetze in D die i-te Spalte durch ~c).
Bemerkung:
Die Cramer’sche Regel erfordert einen hohen Rechenaufwand, da (n+1) n-reihige Determinanten zu berechnen
sind (D, D1 , D2 , . . . , Dn ). Sie ist daher nur in Einzelfällen sinnvoll anwendbar oder aber für theoretische
Betrachtungen nützlich.
10.7. Anwendungsbeispiel: Berechnung eine elektrischen Netzwerks
Abb. 10.3.: Ein einfaches elektrisches Netzwerk
Knotenregel:
Maschenregel:
I1
−I2
−I3
=
0
R1 I1 R2 I2
= U
R2 I2 −R3 I3 = 0

   
1 −1 −1
I1
0
R1 R2
0  I2  = U 
0 R2 −R3
I3
0
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
97
10. Lineare Gleichungssysteme
Determinante der Koeffizientenmatrix
det (A) =
1 −1 −1
R1 R2
0
0 R2 −R3
1 −1
R1 R2
0 R2
= −R2 R3 − R1 R2 − R1 R3 = −(R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 ) 6= 0
y LGS eindeutig lösbar
Berechnung der Lösung mit der Cramer’schen Regel.
Hilfsdeterminanten:
0
D1 = U
0
−1 −1 R2
0 = −U
R2 −R3 1 0
D2 = R1 U
0 0
−1 0 = U
−R3 1 −1 0 D3 = R1 R2 U = −U
0 R2 0 −1 −1 R2 −R3 = −U (R3 + R2 )
1 −1 0 −R3 = −R3 U
1 −1
0 R2 = −R2 U
Lösung:
98
I1 =
D1
(R3 + R2 ) U
=
D
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
I2 =
R3 cdotU
D2
=
D
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
I3 =
D2
R2 U
=
D
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3
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25. September 2013
10.8. Zur Berechnung der inversen Matrix
10.8. Zur Berechnung der inversen Matrix
Besitzt eine quadratische Matrix A eine InverseX = A−1 , so gilt
AA−1 = E
(10.20)
oder


a11 a12 . . . a1n
x11
 a21 a22 . . . a2n   x21


 ..
  ..
..
 .
 .
...
.
an1 an2 . . . ann
xn1
 
. . . x1k . . . x1n
1
0
. . . x2k . . . x2n 
 
..
..  =  ..
...
.
...
.  .
. . . xnk . . . xnn
0

... 0 ... 0
. . . 0 . . . 0

.. 
. . . 1 . . . .
... 0 ... 1
(10.21)
und man kann die Matrixgleichung für die unbekannte Inverse X auffassen als n LGS


  
a11 a12 . . . a1n
x1k
0
 a21 a22 . . . a2n  x2k   


 0
 ..
  ..  =   ,
..
1
 .
 . 
...
.
0
an1 an2 . . . ann
xnk
k = 1...n
(10.22)
Zur Berechnung der Lösung kann man das Gleichungssystem
A~xk = ~ek
(10.23)
auf obere Dreiecksgestalt transformieren (Gauß’scher Algorithmus):




∗ ∗
(A |~c ) = 



a∗11 a∗12 . . . a∗1n ..
..
.. .
.
...
. ∗
∗
0 akk . . . akn .. ..
..
..
.
.
. .
∗
0 . . . 0 ann 0

..
.



∗
ck 

.. 
. 
c∗n
(10.24)
Durch Fortführung des Verfahrens kann man die Koeffizientenmatrix zunächst auf Diagonalform und schließlich
zur Einheitsmatrix transformieren.



(A |~c ) = 


∗∗
∗∗
a∗∗
11
..
.
..
.
0
0 c∗∗
1
.. ∗∗
..
. ...
. c2
.. ..
..
..
.
.
. .
∗∗
∗∗
. . . 0 ann cn
0
...
1 0 . . . 0 x1k
 0 1 . . . 0 x2k

(E|~xk ) =  . .
. .
 .. . . . . . .. ..
0 . . . 0 1 xnk






(10.25)





(10.26)
Der Vektor auf der rechten Seite entspricht dann dem gesuchten Lösungsvektor ~
xk . Wählt man als Vektoren
der rechten Seite nacheinander alle Spaltenvektoren der Einheitsmatrix, so erhält man nacheinander alle
Spaltenvektoren der inversen Matrix zu A.
Nachdem die Umformungen, die die Koeffizienten Matrix A für jede rechte Seite die gleichen sind, kann man
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
99
10. Lineare Gleichungssysteme
sich alle Lösungen xk im folgenden Schema gleichzeitig verschaffen:

a11
a12
. . . a1n


 a21 a22 . . . a2n


 .
..
 .
.
... ...
 .

an1 an2 . . . ann
1 ...
0 1
.
.
. ...
0 ...
0 ... 0



0 . . . 0


.. 

1 . . . .

0 ... 1
(10.27)
..
.
(10.28)
..
.

1 ... 0


0 1 0


.
.
. . . . 1

0 ... 0
(10.29)
. . . 0 x11 x12
. . . 0 x21 x22
.. ..
... . .
...
. . . 1 xn1 xn2
. . . x1n



. . . x2n 


.. 

...
. 

. . . xnn
(10.30)
So kompakt geschrieben entspricht dies der Lösung der Matrixgleichung:
AX = E
A
−1
(10.31)
AX = AE
X=A
−1
(10.32)
(10.33)
Das Verfahren heißt Jordan Verfahren.
100
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
11. Übungsaufgaben
1. Bestimmen Sie die Lösungen folgender linearer Gleichungssysteme:
a)
3x1 − 3x2 + 3x3 = 0
8x1 + 10x2 + 2x3 = 6
−2x1 + x2 − 3x3 = 5
x1 + x2 − x3 = 0
b) −x1 + 12x2 + 3x3 = 0
3x2 − 2x3 = 0
2x1
−x1
c)
3x1
4x1
+ x2
+ 2x2
+ 4x2
+ 3x2
+ 4x3
+ x3
− x3
+ 2x3
+ 3x4
− x4
− 2x4
+ x4
=
=
=
=
0
4
0
0
2. Berechnen Sie mit den (2,3)-Matrizen
5 0 10
1 8 −2
3 2 5
,C=
,B=
0 −2 8
3 0 1
−1 2 3
A=
die folgenden Ausdrücke:
a) A + B + C ;
b) 3A + 2(B + 5C);
c) 3AT − 4(B + 2C)T ;
d) 2(A + B − 3(AT − B T )T + 5(C − 2A).
3. Berechnen Sie, falls möglich, folgende Matrizenprodukte: AA = A2 , AB , BA, BB = B 2 :




1 5 3
3 4 2
a) A = 1 5 3 , B = −2 1 0 ;
−4 0 3
0 1 0
b); A =


4 1
1 1 
1 2 3 7

,B=
0 −2 .
0 2 0 1
1 3
4. Gegeben sind die Matrizen
A=



3 1 1
−2 0 3
2 4 1
, B =  0 2 1 , C =  2 5 1
1 3 5
−1 5 1
−1 1 1

Berechnen Sie falls möglich, folgende Ausdrücke:
a) (AB)C ;
25. September 2013
b) A(BC) ;
c) A(B + C)T ;
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
d) (AB)T
101
11. Übungsaufgaben
5. Für welche Wert(e) des Parameters λ verschwinden folgende Determinanten?
1 − λ
2
0 3−λ
1 b) D = 0
0
0
2 − λ
1 − λ
2 a) D = 1
−λ − 2
6. Welchen Wert besitzen folgende Determinanten?
1 4 7 |A| = 2 5 8
3 6 9 −2 8 2
|B| = 1 0 7
4 3 1
3 4 −10
1 .
|C| = −7 4
0 2
8 7. Begründen Sie ohne Rechnung, warum folgende Determinanten verschwinden:
1 −2 3
a) |A| = −4 8 0
0.5 −1 3
1 4 −3 6
0 2 3 8 c) |C| = 1
4
−3
6
0 2 1 1 1 0
b) |B| = 5 0
0 0
6
3
d) |D| = −2
1
−2
3 4
−3 −15 24 5
−7
0 .
1
5
−8
1
0
0
8. Berechnen Sie folgende Determinanten mit dem Laplace’schen Entwicklungssatz:
1
−2
|A| = 1
0
0
1
4
2
3 4 0 3 1 −5
2 0
1
1
|B| = 0
4
0
2
1
0
5 3 2 1 .
3 1 2 −3
9. Berechnen Sie folgende Determinanten:
2
−5
|A| = 1
9
5
3
7
3
1
0
0
4
4 0 −3
5
−1 −3 1 6
3
1 4 5
|B| = −2 −2 3 3
−2 −3 1 4
1
2
|C| = 1
3
0
4 0
0
1 0 1
2 −1
1 −2 −3 −4 .
4 0
0
1 1 1
3
5
10. Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen:


1 4 0
A =  0 3 4 ,
12 1 0


1 1 1
B = 2 1 2  .
0 1 5
11. Berechnen Sie die Inversen folgender Matrizen, sofern sie existieren:
cos(φ) − sin(φ)
A=
,
sin(φ) cos(φ)
B=
1 2
,
0.5 3


−1 0 0
C =  1 1 0 ,
1 0 −1


3 1 4
D = 0 1 −2 .
1 2 0
12. Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen unter Benutzung von
Unterdeterminanten:
102
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013




2 1 1 −1
0 ;
B = 1 1 2
7 2 −6 4
2 1 0
A =  0 3 4 ;
−4 1 4

1
2
C=
5
7

0 −2
1 4

3 14 
2 2
13. Bestimmen Sie den Rang folgender Matrizen durch Umformung der Zeilen bzw. Spalten:

0 −1 1
3 1 5

2 −1 6
5 5 5



1
1
−1 2 1
8 −1
−2 3
C =  0 3 −3 15 −3; D = 
−5 10
2 5 −3 29 −7
−1 4


2 −1 −1
1 ;
A = 3 4
1 2
0

1
2
B=
3
0

2 −3 0 1
1 0 1 2

5 −3 3 1
3 −3 1 1
14. Lösen Sie folgendes lineare Gleichungssystem mit dem Gauß’schen Algorithmus:
3x2 − 5x3
−x1 − 3x2
−2x1 + x2 + 2x3
−3x1 + 4x2 + 2x3
+ x4
− x4
+ 2x4
+ 2x4
=
0
= − 5
=
2
=
8
15. Zeigen Sie, dass das folgende lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt:
2x1 − x2
− 4x1 + 5x2
2x1 − 2x2
6x1
+ 4x3
+ 3x3
+ x3
+ 5x3
=
=
=
=
0
0
0
0
16. Für welche reelle Werte von λ besitzt die folgende homogene,
lineare Gleichungssystem nichttriviale Lösungen?
 
x1
2+λ
0
0
0
  x2
 0
2
−
λ
0
0
 

 1
−2 −λ −1   x3
2
−4
1 −λ
x4


0
 

 =  0 
 0 

0


17. Zeigen Sie, dass folgende quadratische, lineare Gleichungssysteme genau eine Lösung besitzen und
bestimmen Sie diese Lösung nach der Cramer’schen Regel:
a)
x1 + 2x2
= 3
x1 + 7x2 + 4x3 = 18
3x1 + 13x2 + 4x3 = 30
25. September 2013
b)
10x1 − 4x2 + 5x3 = − 13
2x1 + 8x2 − 7x3 =
35
7x1 − x2 + 9x3 =
20
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
103
Teil III.
Grundlagen der Analysis und Algebra
12. Allgemeines
12.1. Mengen
12.1.1. Definition und Darstellung
Wir benutzen den Mengenbegriff nach Georg Cantor (Ende 19.Jahrhundert)
Definition: Menge
Jede Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen
wird Menge genannt. Die so zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge.
Beschreibende Darstellung:
Aufzählende Darstellung:
M = {x | x besitzt die Eigenschaften E1 , E2 , E3 , . . . }
M = {a1 , a2 , . . . , an }
endliche Menge
M = {a1 , a2 , . . . }
unendliche Menge
Beispiele:
Spezielle Zahlenmengen
N = {1, 2, 3, 4, . . .}
natürlichen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
p
Q = {x | x = ; p ∈ Z, q ∈ N}
q
R
ganzen Zahlen
rationalen Zahlen
C
komplexen Zahlen
N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
natürlichen Zahlen einschl. der Null
reellen Zahlen
weitere spezielle Beispiele:
M = {x | x2 = 1 und x ∈ R}
= {−1, 1}
M = {x | − 2 < x ≤ 4 und x ∈ N}
= {1, 2, 3, 4}
2
M = {x | x < 16 und x ∈ Z}
= {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
M = {x | x2 = −4, x ∈ R}
= { } = ∅ „leere Menge“.
hier benutzt: x ∈ R, d.h. x ist
{z } der Menge der reellen Zahlen
| Element
∈
25. September 2013
|
{z
R
}
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
107
12. Allgemeines
Definition: Gleichheit von Mengen
Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist
und umgekehrt. Ansonsten heißen sie ungleich
Definition: Teilmenge
Eine Mengen A heißt Teilmenge einer Menge B , wenn jedes Element von A auch Element
von B ist: A ⊂ B
Beispiele:
{1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} . . .
{1, 2, 3} ⊂ {1, 2, 3}
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Anschauliche Darstellung in Form so genannter (Euler-) Venn-Diagramme:
A⊂B
A 6⊂ B
{1, 2, 3, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
{1, 2, 3, 4} 6⊂ {2, 3, 4, 5}
Abb. 12.1.: Teilmenge
Eigenschaften der Teilmengen-Beziehung:
Für alle Mengen A, B , und C gilt:
a) A ⊂ A (Reflexivität)
b) ∅ ⊂ A
c) Wenn A ⊂ B und B ⊂ C
108
y
A ⊂ C (Transitivität)
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25. September 2013
12.1. Mengen
12.1.2. Mengenoperationen
A, B seien zwei gegebene Mengen. Bilde nun Mengen mit folgenden Elementen
i) alle Elemente, die zu A und zu B gehören
ii) alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören
iii) alle Elemente, die zu A und nicht zu B gehören
Beispiel
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}
A
\
B
Abb. 12.2.: i) Durchschnittsmenge
Definition: Durchschnittsmenge
A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören
heißt Durchschnitts- oder Schnittmenge von A und B :
A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
25. September 2013
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109
12. Allgemeines
A
[
B
Abb. 12.3.: ii) Vereinigungsmenge
Definition: Vereinigungsmenge
A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die mindestens zu einer der Mengen A
oder B gehören heißt Vereinigungsmenge von A und B :
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A\B
Abb. 12.4.: iii) Restmenge
110
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12.2. Die Menge der reellen Zahlen
Definition: Restmenge
A und B seien Mengen. Die Menge aller Elemente, die mindestens zu A und nicht zu B
gehören heißt Restmenge von A und B (A ohne B ):
A\B = {x | x ∈ A ∧ x ∈| B} (A ohne B)
12.2. Die Menge der reellen Zahlen
12.2.1. Rationale Zahlen
Schon oben wurden die Zahlenmengen N, N0 , Z und Q beschrieben. Die Menge der rationalen Zahlen
Q = {x|x =
m
, m ∈ Z, n ∈ N} kann auf der Zahlengeraden dargestellt werden:
n
Abb. 12.5.: Zahlengerade ersetze 7/4 durch 11/4
p+q
∈ Q, d.h. sind p und q zwei rationale Zahlen, die beliebig dicht liegen,
2
p+q
so ist
∈ Q und liegt zu p und q noch dichter. Auf diese Art und Weise kann man immer dichter zu
2
Sind p und q ∈ Q, so ist auch
einander liegende rationale Zahlen konstruieren. Mit dieser Konstruktion immer dichter liegender Zahlen kann
man vermuten: Alle Zahlen auf der Zahlengeraden sind aus Q.
Diese Vermutung ist allerdings falsch! Wir beweisen dies mithilfe eines so genannten „Widerspruchsbeweises“ 1 :
Für diesen Beweis genügt es zu zeigen, dass es eine Zahl gibt, die sich nicht als rationale Zahl darstellen lässt:
Behauptung:
1
√
2∈Q
Bei einem Widerspruchsbeweis nimmt man an, dass die Behauptung wahr ist und führt diese Behauptung zum Widerspruch. Damit
ist das Gegenteil bewiesen.
25. September 2013
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111
12. Allgemeines
Annahme:
√
2∈Q
y
√
√
p
2 = ; p, q ∈ N (da 2 > 0); p, q seien oBdA teilerfremd!
q
p2
q2
y
2q 2 = p2
p2 = gerade
y
p = gerade
{NB: Annahme: p ungerade
y
p = 2n + 1; p2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 ungerade im Widerspruch zur Ann
y
2=
p = 2n, n ∈ N
y
2q 2 = p2
y
y
y
y
y
p2 ist gerade
p2 = 4n2
q 2 = 2n2
y
q 2 gerade
q = gerade = 2m
2n
p
=
sind nicht teilerfremd im Widerspruch zur Annahme.
q
2m
Die Zahlengerade besteht nicht nur aus rationalen Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen Q muss
erweitert werden, um abgeschlossen
√ √ zu√sein gegenüber den arithmetischen Operationen wie z. Bsp.
√
x, x ∈ N und um Zahlen wie 2, 3, 5, . . . zu enthalten.
y
Man erhält so die Menge der reellen Zahlen R.
12.2.2. Grundgesetze der Addition und der Multiplikation
Grundgesetze der Addition:
1. Je zwei Zahlen a, b ∈ R ist genau eine reelle Zahl a + b zugeordnet
2. ∀ a, b ∈ R gilt: a + b = b + a
(Kommutativgesetz)
3. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a + (b + c) = (a + b) + c
(Assoziativgesetz)
4. Es gibt in R genau eine Zahl 0, so dass ∀ a ∈ R gilt: a + 0 = a
5. Zu jeder Zahl a ∈ R gibt es genau eine Zahl a∗ ∈ R mit a + a∗ = 0, a∗ = −a
Grundgesetze der Multiplikation:
1. Je zwei Zahlen a, b ∈ R ist genau eine reelle Zahl a · b zugeordnet
2. ∀ a, b ∈ R gilt: a · b = b · a
(Kommutativgesetz)
3. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a · (b · c) = (a · b) · c
(Assoziativgesetz)
4. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a · (b + c) = a · b + a · c
(Distributivgesetz)
5. Es gibt in R genau eine Zahl 1, so dass ∀ a ∈ R gilt: a · 1 = a
6. Zu jeder Zahl a 6= 0 ∈ R gibt es genau eine Zahl a∗ ∈ R mit a · a∗ = 1, a∗ =
1
a
Distributivgesetz der Addition und Multiplikation:
- Für alle a, b, c ∈ R gilt: a · (b + c) = a · b + a · c
Abgeschlossenheit des Körpers der reellen Zahlen bezüglich Addition und Multiplikation:
- Jede Gleichung a + x = b bzw. a · x = b, mit a, b ∈ R besitzt genau eine Lösung x ∈ R
112
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12.2. Die Menge der reellen Zahlen
12.2.3. Grundgesetze der Anordnung
1. Für je zwei Zahlen a, b ∈ R gilt genau eine der drei Beziehungen
a < b, a = b, a > b
2. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a < b ∧ b < c
y
a<c
(Transitivität)
3. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a < b x
y a+c<b+c
(Monotonie der Addition)
4. ∀ a, b, c ∈ R gilt: a < b x
y a · c < b · c für c > 0
(Monotonie der Multiplikation)
Dies erlaubt die Formulierung von „Ungleichungen“:
a
a
a
a
<
≤
>
≥
b
b
b
b
:
:
:
:
a
a
a
a
kleiner b
kleiner (oder) gleich b (a < b oder a = b)
größer b
größer (oder) gleich b (a > b oder a = b)
In diesem Zusammenhang findet man (analog zur Vektorrechnung) den Betrag einer reellen Zahl und die
Dreiecksungleichung:
Definition: Betrag
Unter dem Betrag |x| von x ∈ R versteht man die nicht negative Zahl
|x| =
x falls x > 0
−x falls x < 0
Bemerkung:
|x| ist der Abstand der Zahl x von der Null auf der Zahlengeraden
Abb. 12.6.: Betrag von x ∈ R
entsprechend ist |a − b| ist der Abstand der Zahlen a und b von einander auf der Zahlengeraden
Abb. 12.7.: Betrag von a − b ∈ R
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113
12. Allgemeines
Es gilt der folgende Satz:
Satz:
1. ∀ x, c ∈ R mit einem geeigneten c > 0 gilt: −c ≤ x ≤ c x
y |x| ≤ c
2. ∀ a, b ∈ R gilt
a) |a + b| ≤ |a| + |b|
Dreiecksungleichung
b) |a − b| ≤ |a| + |b|
c) |a − b| ≥ |a| − |b|
3. ∀ a, b ∈ R gilt: |a · b| = |a| · |b|
12.2.4. Intervalle
Folgende Teilmengen von R heißen „Intervalle“. Sie sind z. Bsp. für die Angabe des Definitionsbereichs von
Funktionen wichtig:
[ a, b ] = {x | a ≤ x ≤ b}
abgeschlossenes Intervall
[ a, b ) = {x | a ≤ x < b}
halboffenes Intervall
( a, b ] = {x | a < x ≤ b}
halboffenes Intervall
( a, b ) = {x | a < x < b}
offenes Intervall
[ a, ∞) = {x | a ≤ x < ∞}
( a, ∞) = {x | a < x < ∞}
(−∞, b ] = {x | − ∞ < x ≤ b}
(−∞, b ) = {x | − ∞ < x < b}
R = (−∞, ∞)
R− = (−∞, 0),
R−
0 = (−∞, 0 ]
R+ = (0, ∞),
R+
0 = [ 0, ∞)
Beispiele:
I = [ 2, 3 ]
Abb. 12.8.: Beispiel Intervall 1
114
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12.3. Ungleichungen
I = (−1, 0 ]
--
Abb. 12.9.: Beispiel Intervall 2
I = (5 − , 5 + )
Abb. 12.10.: Beispiel Intervall 3
12.3. Ungleichungen
Im Kapitel 10 wurden lineare Gleichungssysteme behandelt. Hier sollen nun Ungleichungen betrachtet werden.
Diese sind generell von der Form
LS(x) {>, ≥, <, ≤} RS(x)
(12.1)
in der eine Funktion LS(x) auf der linken Seite mit einer Funktion RS(x) auf der rechten Seite verglichen wird.
Die Lösungsmengen sind Intervalle. Die Lösung erfolgt üblicherweise durch äquivalente Umformungen. Dabei
sind die folgenden erlaubten Umformungen und Regeln zu beachten:
1. Addition eines beliebigen Terms T (x) auf beiden Seiten
2. Multiplikation beider Seiten mit einer positiven Zahl oder einem positiven Term T (x)
3. Multiplikation beider Seiten mit einer negativen Zahl oder einem negativem Term T (x) und gleichzeitige
Umkehrung von {<, ≤, >, ≥} in {>, ≥, <, ≤}
Beispiele:
1. |x − 1| > 1
Fallunterscheidung:
x−1≥0
a)
|x − 1| = x − 1 > 1
y
y
x≥1
)
y
x>2
y
)
x<1
y
x<0
x>2
L1 = (2, ∞)
x−1<0
b)
|x − 1| = 1 − x > 1
y
L2 = (−∞, 0)
y
Lösungsmenge
x<0
L = L1 ∪ L2 = {x | x < 0 ∨ x > 2}
Abb. 12.11.: |x − 1| > 1
Dieses einfache Beispiel zeigt bereits, dass eine einfache Kurvendiskussion und ein erstes Bild der
Graphen der Funktionen der rechten und linken Seite die Lösung schneller und sicherer liefert, als die
„umständliche“ Fallunterscheidung.
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115
12. Allgemeines
2. (x − 1)2 < |x|
Abb. 12.12.: (x − 1)2 < |x|
(x − 1)2 = x2 − 2x + 1 = x
x2 − 3x + 1 = 0
y
116
√ √
1
1
x1 = 0.38
x1,2 =
3± 9−4 =
3± 5 =
x2 = 2.62
2
2
(
)
√ √ 1
1
L = x x1 =
3 − 5 < x < x2 =
3+ 5
2
2
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12.3. Ungleichungen
3. Klausur Mathe 1 August 2008
−2x2 − 5x + 6
< x3 − 2x − 3
3x − 2
Abb. 12.13.: Klausur Mathe 1 August 2008
Lösung :
Schnittpunkte:
−2x2 − 5x + 6
(x3 − 2x − 3)(3x − 2)
<
3x − 2
3x − 2
3x4 − 2x3 − 6x2 − 5x + 6
=
3x − 2
3x4 − 2x3 − 4x2 = x2 3x2 − 2x − 4 = 0
q
1
2
x1,2 = 0, x3,4 =
2 ± (−2) − 4 · 3 · (−4)
2·3
√ √ 2
1
1
L=
1 − 13 , 0 ∪ 0,
∪
1 + 13 , ∞
3
3
3
Elemente auf dem Weg zur Lösung: Kurvendiskussion auf elementarem Niveau:
a) Nullstellen
b) Polstellen
c) Werte auf der y - Achse (Ordinate)
d) Asymptotisches Verhalten
e) Schnittstellen der Funktionen
f) keine Extrema
25. September 2013
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117
12. Allgemeines
12.4. Vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz
In diesem Abschnitt wird eine wichtige Beweismethode behandelt, mit der Aussagen bewiesen werden können,
die für natürliche Zahlen n, n ≥ n0 , gelten.
12.4.1. Summenschreibweise
Für eine Summe über eine endliche oder unendliche Anzahl von Termen, die von einer, sich inkremental
ändernden ganzen Zahl abhängt,
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an
endlich viele Terme oder
S∞ = a1 + a2 + a3 + . . .
∞ viele Terme
führe die Summenschreibweise ein:
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
n
X
ak
k=1
bzw.
S∞ = a1 + a2 + a3 + . . . =
∞
X
ak
k=1
Beispiele:
1.
25
30
i=0
k=5
X 1
X1
1 1 1
1
+ + + ... +
=
=
5 6 7
30
i+5
k
2. 1 + 2 + 3 + . . . + 50 =
50
P
k
k=1
3.
10
P
(k 2 + 5k) = 32 + 5 · 3
42 + 5 · 4
+
k=3
+ ... +
102 + 5 · 10
Rechenregeln:
n
X
ak =
k=1
n
X
m
X
k=1
n
X
(λak + βbk ) = λ
k=1
n
X
ak =
k=0
n
X
n
X
ak +
ak ,
k=m+1
n
X
ak + β
k=1
n−j
X
bk ,
k=1
ak+j ,
k=−j
a = (n + 1) a
1≤m≤n
(12.2)
λ, β ∈ R
(12.3)
j∈Z
(12.4)
(12.5)
k=0
118
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25. September 2013
12.4. Vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz
Beispiel:
50
X
i3 +
i=1
100
X
(k − 9)3 =
50
X
k=60
91
X
i3 +
i=1
i3 =
91
X
i3
i=1
k=51
12.4.2. Vollständige Induktion
Addiere aufeinander folgende ungerade Zahlen:
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+5+7+9
y
= 1 =
= 4 =
= 9 =
= 16 =
= 25 =
12
22
32
42
52
Vermutung: ∀ n ∈ N gilt:
n
X
k=1
(2k − 1) = n2
Beweis dieser Vermutung durch „Vollständige Induktion“:
Eine Behauptung A(n), die abhängig ist von einer natürlichen Zahl n, ist für alle n ≥ n0 ∈ N richtig, falls
I. Induktionsanfang:
A(n) ist richtig für n = n0 (= 1), überprüfen
II. Induktionsannahme:
A(n) sei richtig für n = n
III. Induktionsschritt:
Aus A(n) ist richtig für n y A(n) ist auch richtig für n + 1
. . . dies ist der eigentliche Beweisschritt !
Anwendung auf obiges Beispiel:
I. Induktionsanfang:
n = 1 : 2n − 1|n=1 = 1 = 12 = n2 |n=1 X
II. Induktionsannahme:
n = k : A(k) sei richtig, d.h.
k
X
i=1
(2i − 1) = k 2
III. Induktionsschritt:
k+1
k
X
X
n=k+1:
(2i − 1) =
(2i − 1) + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 #
i=1
25. September 2013
i=1
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119
12. Allgemeines
Beispiel: geometrische Reihe
∀ n ∈ N, q 6= 1 gilt:
n
X
qi = 1 + q + q2 + . . . + qn =
i=0
1 − q n+1
1−q
Beweis:
I. Induktionsanfang:
n=1:
1
X
!
qi = 1 + q =
i=0
1 − q2
(1 − q)(1 + q)
=
=1+q X
1−q
1−q
III. Induktionsschritt:
n=k+1:
k+1
X
i=0
k
X
1 − q k+1
+ q k+1
1−q
i=0
1 − q k+2
1 =
1 − q k+1 + q k+1 − q k+2 =
1−q
1−q
qi =
q i + q k+1 =
#
12.4.3. Der Binomische Satz
Binome heißen Terme der Form a + b. Der Binomische (Lehr-) Satz gibt einem expliziten Ausdruck an für die
n-te Potenz eines solchen Binoms (a + b)n .
Betrachten wir explizit verschiedene Potenzen:
(a + b)0 =
1
(a + b)1 =
(a + b)
2
=
(a + b)3 =
(a + b)4 =
(a + b)5 =
a+b
2
a + 2ab + b2
a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
Die numerischen Koeffizienten von a, b, al bm heißen Binomialkoeffizienten. Sie sind in allgemeiner Weise
definiert durch
Definition: Binomialkoeffizienten
Es sei n, k ∈ N. Unter den Binomialkoeffizienten versteht man die Zahlen
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
n
=
k
1 · 2 · 3···k
120
und
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n
=1
0
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12.4. Vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz
Beispiel: n = 4
4
=1
0
4·3·2
4
=4
=
3
1·2·3
4
=
1
4
=
4
4
=4
1
4·3
4
=
=6
2
1·2
4·3·2·1
=1
1·2·3·4
Im Folgenden wird die so genannte Fakultät verwendet:
Definition: Fakultät
Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen heißt n-Fakultät:
n! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · (n − 1) · n
= (n − 1)! · n
0! = 1
Beispiele:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
0! = 1 (Definition)
Es gilt: (k + 1)! = k!(k + 1)
Die Fakultät wächst rascher als die Exponentialfunktion!
Betrachte dazu die Stirling’sche Formel als Approximationsformel für die Fakultät
n! ≈
√
2πn
n n
e
(12.6)
Abb. 12.14.: Die Stirling’sche Formel
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121
12. Allgemeines
oder die (genauere) asymptotische Entwicklung
n! ≈
√
n n 1
1
139
571
1
1+
2πn
+
−
−
+O
2
3
4
e
12 n 288 n
51840 n
2488320 n
n5
(12.7)
Es gilt die Abschätzung
√
2πn
n n
e
≤ n! ≤
√
2πn
n n
e
1
· e 12 n ,
n∈N
(12.8)
Die Fakultät benutzen wir bei der Formulierung der Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
Satz: Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
Für alle Binomialkoeffizienten gilt:
n!
n
=
k
k! (n − k)!
n
n
=
Symmetrie
k
n−k
n+1
n
n
=
+
k
k
k−1
(12.9a)
(12.9b)
(12.9c)
Die Eigenschaft (12.9c) ermöglicht die Berechnung der Binomialkoeffizienten im so genannten Pascal’schen Dreieck:
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
0
0
1
1
0
0
2
2
2
0
1
2
3
3
3
3
0
1
2
3
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Aus der Eigenschaft Gl. 12.9b ergibt sich die Spiegelymmetrie des Pascal’schen Dreiecks.
122
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25. September 2013
12.4. Vollständige Induktion, Binomischer Lehrsatz
Satz: Binomischer Satz
Für alle n ∈ N, a, b ∈ R gilt
n
(a + b) =
n X
n
k
k=0
an−k bk
n n
n n−1
n
n n
n−1
=
a +
a
b + ... +
ab
+
b
0
1
n−1
n
Beweis: (durch vollständige Induktion)
I. Induktionsanfang: n = 1
1 1 0
1 0 1
(a + b) =
a b +
a b =a+b X
0
1
1
II. Induktionsannahme: n = k
k
(a + b) =
k X
k
j=0
j
ak−j bj
III. Induktionsschritt: n = k + 1
(a + b)k+1 = (a + b) · (a + b)k
k X
k k−j j
= (a + b) ·
a
b
j
j=0
=
k X
j=0
k k k−j+1 j X k k−j j+1
a
b +
a
b
j
j
j=0
k
k k
k k−1 2
a b +
a
b + ... +
a bk +
+
=
k
1
2
k k+1
k
k k
k k−1 2
k
b
a b +
a
b + ... +
ab +
+
k
k
0
1
k + 1 k+1
k+1 k
k + 1 k−1 2
k+1
k + 1 k+1
k
=
a
+
a b+
a
b + ... +
ab +
b
2
k
k+1
0
1
k k+1
a
0
=
k+1 X
k+1
j=0
25. September 2013
j
ak+1−j bj #
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123
13. Funktionen
13.1. Grundbegriffe
13.1.1. Definition
Mit Hilfe von Funktionen werden den Elementen einer Menge A die Elemente einer Menge B zugeordnet. In
Naturwissenschaft und Technik wird mit Hilfe solcher Zuordnungen, der Zusammenhang bzw. die Abhängigkeit
verschiedener messtechnischer Größen beschrieben. Typische Beispiele dafür sind
- die Zeitabhängigkeit des Fallweges bzw. der Fallgeschwindigkeit beim freien Fall,
- die Abhängigkeit des elektrischen Stromes von der elektrischen Spannung in elektrischen Stromkreisen,
usw.
Definition: Funktion
Gegeben seien zwei Mengen Df und Wf und eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element
aus Df genau ein Element aus Wf zuordnet. Dann ist durch Df und diese Zuordnungsvorschrift eine Funktion in Wf gegeben:
f : Df → Wf
y = f (x),
(13.1)
x ∈ Df , y ∈ Wf .
(13.2)
Bezeichnungen:
x
y, f (x)
y = f (x)
Df
Wf
:
:
:
:
:
unabhängige Veränderliche (Variable) oder Argument von f
abhängige Veränderliche (Variable) oder Funktionswert
Zuordnungsvorschrift
Definitionsbereich von f (x)
Wertebereich von f (x)
Bemerkung:
Wir betrachten hier zunächst nur reellwertige Funktionen einer reellen Variablen, also x ∈ Df ⊂ R, y ∈ W ⊂ R.
Später werden wir auch komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen (x ∈ C, y ∈ C) oder aber
reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen betrachten.
Beispiele:
1. v(t) = g t, s(t) = 12 g t2 (freier Fall)
Dv,s = [ 0, ∞), Wv,s = [ 0, ∞)
2. y = f (x) =
√
x − 1 x ∈ [0,∞) ist keine reellwertige Funktion f : R → R Widerspruch
(aber komplexwertig f : R → C),
maximaler Definitionsbereich der reellwertigen Funktion: Df = [1, ∞)
25. September 2013
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125
13. Funktionen
3. y = f (x) =
1
,
1 − x2
x ∈ R\{−1, 1}
f (x) ist an den Polen x = ±1 nicht definiert.
13.1.2. Darstellung
Funktionen werden dargestellt
a) durch ihre analytische Gestalt (y = f (x) = . . .)
b) manchmal, z. Bsp. als Ergebnis eines Experimentes, durch eine Wertetabelle
x [Maßeinheit] 1 2 3 4 5 · · ·
y [Maßeinheit] 1 4 9 16 25 · · ·
c) und häufig durch den Graphen
Abb. 13.1.: Funktionsgraph
Hier zeichnet man ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem aus der Abszisse (x) und der
Ordinate (y ). die Zuordnung von x-und y -Werten wird durch den Graphen der Funktion f (x), der die
Gesamtheit aller Wertepaare (x0 , y0 = f (x0 )), x0 ∈ Df , y0 ∈ Wf , bedeutet.
126
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25. September 2013
13.1. Grundbegriffe
Beispiel: (freier Fall)
Abb. 13.2.: Geschwindigkeit
Abb. 13.3.: Weg
Häufig liegt eine Funktion in der so genannten Parameterdarstellung vor. Werden zum Bsp. zwei (drei) Koordinaten eines Massenpunktes als Funktion der Zeit gemessen, x = x(t), y = y(t) (und z = z(t)) so ist die
Funktion y = y(x) durch x = x(t) und y = y(t) in der Parameterdarstellung gegeben.
Abb. 13.4.: Parameterdarstellung
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127
13. Funktionen
Beispiel: (waagrechter Wurf)
x = x(t) = x0 + v t
1
y = y(t) = y0 − g t2
2
1
x − x0 2
y = y(x) = y0 − g
2
v
Abb. 13.5.: x(t)
Abb. 13.6.: y(t)
Abb. 13.7.: Waagrechter Wurf y(x)
128
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25. September 2013
13.1. Grundbegriffe
Beispiele:
Kreis
Abb. 13.8.: x(t) = cos(t)
Abb. 13.10.: Einheitskreis x2 + y 2 = 1
Abb. 13.9.: y(t) = sin(t)
Spirale
12
10
8
z 6
4
2
0
− 0.8
Abb. 13.11.: z(t) = t
− 0.4
0
0.4
x
1
− 0.4
0
0.4
0.8
y
Abb. 13.12.: z = z(x(t), y(t), t)
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129
13. Funktionen
13.1.3. Einige einfache, spezielle Funktionen
y = f (x) = c, c ∈ R
y = f (x) = x
Abb. 13.13.: Die Identität
Abb. 13.14.: Die konstante Funktion
y = f (x) = ax + b, a, b ∈ R
y = f (x) = |x|
Abb. 13.15.: Die lineare Funktion
Abb. 13.16.: Die Betragsfunktion
y = f (x) = sgn(x) =

 1 für x > 0
0 für x = 0
=

−1 für x < 0
Abb. 13.17.: Die Signumsfunktion
130
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13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
13.2.1. Beschränktheit
Definition: Beschränktheit
Eine Funktion f : Df → Wf heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn jeder Wert
der Wertemenge Wf nach oben bzw. nach unten beschränkt ist, d.h.
y = f (x) ≶ M ∀x ∈ Df , M ∈ R
Abb. 13.18.: Beschränkte Funktion
Beispiel:
y = f (x) =
1
x
i) Df =[1,2]
; 21 ≤ f (x) ≤ 1 : f (x) beschränkt nach oben und unten.
ii) Df =(0,1]
; 1 ≤ f (x) < ∞ nach unten, aber nicht nach oben beschränkt.
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131
13. Funktionen
13.2.2. Nullstellen
Definition: Nullstelle
Eine Funktion y = f (x) besitzt in Punkt x = x0 eine Nullstelle, falls f (x0 ) = 0 gilt.
Beispiel:
y = f (x) = ax + b
Nullstelle bei x = x0 = − ab
Abb. 13.19.: Nullstelle einer linearen Funktion
132
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25. September 2013
13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
13.2.3. Symmetrieeigenschaften
Eine Funktion f (x) besitzt ein definiertes Symmetrieverhalten, wenn gilt f (x) = α · f (−x) mit α = ±1, d.h.
unter Vertauschen von x mit −x (=
b Spiegelung an der y-Achse) ändert sich bei f (x) bestenfalls das Vorzeichen.
Definition: gerade, ungerade Funktion
Eine Funktion y = f (x) mit einem
symmetrischen Definitionsbereich und der Eigenschaft
(
gerade für α = 1
y = f (x) = α · f (−x) heißt
ungerade für α = −1
Beispiel:
Abb. 13.20.: gerade Funktion
Abb. 13.21.: ungerade Funktion
Eine gerade Funktion:
y = f (x) = x
Eine ungerade Funktion:
2
2
f (−x) = (−x) = x
y = f (x) = x3
2
f (−x) = (−x)3 = −x3
= f (x)
= −f (x)
gerade/spiegelsymmetrisch
ungerade/punktsymmetrisch
Potenzfunktionen:
y = f (x) = xn ,
gerade
y
y = x2n ist gerade
n = 2m + 1 ungerade
y
y = x2n+1 ist ungerade
n = 2m
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n = 0, 1, 2, 3, . . .
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133
13. Funktionen
13.2.4. Monotonie
Definition: Monotonie
Eine Funktion f : Df → Wf heißt auf einen Intervall D ⊂ Df monoton wachsend bzw.
streng monoton wachsend wenn für alle x1 , x2 ∈ D gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) bzw. x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
f (x) heißt monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle x1 , x2 ∈ D gilt:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) bzw. x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Abb. 13.22.: streng monoton wachsend
Abb. 13.23.: streng monoton fallend
13.2.5. Periodizität
Definition: Periodizität
Eine Funktion f : Df → Wf heißt periodisch mit der (primitiven) Periode p, wenn für alle
x ∈ Df gilt:
i) x + p ∈ Df
ii) f (x + p) = f (x)
Bemerkung:
Mit der primitiven Periode p ist auch k · p, k ∈ N eine Periode von f .
134
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13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
Beispiele:
1. periodischer Sägezahn (Periode p = 1)
f (x) = x − n
für n ≤ x < n + 1
= x − [x];
[x] = n für n ≤ x < n + 1
„Gauß-Klammer“
Abb. 13.24.: periodischer Sägezahn
2. Standardbeispiele sind die trigonometrischen Funktionen
y = sin(x),
y = cos(x),
y = tan(x),
y = cot(x)
mit der Periode p = 2π bzw. p = π
Abb. 13.25.: Sinus-Funktion
Satz:
Die Funktion f (x) und g(x) seien auf D definiert und periodisch mit der Periode p. Dann sind
auch die Funktionen f + g, f − g, f · g und für g(x) 6= 0 ∀x ∈ D auch
Periode p.
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f
periodisch mit der
g
135
13. Funktionen
Beispiel:
f (x) = sin(x), g(x) = cos(x)
(primitive Periode p = 2π)
f (x) ± g(x) = sin(x) ± cos(x)
f (x)
= tan(x)
g(x)
f (x) · g(x) = sin(x) cos(x) =
y
(primitive Periode p = 2π)
(primitive Periode p = π!)
1
sin(2x)
2
(primitive Periode p = π!)
Die primitive Periode kann sich dabei ändern!
Abb. 13.26.: Sinus und Cosinus
136
Abb. 13.27.: versch. trig. Funktionen
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13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
13.2.6. Umkehrfunktion
Gegeben sei eine Funktion f : Df → Wf .
Abb. 13.28.: Umkehrfunktion
Von Interesse ist häufig die Frage nach der Umkehrfunktion, d.h. wann kann man aus dem gegebenen Funktionswert y0 auf das Argument x0 zurück schließen? Betrachten wir zwei unterschiedliche Situationen:
Abb. 13.29.: nicht umkehrbare Funktion
Abb. 13.30.: umkehrbare Funktion
Definition: Umkehrfunktion
Eine Funktion f : Df → Wf heißt umkehrbar, wenn zu unterschiedlichen Argumenten auch
unterschiedliche Funktionswerte gehören, d.h. wenn für alle x1 , x2 ∈ D gilt f (x1 ) 6= f (x2 ).
Die Funktion g : Df → Wf , die jedem y ∈ Wf genau das x ∈ Df zugeordnet mit
y = f (x), heißt Umkehrfunktion von f, f −1
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137
13. Funktionen
Beispiel:
1. lineare Funktion:
y = f (x) = ax + b ; x = g(y) =
1
(y − b)
a
Abb. 13.31.: Umkehrfunktion: lineare Funktion
2. Parabel
√
y = f (x) = x2 ; x = g(y) = ± y nicht eindeutig!
Abb. 13.32.: Umkehrfunktion: Parabel
Beschränkung des Definitionsbereichs auf x > 0 bzw. x < 0 ist notwendig um die Umkehrfunktion bilden
zu können!
138
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13.2. Allgemeine Eigenschaften von Funktionen
Wie man aus obigen Beispielen sieht, gehen f und f −1 durch Spiegelung von f an der Winkelhalbierenden
hervor.
Abb. 13.33.: die Ausgangsfunktion f (x)
Abb. 13.35.: Funktion und Umkehrfunktion
25. September 2013
Abb. 13.34.: ...aufgelöst nach x = g(y)
Abb. 13.36.: ...und jetzt die Umkehrfunktion y =
f −1 (x)
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139
13. Funktionen
13.2.7. Verkettung von Funktionen
Definition: Verkettung von Funktionen
Gegeben seien zwei Funktionen f : Df → A und g : Dg → B , mit: Wf ⊂ Dg . Dann heißt
die Funktion h : Df → B mit y = g(f (x)) die mittelbare Funktion g nach f , g ◦ f .
Beispiele:
1−b 2−b
f:
,
−→ [1, 2];
a
a
f (x) = ax + b
1
g : [1, 2] →
,1
2
1
g(x) =
x
Abb. 13.37.: Beispiel: mittelbare Funktion g (f (x))
1
1−b 2−b
−→
,
,1
h:
a
a
2
h(x) = g(f (x)) =
1
ax + b
13.3. Koordinatentransformation, Polarkoordinaten
13.3.1. Parallelverschiebung
Betrachte zwei kartesische Koordinatensysteme (x, y) und (u, v), deren KO-Ursprünge gegeneinander verschoben sind:
Die Koordinaten eines Punktes P in beiden KOS lauten jeweils:
P = (u, v) = (x, y) = (u + a, v + b)
140
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25. September 2013
13.3. Koordinatentransformation, Polarkoordinaten
Abb. 13.38.: Beispiel: mittelbare Funktion h(x)
Abb. 13.39.: Parallelverschiebung kartes. KO-Systems
somit:
Der Zusammenhang zweier kartesischer KOS, die durch Parallelverschiebung auseinander hervorgehen, wird
durch die Transformationsgleichungen
x=u+a
bzw.
u=x−a
v =y−b
y =v+b
hergestellt.
Beispiel: Parabel
25. September 2013
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141
13. Funktionen
y = f (x) = x2 + 2x + 3
= (x + 1)2 + 2
y
y − 2 = (x + 1)2
Damit ergibt sich: y = f (x) = x2 + 2x + 3 beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt im Punkt
x = −1, y = 2. Durch die KO-Transformation u = x + 1, v = y − 2 ergibt sich die Parabel in der Form
v = u2
d.h. der Scheitel liegt im neuen KOS im KO-Ursprung.
Abb. 13.40.: Scheitelpunkt im neuen KO-System
13.3.2. Polarkoordinaten
Abb. 13.41.: Beschreibung eines Punktes: kartesische und Polarkoordinaten
Beschreibung eines Punktes
i) durch kartesische Koordinaten P = (x, y)
ii) Polarkoordinaten P = (r, ϕ)
142
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25. September 2013
13.3. Koordinatentransformation, Polarkoordinaten
Definition: Polarkoordinaten
Unter den Polarkoordinaten eines Punktes P versteht man seinen Abstand, r , vom Koordinatenursprung und den Winkel, ϕ, zwischen seinem Radiusvektor und der positiven x-Achse.
Es gelten die Transformationsgleichungen:
x = r · cos(ϕ)
bzw.
y = r · sin(ϕ)
p
x2 + y 2
y
tan(ϕ) =
x
r=
Beispiele:
1. Punkt P = (1, 2)
r=
√
tan(ϕ) = 2
1+4=
y
√
5
ϕ = 63.43 1. Quadrant!
2. Funktion (Kreis)
y 2 + x2 = 9
y
r2 = 9, r = 3, ϕ ∈ [ 0, 2π)
Kreis um den Ursprung mit dem Radius r = 3
Abb. 13.42.: Funktion: Kreis
3. Spirale
r = r(ϕ) = 2ϕ Archimedische Spirale
25. September 2013
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143
13. Funktionen
Abb. 13.43.: Archimedische Spirale
144
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25. September 2013
13.3. Koordinatentransformation, Polarkoordinaten
4. Anwendung in der E-Technik Polardiagramme, Antennencharakteristiken von Antennen
Abb. 13.44.: Richtcharakterisitk
25. September 2013
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145
13. Funktionen
13.4. Folgen und Grenzwerte
13.4.1. Definition und Eigenschaften von Folgen
Zahlenfolgen sind in der höheren Mathematik sehr wichtig. Man kann sie auffassen als eine Abbildung
f :N→B
B = R oder C
ai ∈ R(C), i = 1, 2, 3, . . .
f (i) = ai ,
Definition: Zahlenfolge
Ordnet man jeder Zahl n ∈ N genau eine Zahl an ∈ R (C) zu, so entsteht durch
a1 , a2 , a3 , a4 , . . . = {an }
eine Zahlenfolge (Folge).
Beispiele:
1 1 1
1. 1, , , , . . . =
2 3 4
1
= {an }
n
2. 2, 4, 8, 16, . . . = {2 n } = {an }
3.
√
5,
√
3
5,
√
4
5,
√
5
5, . . . =
n √ o
n+1
5 = {an }
4. arithmetische Folge:
2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . = {2 + (n − 1) · 2} = {an }
1, 5, 9, 13, 17, . . . = {1 + (n − 1) · 4} = {an }
allgemein:
a, b ∈ R , b 6= 0
{an } = {a + (n − 1) · b} = a, a + b, a + 2b, . . .
5. geometrische Folge:
1, 3, 9, 27, . . . = {1 · 3(n−1) } = {an }
3, 6, 12, 24, . . . = {3 · 2(n−1) } = {an }
allgemein:
a, q ∈ R, a, q 6= 0
n
o
{an } = a · q (n−1) = a, a q, a q 2 , a q 3 , . . .
146
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25. September 2013
13.4. Folgen und Grenzwerte
Definition: Monotonie von Folgen
an ≤ an+1
monoton wachsend,
falls gilt :
streng monoton wachsend,
falls gilt :
an < an+1
monoton fallend,
falls gilt :
streng monoton fallend,
falls gilt :
an ≥ an+1
an > an+1
∀n ∈ N
∀n ∈ N
∀n ∈ N
∀n ∈ N
Beispiel:
geometrische Folge
{an } = a, a q, a q 2 , a q 3 , . . .
an = a · q n−1
an+1 = a · q
n
)
an+1
= q y an+1 = q · an y
an
(
q > 1 : streng monoton wachsend
0 < q < 1 : streng monoton fallend
Definition: Beschränktheit von Folgen
Eine Folge {an } heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, falls es eine Zahl M ∈ R
bzw. m ∈ R gibt mit
an ≤ M
bzw. an ≥ m
∀ n ∈ N.
{an } heißt beschränkt, falls {an } nach oben und nach unten beschränkt ist, al
m ≤ an ≤ M
∀ n ∈ N.
Beispiel:
geometrische Folge:
{an } = a, a q, a q 2 , a q 3 , . . . = a q n−1
i) q > 1
y
ii) 0 < q < 1
a ≤ an = a q n−1
y
y
(a > 0)
nach unten beschränkt.
0 ≤ an = a q n−1 ≤ a
y
beschränkt.
Definition: alternierende Folge
Eine Folge {an } heißt alternierend, falls aufeinander folgende Folgenglieder unterschiedliche
Vorzeichen haben.
25. September 2013
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147
13. Funktionen
Beispiel:
geometrische Folge mit q < 0
an = a q n−1 = a · |q|n−1 · (−1)n−1 .
13.4.2. Darstellung von Folgen
13.4.3. Konvergente Folgen
Betrachte die geometrische Folge
{an } = aq n−1 = a, a q, a q 2 , a q 3 , . . . für 0 < q < 1, a > 0
Graphische Darstellung auf der Zahlengeraden:
Abb. 13.45.: geometrische Folge
an ist
i) streng monoton fallend
ii) nach unten beschränkt:
0 < an ∀ n ∈ N
Für genügend großes n ∈ N liegt an und alle folgenden Glieder am , m > n „beliebig dicht“ bei dem Wert 0.
Die Glieder häufen sich bei a = 0, d.h., a = 0 ist ein so genannter Häufungspunkt der Folge.
Mathematische Beschreibung:
Abb. 13.46.: Häufungspunkt
Betrachte die ε-Umgebung des Punktes x0 : Uε (x0 ) = x |x − x0 | < ε an der Stelle x0 = 0 : Für ein
vorgegebenes ε > 0 (beliebig klein) lässt sich ein n0 ∈ N finden, so dass alle an mit n > n0 in der ε-Umgebung
liegen, d.h. an ∈ Uε (0) ∀ n > n0 , also an < ε für alle n > n0 (ε). Damit liegen fast alle Glieder der Folge, d.h.
alle bis auf endlich viele Glieder der Folge in der ε-Umgebung.
148
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25. September 2013
13.4. Folgen und Grenzwerte
Definition: Grenzwert einer Folge
Der Zahlenwert a ∈ R heißt Grenzwert (oder Häufungspunkt) der Folge {an }, falls in jeder
beliebig kleinen ε-Umgebung von a, Uε (a), fast alle Glieder der Folge liegen, d.h. für jedes
ε > 0, beliebig klein, gibt es ein n0 ∈ N, mit
|an − a| < ε ∀ n ≥ n0 = n0 (ε).
Beispiel:
1. {an } =
5n + 7
3n
=
12 17 22
, , ,...
3 6 9
Umformung:
an =
5
7 n→∞ 5
5n + 7
−→
= +
= a Vermutung!
3n
3 3n
3
Beweis:
5 5n + 7 7 = <ε
|a − an | = −
3
3n 3n 7
+ 1. ε > 0, beliebig.
y n > n0 (ε) =
3ε
z.Bsp.
ε = 0.1
n0 = 24
ε = 0.01 n0 = 234 usw.
alternative Darstellung der ε-Umgebung, explizite Sichtbarkeit der n-Abhängigkeit:
5
4.5
4
3.5
an
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−5
0
5
10
15
20
n
Abb. 13.47.: n-Abhängigkeit der Folgenglieder
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
149
13. Funktionen
2. {an } =
b
b b b
= b, , , , . . . , b ∈ R.
n
2 3 4
Vermutung:
b n→∞
−→ 0 = a
n
b
b
b
|a − an | = 0 − = < ε für n > n0 = .
n
n
ε
2.5
2
an
1.5
1
0.5
0
−0.5
−5
0
5
10
15
20
n
Abb. 13.48.: Explizite Sichtbarkeit 2
Definition:
i) Eine Folge {an } mit einem Grenzwert a heißt
konvergent gegen den Grenzwert a,
n→∞
lim an = a, oder an −→ a.
n→∞
ii) Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.
Gilt lim an = ±∞, d.h. gibt es für jedes (noch so großes M, m ∈ R+ ) ein n0 ∈ N
n→∞
mit
an > M
an < −m
∀n > n0 ,
so heißt die Folge {an } bestimmt divergent. Der Grenzwert ±∞ heißt
uneigentlicher Grenzwert.
iii) Eine Folge {an } heißt unbestimmt divergent, falls sie weder konvergent noch bestimmt
divergent ist.
150
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25. September 2013
13.4. Folgen und Grenzwerte
Satz:
Jede konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.
Beweis:
a − ā ε=
3 Abb. 13.49.: Zwei benachbarte -Umgebungen
Annahme: Es gibt zwei Grenzwerte a, ā;
y
an ∈ Uε (a) ∀n > n0
an ∈ Uε (ā) ∀n > n̄0
aber Uε (a) ∩ Uε (ā) = ∅
y
Widerspruch für n > Max(n0 , n̄0 )
y
nur endlich viele Glieder in Uε (a) oder Uε (ā),
Widerspruch zur Definition des Grenzwerts.
Beispiele:
1. geometrische Folge:
{an } = a · q n−1
i) q > 1 : lim a q n−1 = ∞ bestimmt divergent
n→∞
Wähle ein M ∈ R, M > a:
a q n−1 > M
(n − 1) ln q > ln M − ln (a)
{z
}
|
>0
besitzt eine Lösung für ln q > 0,
also für q > 1; n0 = 2 +
25. September 2013
ln M − ln a
ln q
Gaußklammer
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
151
13. Funktionen
ii) 0 < q < 1 : lim a q n−1 = 0 (Nullfolge) konvergent
n→∞
n−1 a q
< ε für n > n0
ln ε − ln a
n0 = 2 +
ln q
(n − 1) ln q < ln ε − ln(a) < 0
y
iii) q = −1 : an = a, −a, a, −a, a, . . . unbestimmt divergent
2. {an } = {
√
n
n} = 1,
√
2
√
3
2,
3, . . .
Numerische Werte für große n:
n = 100
: an = 1.05
n = 1000 : an = 1.01
n = 10000 : an = 1.0009
y
Vermutung: a = 1
Beweis:
n>1
n≥1+
r
also bn ≤
n>1
für jedes n > 1 gibt es ein bn mit
√
n
n(n − 1) 2
bn
2
2
2
=
n(n − 1)
n
n = 1 + bn ; bn > 0
n
√
n n
n 2
n
n
n
b
bn + . . . +
bn +
n = n = (1 + bn ) = 1 +
n n
2
1
n(n − 1) 2
n 2
>1+
b =1+
bn
2 n
2
y
y
√
n
y
y
b2n ≤ (n − 1) ·
2
n
Damit gilt die Abschätzung:
√
n n − 1 = |1 + bn − 1| = |bn | ≤
y
lim
n→∞
r
2
2
< ε für n ≥ n0 = 2
n
ε
√
n
n=1
alternativ (mit Logarithmus):
lim
n→∞
152
√
n
1
1
n = lim n n = lim e n ln n = e
n→∞
1
lim
ln n
n→∞ n
|
{z
}
=0
n→∞
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= e0 = 1
25. September 2013
13.4. Folgen und Grenzwerte
Ein Konvergenzkriterium für Folgen:
Satz:
Eine Folge {an }, die monoton wächst(fällt) und die nach oben(unten) beschränkt ist, ist konvergent.
Beweis: (für monoton fallend)
{an } monoton fallend, nach unten beschränkt
beschränkt y ∃ m ∈ R mit m < an ∀ n ∈ N
m sei größte untere Schranke von an in R.
Für jedes ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit an0 = m < ε
Abb. 13.50.: Grenzwert der Folge
ansonsten ist m nicht die größte untere Schranke von {an }.
monoton fallend
y
an0 ≥ an ∀ n ≥ n0
m − ε < an ≤ an0 < m + ε
y
m ist Grenzwert der Folge {an }
y
y
an ∈ Uε (m)
Beispiel: (s.später)
13.4.4. Rechnen mit Grenzwerten
zunächst einige einfache Beispiele:
1. {an } =
−n − 1
2n + 3
2 3 4
= − ,− ,− ,...
5 7 9
!
−1 − n1
−n − 1
lim an = lim
= lim
n→∞
n→∞ 2n + 3
n→∞
2 + n3
1
1
lim −1 −
−1 − lim
n→∞
1
n
n→∞ n
=
=
=−
1
3
2
2 + 3 lim
lim 2 +
n→∞
n
n→∞
n
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
153
13. Funktionen
Überprüfung des Ergebnisses:
−n − 1
1 1 2n + 3
2n + 2 |an − a| = − − = ·
−
2n + 3
2
2 2n + 3 2(2n + 3) =
1
1
1
1
1
<
<
< < ε für n >
2(2n + 3)
2n + 3
2n
n
ε
X
aber:
2. {an } =
√
n+1−
√ n
lim an = lim
n→∞
n→∞
√
n+1−
√
√ √
n = lim n + 1 − lim n = ∞ − ∞ = ?
n→∞
n→∞
Der Ausdruck „∞ − ∞“ ist nicht definiert!
Für die Anwendung der folgenden Rechenregeln für das Rechnen mit Grenzwerten sind somit insbesondere die
Voraussetzungen des folgenden Satzes zu berücksichtigen!
Satz: Rechnen mit Grenzwerten
Die Folgen {an } und {bn } seien konvergent mit den Grenzwerten lim an = a und lim bn = b.
n→∞
n→∞
Dann gilt:
lim (an + bn ) = lim an + lim bn = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (c an ) = c lim an = c a,
n→∞
n→∞
lim (an bn ) =
n→∞
lim an
n→∞
lim bn = a b
n→∞
n→∞
154
(13.4)
(13.5)
limn→∞ an
a
=
(b 6= 0)
n→∞
limn→∞ bn
b
r
lim (an )r = lim an = ar , r ∈ R
lim
an
bn
c∈R
(13.3)
=
n→∞
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(13.6)
(13.7)
25. September 2013
13.4. Folgen und Grenzwerte
Beispiele:
1.
√
√ lim
n + 1 − n = lim
n→∞
n→∞
√
√ √
√ n+1− n
n+1+ n
√
√
n+1+ n
1
= lim √
n→∞
√
n+1−n
1
n
√ = lim √
√ = lim q
n + 1 + n n→∞ n + 1 + n n→∞ 1 + 1 + 1
n
1
lim √
n→∞
0
n
r
=
=
=0
1+1
1
lim 1 + + lim 1
n→∞
n n→∞
2.
1 − n2 + n102
n2 − 2n + 10
=
lim
n→∞
n→∞
2n2 − n
2 − n1
lim
=
1
1
+ 10 lim 2
1−0+0
1
n→∞ n
n
=
=
1
2−0
2
lim 2 − lim
n→∞
n→∞ n
lim 1 − 2 lim
n→∞
n→∞
3.
lim
n→∞
2n − 1
5n + 3
3
= lim
n→∞
2−
5+
1
n
3
n
!3
=
2−
lim
n→∞ 5 +
1
n
3
n
!3

1 3 lim 2 − lim
2−0 3
8
 n→∞
n→∞ n 
=
=
=
1
5−0
125
lim 5 − 3 lim
n→∞
n→∞ n

25. September 2013
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155
13. Funktionen
4.
{an } =
xn
n!
ist konvergent ∀ x ∈ R+
i) {an } ist monoton fallend:
an =
y
x xn−1
x
= · an−1
n (n − 1)!
n
x
an
= < 1 für n > x
an−1
n
y
an < an−1
ii) {an } ist nach unten beschränkt:
an > 0 ∀n ∈ N
y {an } ist konvergent.
Berechnung des Grenzwertes:
a = lim an = lim
n→∞
n→∞
x
x an−1 = lim
· lim an−1
n→∞ n
n→∞
n
=0·a=0
y
xn
=0
n→∞ n!
lim
Fakultät wächst schneller als jede Potenz!
5. Die Euler’sche Zahl e
{an } =
1
1+
n
n ist konvergent:
i) Beschränktheit:
1 n(n − 1) 1
1
1 n
=1+n· +
· 2 + ... + n
an = 1 +
n
n
2
n
n
1
1
1
1
2
=1+1+
1−
+
1−
1−
+ ...+
2
n
2·3
n
n
1
1
2
n−1
+
1−
1−
... 1 −
n!
n
n
n
<1+1+
<1+1+
1 1
1
1
+ +
+ ... + n
2 8 16
2
<1+1+
1
1 1
+ +
+ ...
2 8 16
<1+
156
1
1
1
1
+
+
+ ... +
2 2·3 2·3·4
n!
1
1−
1
2
=1+2=3
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25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
ii) Monotonie:
1
1
1
2
1
1−
+
1−
1−
+ ...
an = 1 + 1 +
2
n
3!
n
n
1
1
2
n−1
... +
1−
1−
... 1 −
n!
n
n
n
analog:
an+1
1
1
2
+
1−
1−
+ ...
3!
n+1
n+1
1
1
2
n
... +
1−
1−
... 1 −
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
1
=1+1+
2
1−
1
n+1
Wegen
1−
1
1
<1−
n
n+1
1−
2
1
<1−
usw.
n
n+1
y
1
1
< oder n + 1 > n
n+1
n
gilt an+1 > an
y
Die Folge {an } =
1+
1 n
n
ist konvergent.
Ihr Grenzwert heißt die Euler’sche Zahl e.
1 n
e = lim 1 +
= 2.718281828459045 . . .
n→∞
n
e ist nicht rational (e 6∈ Q).
a1 = 2
a2 = 2.25
..
.
a10000 = 2.718145
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
13.5.1. Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a
Unstetige Funktionen sind in der technischen Anwendung zwar selten, sie kommen aber vor. Ein Beispiel sind
Schmelz und Verdampfungsprozesse:
Der Wärmeinhalt einer Probe macht am Phasenübergang einen Sprung, W (T ) ist an der Stelle T = TS nicht
definiert. Weitere Beispiele von Funktionen, die an einer Stelle x = x0 nicht definiert sind:
sin(x)
definiert für alle x ∈ R, x 6= 0
x
0
An der Stelle x = 0 ergibt sich f (0) = nicht definiert!
0
1. g = f (x) =
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
157
13. Funktionen
Abb. 13.51.: Verdampfungs-bzw Schmelzwärme
2. y = f (x) =
x2 − 1
x−1
3. y = f (x) =
x+1
x
x ∈ R, x 6= 1, da f (1) =
x ∈ R, x 6= 0, da f (0) =
0
0
1
0
Alle Funktionen dieser Beispiele sind an einem Punkt x = a nicht definiert, jedoch in jeder Umgebung dieses
Punktes (Technisch: punktierte Umgebung Uε• (a) = Uε (a)\{a}).
Zur Untersuchung des Grenzwerts von f (x) an der Stelle x = x0 benutzt man eine Folge {xn } mit dem
Grenzwert x0 . Mit der Folge {xn } erhält man eine Funktionenfolge (besser eine Folge von Funktionswerten)
{fn } = {f (xn )} = f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ), . . .
Anschaulich:
Abb. 13.52.: Folge von Funktionswerten
Der Grenzwert der Funktion f (x) an der Stelle x = a wird durch den Wert der Funktionenfolge {fn } definiert:
158
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Definition:
f (x) sei eine Funktion, deren Definitionsbereich die Stelle x = a mit einer Umgebung Uε (a)
enthält. Haben alle Folgen der Funktionswerte {f (xn )} den Grenzwert g für jede beliebige
Folge {xn } mit lim xn = a, so heißt g der Grenzwert der Funktion f an der Stelle x = a:
n→∞
x→a
lim f (x) = g oder f (x) −→ g
x→a
Beispiel:
y = f (x) = x3 ; x = a = 4
b
; b ∈ R , b 6= 0
Folge {xn } = 4 −
n
(
)
b 3
{fn } = {f (xn )} =
4−
n
fn = 43 − 3 · 16 ·
b
b2
b3
+3·4· 2 − 3
n
n
n
lim fn = 43 − 0 + 0 − 0 = 43 = 64 ∀ b ∈ R
n→∞
Bei manchen Funktionen muß man zwischen dem rechts- und dem linksseitigen Grenzwert (siehe Skizze auf
158) unterscheiden.
Definition:
f (x) sei eine Funktion, deren Definitionsbereich x die rechtsseitige Umgebung des Punktes
x = a enthält: ( (a, a + ε) ⊂ x). Haben alle Folgen der Funktionswerte {f (xn )} den
Grenzwert g + für jede beliebige Folge {xn }, mit xn → a+ (und xn > a ∀ n ∈ N, so ist g +
der rechtsseitige Grenzwert der Funktion f (x) an der Stelle a:
+
lim f (x) = g + oder f (x) →x→a
x→a+
Der linksseitige Grenzwert lim f (x) = g − ist analog definiert.
x→a−
Satz:
Die Funktion f (x) mit entsprechendem Definitionsbereich hat an der Stelle x = a genau dann
einen Grenzwert, lim f (x) = g , wenn die rechts- und linksseitigen Grenzwerte von f (x) an der
x→a
Stelle x = a existieren und gleich sind
lim f (x) = lim f (x) = g
x→a+
25. September 2013
x→a−
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159
13. Funktionen
Zur konkreten Berechnung von Grenzwerten von Funktionen führen wir eine neue Variable ein. Damit ersetzen
wir die Folgen
{xn } , xn = a +
b
→ a für n → ∞
n
x = a + h, h → 0
durch
Beispiele:
1. y = f (x) =
x2 − 1
für x = 1:
x−1
(1 + h)2 − 1
1 + 2h + h2 − 1
= lim
h→0 1 + h − 1
h→0
1+h−1
lim f (x) = lim f (1 + h) = lim
x→1
h→0
= lim (2 + h) = 2
h→0
x+1
für x = 0:
x
x+1
1
i) lim f (x) = lim
; wähle Nullfolge {xn } =
x→0
x→0
x
n
2. y = f (x) =
= lim
n→∞
ii) Nullfolge {xn } =
1
−
n
1
n
+1
1
n
= lim (1 + n) = ∞ = lim f (x)
n→∞
x→0+
y
lim f (x) = −∞
x→0−
link- und rechtsseitiger Grenzwert von f(x) sind verschieden.
Graphisch:
y
Abb. 13.53.: links-und rechsseitiger Grenzwert verschieden
3. y = f (x) =
g(x)
x3 + 8
= 2
für x = −2:
h(x)
x + 3x + 2
g(x) = x3 + 8, h(x) = x2 + 3x + 2, g(−2) = h(−2) = 0
160
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25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Abspaltung der Nullstelle:
(x3 + 8) : (x + 2) = x2 − 2x + 4
(x2 + 3x + 2) : (x + 2) = x + 1
y
y
g(x) = (x + 2)(x2 − 2x + 4)
h(x) = (x + 2)(x + 1)
(−2
+(
ε(
+ 2) (−2 + ε)2 − 2(−2 + ε) + 4
g(−2 + ε)
((
(
= lim
lim f (x) = lim
(
(
ε→0
x→−2
ε→0 h(−2 + ε)
(−2
+(
ε(
+ 2)(−2 + ε + 1)
((
(
{z
}
|
(
(
ε6=0!
4 − 4ε + ε2 + 4 − 2ε + 4
ε→0
ε−1
= lim
12 − 6ε + ε2
= −12
ε→0
ε−1
= lim
4. y = f (x) =
sin(x)
für x = 0
x
Bei x = 0 hat man den unbestimmten Ausdruck f (0) =
0
0
Geometrische Betrachtung:
Flächen der Dreiecke bzw. des Kreissektors
1 2
r sin(α) · cos(α) <
2
1 2
r ·α
|2 {z }
r2 π ·
1
< r2 tan(α)
2
α
r2 α
=
2π
2
Abb. 13.54.: Flächen der Dreiecke bzw. des Kreissektors
y
sin(α) · cos(α) < α < tan(α) =
cos(α) <
sin(α)
cos(α)
α
1
<
sin(α)
cos(α)
1
sin(α)
>
> cos(α)
| {z }
cos(α)
α
| {z }
→1
y
sin(α)
→α→0 1
α
→1
sin(x)
=1
x→0
x
lim
25. September 2013
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161
13. Funktionen
Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen
Analog zu den Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Reihen, gibt es Regeln für das Rechnen mit
Grenzwerten von Funktionen:
Satz: Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen
Die beiden Funktionen f1 (x) und f2 (x) seien auf einer Umgebung des Punktes a definiert.
Sobald die Grenzwerte lim f1 (x) = g1 und lim f2 (x) = g2 existieren, dann existieren auch die
x→a
x→a
folgenden Grenzwerte und es gilt:
lim (f1 (x) ± f2 (x)) = lim f1 (x) ± lim f2 (x) = g1 ± g2
x→a
x→a
x→a
lim (f1 (x) · f2 (x)) = lim f1 (x) · lim f2 (x) = g1 · g2
x→a
x→a
x→a
f1 (x)
limx→a f1 (x)
g1
für g2 6= 0
lim
=
=
x→a f2 (x)
limx→a f2 (x)
g2
lim |f1 (x)| = | lim f1 (x)| = |g1 |
x→a
x→a
13.5.2. Die Stetigkeit von Funktionen
f (x) sei eine Funktion; ihr Definitionsbereich enthalte eine Umgebung des Punktes a. Folgende Situationen
sind möglich:
1. f (x) ist an der Stelle x = a nicht definiert.
Abb. 13.55.: Unstetige Funktion
2. Der Grenzwert lim f (x) an der Stelle x =
a existiert nicht.
x→a
Abb. 13.56.: Polstelle
162
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
3. Der Grenzwert lim f (x) an der Stelle x =
x→a
a existiert, entspricht aber nicht dem Funktionswert.
Abb. 13.57.: Funktionswert ungleich Grenzwert
4. lim f (x) = f (a)
x→a
Abb. 13.58.: stetige Funktion
In den Fällen 1 − 3 ist f (x) an der Stelle x = a unstetig, nur im Fall 4 ist f (x) an der Stelle x = a stetig.
Definition: Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion f (x), deren Definitionsbereich eine Umgebung der Stelle x = a enthält ist
genau dann stetig im Punkt x = a, wenn
i) f (x) an der Stelle x = a definiert ist,
ii) der Grenzwert lim f (x) = g, g ∈ R, existiert, und
x→a
iii) f (a) = g gilt.
Eine Funktion f (x) ist stetig im Intervall I, falls sie in jedem Punkt des Intervalls stetig ist.
Bemerkung:
Man kann zudem die rechts-bzw. linksseitige Stetigkeit von Funktionen definieren, indem man sich in der Definition oben auf rechts-bzw linksseitige Grenzwerte beschränkt.
Beispiele:
x2 − 1
unstetig bei x = 1!
x−1
zwar gilt lim f (x) = 2, aber f (1) existiert nicht, d.h. Bedingung ii) obiger Definition ist nicht
1. y = f (x) =
x→1
erfüllt.

 sin(x)
2. y = f (x) =
x

0
25. September 2013
für
x 6= 0
für
x=0
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163
13. Funktionen
ist unstetig bei x = 0, da lim f (x) = 1 aber f (0) = 0 (Bedingung iii) )
x→0
3. f (x) =
1 für x > 0
0 für x ≤ 0
lim f (x) = 0
x→0−
lim f (x) = 1
x→0+
y
lim f (x) existiert nicht
x→0
y
f (x) unstetig bei x = 0.
Definition: behebbare Unstetigkeitsstellen
Die Funktion f (x) sei auf dem punktiertem Intervall I\{a}, a ∈ I , definiert. Ist f (x) im
Punkt a rechts-und linksseitig stetig mit dem gleichen Grenzwert g , d.h. gibt
lim f (x) = lim f (x) = g,
x→a−
x→a+
so kann die Unstetigkeit von f (x) an der Stelle x = a durch die Definition f (a) = g behoben
werden. a heißt behebbare Unstetigkeitsstelle.
Beispiel:
1. (von S.163) f (x) =
(x − 1)(x + 1)
x2 − 1
=
x−1
x−1
lim f (x) = 2, lim f (x) = 2
x→1−
x→1+
definiere f (x)|x=1 = 2
y f (x) = x + 1 ist stetig.
Abb. 13.59.: behebbare Definitionslücke
(x − 1)2
; x ∈ R, x = +1, −1.
x2 − 1
(x − 1)2
f (x) =
(x + 1)(x − 1)
2. y = f (x) =
x−1
0
; lim f (x) = = 0
x + 1 x→1
2
x−1
definiere f (1) = 0
y f (x) =
x+1
i) x = 1 : f (x) =
164
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25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
ii) x = −1:
lim f (x) = lim
x→−1+
h→0
−1 + h − 1
−2 + h
= lim
= −∞
−1 + h + 1 h→0
h
2−h
−1 − h − 1
= lim
= +∞
h→0
h→0 −1 − h + 1
h
lim f (x) = lim
x→−1−
y
a) rechts-und linksseitiger Grenzwert verschieden.
b) Grenzwerte selbst existieren nicht
f (x) unstetig bei x = −1
13.5.3. Eigenschaften stetiger Funktionen
Hier werden in loser Folge eine Reihe von Sätzen aufgeführt, die die Eigenschaften stetiger Funktionen
beschreiben:
Satz:
Die Funktion f1 und f2 seien im Punkt x = x0 stetig. Dann sind in x = x0 auch die folgenden
Funktionen stetig:
f1 ± f2 , f1 · f2 ,
Beispiel: f (x) = tan(x) =
f1
für f2 (x0 ) 6= 0
f2
sin(x)
cos(x)
sin(x) stetig ∀ x ∈ R
cos(x) stetig ∀ x ∈ R, cos(x) = 0 für x =
y
tan(x)stetig ∀ x ∈ R außer x =
2n + 1
π, n ∈ N
2
2n + 1
π, n ∈ N.
2
Satz:
f sei im Punkt a ∈ Df und g sei im Punkt U0 = f (a) ∈ Dg stetig, und Wf ⊂ Dg . Dann ist auch
die zusammengesetzte Funktion
h = g ◦ f : x → h(x) = g(f (x))
stetig im Punkt a, und es gilt
lim g(f (x)) = g lim f (x) = g(f (a))
x→a
25. September 2013
x→a
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165
13. Funktionen
Beispiel:
s
x + 1
= g ◦ f (x)
h(x) = x − 1
g(x) =
y
p
x+1
|x|, f (x) =
unstetig bei x = 1
x−1
h(x) stetig ∀ x ∈ R\{1}.
Satz:
Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall [a, b] stetig ist, ist sie dort auch beschränkt.
Satz: Satz von Weierstraß
Die Funktion f (x) sei auf dem abgeschlossenen Intervall [a.b] stetig. Dann besitzt f (x) dort ein
absolutes Maximum M und ein absolutes Minimum m, d.h. es gibt mindestens ein xM ∈ [a, b]
und ein xm ∈ [a, b] so, dass gilt
m = f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) = M
∀ x ∈ [a, b]
Abb. 13.60.: Stetige Funktion im abgeschlossenem Intervall
Bemerkung: Aussage nur über die Existenz der absoluten Extrema!
166
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25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Beispiel:
f (x) =
1
;
1 + x2
x ∈ [−1, 3]
f (x) stetig ∀ x ∈ [−1, 3] (1 + x2 > 0 ∀ x ∈ R)
y
∃ absolutes Maximum/Minimum auf [−1, 3]
man findet(→ Differentialrechnung!)
f 0 (x) = −
1
· 2x = 0
(nx2 )2
M = f (0) = 1, m = f (3) =
y
x = 0 (x ∈ I)
1
.
10
xM = 0 xm = 3
Satz: Satz von Bolzano
Ist f (x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und gilt f (a) · f (b) < 0, dann gibt es
mindestens ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = 0.
f (a) · f (b) < 0
f (ξ) = 0
Abb. 13.61.: Satz von Bolzano
25. September 2013
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167
13. Funktionen
Satz: Zwischenwertsatz
Ist f (x) auf [a, b] stetig, und gilt f (a) 6= f (b), so gilt es für jedes λ zwischen f (a) und f (b)
mindestens ein ξ ∈ [a, b] mit f (ξ) = λ
Abb. 13.62.: Zwischenwertsatz
13.5.4. Grenzwerte von Funktionen für x → ±∞
Definition:
Die Funktion f (x) ist auf dem Intervall [a, ∞) definiert. Gilt für die Folge von Funktionswerten
{f (xn )}, mit xn →n→∞ ∞:
lim f (x) = g
x→∞
so konvergiert f (x) für x → ∞ gegen den Funktionswert g . Entsprechendes gilt für den
Grenzwert x → −∞.
Beispiele:
1. y = f (x) =
1
, k ∈N
xk
1
1
= lim k = 0
k
x→∞ x
x→−∞ x
lim
168
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25. September 2013
13.5. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Abb. 13.63.: x-Achse ist Asymptote
2. y = f (x) =
x2 + 3x + 1
x2 + 1
1 + x3 + x12
x2 + 3x + 1
lim f (x) = lim
= lim
x→∞
x→∞
x→∞
x2 + 1
1 + x12
limx→∞ 1 + x3 + x12
1+0+0
=
=1
=
1
1+0
limx→∞ 1 + x2
Es gelten weiterhin die wichtigen Grenzwerte
(Beweis nach der Differentialrechnung):
ex
=∞ , n≥0
x→∞ xn
lim
lim
x→∞
ln(x)
=0 , n>0
xn
also: ex wächst schneller als jede Potenz xn , mit n ≥ 0
ln(x) wächst langsamer als jede Potenz xn , mit n > 0.
es gilt sogar:
ax
=∞
x→∞ xn
| {z }
lim
ax = ex ln(a)
a>1
25. September 2013
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169
13. Funktionen
13.6. Ganzrationale Funktionen
Definition:
Eine Funktion f : R → R mit
n
f (x) = an x + an−1 x
n−1
+ . . . + a1 x + a0 =
n
X
ai xi
i=0
und n ∈ N, ai ∈ R, k = 0, . . . , n heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades oder Polynom
n-ten Grades. Die Zahlen ai ∈ R heißen die Koeffizienten des Polynoms.
Bemerkungen:
i) Polynome sind sehr einfache Funktionen
ii) dienen häufig zur (stückweisen) Approximation komplizierter Funktionen
(Stichwort „Taylorreihe“)
Beispiele:
1. Die Konstante: f (x) = a0 :Polynom vom Grad 0
2. Lineare Funktion: f (x) = a0 + a1 x
y
f (0) = a1 , tan(x) = a1 .
Abb. 13.64.: spez.Funktion: Lineare Funktion
3. Quadratische Funktion:
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2
Normalform durch quadratische Ergänzung:
f (x) = a2
a1
x2 + 2 ·
x+
2a2
a1
2a2
2 !
−
a21
+ a0
4a2
a1 2
a2
= a2 x +
+ a0 − 1
2a2
4a2
= a(x − x0 )2 + y0
170
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25. September 2013
13.6. Ganzrationale Funktionen
Abb. 13.65.: Quadratische Funktion
Nullstellen von f (x):
f (x) = 0 = a(x − x0 )2 + y0
y
(x − x0 )2 = −
x1,2
x1,2
(
für
y0
a
s
r
y0
a1
a0
a21
= x0 ± − = −
±
−
2
a
2a2
4a2 a2
q
1
=
−a1 ± a21 − 4a2 a0
2a2
)
√
1
=
b 2a
−b ± b2 − 4ac
ax2 + bx + c = 0
4. Polynome dritten und höheren Grades
y = f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn
Berechnung der Funktionswerte nach dem HORNER-Schema:
Umformung:
y = a0 + x a1 + a2 x + a3 x2 + . . . + an xn−1
= a0 + x a1 + x a2 + a3 x + . . . + an xn−2
= a0 + x (a1 + x (a2 + x (a3 + . . . + x (an−1 + an x) . . .)))
Anordnung im folgenden HORNER-Schema:
an
an
an−1
an−2
···
a0
an · x
(an−1 + an x)x
(a1 + x(a2 . . . an x) . . .) · x
↓
↓
↓
% an−1 + an x % an−2 + x(an−1 + an x) · · · a0 + x · (a1 + x(a2 . . . an x) . . .) = f (x)
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171
13. Funktionen
y
zur Berechnung sind nötig: n Additionen und n Multiplikationen
statt der Berechnung der Potenzen bis zur n-ten Ordnung.
y
sehr gut geeignet für die numerische Auswertung von Polynomen
(Grad n > 3) auf dem Taschenrechner oder auf dem Computer.
Beispiel: f (x) siehe S.172
Bestimmung der Nullstellen:
Geschlossene Formeln für Nullstellen bei Polynomen bis zum dritten Grad, besser jedoch
numerische Verfahren für n ≥ 3.
Zur allgemeinen Situation der Nullstellen von Polynomen:
Satz:
ist f ein Polynom n-ten Grades, und ist x1 ∈ R eine Nullstelle von f, f (x1 ) = 0, so
gilt
f (x) = (x − x1 ) · g(x) ∀ x ∈ R.
Dabei ist g(x) ein Polynom vom Grade n − 1.
Beispiele:
f (x) = x3 − 67x − 126 ; f (x1 ) = 0 für x1 = −2
(x3 − 67x − 126) : (x + 2) = x2 − 2x − 63
x3 + 2x2
− 2x2 − 67x
+ 2x2 + 4x
− 63x − 126
y
f (x)
|{z}
vom 3. Grad
= (x + 2) · (x2 − 2x − 63)
|
{z
}
g(x) vom 2. Grad
Polynomdivision mit Hilfe des Hornerschemas:
f (x) = (x − x1 ) · g(x)
f (x) =
n
X
i=0
172
ai x
i
; g(x) =
n−1
X
bi xi
i=0
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13.6. Ganzrationale Funktionen
Horner Schema:
an
x1
an
q
bn−1
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an−1
an−2
···
a1
a0
x1 an
x1 (an−1 + x1 an )
b1 x1
b0 x1
% an−1 + x1 an an−2 + x1 (an−1 + x1 an )
a1 + b1 x1 f (x1 )
q
q
q
bn−2
bn−3
b0
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173
13. Funktionen
Angewandt auf obiges Beispiel:
0 −67 126
−2 +4 126
1 −2 −63 0
1
x1 = −2
y
g(x) = x2 − 2x − 63
∀ fehlt: Beweis für die Polynomdivision mit Hilfe des Hornerschemas
Satz:
ist f ein Polynom n-ten Grades mit n reellen, verschiedenen Nullstellen x1 , . . . , xn , dann gilt
f (x) = an (x − x1 ) · (x − x2 ) · . . . · (x − xn ) = an
n
Y
(x − xi )
i=1
Bemerkungen:
i) Obiger Satz folgt aus dem vorangegangenen durch rekursive Anwendung auf
g(x)
ii) Die Faktoren (x − x1 ), i = 1, . . . , n, heißen Linearfaktoren.
Beispiel:
2
f (x) = x3 − 67x − 126 = (x + 2) · ( x
| − 2x
{z − 63} )
=0 für x1 =9, x2 =−7
= (x + 2)(x − 9)(x + 7)
Satz: (Fundamentalsatz der Algebra)
Ist f (x) ein Polynom n-ten Grades mit reellen Koeffizienten, dann hat das Polynom genau n
Nullstellen, die reell oder komplex, einfach oder mehrfach sein können.
Sind die x1 , . . . , xr reelle Nullstellen der Vielfachheit %1 , . . . , %r und die xr+1 , . . . , xs
komplexe Nullstellen mit den konjungiert komplexen Nullstellen x∗r+1 , . . . , x∗s , mit der
Vielfachheit %r+1 , . . . , %s , so gilt
y = f (x) = an (x − x1 )%1 . . . (x − xr )%r · [(x − xr+1 )(x − x∗r+1 )]%r+1 . . . [(x − xs )(x − x∗s )]%s
mit
%1 + %2 + . . . + %r + 2%r+1 + . . . + 2%s = n.
174
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25. September 2013
13.7. Gebrochenrationale Funktionen
13.7. Gebrochenrationale Funktionen
Definition:
Eine gebrochenrationale Funktion ergibt sich als der Quotient zweier quadratischer Funktionen
pm (x) und qn (x):
Pm
k
pm (x)
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0
k=0 ak x
P
y=
=
=
n
k
qn (x)
bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0
k=0 bk x
Bemerkungen:
1. Der maximale Definitionsbereich ist ganz R außer den Nullstellen des Nenners.
2. Die Funktion heißt echt gebrochen, falls n > m, somit (n ≤ m) heißt sie unecht gebrochen.
Beispiele:
1. y =
4x2 + 3x − 1
x3 + x − 1
echt gebrochen
2. y =
x3 + 3x + 5
x−2
unecht gebrochen
jede unecht gebrochene Funktion kann in eine ganzrationale und in eine echt gebrochenrationale Funktion
zerlegt werden:
2
(x3 − 3x + 5) : (x − 2) = x
2x + 1} +
| + {z
ganz
7
− 2}
|x {z
=
echt gebrochen
x3 − 3x + 5
x−2
13.7.1. Nullstellen, Definitionslücken, Pole
Gebrochenrationale Funktionen können an einzelnen Punkten x ∈ R Nullstellen, Definitionslücken oder k -fache
Pole aufweisen.
x1 ∈ R ist Nullstelle von r(x) =
x1 ∈ R
ist Polstelle von
r(x) =
x1 ∈ R ist Def.lücke von r(x) =
pm (x)
qn (x)
pm (x)
qn (x)
pm (x)
qn (x)
f alls pm (x1 ) = 0, qn (x1 ) 6= 0
f alls pm (x1 ) 6= 0, qn (x1 ) = 0
f alls pm (x1 ) = 0, qn (x1 ) = 0
bei einer k -fachen Polstelle x1 ∈ R gilt: pm (x1 ) 6= 0, qn (x) = (x − x1 )k · g(x) mit g(x1 ) 6= 0.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
175
13. Funktionen
Beispiele:
1. y = f (x) =
x−1
; x ∈ R, x 6= −2
x+2
Abb. 13.66.: NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 1
y = f (x) =
x−1
=
x+2
1
|{z}
ganzrationaler Anteil
−
3
x
+
| {z 2}
echt gebrochenrationaler Anteil
Der ganzrationaler Anteil bestimmt das asymptotisches Verhalten von f (x), der echt gebrochenrationaler Anteil verschwindet im Limes x → ±∞:
lim f (x) = 1
x→±∞
2. y = f (x) =
x2
; x ∈ R, x 6= −1
(x + 1)2
Abb. 13.67.: NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 2
3. y = f (x) =
176
x2 − 4
; x ∈ R, x 6= 2
(x − 2)
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13.7. Gebrochenrationale Funktionen
Abb. 13.68.: NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 3
Def: y = f (x) =
25. September 2013
(x + 2)(x − 2)
=: x + 2
x−2
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177
13. Funktionen
13.7.2. Asymptotisches Verhalten, d.h. Verhalten für x → ±∞
Unterscheidung zwischen echt und unecht gebrochen rationalen Funktionen
i) echt gebrochenrational:
f (x) =
pm (x)
am xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0
=
qn (x)
bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0
→ 0 für x → ∞
→
am
bn xn−m
Beispiel:
y = f (x) =
x
x→∞
−→ 0
(x + 1)2
ii) unecht gebrochenrational:
Zerlegung in ganzrationalen und echt gebrochenrationalen Anteil:
y = f (x) =
pm (x)
; m≥n
qn (x)
=
pm−n (x)
| {z }
+
asympt. Form für x→±∞
pl (x)
q (x)
| n{z }
mit l < n
→0 für x→±∞
Beispiel: (Nr.2 von S.175)
y = f (x) =
x3 − 3x + 5
7
= x2 + 2x + 1 +
x−2
x−2
= (x + 1)2 +
7
x−2
Abb. 13.69.: unecht gebr.rationale Funktion: Beispiel 2
178
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13.7. Gebrochenrationale Funktionen
13.7.3. Partialbruchzerlegung:
Jede (echte) gebrochenrationale Funktion kann in eine Summe sogenannter Partialbrüche zerlegt werden. Mit
den bekannten Nullstellen des Nenners x1 , . . . , xn gilt:
qn (x) = bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0
= b0 (x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn )
Zerlegt in Partialbrüche erhält man z.Bsp.:
f (x) =
c2
cn
c1
pm (x)
+
+ ... +
=
qn (x)
x − x1 x − x2
x − xn
Die Partialbruchzerlegung ist wichtig für die Integration gebrochenrationaler Funktionen.
Die Methode zur Berechnung der Koeffizienten c1 , . . . , cn wird daher im Rahmen der
Integralrechnung behandelt.
Beispiel:
f (x) =
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x+1
A
B
2
3
=
+
=−
+
(x − 1)(x − 2)
x−1 x−2
x−1 x−2
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179
13. Funktionen
13.8. Potenzfunktionen
Definition:
Unter einer Potenzfunktion versteht man eine Funktion der Form
f (x) = xr , r ∈ R
13.8.1. Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
f (x) = xn , n ∈ Z, x ∈ R
i) n gerade , n = 2k , k ∈ N
Abb. 13.70.: Potenzfunktionen: gerade Potenz
Symmetrie: f (−x) = f (x) „gerade Funktion“
ii) n ungerade, n = 2k + 1 , k ∈ N
Abb. 13.71.: Potenzfunktionen: ungerade Potenz
Symmetrie: f (−x) = −f (x) „ungerade Funktion“
180
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25. September 2013
13.8. Potenzfunktionen
iii) n negativ-ganzzahlig
y = f (x) = x−n =
1
x ∈ R, x 6= 0 echt gebrochenrationale Funktion
xn
Abb. 13.72.: Potenzfunktionen: negativ-ganzzahlige Potenz
13.8.2. Wurzelfunktionen
Sind die Umkehrfunktionen zu obigen Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten:
1
y = f (x) = x n =
Def.bereich :
√
n
x
n gerade : x > 0
n ungerade : x ∈ R
Umkehrfunktion:
√
1
f = xn , f −1 = x n = n x
√
1
f −1 ◦ f = n xn = (xn ) n = x
25. September 2013
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181
13. Funktionen
Abb. 13.73.: Wurzelfunktion: n gerade
182
Abb. 13.74.: Wurzelfunktion: n ungerade
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25. September 2013
13.8. Potenzfunktionen
13.8.3. Potenzfunktion mit rationalem Exponenten
m
y = f (x) = x n =
√
n
xm ; m ∈ Z, n ∈ N, x > 0
für manche Exponenten lässt sich der Def.bereich erweitern (m, n ∈ N, x ≥ 0)
y = xq , q ∈
q = 0 (x0 = 1)
Abb. 13.75.: Potenzfunktion: rationaler Exponent
13.8.4. Das Rechnen mit Potenzen
Satz: (Das Rechnen mit Potenzen)
Es seien q1 , q2 ∈ Q. Dann gilt für alle x, x1 , x2 ∈ R+
(x1 x2 )q1 = xq11 · xq21
x
q1 +q2
x
q1 q2
q1
=x ·x
q2
q1 q2
= (x )
(13.8)
(13.9)
(13.10)
Die Erweiterung dieses Satzes auf q ∈ R, sowie Potenzfunktionen mit reellen Exponenten werden im Zusammenhang mit der Exponential- bzw. Logarithmusfunktion behandelt.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
183
13. Funktionen
13.9. Algebraische Funktionen
13.9.1. Definition der algebraischen Funktion
Definition:
Algebraische Funktionen sind die Lösungen einer algebraischen Gleichung n-ten Grades:
an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + . . . + a1 y(x) + a0 (x) = 0
ak (x), k = 0, . . . , n, sind Polynome beliebigen Grades in x.
Beispiele:
1.
y
3y+8x2 − 4x − 1 = 0
1
y(x) = (1 + 4x − 8x2 ) ganzrationale Funktion
3
2.
(x + 1)y+8x2 − 4x − 1 = 0
y
y(x) =
−8x2 + 4x + 1
gebrochenrationale Funktion
x+1
3.
y2 − x + 1 = 0
√
y y =± x−1
Wurzelfunktion
(irrationale Funktion.)
13.9.2. Allgemeine Gleichungen 2.Grades, Kegelschnitte
Allgemeine Gleichung der Schnittpunkte einer Ebene mit einem Kegel (Kegelschnitt):
Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 (A2 + B 2 6= 0)
(Symmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen;
somit:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0)
A, B, C, D, E ∈ R, konstant.
Folgende verschiedene Kegelschnitte können auftreten:
184
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25. September 2013
13.9. Algebraische Funktionen
Kreis
Ellipse
Hyperbel
Parabel
25. September 2013
A=B
A · B > 0, A 6= B
A·B <0
A = 0, B 6= 0 oder B = 0, A 6= 0
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185
13. Funktionen
i) Kreis
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
Mittelpunkt in (x0 , y0 ), Radius r Menge aller
Punkte, die vom Mittelpunkt M den gleichen
Abstand haben.
Aufgelöst nach y :
y(x) = y0 ±
p
r2 − (x − x0 )2
oberer und unterer Halbkreis.
Abb. 13.76.: Kreis
ii) Ellipse
x − x0
a
2
+
y − y0
b
2
=1
Mittelpunkt in (x0 , y0 ).
Menge aller Punkte mit
F1 P + F2 P =konstant= 2a
Aufgelöst nach y :
y(x) = y0 ±
bp 2
a − (x − x0 )2
a
Abb. 13.77.: Ellipse
Bezeichnungen:
M
F1 , F2
a, b
e
Mittelpunkt
Brennpunkte
große (kleine) Halbachse: a2 = e2 + b2
Brennweite
iii) Hyperbel
186
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.9. Algebraische Funktionen
x − x0
a
2
−
y − y0
b
2
=1
Mittelpunkt in (x0 , y0 ).
Menge aller Punkte mit
F1 P − F2 P =konstant= 2a
Aufgelöst nach y :
y(x) = y0 ±
bp
(x − x0 )2 − a2
a
Asymptoten: y = y0 ±
b
(x − x0 )
a
Abb. 13.78.: Hyperbel
Bezeichnungen:
M
F1 , F2
S1 , S2
a
b
e
Mittelpunkt
Brennpunkte
Scheitelpunkte
große (reelle) Halbachse
kleine (imaginäre) Halbachse
Brennweite: e2 = a2 + b2
iv) Parabel
(y − y0 )2 = 2p(x − x0 )
Mittelpunkt in (x0 , y0 ).
Menge aller Punkte mit gleichem Abstand:
F P + F L =konstant.
„L“=
b Leitlinie
Aufgelöst nach y :
y(x) = y0 ±
p
2p(x − x0 )
Abb. 13.79.: Parabel
Bezeichnungen:
p
S
F
„Parameter“ = Abstand vom Brennpunkt und Leitlinie
Scheitelpunkt der Parabel
Brennpunkt, Brennweite: e = F S =
p
.
2
Beispiel:
25. September 2013
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187
13. Funktionen
2x2 − 6x + 2y 2 + 4y = 11.5
Typ: Kreis(A = B)
quadratische Ergänzung:
2(x2 − 3x + 1.52 − 1.52 ) + 2(y 2 + 2y + 1 − 1) = 11.5
2(x − 1.5)2 − 4.5 + 2(y + 1)2 − 2 = 11.5
(x − 1.5)2 + (y + 1)2 =
y
18
= 9 = r2
2
x = 1.5, y0 = −1, r = 3
|0
{z
}
M
188
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25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
13.10. Trigonometrische Funktion
Aus der ebenen Trigonometrie bekannt:
b
r
a
cos(α) =
r
sin(α) =
α im Gradmaß
Abb. 13.80.: Dreieck
Nun α im Bogenmaß:
Definition:
Unter dem Bogenmaß x eines Winkels α (im Gradmaß) versteht man die Länge des Kreisbogens,
der vom Winkel α im Einheitskreis (Radius r = 1) aufgespannt wird.
Winkel α
y
Bogen des Kreises vom Radius
x=
2π
·α
360
Bogenmaß: x =
π
·α
180
Abb. 13.81.: Einheitskreis: Kreisbogen x
Gegenüberstellung spezieller Werte von Bogenmaß und Gradmaß:
α
x
0
0
45
90
135
π
4
π
2
3π
4
180
π
270
3π
2
360
2π
Bemerkung:
1. positives Bogenmaß gegen den Uhrzeigersinn, „mathematisch positiv“.
2. negatives Bogenmaß im Uhrzeigersinn
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
189
13. Funktionen
a) Sinus-und Kosinusfunktion
Abb. 13.82.: Einheitskreis: Sinus -u. Kosinusfunktion
Definition: (Sinus und Kosinus)
(ξ, η) sei ein Punkt P auf dem Einheitskreis, P0 sei der Punkt (1, 0). Bezeichnet x das Bogenmaß
P0 P , so wird jedem Wert x ein Punkt P = (ξ, η) zugeordnet. Dessen Koordinaten werden mit
Kosinus und Sinus von x bezeichnet:
ξ = cos(x); η = sin(x)
Spezielle Werte von cos(x) und sin(x): (vgl. Bild oben)
π
4
π
2
x
0
sin(x)
0
√
1
2
2
1
cos(x)
1
2
2
0
√
1
3π
4
π
3π
2
2π
2
√
− 12 2
0
−1
0
−1
0
1
√
1
2
Bemerkung:
Für 0 < x <
190
π
entspricht diese Definition der Definition in der ebenen Trigonometrie.
2
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
Abb. 13.83.: Sinus -u. Kosinusfunktion
Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion:
Defbereich
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
Maximum
Minimum
y = sin(x)
x∈R
|y| ≤ 1
2π
y = cos(x)
x∈R
|y| ≤ 1
2π
ungerade
gerade
xk = k · π xk = 2k + 21 π
xk = 2k + 23 π
xk = k + 12 π
xk = 2kπ
xk = (2k + 1)π
sin(−x) = − sin(x); cos(−x) = cos(x)
k∈Z
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
Aus dem Graphen von sin(x) und cos(x); bzw. aus Sätzen über ähnliche Dreiecke ergibt sich:
π
sin x +
= cos(x)
2
π
= − sin(x)
cos x +
2
Abb. 13.84.: Beziehungen: Sinus- und Kosinusfunktion
durch Translation x → x −
π
:
2
π
sin(x) = cos x −
2
π
cos(x) = − sin x −
2
usw. s.verschiedene Formelsammlungen.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
191
13. Funktionen
„Trigonometrischer Pythagoras“(Papula):
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
(klar aus der Definition)
Additionstheoreme:
sin(x1 ± x2 ) = sin(x1 ) cos(x2 ) ± cos(x1 ) sin(x2 )
cos(x1 ± x2 ) = cos(x1 ) cos(x2 ) ∓ sin(x1 ) sin(x2 )
Spezialfall: (x1 = x2 )
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
= 1 − 2 sin2 (x)
= 2 cos2 (x) − 1
192
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
Mit den Identitäten
x1 =
x1 + x2 x1 − x2
x1 + x2 x1 − x2
+
= a1 + a2 ; x2 =
−
= a1 − a2
2
2
2
2
ergeben sich die Beziehungen:
x1 ± x2
2
x1 + x2
x1 − x2
x1 + x2
x1 − x2
sin(x1 ) = sin
cos
+ cos
sin
2
2
2
2
x1 + x2
x1 − x2
x1 + x2
x1 − x2
sin(x2 ) = sin
cos
− cos
sin
2
2
2
2
x1 + x2
x1 − x2
sin(x1 ) + sin(x2 ) = 2 sin
cos
2
2
sin(a1 ± a2 ) = sin(a1 ) cos(a2 ) ± cos(a1 ) sin(a2 ); a1,2 =
y
und auf ähnliche Weise:
x1 − x2
2
x1 − x2
x1 + x2
cos
cos(x1 ) + cos(x2 ) = 2 cos
2
2
x1 + x2
x1 − x2
cos(x1 ) − cos(x2 ) = −2 sin
sin
2
2
sin(x1 − x2 ) = 2 cos
x1 + x2
2
sin
weitere Formeln siehe jede beliebige Formelsammlung!
b) Tangens- und Kotangensfunkion
Definition: (Tangens- und Kotangens)
25. September 2013
tan(x) =
sin(x)
x ∈ R, cos(x) 6= 0
cos(x)
cot(x) =
cos(x)
x ∈ R, sin(x) 6= 0
sin(x)
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193
13. Funktionen
Darstellung von tan(x) und cot(x) am Einheitskreis:
Abb. 13.85.: Einheitskreis:Tangens und Kotangens
Entsprechend dem Strahlensatz gilt:
tan(x)
sin(x)
=
= tan(x)
cos(x)
1
sowie
cot(x)
cos(x)
=
= cot(x)
sin(x)
1
Graph der Tangens- und Kotangensfunktion
Abb. 13.86.: Tangens und Kotangens
194
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
Eigenschaften der Tangens- und Kotangensfunktion:
Defbereich
y = tan(x)
y = cot(x)
x∈R
x∈R
x 6= k +
Wertebereich
Periode
Symmetrie
Nullstellen
Pole
1
2
π
y∈R
π
ungerade
xk = k · π
xk = k + 21 π
x 6= kπ
k∈Z
y∈R
π
ungerade xk = k +
1
2
π
xk = k · π
k∈Z
zu Periode)
sin(x + π) = − sin(x)
cos(x + π) = − cos(x)
tan(x + π) = tan(x)
y
cot(x + π) = cot(x)
zu Symmetrie)
tan(−x) = − tan(x), cot(−x) = − cot(x) wg. sin(−x) = − sin(x)
Additionstheoreme
tan(x1 + x2 ) =
sin(x1 + x2 )
sin(x1 ) cos(x2 ) + cos(x1 ) sin(x2 )
=
cos(x1 + x2 )
cos(x1 ) cos(x2 ) − sin(x1 ) sin(x2 )
tan(x1 + x2 ) =
tan(x1 ) + tan(x2 )
1 − tan(x1 ) tan(x2 )
für cos(x1 ) = 0 ∧ cos(x2 ) 6= 0
analog
cot(x1 + x2 ) =
25. September 2013
cot(x1 ) cot(x2 ) − 1
cot(x1 ) + cot(x2 )
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195
13. Funktionen
c) Anwendungen der trigonometrischen Funktionen
Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen):
Die zeitabhängigkeit einer großen Anzahl von periodischen physikalischen Vorgängen wird
durch sogenannte harmonische Schwingungen beschrieben. Beispiele dafür sind das Federpendel
m · a(t) = −k · x(t)
a(t) =
y
d2
x(t)
dt
x(t) = A sin(ωt + ϕ)
Abb. 13.87.: harmonische Schwingung: Federpendel
oder Wechselstrom/spannung in elektrischen Netzwerken:
U (t) = U0 sin(ωt + ϕ)
Abb. 13.88.: Wechselstrom/spannung
Bezeichnungen:
Amplitude
Phase
Kreisfrequenz
Periode
A
ϕ
ω = 2π
T
T
x(t + T ) = A sin(ω(t + T ) + ϕ) = A sin(ωt + 2π + ϕ)
A sin(ωt + ϕ)
= x(t)
Bedeutung der Konstanten:
∧
i) ω = Kreisfrequenz
ω größer y T
ω kleiner y T
196
kleiner
größer
„Vorgang schneller“
„Vorgang langsamer“
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
ii) ϕ: Phasenlage
ϕ verschiebt Kurve entlang der x-Achse
∧
iii) A = Amplidute
A größer/kleiner: Amplidute größer/kleiner.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
197
13. Funktionen
Überlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen
)
y1 = A1 sin(ωt + ϕ1 )
y2 = A2 sin(ωt + ϕ2 )
gleiche Frequenz ω !
y = y1 + y2 = A1 (sin(ωt) cos(ϕ1 ) + cos(ωt) sin(ϕ1 ))+
A2 (sin(ωt) cos(ϕ2 ) + cos(ωt) sin(ϕ2 ))
= (A1 cos(ϕ1 ) + A2 cos(ϕ2 )) sin(ωt)+
|
{z
}
a
(A1 sin(ϕ1 ) + A2 sin(ϕ2 )) cos(ωt)
|
{z
}
b
= a sin(ωt) + b cos(ωt)
!
= A sin(ωt + ϕ)
y
A=
p
b
a
a2 + b2 , sin(ϕ) = , cos(ϕ) =
A
A
y
tan(ϕ) =
b
a
Dieses Argument kann man rekursiv anwenden.
Satz:
Durch Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz entsteht wieder eine Schwingung
gleicher Frequenz
n
X
Ai sin(ωt + ϕi ) = A sin(ωt + ϕ)
i=1
Darstellung und Überlagerung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
Dies ist die grafische Lösung obigen überlagerungsproblems:
A sin(ωt + ϕ) = A1 sin(ωt + ϕ1 ) + A2 sin(ωt + ϕ2 )
198
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.10. Trigonometrische Funktion
Abb. 13.89.: Zeigerdiagramm: Überlagerung von Schwingungen
Überlagerung von Schwingungen verschiedener Frequenzen
y1 = A1 sin(ω1 t + ϕ1 ) ; y2 = A2 sin(ω2 t + ϕ2 )
y = y1 + y2 = A1 sin(ω1 t + ϕ1 ) + A2 sin(ω2 t + ϕ2 )
benutzt:
sin(γ) = sin
γ+δ
2
cos
γ−δ
2
+ cos
γ+δ
2
sin
γ−δ
2
sin(x1 + x2 ) = sin(x1 ) cos(x2 ) + cos(x1 ) sin(x2 )
γ+δ
γ−δ
γ+δ
δ−γ
sin(δ) = sin
cos
+ cos
sin
2
2
2
2
wähle γ = ω1 t + ϕ1 ; δ = ω2 t + ϕ2
y
y = A1 sin
ϕ1 + ϕ2
ω1 + ω2
t+
2
2
cos
ω1 − ω2
ϕ1 − ϕ2
t+
2
2
+ cos(ωt + ϕ) sin(∆ωt + ∆ϕ) +
A2 {sin(ωt + ϕ) cos(∆ωt + ∆ϕ) − cos(ωt + ϕ) sin(∆ωt + ∆ϕ)}
= (A1 + A2 ) sin(ωt + ϕ) cos(∆ωt + ∆ϕ) + (A1 − A2 ) cos(ωt + ϕ) sin(∆ωt + ∆ϕ)
Sonderfall: A1 = A2 = A
y = 2A cos(∆ωt + ∆ϕ) · sin(ωt + ϕ)
{z
} |
{z
}
|
modulierte Amplitude
25. September 2013
Stichwort Schwebung! TS =
Schwingung
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
4π
ω1 − ω2
199
13. Funktionen
Abb. 13.90.: Sonderfall: Überlagerung von Schwingungen
13.11. Arcusfunktionen
Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h. insbesondere, dass es zu einem vorgegebenen y -Wert
keinen oder unendlich viele x-Werte gibt. Bild einfügen Damit sind die trigonometrischen Funktionen in diesem
trivialen Sinn nicht umkehrbar. Vielmehr muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden. Der maximale
Bereich der Umkehrbarkeit wird durch die jeweiligen Monotonie-Intervalle bestimmt.
a) Arkussinus
Abb. 13.91.: Arcussinus
Eigenschaften des Arkussinus
y = sin(x)
π
π
− ≤x≤
2
2
π
π
− ≤x≤
2
2
−1 ≤ y ≤ 1
y = arcsin(x)
Nullstellen
x0 = 0
−1 ≤ x ≤ 1
π
π
− ≤x≤
2
2
x0 = 0
Symmetrie
ungerade
ungerade
Monotonie
streng monoton wachsend
s. m. wachsend
Defbereich
Wertebereich
b) Arkuskosinus
Eigenschaften des Arkuskosinus
200
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.11. Arcusfunktionen
Abb. 13.92.: Arcuscosinus
Defbereich
Wertebereich
y = cos(x)
0≤x≤π
y = arccos(x)
0≤x≤π
−1 ≤ x ≤ 1
−1 ≤ y ≤ 1
0≤y≤π
π
2
Nullstellen
x0 =
x0 = 1
Symmetrie
-keine-
-keine-
Monotonie
streng monoton fallend
streng m. fallend
c) Arkustangens
Abb. 13.93.: Arcustangens
Eigenschaften des Arkustangens
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
201
13. Funktionen
y = arctan(x)
Nullstellen
x0 = 0
−∞ < x < ∞
π
π
− <y<
2
2
x0 = 0
Symmetrie
-ungerade-
-ungerade-
Monotonie
streng monoton wachsend
streng m. wachsend
Defbereich
Wertebereich
Asymptoten
202
y = tan(x)
π
π
− <x<
2
2
π
π
− ≥x≥
2
2
−∞ < y < ∞
x=±
π
2
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
y=±
π
2
25. September 2013
13.11. Arcusfunktionen
d) Arkuskotangens
Abb. 13.94.: Arcuskotangens
Eigenschaften des Arkustangens
y = cot(x)
0<x<π
y = arccot(x)
0<x<π
−∞ < x < ∞
−∞ < y < ∞
π
x0 =
2
0<y<π
Symmetrie
-keine-
-keine-
Monotonie
streng monoton fallend
streng m. fallend
x = 0, x = π
y = 0, y0π
Defbereich
Wertebereich
Nullstellen
Asymptoten
keine
e) Allgemeine Zusammenhänge zwischen den Arkusfunktionen und den trigonometrischen Funktionen
i) Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen
sin(x)
sin(x)
sin(x)
cos(x)
p
± 1 − sin2 (x)
tan(x)
cot(x)
sin(x)
p
±p1 − sin2 (x)
± 1 − sin2 (x)
sin(x)
cos(x)
p
± 1 − cos2 (x)
cos(x)
p
± 1 − cos2 (x)
cos(x)
cos(x)
p
± 1 − cos2 (x)
tan(x)
tan(x)
cot(x)
1
p
± 1 + tan2 (x)
1
p
± 1 + tan2 (x)
p
± 1 + cot2 (x)
cot(x)
p
± 1 + cot2 (x)
1
cot(x)
tan(x)
1
tan(x)
cot(x)
Vorzeichenwahl:
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
203
13. Funktionen
sin(x)
cos(x)
tan(x)
cot(x)
204
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
−
+
−
−
Quadrant
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.11. Arcusfunktionen
Aus diesen Zusammenhängen ergeben sich entsprechende Zusammenhänge der Arcusfunktionen.
Zum Beispiel:
p
1 − sin2 (x)
cot(x) =
sin(x)
für x ∈ 0,
πi
2
y
sin2 (x) · cot2 (x) = 1 − sin2 (x)
sin2 (x)(1 + cot2 (x)) = 1
(
1
sin(x) = p
1 + cot2 (x)
ersten Tabelle zu entnehmen!
!
1
x = arcsin
)
← auch direkt aus der
für x ∈ 0,
p
1 + cot2 (x)
setze cot(x) = z d.h. x =arccot(z)
x ∈ 0, π2
πi
2
y
arccot(z) = arcsin
1
√
1 + z2
z ∈ [0, ∞)
Auf diese Weise erhält man insgesamt:
arcsin(x)
arccos(x)
arctan(x)
arccot(x)
arccos
arcsin
√
1 − x2
für x ∈ [0, 1] arcsin
√ x
1+x2
x ∈ R
arcsin
x∈
√ 1
1+x2
R+
0
√
1 − x2
x ∈ [0, 1]
arctan
√ x
1−x2
x ∈ (−1,
√ 1) 1−x2
arctan
x
1
arccos √1+x
2
+
x ∈ R0 x
arccos √1+x
2
x∈R
x ∈ (0, 1)
arctan
x∈
1
√
arccot
1−x2
x
x ∈(0, 1] arccot √ x
1−x2
x ∈ (−1, 1)
1
arccot x
x ∈ R+
x
+
R
Ein weiteres Beispiel:
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
205
13. Funktionen
1.
sin(x) =
h πi
p
1 − cos2 (x) x ∈ 0,
2
setze z = cos(x)
x = arccos(z)
y
y
z = arccos(z) = arcsin
p
1 − z 2 , z ∈ [0, 1]
2.
cot(x)
cos(x) = p
1 + cot2 (x)
πi
x ∈ 0,
2
setze z = cot(x), z ∈ [0, ∞) = R+
arccot(z) = arccos
√
z
1 + z2
; z ∈ R+ aber z ∈ R !??
13.12. Exponentialfunktionen
Die Exponentialfunktion ist eine Verallgemeinerung des Potenzbegriffes.
Potenz: an a:Basis, n:Exponent
Rechenregeln:
1. am · an = am+n
am
= am−n
an
3. (am )n = am·n
2.
Definition:
Exponentialfunktionen sind definiert durch die Beziehung
y = f (x) = ax für a > 0 und x ∈ R.
Eigenschaften der Exponentialfunktionen:
Defbereich
Wertebereich
Monotonie
Asymptote
y = ax , 0 < a < 1
x∈R
y ∈ R+
streng monoton fallend
y = 0 für x → ∞
y = ax , a > 1
x∈R
y ∈ R+
streng monoton steigend
y = 0 für x → −∞
Zusammenhang:
206
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
13.12. Exponentialfunktionen
Abb. 13.95.: Exponentialfunktionen
y = ax , a < 1
−x
1
1
1
= b−x = x ; b = > 1
=
a
b
a
In der Mathematik
Bedeutung ist die Exponentialfunktion zur Basis
von besonderer
1 n
= 2.718281 . . ., der Euler’schen Zahl.
n→∞
n
Diese nennt man kurz „e-Funktion“:y = ex = exp(x)
2mm e = lim
1+
Abb. 13.96.: e-Funktion
Weiterhin von technischer Bedeutung sind die Exponentialfunktionen:
y = 10x , a = 10 (Dezimalsystem)
y = 2x , a = 2 (Dualsystem)
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
207
13. Funktionen
Anwendungsbeispiele:
1. Radioaktiver Zerfall
u(t) = n0 e−λt
u0 : Anzahl der Atome zur Zeit t0 = 0
u(t) : Anzahl der Atome zur Zeit t
λ > 0 : Zerfallskonstante
τ : halbwertszeit
Abb. 13.97.: Parabel
2. Entladung eines Kondensators
Abb. 13.99.: Schaltbild: Kondensator-Widerstand
u0 : Spannung zur Zeit t = t0 = 0
u(t) : Spannung zur Zeit t
Abb. 13.98.: Entladung: Kondensator
τ = RC : Zeitkonstante
3. Strom in einem RL-Kreis
Abb. 13.101.: Schaltbild: Spule-Widerstand
L
I(t) = I(1 − e− R t )
Abb. 13.100.: Aufladung: Spule
208
I : Sättigungsstrom
L
τ=
: Zeitkonstante
R
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25. September 2013
13.13. Logarithmusfunktionen
13.13. Logarithmusfunktionen
Definition: (Logarithmus)
Unter dem Logarithmus (zur Basis a) y = loga (x) versteht man die Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion (zur Basis a) y = ax , a > 0.
Eigenschaften des Logarithmus:
Defbereich
Wertebereich
Monotonie
Asymptoten
y = ax
x∈R
y ∈ R+
0 < a < 1:
a > 1:
y=0
y = loga (x)
x∈R
y∈R
streng monoton fallend
streng monoton wachsend
x=0
Abb. 13.102.: Logarithmus zur Basis a>1
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
209
13. Funktionen
Abb. 13.103.: Logarithmus zur Basis a<1
Der Logarithmus entsteht durch Auflösung von
x = ay
y
y = loga (x)
Spezielle Werte:
y = loga (x)
a0 = 1
1
a =a
y
x = aloga (x)
y
0 = loga (1)
y
1 = loga (a)
Rechenregeln:
1. loga (p · q) = loga (p) + loga (q)
p
2. loga
= loga (p) − loga (q)
q
3. loga (pn ) = n · loga (p)
4. loga (
210
√
m
p) =
1
loga (p)
m
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25. September 2013
13.13. Logarithmusfunktionen
zum Beispiel: Regel Nr.1:
p · q = aloga (p) · aloga (q) = aloga (p)+loga (q)
y
loga (p · q) = loga (p) + loga (q)
usw.
Zusammenhang zwischen Logarithmen zu verschiedenen Basen: a und b:
y)
y = loga (x) ; x = ay = blogb (a
= by logb (a)
logb (x) = y logb (a) = loga (x) × logb (a)
y
loga (x) =
logb (x)
logb (a)
(x = b
logb (a) − logb (a))
y
Die Logarithmen zu verschiedenen Basen sind zueinander proportional.
Logarithmen zu verschiedenen Basen:
i) Zehnerlogarithmen
lg(x) = log10 (x)
Besondere Eigenschaft im Zehnersystem:
x = 10n · p
y
y
lg(x) = lg(p · 10n ) = n + lg(p)
Nur die Logarithmen von 0 ≤ p < 1 sind nötig
)
n heißt Exponent
p heißt Mantisse
von x
ii) Natürliche Logarithmen
Basis e:
ln(x) = loge (x)
iii) Zweierlogarithmen (Binärlogarithmen)
lb p := log2 (b)
iV) Zusammenhang (1.obige Formel)
lg(x) =
25. September 2013
ln(x)
,
ln(10)
lb(x) =
ln(x)
ln(2)
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211
13. Funktionen
Anwendungsbeispiele:
1. Bestimmmung der Halbwertszeit beim radioaktiven Zerfall
n(t) = n0 e−λt
1
n0
2
Halbwertszeit: n(t = τ ) =
y
y
1
n0 = n0 e−λτ
2
1
= e−λτ
2
1
= −λτ
ln
2
y
τ=
ln(2)
0.6931
=
λ
λ
2. Aufladen eines Kondensators
t
u(t) = u0 (1 − e− RC )
Abb. 13.104.: Aufladung: Kondensator
Wann sind 80% der Aufladung abgeschlossen?
t
u(t)
= 0.8 = 1 − e− τ
u0
t
e− τ = 0.2
t = − ln(0.2) · τ = 1.6094 · τ
z.Bsp.: τ = R · C = 100Ω · 10µF = 100 · 10 · 10−6 ΩF = 10−3 s
y
212
t = 1.61 · 10−3 s
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13.13. Logarithmusfunktionen
Grafiken mit linearen und logarithmischen Skalen
y = f (x) = ex
(13.11)
Abb. 13.105.: ex linear
25. September 2013
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213
13. Funktionen
Abb. 13.106.: ex logplot
214
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25. September 2013
13.13. Logarithmusfunktionen
y = f (x) = axb
(13.12)
Abb. 13.107.: axb linear
Abb. 13.108.: axb logplot
25. September 2013
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215
13. Funktionen
Abb. 13.109.: axb loglogplot
216
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25. September 2013
13.14. Hyperbelfunktionen
13.14. Hyperbelfunktionen
Zuweilen treten gewisse Linearkombinationen der Exponentialfunktionen
y = ex und y = e−x auf, die unter dem Namen Hyperbelfunktionen zusammengefaßt werden.
Definition: (Hyperbelfunktionen)
− e−x )
+ e−x )
Sinus hyperbolicus
Cosinus hyperbolicus
y = sinh(x) =
y = cosh(x) =
1 x
2 (e
1 x
2 (e
Tangens hyperbolicus
y = tanh(x) =
ex −e−x
ex +e−x
=
Cotangens hyperbolicus
y = coth(x) =
ex +e−x
ex −e−x
=
Abb. 13.110.: sinh(x) und cosh(x)
sinh(x)
cosh(x)
cosh(x)
sinh(x)
Abb. 13.111.: tanh(x) und coth(x)
Eigenschaften der Hyperbelfunktionen
Defbereich
Wertebereich
Symmetrie
Nullstellen
Pole
Extrema
Monotonie
Asymptoten
sinh(x)
x∈R
y∈R
ungerade
x0 = 0
keine
keine
streng monoton
wachsend
keine
25. September 2013
y = cosh(x)
x∈R
y≥1
gerade
keine
keine
Minimum x0 = 0
keine
keine
y = tanh(x)
x∈R
|y| < 1
y = coth(x)
x ∈ R, x 6= 0
|y| > 1
ungerade
ungerade
keine
x0 = 0
x0 = 0
keine
keine
streng monoton
wachsend
keine
streng monoton
fallend
y = ±1
für x → ±∞
y = ±1
für x → ±∞
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217
13. Funktionen
Additionstheoreme der Hyperbelfunktionen:
sinh(x1 ± x2 ) = sinh(x1 ) cosh(x2 ) ± cosh(x1 ) sinh(x2 )
cosh(x1 ± x2 ) = cosh(x1 ) cosh(x2 ) ± sinh(x1 ) sinh(x2 )
tanh(x1 ± x2 ) =
tanh(x1 ± tanh(x2 )
1 ± tanh(x1 ) tanh(x2 )
(cosh(x) ± sinh(x))n = cosh(nx) ± sinh(nx); n ∈ Z
Daraus ergeben sich die Spezialfälle:
cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1 besser aus der Def von sinh und cosh
(13.13)
sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
(13.14)
cosh(2x) = sinh2 (x) + cosh2 (x)
(13.15)
Bemerkung:
Beziehung 13.13 erklärt den Namen „Hyperbelfuntionen“
Abb. 13.112.: Hyperbelfunktionen
13.15. Areafunktionen
Definition:
Die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen heißen Areafunktionen:
Areasinus hyperbolicus
Areakosinus hyperbolicus
Areatagens hyperbolicus
Areakotangens hyperbolicus
218
y
y
y
y
=
=
=
=
arsinh(x)
arcosh(x)
artanh(x)
arcoth(x)
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13.15. Areafunktionen
Abb. 13.113.: Areafunktionen
Eigenschaften der Areafunktionen:
Defbereich
Wertebereich
Symmetrie
Nullstellen
Pole
Monotonie
Asymptoten
y =arsinh(x)
x∈R
y∈R
y =arcosh(x)
|x| ≥ 1
y≥0
y =artanh(x)
|x| < 1
y∈R
y =arcoth(x)
|x| > 1
|y| > 0
x0 = 0
x0 = 1
keine
streng monoton
wachsend
keine
keine
streng monoton
wachsend
keine
x0 = 0
x = ±1
x = ±1
ungerade
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keine
ungerade
ungerade
keine
streng monoton
wachsend
x = ±1
keine
x = ±1
y = 0 für x → ±∞
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219
13. Funktionen
Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen lassen sich durch die Umkehrfunktion der Exponentialfunkton
ausdrücken.
Zum Beispiel:
1
x = sinh(y) = (ey − e−y )
2
2xey = e2y − 1
( y
y = arsinh(x))
setze vorübergehend z = ey
z 2 − 2xz − 1 = 0
p
p
p
1
y z = (2x ± 4x2 + 4) = x ± x2 + 1 = x + x2 + 1
2
z>0
y
y
positives Vorzeichen der Wurzel
p
z = e y = x + x2 + 1
p
y = ln(x + x2 + 1), x ∈ R
Die anderen Beziehungen ergeben sich analog.
Insgesamt erhält man:
√
y = arsinh(x) = ln(x + √x2 + 1) x ∈ R
y = arcosh(x) = ln(x + x2 − 1) x ≥ 1
y = artanh(x) = 21 ln 1+x
|x| < 1
1−x
y = arcoth(x) = 12 ln x+1
|x| > 1
x−1
Beispiel:
kettenlinie - Form eines Seils/einer Kette, an den Enden aufgehängt:
Abb. 13.114.: Areafunktionen:Kettenlinie
Problem:
220
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13.15. Areafunktionen
Mindesthöhe a, Abstand b der Masten gegeben,
wie hoch müssen die Masten sein?
b h = a cosh
a=10 = 10 cosh(5) = 742.1
a b=50
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221
13. Funktionen
Approximation:
cosh(x)
ex
für x >> 1!
2
Fehler =
222
e−x
! testen!
2
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14. Übungsaufgaben
1. Stellen Sie folgende Mengen in aufzählender Form dar:
M1 = {x|x ∈ N und |x| < 4};
M2 = {x|x ∈ Z und |x| ≤ 6}
2
L1 = {x|x ∈ R und 2x + 3x = 2}; L2 = {x|x ∈ R und 2x2 − 8x = 0}
2. Bilden Sie mit M1 = {x|x ∈ R und 0 ≤ x < 4} und M2 = {x|x ∈ R und − 2 < x < 2} die folgenden
Mengen:
M1 ∪ M2 ; M 1 ∩ M 2 ; M1 \ M2
3. Skizzieren Sie die folgenden Zahlenmengen auf der Zahlengeraden:
a) (2, 10) b) x > 4 c) −10 ≤ x < 10
4. Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen?
a) |x2 − x| = 24
b) |x + 1| = |x − 1|
c) |2x + 4| = −(x2 − x − 6) d) |x2 + 2x − 1| = |x|
5. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
a) 2x − 8 > |x|
b) x2 + x + 1 ≥ 0
c) |x| ≤ x − 2
d) |x − 4| > x2
e) −x2 ≤ x + 4
f)
x−1
<1
x+1
6. Beweisen Sie folgende Aussagen über den Wert von speziellen endlichen Reihen durch vollständige
Induktion:
a)
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
2
b)
n
X
k2 =
k=1
1
(n + 1) (2n + 1) n
6
7. Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:
a) −4x2 + 6x − 1 = 0
b) 4x2 + 8x − 60 = 0
c) x2 − 10 = 74
d) x2 − 4x + 13 = 0
8. Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen?
a) −2x3 + 8x2 = 8x
b) t4 − 13t2 + 36 = 0
c) x3 − 6x2 + 11x = 0
d) x5 − 3x3 + x = 0
9. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:
a)
√
−3 + 2x = 2
b)
√
x2 + 2 = x − 2
c)
√
c)
√
x−1=
√
x+1
d)
√
2x2 − 1 + x = 0
10. Für welche x ∈ R erhält man reelle Wurzelwerte?
a)
√
2−x
25. September 2013
b)
√
1 + x2 = x − 2
4 − x2
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223
14. Übungsaufgaben
11. Berechnen Sie folgende Binominalkoeffizienten:
a)
13
4
b)
10
5
c)
12. Welchen Wert besitzt der Binominalkoeffizient
n+k
k+1
13
11
?
13. Berechnen Sie folgende Potenzen unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes:
a) 1024
b) 995
c) 9963
14. Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich sowie den Wertebereich folgender Funktionen:
a) y = x2x+1
q
e) y = x2 − 12 x − 3
b) y =
√
x2 − 1
f) y = x−1
x+1
c) y = ln |x|
2
d) y = 4x2x−16
15. Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten folgender Funktionen in ihrem maximalen Definitionsbereich:
a) y = 4x2 − 16
2
x −1
e) y = 1+x
2
3
b) y = x2x+1
√
f) y = x2 − 25
c) y = sin(x) · cos(x)
d) y = x2 − 4
16. Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Monotonie:
a) y = x4
e) y = e2x
√
b) y = x − 1
c) y = x3 + 2x
f) y = −2 ln(2x − 4), x > 2
d) y = x2 − 2x + 1
17. Bilden Sie die Umkehrfunktion folgender Funktionen:
a) y = 3x − 2
x
e) y = 2x−3
i) y = ln(ln(x))
b) y = 2x−3
2
f) y = −x3 + 1
√
3
c) y = − 2x
g) y = 2x + 1
√
d) y = 4 − x
h) y = 1 + ln(x)
18. Welche primitive Periode haben folgende Funktionen:
a) y = sin(2x)
b) y = cos(kx)
c) y = 1 − 2sin(3x)
d) y = cos(2x) − 3 sin(5x)
e) U = U0 sin(3ωt − φ)
f) y = a0 + a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + · · · + an cos(nωt) + b1 sin(ωt) + · · · + bn sin(nωt)
19. Wie lauten die Polarkoordinaten folgender Punkte:
a) P1 = (4, 12)
b) P2 = (−3, 3)
c) P3 = (5, −4)
20. Wie lauten die kartesischen Koordinaten folgender Punkte:
a) P1 : r = 10 ; φ = 350
224
b) P2 : r = 3.56 ; φ = 256.50
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25. September 2013
21. Skizzieren Sie den Verlauf folgender Funktionen:
a) r(φ) = 1 + sin(φ) ,
b) r(φ) = e0.5 φ ,
0 ≤ φ < 2π
0≤φ≤π
22. Gegeben ist die implizite Funktionsgleichung (x2 + y 2 )2 − 2xy = 0 einer Kurve in kartesischen
Koordinaten.
a) Wie lautet die Funktionsgleichung in Polarkoordinaten ?
b) Skizieren Sie den Funktionsverlauf !
23. Führen Sie für folgende Ausdrücke die „quadratische Ergänzung“ durch:
a) y = x2 + 5x − 7
e) x4 + 4x2 + 9
b) y = 3x2 − 9x + 1
c) y = x2 + x + 1
d) y = 7x2 − 7x + 35
24. Bestimmen Sie das Bildungsgesetz der unendlichen Folgen:
a) 0.2 ; 0.04 ; 0.008 ; · · ·
b) 21 ; 34 ; 49 ; · · ·
√
2
25. Zeichnen Sie den Graph der Zahlenfolge {an } = { n2n+10 }
√
√
d) 21 ; 32 ; 43 ; 25 ; 65 ; · · ·
c) 12 ; 24 ; 38 ; · · ·
,n∈N
26. Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Zahlenfolgen für n → ∞:
a) {an } = { 2n+1
4n }
2
2
b) {an } = { n n+4 }
c) {an } = { nn+4n−1
2 −3n }
27. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte lim f (x) durch Einsetzen einer geeigneten Folge {xn } bzw.
x→a
durch Einführung einer neuen Variablen h , x = a ± h :
2
2
b) lim 2x4x+x−1
2 −1
−9
a) lim xx+3
x→−3
x→ 12
(x+2)2 −4
x
x→0
3
+8
e) lim xx+2
x→−2
d) lim
2
−3x+10
c) lim −x
2
x→2 2x +x−10
4
4
−a
f) lim xx−a
x→a
28. Bestimmen Sie die Grenzwerte aus Aufgabe 1 durch geeignetes Faktorisieren der Zähler und Nenner
und durch Kürzen der Linearfaktoren vor dem jeweiligen Grenzübergang.
29. Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
1−x
√
a) lim 1−
x
x→1
sin2 (x)
x
x→0
d) lim
x4 +x2 −6
b) lim
√
x2 −2
c) lim
e) lim
f) limπ cos(x)
x→
x→ 2
1−cos(x)
x→0 sin(x)
x→0
tan(x)
x
1−sin(x)
2
30. An welchen Stellen besitzen folgende Funktionen Definitionslücken?
a) f (x) = x+2
x−4
2
b) f (x) = xx2 +4x+8
+3x+2
1
c) f (x) = sin(x)
31. Untersuchen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen y = f (x) . Im Falle der Unstetigkeit untersuchen
Sie, ob die Unstetigkeit hebbar ist.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
225
14. Übungsaufgaben
x
a) y = |x|
1
d) y = xx + x+1
b) y = sin( x1 )
e) y = √x−4
x−2
c) y = x sin( x1 )
1
f) y = ln 2 x−1
32. Bringen Sie folgende Parabelgleichungen in Scheitelpunktform:
a) y = −2x2 − 4x + 3
d) y = 4x2 + 8x − 60
b) y = 5x2 + 20x + 20
c) y = 2x2 + 10x
33. Gegeben sind die drei Punkte P1 = (1; 2), P2 = (4; 3), P3 = (8; 0). Wie lautet die Gleichung der durch
die drei Punkte gehenden Parabel, wo liegt ihr Scheitelpunkt?
34. Zerlegen Sie folgende Polynome in Linearfaktoren:
a) y = x3 − 4x2 + 4x − 16
d) y = −2x3 + 8x2 − 8x
b) y = 21 (3x2 − 1)
c) y = −3x3 + 18x2 − 33x
35. Berechnen Sie die Funktionswerte folgender Polynome an der Stelle x0 unter Verwendung des Hornerschemas:
a) f (x) = 4.5x3 − 5.1x2 + 4x − 3 ;
b) f (x) = −9.32x3 − 2.54x + 10.56 ;
x0 = −1.51
x0 = 3.56
36. Von einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt:
(i) y(x) ist eine gerade Funktion
(ii) Nullstellen liegen in x1 = 3 und x2 = 6
(iii) Die Funktion schneidet die y-Achse bei y(0) = −3
Wie lautet die Funktionsgleichung?
37. Wo besitzen folgende gebrochenrationale Funktionen Nullstelle, wo Pole?
2 +x−2
a) y = x x−2
2
c) y = x x−2x+1
2 −1
3
2 −2x+24
b) y = x x−5x
3 +3x2 +2x
3
2 −4x
d) y = x −4x
x4 −4
38. Bestimmen Sie für folgende gebrochenrationale Funktionen Nullstellen, Pole und ihr asymptotisches
Verhalten für x → ∞ und skizzieren Sie ihren Funktionsverlauf.
3
2
b) y = x −6xx2 +12x−8
−4
2
a) y = xx2 −4
+1
3 −5x2 +8x+4
c) y = xx3 −6x
2 +12x−8
(x−1)2
d) y = (x+1)2
39. Eine gebrochenrationale Funktion besitzt folgende Eigenschaften:
(i) Nullstellen : x1 = 2 (einfach) ; x2 = −4 (doppelt)
(ii) Pole : x3 = −1 ; x4 = 1
(iii) y(0) = 4
Wie lautet die Funktionsgleichung?
226
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25. September 2013
40. Welche Kegelschnitte werden durch die folgenden algebraischen Gleichungen dargestellt? Wo liegt der
Mittelpunkt bzw. der Scheitelpunkt?
a) x2 − 2x + y 2 + 4y − 20 = 0
c) 9x2 + 16y 2 − 18x = 135
b) x2 − y 2 − 4 = 0
d) 2x2 + 2y 2 + 12x − 6y = 0
41. Berechnen Sie folgende Funktionswerte:
a) sin 12, 5
d) cos 5, 2
b) cos 128, 3
e) tan(−3, 18)
c) cot 120
f) sin(−3, 56)
42. Leiten Sie aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion den „trigonometrischen Phytagoras“ sin2 (x) +
cos2 (x) = 1 her.
43. Bestimmen Sie für folgende Funktionen die Amplitude A, die Periode p und die Phasenverschiebung ϕ0
a) y = 2 sin(3x − π6 )
c) y = 10 sin(πx − 3π)
b) y = 5 cos(2x + 4, 2)
d) y = 2, 4 cos(4x − π2 )
44. Stellen Sie folgende Schwingungen in Form einer Sinusschwingung y = A sin(ωt + ϕ),
A > 0, ϕ > 0 dar.
b) y = 3 cos(πt − π)
d) y = −4 sin(0, 5t + 3)
a) y = 5 cos(3t + π)
c) y = −3 cos(2t − π4 )
45. Berechnen Sie folgende Funktionswerte:
a) arcsin 0, 563
√
d) 5 arcsin( 0, 6)
b) arctan(−3, 128)
e) arctan( π3 )
c) arccos(0, 473)
f) arccot(π)
46. Gegeben sind die beiden gleichfrequenten Wechselspannungen u1 und u2 . Berechnen Sie die durch
Überlagerung entstehende resultierende Wechselspannung u(t) = u1 (t) + u2 (t).
a)
b)
u1 = 100V sin(ωt)
u2 = 160V cos(ωt − π4 )
ω = 500 1s
u1 = 380V sin(ωt − π6 )
u2 = 200V sin(ωt + π8 )
ω = 1000 1s
47. Bestimmen Sie sämtliche reelle Lösungen folgender trigonometrischer Gleichungen:
a) sin(2x + 5) = 0.4
c)
p
cos(x − 1) =
48. Beweisen Sie:
b) tan(2(x + 1)) = 1
√1
2
d) sin(x) =
sin(arccos x) =
p
1 − sin2 (x)
√
1 − x2
49. Lösen Sie analytisch oder, falls analytisch nicht möglich, numerisch folgende Gleichungen:
a) 0, 8 sin(x) − 0, 7 cos(x + 1) = 0
c) sin(α + 60) = 0, 3 cos(α + 10)
25. September 2013
b) cos(x) = 0, 5x
d) x = 1, 32 arctan(x)
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
227
Teil IV.
Komplexe Zahlen und Funktionen
15. Komplexe Zahlen
15.1. Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
Der Körper der reellen Zahlen, R, ist abgeschlossen gegenüber den vier Grundrechnungsarten und der Grenzwertbildung. Er ist jedoch nicht abgeschlossen gegenüber dem Lösen von algebraischen Gleichungen:
Sei Pn (x) ein Polynom über dem Körper der reellen Zahlen:
Pn (x) =
n
X
ak xk ,
k=0
ak ∈ R, k = 1, . . . , n,
so hat die Gleichung
Pn (x) = 0
nicht notwendig Lösungen mit x ∈ R. Das heißt, der Körper der reellen Zahlen ist algebraisch nicht abgeschlossen.
Beispiel:
1. P4 (x) = 10 + x4 = 0
y
2. P2 (x) = x2 − 2x + 12
y
x=
√
4
x1,2
−10 ∈
/ R
√
= 12 2 ± −44 ∈
/ R
Daher muss der Körper der reellen Zahlen, R, zum Körper der komplexen Zahlen, C, erweitert werden, der
dann algebraisch abgeschlossen ist.
15.2. Definition einer komplexen Zahl
Ausgangspunkt ist die Gleichung
x2 = −1
die keine reelle Lösung hat. Ziehen wir formal die Wurzel, so erhalten wir
√
x1,2 = ± −1
und definieren daran anknüpfend die so genannte „ imaginäre Einheit“ :
25. September 2013
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231
15. Komplexe Zahlen
Definition: (Imaginäre Einheit)
Die imaginäre Einheit ist eine Zahl, j , deren Quadrat gleich −1 ist:
j 2 = −1.
Beachte: Es gilt auch (−j)2 = ((−1) · j)2 = (−1)2 · j 2 = −1!
Damit lösen wir unsere Ausgangsgleichung:
x2 = −1
⇒
x1,2 = ±j = |{z}
±1
∈R
·
j
| {z }
imag. Einheit
Wir lösen eine ähnliche Gleichung:
x2 + 16 = 0
⇒
x1,2 = ±4j = |{z}
±4
∈R
·
j
| {z }
imag. Einheit
und definieren
Definition: (Imaginäre Zahl)
Unter einer imaginären Zahl j · y versteht man das formale Produkt aus einer reellen Zahl y 6= 0
und der imaginären Einheit j.
Wir betrachten ein weiteres
Beispiel:
x2 − 4x + 13 = 0
y
x1,2 =
√
1
4 ± 16 − 52 = 2 ± 3 j
2
Dies führt uns zur Definition einer komplexen Zahl
232
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25. September 2013
15.3. Die Gauß’sche Zahlenebene
Definition: (Komplexe Zahl)
Die Summe z = x + jy aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl j y heißt komplexe
Zahl:
z∈C=
z | z = x + jy, x, y ∈ R, j 2 = −1
x heißt der Realteil von z : x = Re(z)
y heißt der Imaginärteil von z : y = Im(z)
C bezeichnet den Körper der komplexen Zahlen.
15.3. Die Gauß’sche Zahlenebene
Der Realteil und Imaginärteil von z = x + jy können aufgefasst werden als die kartesischen Koordinaten eines
Punktes P (z) = (x, y) in der Ebene. Damit entspricht jeder komplexen Zahl z ein Punkt in der Ebene:
z = x + jy ⇐⇒ P (z) = (x, y)
Abb. 15.1.: komplexe Ebene
Analog zur Gleichheit von Vektoren gilt:
Definition: (Gleichheit komplexer Zahlen)
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil übereinstimmen:
z1 = x1 + jy1 ,
z2 = x2 + jy2 ,
z1 = z2 x
y x1 = x2 und y1 = y2 .
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233
15. Komplexe Zahlen
Jedem Punkt in der Gauß’schen Zahlenebene entspricht also genau eine komplexe Zahl.
Beispiele:
Abb. 15.2.: komplexe Ebene: Beispiele
z1 = 2 + 4j,
z2 = 4 + j,
z3 = −3,
z4 = −6 + 2j
Definition: (konjugiert komplexe Zahl)
Die komplexe Zahl z ∗ = x − jy heißt die „ konjugiert komplexe Zahl“ zu z = x + jy .
Es gilt somit:
Re(z) = Re(z ∗ ),
Im(z) = −Im(z ∗ ).
Definition: (Betrag einer komplexen Zahl)
Unter dem Betrag |z| einer komplexen Zahl z = x + jy versteht man die Länge des zugehörigen
Zeigers in der Gauß’schen Zahlenebene:
|z| =
p
√
x2 + y 2 = z · z ∗
Beispiele:
z1 = 3 − 4j, z2 = 3j, z3 = −2 − 8j
√
√
√
√
|z1 | = 9 + 16 = 5, |z2 | = 9 = 3, |z3 | = 4 + 64 = 2 17
234
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25. September 2013
15.4. Darstellungsformen einer komplexen Zahl
15.4. Darstellungsformen einer komplexen Zahl
Bedeutung der Darstellungsformen erklären ... fehlt
a) Algebraische oder kartesische Form
z = x + jy
wie oben beschrieben, wird auch Normalform genannt.
b) Trigonometrische Form
Abb. 15.3.: Trigonometrische Form
Anwendung des Konzepts von Polarkoordinaten in der Ebene auf komplexe Zahlen:
x = r cos(ϕ);
y = r sin(ϕ)
z = r cos(ϕ) + j · r sin(ϕ) = r (cos(ϕ) + j · sin(ϕ)) .
y
Bezeichnungen:
r: heißt Betrag von z =
p
x2 + y 2
ϕ: heißt Argument, Winkel oder Phase von z,
ϕ = arg(z)
Der Betrag r ≥ 0 von z ist stets größer gleich Null, das Argument von z, ϕ ist (unendlich) vieldeutig und
nur modulo 2π definiert. Für seinen Hauptwert gilt ϕ ∈ [0, 2π).
Für die konjugiert komplexe Zahl z ∗ gilt:
z ∗ = (r cos(ϕ) + j · r sin(ϕ))∗
= r cos(ϕ) − j · r sin(ϕ) = r cos(−ϕ) + j · r sin(−ϕ).
Der Spiegelung an der reellen Achse j → −j entspricht somit in der trigonometrischen (und exponentiellen) Form: ϕ → −ϕ
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235
15. Komplexe Zahlen
Abb. 15.4.: konjugiert komplexe Zahl
c) Exponentialform
Unter Benutzung der Formel von Euler:
e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ)
ergibt sich die folgende Exponentialform einer komplexen Zahl:
z = r e jϕ
z ∗ = (r e jϕ )∗ = r e−jϕ
Bemerkung:
Wie man direkt aus der Eulerschen Formel sieht, ist die komplexe Exponentialfunktion periodisch mit der
Periode 2π · j :
e jϕ+k·2πj = e j(ϕ+k·2π) = e jϕ
15.5. Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen
Kartesische Form
Polarform
Exponentialform
z = x + jy
z = r · (cos(ϕ) + j sin(ϕ))
z = r · e jϕ
Polar u. Exponentialform gehören zusammen, es handelt sich hier nur verschiedene Schreibweisen!
1. Polarform −→ Kartesische Form
236
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25. September 2013
15.5. Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen
Abb. 15.5.: Der Zeiger von e jϕ
Gegeben sind Betrag r und Phase ϕ von z . Es ist zu berechnen
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ)
2. Kartesische Form −→ Polarform
Gegeben sind der Realteil x und der Imaginärteil y von z
p
r = |z| = x2 + y 2
y
tan(ϕ) = ; ϕ ∈ [0, 2π) Hauptwert
x
Der Wertebereich des Hauptzweigs des arctan(x) ist gegeben durch: Wf = − π2 , π2 Um den Winkel ϕ
im Hauptwert zu berechnen sind folgende Fälle für die Lage von z in den verschiedenen Quadranten der
Gauß’schen Zahlenebene zu berücksichtigen:
25. September 2013
Quadrant I
ϕ = arctan( xy )
Quadrant II und III
ϕ = arctan( xy ) + π
Quadrant IV
ϕ = arctan( xy ) + 2π
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237
15. Komplexe Zahlen
Abb. 15.6.: Kartesische in Polar-Form
Abb. 15.7.: tan(ϕ), ϕ ∈ [0, 2π)
238
y
Abb. 15.8.: arctan( x ) über alle Quadranten
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15.5. Umrechnung zwischen den verschiedenen Darstellungsformen
Abb. 15.9.: Berechnung des Winkels
y
y
= − arctan
y α = arctan
−x
x
y
ϕHauptwert = π − α = arctan
+π
x
y
y
tan(α) =
=
|x|
−x
y
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239
15. Komplexe Zahlen
Beispiel:
√
z =− 3−j
Abb. 15.10.: Berechnung: Winkel
|z| =
√
3+1=2
| − 1|
1
√ =√
tan(α) =
| − 3|
3
direkt:
240
y
α = arctan
1
√
3
=
π
6
7
ϕ=π+α= π
6
−1
7π
√
ϕ = π + arctan
=
6
− 3
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16. Komplexe Rechnung
16.1. Die vier Grundrechnungsarten
Definition: Addition und Subtraktion
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 .
Es gilt:
z1 + z2 = x1 + x2 + j (y1 + y2 )
z1 − z2 = x1 − x2 + j (y1 − y2 )
In der komplexen Ebene ergibt sich folgende geometrische Deutung in Analogie zur Addition und Subtraktion
von Vektoren des R2 :
Abb. 16.1.: Zeigerdarstellung der komplexen Addition
Beispiele:
1. z1 = 4 − 5j, z2 = 2 + 11j
z1 + z2 = 6 + 6j
z1 − z2 = 2 − 16j
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241
16. Komplexe Rechnung
2. z1 = 3 e jπ/6 , z2 = 2 e jπ/4
3
3√
3+ j
2
√2
√
z2 = 2 + 2 j
√
3√
3 √
z1 + z2 =
3+ 2+
+ 2 j = 4.0123 + 2.914j
2
2
√
3 √
3√
3− 2+
z1 − z2 =
− 2 j = 1.1839 + 0.0858?j
2
2
z1 =
Bemerkungen:
1. Die Addition ist kommutativ:
z1 + z 2 = z 2 + z1
und assoziativ:
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
2. Aus der Analogie von komplexen Zahlen mit Vektoren des R2 im Zeigerdiagramm ergibt sich die Gültigkeit
der Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen:
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
3. Der Übergang zur konjugiert komplexen Zahl ist mit der Addition und Subtraktion vertauschbar:
(z1 ± z2 )∗ = z1∗ ± z2∗ .
4. Nützliche Relationen sind:
z + z ∗ = 2 Re(z)
z − z ∗ = 2j Im(z)
1
Re(z) = (z + z ∗ )
2
1
x
y Im(z) = (z − z ∗ )
2j
x
y
Definition: Multiplikation
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 .
Es gilt:
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + x2 y1 ).
242
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25. September 2013
16.1. Die vier Grundrechnungsarten
Das Ergebnis erhält man wie im Reellen durch gliedweise Multiplikation unter Verwendung von j 2 = −1:
z1 · z2 = (x1 + jy1 ) · (x2 + jy2 )
= x1 x2 + j (x1 y2 + x2 y1 ) + j 2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + j (x1 y2 + x2 y1 ).
Die Multiplikation ist:
kommutativ
assoziativ
distributiv
z 1 z2 = z2 z1
z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
Beispiele:
1. z1 = 2 − 4j, z2 = −3 + 5j
z1 · z2 = (2 − 4j) · (−3 + 5j)
= 2(−3) − (−4)5 + j (2 · 5 + 4 · 3) = 14 + 22j
2. z = x + j y, z ∗ = x − j y
z · z ∗ = (x + j y) · (x − j y)
= x2 + y 2 + j(−xy + xy) = x2 + y 2
= |z|2
Definition: Division
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen z1 = x1 + jy1 und z2 = x2 + jy2 .
Es gilt für z2 6= 0:
z1
x 1 x 2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
=
+j
.
z2
x22 + y22
x22 + y22
Das Ergebnis erhält man wie bei der Multiplikation durch formale Rechnung wie im Reellen:
z1
z1 · z2∗
(x1 + j y1 ) (x2 − j y2 )
=
=
2
z2
|z2 |
x22 + y22
=
x2 y1 − x1 y2
x1 x2 + y1 y2
+j
2
2
x2 + y2
x22 + y22
Beispiele:
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243
16. Komplexe Rechnung
1. z1 = 4 − 8 j, z2 = 3 + 4 j
4 − 8j
(4 − 8j)(3 − 4j)
4 8
z1
=
=
= ... − − j
z2
3 + 4j
9 + 16
5 5
1
1(−j)
=
= −j
j
j(−j)
2.
Multiplikation und Division in trigonometrischer und exponentieller Darstellung:
Multiplikation:
z1 = r1 (cos(ϕ1 ) + j sin(ϕ1 )); z2 = r2 (cos(ϕ2 ) + j sin(ϕ2 ))
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(ϕ1 ) cos(ϕ2 ) − sin(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) +j (cos(ϕ1 ) sin(ϕ2 ) + sin(ϕ1 ) cos(ϕ2 )))
|
{z
}
{z
}
|
cos(ϕ1 +ϕ2 )
sin(ϕ1 +ϕ2 )
= r1 · r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + j sin(ϕ1 + ϕ2 ))
z1 = r1 e jϕ1 , z2 = r2 e jϕ2
y
z1 · z2 = r1 · r2 e j(ϕ1 +ϕ2 )
Division:
z1 · z2∗
r1 e jϕ1 · r2 e −jϕ2
z1
r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
=
=
e
=
2
2
z2
|z2 |
r2
r2
=
r1
(cos(ϕ1 − ϕ2 ) + j sin(ϕ1 − ϕ2 ))
r2
Regel:
Beträge werden multipliziert/dividiert .
Argumente werden addiert/subtrahiert.
Bemerkung:
Bildung der konjugiert komplexen Zahl vertauscht mit der Multiplikation und Division.
(z1 · z2 )∗ = z1∗ · z2∗
∗
z1
z∗
= 1∗
z2
z2
Die Geometrische Deutung von Multiplikation und Division ergibt sich unmittelbar aus der Exponentialdarstellung (Zeigerdarstellung):
244
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16.2. Potenzieren
z1 · z2 = r1 e jϕ1 · r2 e jϕ2
= (r1 · r2 ) · e j(ϕ1 +ϕ2 )
„Drehstreckung “
Abb. 16.2.: Geometrische Deutung der Multiplikation
z1
r1 e jϕ1
=
z2
r2 e jϕ2
r1 j(ϕ1 −ϕ2 )
=
e
r2
„Drehstreckung “
Abb. 16.3.: Geometrische Deutung der Division
16.2. Potenzieren
Potenziert man eine komplexe Zahl, z , n-mal so erhält man:
z = r e jϕ
z n = rn e jnϕ
z n = (r e jϕ )n = (r e jϕ )(r e jϕ ) . . . (re jϕ ) = rn e jnϕ
|
{z
}
2 j(ϕ+ϕ)
r
e
...
|
{z
}
rn e jnϕ
die so genannte Moivre’sche Formel
z n = {r(cos(ϕ) + j sin(ϕ))}n = rn (cos(nϕ) + j sin(nϕ))
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245
16. Komplexe Rechnung
16.3. Wurzeln komplexer Zahlen
Aus der Algebra ist bekannt: Die algebraische Gleichung
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0,
ai ∈ R
hat höchstens n reelle Lösungen.
Über dem Körper der komplexen Zahlen gilt der Fundamentalsatz der Algebra.
Die algebraische Gleichung
n
X
ak z k = 0,
k=0
ak ∈ C
besitzt in C genau n Lösungen.
Bemerkungen:
1. Zerlegung in Linearfaktoren
n
X
i=0
ai z i = an (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zn ) zi = Nullstellen des Polynoms
2. Sind die Koeffizienten ai reell, so ist mit zi auch zi∗ Nullstelle:
n
X
ai zki = 0
y
X
ai zki
∗
=
X
ai zk∗i = 0
i=0
y
die komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms treten immer paarweise (konjugiert
komplex) zueinander auf.
Wir betrachten nun die einfache algebraische Gleichung:
z n − a = 0,
a∈C
(16.1)
definieren,
Definition: n-te Wurzel
Die Lösungen von Gl. 16.1 heißen die n-ten Wurzeln von a.
und wissen wegen des Fundamentalsatzes der Algebra, dass es in C genau n Lösungen der Gl.16.1 und damit
genau n Wurzeln von a gibt.
246
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16.3. Wurzeln komplexer Zahlen
Berechnung der n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl a:
z n = a = a0 e jα ,
a0 > 0
Ansatz: z = r e jϕ
y
rn e jnϕ = a0 e jα
y
rn = a0
n ϕ = α + 2kπ,
k = 0, . . . , n − 1
Lösung:
√
n
a0
α + 2kπ
ϕk =
,k ∈ N
n
r=
Wir erhalten somit n verschiedene Lösungen für k = 0, 1, . . . , n − 1. Alle Lösungen haben den gleichen Betrag,
aber n verschiedene Phasen, liegen somit auf einem Kreis um den Ursprung in der komplexen Ebene mit dem
√
Radius r = n a0 und bilden ein regelmäßiges n - eckiges Polygon.
Abb. 16.4.: Lösung: einfache algebraische Gleichung
25. September 2013
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247
16. Komplexe Rechnung
Beispiel:
1.
z 6 = 1 = 1e j·0
zk = 1 · e j·
2π
·k
6
, k = 0, . . . , 5
2.
√
z 4 = 3 + 2j = 13 · e j·0.588
2π
z = 1.378 · e{0.147+ 4 k}j
k
, k = 0, . . . , 3
3. ...
248
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25. September 2013
16.4. Komplexe Funktionen
16.4. Komplexe Funktionen
Bisher reelle Funktionen:
x ∈ R → y = f (x) ∈ R
f : R→R
Abb. 16.5.: reelle Funktionen
jetzt komplexe Funktionen:
Abb. 16.6.: komplexe Funktionen
einfache Beispiele:
Polynome P (z) =
n
X
i=0
ai z i , ai ∈ C mit komplexen Koeffizienten.
Frage:
Wie setzt man die elementaren transzendenten Funktionen ez , ln(z), cos(z), sin(z) für komplexe
Werte von z fort?
Komplexe Exponentialfunktion:
Euler’sche Formel mit den Reihenentwicklungen:
x
e = lim
n→∞
cos(x) = lim
n→∞
sin(x) = lim
n→∞
25. September 2013
n
X
xk
k=0
k!
=1+
n
X
(−1)k x2k
k=0
(2k)!
x
x2 x3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
=1−
n
X
(−1)k x2k+1
k=0
(2k + 1)!
x2 x4
+
± ...
2!
4!
=1−
x
x3 x5
+
−
± ...
1!
3!
5!
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249
16. Komplexe Rechnung
Daraus ergibt sich:
jy (jy)2 (jy)3 (jy)4
+
+
+
+ ...
1!
2!
3!
4!
y2 y4
y
y3 y5
= 1−
+
± ... + j
−
+
± ...
2!
4!
1!
3!
5!
e jy = 1 +
:= cos(y) + j sin(y)
250
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25. September 2013
16.4. Komplexe Funktionen
und für beliebige komplexe z = x + iy
exp(z) = ez = ex+jy = ex e jy = ex (cos(y) + j sin(y))
=
b Definition der komplexwertigen Exponentialfunktion.
{ Aber PR mit komplexem z ist genauso ausreichend }
Betrachte ez in Polardarstellung mit Im(z) = y + 2kπ, k ∈ Z :
|ez | = ex = eRe(z)
arg(ez ) = y + 2kπ = Im(z) + 2kπ
y
ez = ez+2kπj , k ∈ Z
y
Die Exponentialfunktion ist eine periodische Funktion, mit der rein imaginären Periode 2πj
Komplexer Cosinus und Sinus
Betrachte e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) , ϕ ∈ R. Es gilt („Euler’sche Formel“):
1 jϕ
e + e −jϕ
2
1
sin(ϕ) = (e jϕ − e −jϕ )
2j
cos(ϕ) =
Fortsetzung des Kosinus und Sinus mit Hilfe der Euler’schen Formeln:
1
cos(z) := (e jz + e−jz ),
2
sin(z) :=
z∈C
1 jz
(e − e−jz )
2j
Aus dem Multiplikationstheorem ez1 · ez2 = ez1 +z2 ergibt sich z. Bsp. wie schon bekannt:
Additionstheoreme
Periodizität
cos(z1 + z2 ) = cos(z1 ) cos(z2 ) ∓ sin(z1 ) sin(z2 )
cos(z + 2kπ) = cos(z)
sin(z + 2kπ) = sin(z)
Aber es gilt nicht mehr: | cos(x)| ≤ 1, | sin(x)| ≤ 1
25. September 2013
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251
16. Komplexe Rechnung
Analog definiert man:
252
tan(z) =
1 e jz − e−jz
sin(z)
=
cos(z)
j e jz + e jz
cot(z) =
cos(z)
e jz + e−jz
= j jz
sin(z)
e − e jz
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25. September 2013
16.4. Komplexe Funktionen
Die komplexen Hyperbelfunktionen werden analog definiert:
sinh(z) =
ez − e−z
ez + e−z
, cosh(z) =
2
2
Es gilt der Zusammenhang:
cosh(jz) = cos(z)
sinh(jz) = j sin(z)
Komplexer Logarithmus
Im Reellen gilt: ex = w
x = ln(w) (Logarithmus).
y
Die komplexe Exponentialfunktion ez hat die Periode 2πj . Daher untersuchen wir nur einen Streifen
y0 < Im(z) = y ≤ y0 + 2π
oder den Fundamentalstreifen 0 < Im(z) ≤ 2π :
Abb. 16.7.: Fundamentalstreifen
Hier gilt für den Hauptwert des Arguments von ez , z = x + j y :
arg(ez ) = arg(ex e j y ) = y = Im(z)
Schreiben wir
w = R e jψ = u + jv = ez = ex+jy = eln w
|w| = ex = R,
y
ψ = arg(w) = y + 2kπ , k ∈ Z
y
x = ln(|w|),
y = arg(w) + 2kπ
Mit der Festlegung für z im Fundamentalstreifen: 0 < arg(z) ≤ 2π wird die Lösung der Gleichung w = ez
eindeutig, d.h. für jedes w ∈ C gibt es im Fundamentalstreifen nur eine Zahl z mit ez = w.
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253
16. Komplexe Rechnung
Jedes z mit ez = w heißt „natürlicher Logarithmus“ von w:
z = ln(w) = ln |w| + j(arg(w) + 2kπ) , k ∈ Z
Für k = 0 erhält man den so genannten Hauptwert des natürlichen Logarithmus
ln(w) = ln(|w|) + j arg(w)
254
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16.4. Komplexe Funktionen
Beispiele:
1. x ∈ R+ , x > 0
ln(x) = ln |x| + 2kπj HW
= ln(x)
2. x ∈ R− , x < 0, x = |x| e jπ
ln(x) = ln |x| + (π + 2kπ)j = ln |x| + (2k + 1)πj HW
= ln |x| + jπ
3. w = e jϕ
ln(w) = ln |w| + j(ϕ + 2kπ) = j(ϕ + 2kπ) HW
= jϕ
π
4. w = e j 2 = j
ln(j) = ln |j| + j
5. Gleichung:
π
π
+ 2kπ = j
+ 2kπ
2
2
HW
=j
π
2
cos(z) = 0
1 jz
(e + e −jz ) = 0 · 2 e jz , −1
2
e2jz = −1 ln(...)
z=
y
1
1
π
ln(−1) =
j (π + 2kπ) = (2k + 1) ∈ R, k ∈ Z
2j
2j
2
alle Nst. des cos(z) liegen auf der reellen Achse.
6. analog gilt (Rechnung zur Übung): sin(z) = 0
25. September 2013
y
z = kπ ∈ R, k ∈ Z
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255
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
17.1. Die komplexe Zeigerrechnung in der Wechselstromtechnik
Abb. 17.1.: Wechselstrom: Zeigerdiagramm
Betrachte den Kreis ξ 2 + η 2 = A2 mit dem, mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umlaufenden Punkt P0
Umlaufszeit T =
b Weg pro Umlauf 2πA
Weg zur Zeit t: s(t) =
t
· 2πA
T
Winkel zur Zeit t: ϕ(t) =
s(t)
t · 2π
=
= tω
A
T
Winkelgeschwindigkeit ω =
Frequenz f =
2π
= 2πf
T
1
= Anzahl der Umläufe pro Zeiteinheit
T
Winkel zur Zeit t: x(t) = ϕ(t) + ϕ = ωt + ϕ
Projektion auf die ξ -Achse:
ξ(t) = A cos(ωt + ϕ)
beschreibt eine harmonische Schwingung mit der Amplitude A, Kreisfrequenz 2πf , Periode T =
senlage ϕ
1
und Phaf
Projektion auf η -Achse
η(t) = a sin(ωt + ϕ) = A cos(ωt + γ), γ = ϕ −
25. September 2013
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π
2
257
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
Identifiziere die (ξ, η) Ebene mit der komplexen (x, y) Zahlenebene:
z(t) = |A| {cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)}
= |A| e j(ωt+ϕ) = |A| e jϕ eωt = A e jωt
mit der nun komplexen Amplitude A = |A| e jϕ .
Somit sieht man,dass die harmonische Sinus/Kosinusschwingung sind in der komplexen Zahlenebene darstellbar
ist:
x(t) = A cos(ωt + ϕ) = Re(A e jωt ) = Re(z)
y(t) = A sin(ωt + ϕ) = Im(A ei(ωt) ) = Im(z(t))
I Die komplexe Formulierung ist häufig mathematisch einfacher wie man am Beispiel der Superposition von
Schwingungen sehen kann:
Ungestörte Überlagerung von Schwingungen
y1 = |A1 | sin(ωt + ϕ1 ), y2 = |A2 | sin(ωt + ϕ2 )
Superposition:
y1 = Im{|A1 | e j(ωt+ϕ1 ) } → z1 = |A1 | e j(ωt+ϕ1 ) = A1 e jωt
y2 = Im{|A2 | e j(ωt+ϕ2 ) } → z2 = |A2 | e j(ωt+ϕ2 ) = A2 e jωt
z = z1 + z2 = (A1 + A2 )e jωt = A e jωt
A = A1 + A2
y = Im(z) = Im(A e jωt ) = |A| sin(ωt + ϕ)
Beispiel: Überlagerung von drei Schwingungen
u1 (t) = 100V sin(ωt)
5π
u2 (t) = 200V sin ωt +
6
π
u3 (t) = 150V cos(ωt) = 150V sin ωt +
2
1. Komplexe Form; Scheitelwerte:
258
u1 = û1 e jωt ,
û1 = 100V
u2 = û2 e jωt ,
û2 = 200Ve j 6 π
u3 = û3 e jωt ,
û3 = 150Ve j 2
5
π
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25. September 2013
17.1. Die komplexe Zeigerrechnung in der Wechselstromtechnik
2. Addition der komplexen Scheitelwerte:
û = û1 + û2 + û3
5
π
= (100 + 200 e j 6 π + 150 e j 2 ) V
= (100 − 173.2 + j · 100 + j · 150) V
= (−73.2 + j · 250) V
= 260.5 e j1.86 V
y
u(t) = 260.5 e jωt+j1.86 V
3. Rücktransformation:
y = Im(u) = 200.5 V sin(ωt + 1.86)
25. September 2013
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259
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
17.2. Wechselstromkreise
1.Komplexe Formulierung des Ohm’schen Gesetzes der Wechselstromtechnik
Wechselspannung in komplexer Form
√
u = û · e j(ωt+ϕu ) = û e jωt =
√
2 U e jωt ,
2 U = û = û e jϕu
Wechselstrom
√
û, î
i = î · e j(ωt+ϕi ) = î e jωt =
√
2 I e jωt
2 I = î = î e jϕi
: komplexe Scheitelwerte
von Spannung u- Strom
U , I : komplexe Effektivwerte
komplexer Widerstand Z :
√
2U e jωt
u
U
U
Z= = √
=
= e j(ϕu −ϕi )
jωt
i
I
I
2Ie
U = |U |, I = |I| : reelle Effektivwerte
(17.1)
(17.2)
Z : Impedanz, Scheinwiderstand; zeitunabhängig.
Z = Z e jϕ
mit Z =
U
, ϕ = ϕu − ϕi
I
R : Wirkwiderstand
X : Blindwiderstand
|Z| =
tan(ϕ) =
p
R2 + X 2
X
R
Abb. 17.2.: komplexe Impedanz
Aus (17.1) ergibt sich das Ohm’sches Gesetz der Wechselstromtechnik:
260
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
17.2. Wechselstromkreise
U =Z ·I
U = Komplexer Effektivwert der Spannung
I = Komplexer Effektivwert des Stromes
Z = Komplexer Widerstand mit Z = R + jX = Ze jϕ
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261
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
2.Widerstands- und Leitwertoperatoren
U =Z ·I
Wir wählen I als Bezugszeiger und legen ihn entlang der positiven reellen Achse:
Abb. 17.3.: Bezugssystem der Zeiger
Damit haben U und Z die gleiche Richtung und somit den gleichen Phasenwinkel ϕ.
a) Ohm’scher Widerstand R
U = R · I,
Z = R ∈ R, ϕ = 0
Abb. 17.4.: Ohm’scher Widerstand R
262
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17.2. Wechselstromkreise
b) Kapazität c
Die Ladung q eines Kondensators der Kapazität C bei angelegter Spannung u ist gegeben durch:
y
d
q = C · u ...
dt
q̇ = i = C · u̇
Die komplexe Rechnung ergibt für den Zusammenhang zwischen Strom i = î e jωt und Spannung u = û e jωt :
i = C · u̇
d
i = C · (ûe jωt ) = jωC · u
dt
y
Z=
u
1
j
1 −j π
=
=−
=
e 2
i
jωC
ωC
ωC
Abb. 17.5.: Kapazität C
c) Induktivität L
Das Induktionsgesetz liefert folgenden Zusammenhang zwischen Strom und Spannung:
u=L·
u=L
di
dt
d
d jωt i=L
î e
= jωLi
dt
dt
u = jωLi
π
y
Z = jωL = ωL e j 2
Leitwertoperatoren
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263
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
Abb. 17.6.: Induktivität L
Y =
1
=
Z
1
e−jϕ = G + jB
Z
Y : Leitwert, Admittanz
G : Wirkleitwert
B : Blindleitwert
3. Der komplexe Widerstand von Netzwerken
Reihenschaltung: Z =
Parallelschaltung: Y =
X
i
X
Zi
Yi
i
Abb. 17.7.: Impedanz elementarer Netzwerke
4. Ein Beispiel: Wechselstromkreis in Reihenschaltung:
Abb. 17.8.: Netzwerk: Wechselstromkreis in Reihenschaltung
264
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
17.2. Wechselstromkreise
Reihenschaltung:
−j
1
Z = R + jωL +
= Ze jϕ
= R + j ωL −
ωC
ωC
Abb. 17.9.: Netzwerk: Zeigerbild Reihenschaltung
25. September 2013
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265
17. Anwendungen der komplexen Rechnung
Wirkwiderstand R = Re(Z) = R
Blindwiderstand X = Im(Z) = ωL −
1
ωC
s
p
reeller Scheinwiderstand |Z| = Z = R2 + X 2 =
R2
1
+ ωL −
ωC
2
Phasenverschiebung:
1
ωL −
X
ωC
tan(ϕ) =
=
R
R


1
ωL −

ωC 
ϕ = arctan 

R
da Z im 1. oder 4. Quadranten liegt.
Effektivwert des Stromes:
I=
266
U
U
=q
Z
R2 + ωL −
1 2
ωC
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25. September 2013
18. Ortskurven
25. September 2013
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267
19. Übungsaufgaben
1. Gegeben seien folgende komplexe Zahlen:
z1 = 3 − 4j
z5 = 3 + 5j
z2 = −2 + 3j
z6 = −1 − 2j
z3 = −5 − 4j
z7 = −4 + j
z4 = 6
z8 = −3j
a) Stellen Sie diese Zahlen durch Bildpunkte in der Gauß’schen Zahlenebene dar
b) Rechnen Sie diese Zahlen in Polarform (trigonometrische und expnentielle Form) um. Wie lauten
die konjugiert komplexen Zahlen?
2. Bestimmen Sie die kartesische Form folgender Zahlen z ∈ C:
z2 = 3ej30
3π
z5 = 2e−j 2
z1 = 4(cos 1 + j sin 1)
z4 = 5(cos(−60) + j sin(60))
z3 = 5ej135
2π
z6 = e j 3
3. Bestimmen Sie die Betrag und Hauptwert des Arguments folgender Zahlen:
z1 = 4 − 3j
z4 = −3 + 4j
z2 = −2 − 6j
z5 = −4j
z3 = 3(cos 60 − j sin 60)
z6 = −3ej30
4. Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen z1 = −4j , z2 = 3 − 2j , z3 = −1 + j folgende Ausdrücke:
a) z1 − 2z2 + z3
d) z1 (2z2∗ − z1 ) + z3∗
z∗ z
b) 2z1 z2∗
c) 1z3 2
z +z ∗
f) z1∗ z33
z −z ∗
e) 13z ∗ 2
3
2
5. Berechnen Sie folgende Ausdrücke und geben Sie das Endergebnis in kartesischer, trigonometrischer
und exponentieller Form an:
2j
a) 3−4j + 2ej(−30) + 3(cos π4 + j sin π4 )
b)
(3+j)(cos 120−j sin 120)
(1−j)2 (2j)∗
+
2(cos 90+j sin 90)
e−j180
6. Berechnen Sie - auf möglichst einfachem Weg - folgende Potenzen und geben Sie das Ergebnis in
kartesischer, trigonometrischer und exponentieller Form an:
a) (1 + j)2
d) (−4 − 3j)3
√
b) (3 − 3j)4
3−j
e) ( 2+j )3
c) (2e−j30 )8
f) (3ejπ )5
7. Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen (in kartesischer Darstellung):
a) z 3 = j
b) z 4 = 16ej160
c) z 5 = 3 − 4j
8. Berechnen Sie folgende Wurzeln (in kartesischer Darstellung):
a)
√
2
4 − 2j
25. September 2013
b)
√
3
81e−j190
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
c)
√
6
−3 + 8j
269
Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
Translationsvektor . . . . .
liniengebundene Vektoren .
ortsfeste Vektoren . . . . .
Verschiebung von Objekten
Addition von Vektoren . . .
Kommutativität der Addition
Assoziativität der Addition .
Der Nullvektor . . . . . . .
entgegengesetzte Vektoren
Subtraktion von Vektoren .
Dreiecksungleichung . . .
Drei Vektoren in der Ebene
Zerlegung eines Vektors . .
Zugkräfte in Seilen . . . .
Summe der Einzelkräfte . .
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3
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4
.
4
.
6
.
6
.
6
.
6
.
7
.
7
.
7
.
8
. 11
. 12
. 13
. 13
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
Basisvektoren des R3
Betrag Ortsvektor . .
Vektor im Raum . . .
Winkel im Raum . . .
Winkel zur x-Achse .
Kosinus . . . . . . .
Kosinus . . . . . . .
Punktrichtungsform .
Zweipunkteform . . .
Ebenengleichung . .
Ebenengleichung . .
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15
18
18
19
19
19
21
24
24
25
25
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Skalarprodukt . . . . . .
Kosinussatz . . . . . . .
Abstand: Punkt, Gerade .
Abstand: Punkt, Gerade .
Gleichung: Ebene, Punkt
Abstand: Punkt, Ebene .
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33
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4.7
~ . . . . .
Das Drehmoment M
Betrag des Vektorprodukts . .
Rechtssystem der Vektoren . .
Vektormultiplikation . . . . . .
Rechtssystem der Vektoren . .
Tangentialgeschwindigkeit . . .
Abstand windschiefer Geraden
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Abbildungsverzeichnis
4.8
4.9
Sonnenwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Polarlicht in Kanada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1
Ein Spat oder Parallelepiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.1
Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
8.2
Haupt- und Nebendiagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Drehung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
57
10.1 Lösungsmannigfaltigkeit eines lösbaren (m, n) - Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.2 Lösungsmannigfaltigkeit eines (n,n)-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.3 Ein einfaches elektrisches Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.1 Teilmenge . . . . . . . . . . . . . .
12.2 i) Durchschnittsmenge . . . . . . . .
12.3 ii) Vereinigungsmenge . . . . . . . .
12.4 iii) Restmenge . . . . . . . . . . . .
12.5 Zahlengerade ersetze 7/4 durch 11/4
12.6 Betrag von x ∈ R . . . . . . . . . .
12.7 Betrag von a − b ∈ R . . . . . . . .
12.8 Beispiel Intervall 1 . . . . . . . . . .
12.9 Beispiel Intervall 2 . . . . . . . . . .
12.10Beispiel Intervall 3 . . . . . . . . . .
12.11 |x − 1| > 1 . . . . . . . . . . . . .
12.12 (x − 1)2 < |x| . . . . . . . . . . . .
12.13Klausur Mathe 1 August 2008 . . . .
12.14Die Stirling’sche Formel . . . . . . .
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121
13.1 Funktionsgraph . . . . . . . . .
13.2 Geschwindigkeit . . . . . . . . .
13.3 Weg . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Parameterdarstellung . . . . . .
13.5 x(t) . . . . . . . . . . . . . . .
13.6 y(t) . . . . . . . . . . . . . . .
13.7 Waagrechter Wurf y(x) . . . . .
13.8 x(t) = cos(t) . . . . . . . . . .
13.9 y(t) = sin(t) . . . . . . . . . .
13.10Einheitskreis x2 + y 2 = 1 . . . .
13.11 z(t) = t . . . . . . . . . . . . .
13.12 z = z(x(t), y(t), t) . . . . . . .
13.13Die Identität . . . . . . . . . . .
13.14Die konstante Funktion . . . . .
13.15Die lineare Funktion . . . . . . .
13.16Die Betragsfunktion . . . . . . .
13.17Die Signumsfunktion . . . . . .
13.18Beschränkte Funktion . . . . . .
13.19Nullstelle einer linearen Funktion
13.20gerade Funktion . . . . . . . . .
13.21ungerade Funktion . . . . . . .
13.22streng monoton wachsend . . .
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Abbildungsverzeichnis
13.23streng monoton fallend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.24periodischer Sägezahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.25Sinus-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.26Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.27versch. trig. Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.28Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.29nicht umkehrbare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.30umkehrbare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.31Umkehrfunktion: lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
13.32Umkehrfunktion: Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.33die Ausgangsfunktion f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.34...aufgelöst nach x = g(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.35Funktion und Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.36...und jetzt die Umkehrfunktion y = f −1 (x) . . . . . . . . . .
13.37Beispiel: mittelbare Funktion g (f (x)) . . . . . . . . . . . . . .
13.38Beispiel: mittelbare Funktion h(x) . . . . . . . . . . . . . . .
13.39Parallelverschiebung kartes. KO-Systems . . . . . . . . . . .
13.40Scheitelpunkt im neuen KO-System . . . . . . . . . . . . . . .
13.41Beschreibung eines Punktes: kartesische und Polarkoordinaten
13.42Funktion: Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.43Archimedische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.44Richtcharakterisitk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.45geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.46Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.47n-Abhängigkeit der Folgenglieder . . . . . . . . . . . . . . . .
13.48Explizite Sichtbarkeit 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.49Zwei benachbarte -Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . .
13.50Grenzwert der Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.51Verdampfungs-bzw Schmelzwärme . . . . . . . . . . . . . . .
13.52Folge von Funktionswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.53links-und rechsseitiger Grenzwert verschieden . . . . . . . . .
13.54Flächen der Dreiecke bzw. des Kreissektors . . . . . . . . . .
13.55Unstetige Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.56Polstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.57Funktionswert ungleich Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . .
13.58stetige Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.59behebbare Definitionslücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.60Stetige Funktion im abgeschlossenem Intervall . . . . . . . . .
13.61Satz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.62Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.63x-Achse ist Asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.64spez.Funktion: Lineare Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
13.65Quadratische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.66NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . .
13.67NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . .
13.68NST,Polstellen,Def.Lücken: Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . .
13.69unecht gebr.rationale Funktion: Beispiel 2 . . . . . . . . . . .
13.70Potenzfunktionen: gerade Potenz . . . . . . . . . . . . . . . .
13.71Potenzfunktionen: ungerade Potenz . . . . . . . . . . . . . . .
13.72Potenzfunktionen: negativ-ganzzahlige Potenz . . . . . . . . .
25. September 2013
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
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273
Abbildungsverzeichnis
13.73Wurzelfunktion: n gerade . . . . . . . . . . . . . .
13.74Wurzelfunktion: n ungerade . . . . . . . . . . . . .
13.75Potenzfunktion: rationaler Exponent . . . . . . . . .
13.76Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.77Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.78Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.79Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.80Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.81Einheitskreis: Kreisbogen x . . . . . . . . . . . . .
13.82Einheitskreis: Sinus -u. Kosinusfunktion . . . . . . .
13.83Sinus -u. Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . .
13.84Beziehungen: Sinus- und Kosinusfunktion . . . . .
13.85Einheitskreis:Tangens und Kotangens . . . . . . .
13.86Tangens und Kotangens . . . . . . . . . . . . . . .
13.87harmonische Schwingung: Federpendel . . . . . .
13.88Wechselstrom/spannung . . . . . . . . . . . . . .
13.89Zeigerdiagramm: Überlagerung von Schwingungen
13.90Sonderfall: Überlagerung von Schwingungen . . . .
13.91Arcussinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.92Arcuscosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.93Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.94Arcuskotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.95Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
13.96 e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.97Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.98Entladung: Kondensator . . . . . . . . . . . . . . .
13.99Schaltbild: Kondensator-Widerstand . . . . . . . .
13.100
Aufladung: Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.101
Schaltbild: Spule-Widerstand . . . . . . . . . . . .
13.102
Logarithmus zur Basis a>1 . . . . . . . . . . . . .
13.103
Logarithmus zur Basis a<1 . . . . . . . . . . . . .
13.104
Aufladung: Kondensator . . . . . . . . . . . . . . .
13.105
ex linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.106
ex logplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.107
axb linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.108
axb logplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.109
axb loglogplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.110
sinh(x) und cosh(x) . . . . . . . . . . . . . . . .
13.111
tanh(x) und coth(x) . . . . . . . . . . . . . . . .
13.112
Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.113
Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.114
Areafunktionen:Kettenlinie . . . . . . . . . . . . . .
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komplexe Ebene . . . . . .
komplexe Ebene: Beispiele
Trigonometrische Form . .
konjugiert komplexe Zahl .
Der Zeiger von e jϕ . . . .
Kartesische in Polar-Form .
tan(ϕ), ϕ ∈ [0, 2π) . . . .
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W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Abbildungsverzeichnis
y
15.8 arctan( x ) über alle Quadranten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
15.9 Berechnung des Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
15.10Berechnung: Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
Zeigerdarstellung der komplexen Addition
Geometrische Deutung der Multiplikation .
Geometrische Deutung der Division . . . .
Lösung: einfache algebraische Gleichung .
reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . .
komplexe Funktionen . . . . . . . . . . .
Fundamentalstreifen . . . . . . . . . . . .
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241
245
245
247
249
249
253
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
Wechselstrom: Zeigerdiagramm . . . . . . . . . .
komplexe Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . .
Bezugssystem der Zeiger . . . . . . . . . . . . .
Ohm’scher Widerstand R . . . . . . . . . . . . .
Kapazität C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Induktivität L . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impedanz elementarer Netzwerke . . . . . . . .
Netzwerk: Wechselstromkreis in Reihenschaltung
Netzwerk: Zeigerbild Reihenschaltung . . . . . .
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257
260
262
262
263
264
264
264
265
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Tabellenverzeichnis
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
275
Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
Literatur
1. Lehrbücher
Brauch, Dreyer, Haake : Mathematik für Ingenieure, Teubner Verlag
Dallman, Elster : Einführung in die höhere Mathematik, Gustav Fischer Verlag, Band 1-3
Dirschmidt : Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik, Vieweg Verlag
Großmann : Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Vieweg + Teubner Verlag
Leupold, et al. : Analysis für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch
Nickel, et al. : Algebra und Geometrie für Ingenieure, Verlag Harri Deutsch
Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg Verlag, Band 1-3
2. Formelsammlungen
Bronstein et al. : Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch
Stöcker : Taschenbuch mathematischer Formeln und Verfahren, Verlag Harri Deutsch
Merziger et al. : Formeln und Hilfen zur Höheren Mathematik, Binomi Verlag
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
277
Lineare Gleichungssysteme
3. Determinanten
3.1. Eigenschaften von Determinanten
Beweise und Beweisskizzen
Satz: (Determinante der transponierten Matrix)
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix. Dann gilt |AT | = |A|
Das Transponieren vertauscht in A Zeilen und Spalten. Die Entwicklung von |A| nach einer Zeile und von |AT |
nach der entsprechenden Spalte liefert nach dem Laplace’schen Entwicklungssatz das gleiche Ergebnis.
Satz: (Determinante einer Dreiecksmatrix)
A = (aik ) sei eine (obere oder untere) Dreiecksmatrix. Dann gilt
det A = a11 a22 · · · ann =
n
Y
aii .
i=1
Beweis des letzten Satzes durch sukzessive Entwicklung nach jeweils erste Spalten/Zeilen und ggf. vollständiger
Induktion.
Satz: (Rechenregeln für n-reihige Determinanten)
A = (aik ) sei eine (n, n)-Matrix. Dann gilt
1. Beim Vertauschen zweier Spalten oder zweier Zeilen (müssen nicht benachbart sein!) ändert die
Determinante ihr Vorzeichen.
2. Multipliziert man alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit einem Faktor λ ∈ R, so multipliziert sich die
Determinante mit λ.
3. Addiert man zu allen Elementen einer Zeile (Spalte) von A ein λ- faches der entsprechenden Elemente
einer anderen Zeile (Spalte) von A, so ändert dies die Determinante nicht.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
279
Lineare Gleichungssysteme
1. Vertausche zwei benachbarte Zeilen (Spalten), entwickle die Determinanten nach den gleichen Elementen
und verifiziere das negative Vorzeichen. Diskutiere das Vertauschen zweier nicht benachbarter Zeilen
(Spalten).
2. Entwickle die Determinante nach der Zeile (Spalte) mit und ohne den Faktor λ.
3. Entwickle die Determinante nach der Zeile (Spalte) mit und ohne dem λ- fachen einer anderen Zeile
(Spalte). Dies ergibt die ursprüngliche Determinate und das λ- fache einer Determinante mit zwei gleichen
Zeilen (Spalten). Diese zweite Determinante verschwindet
280
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Lösungen zu den Übungsaufgaben
4. Vektoralgebra
 
2
1  
√
1 , b̂ = √189 (3êx − 4êy + 8êz ), ĉ =
1. â =
21
4
 
−1
2. b̂ = −â = √1  4 .
26
−3
√


3 + 6 √2
3. ~
r =  1 + 10 √2 .
−5 + 8 2
 
−1
√1  1 .
3
−1
4. ja
5. |~a| =
|~b| =
√
√
3, cos(α) = cos(β) = cos(γ) =
17, cos(α) =
√
|~c| = 29, cos(α) =
√1 ,
17
√4 ,
29
cos(β) =
cos(β) =
√1 ;
3
√4 ,
17
√3 ,
29
 √ 
5 3
6. ~
r =  5 .
0
cos(γ) = 0;
cos(γ) = − √229 .
43
7. λ = − 31
.
8. ja
9. linear unabhängig.
10. D1 = 144, D2 = 72, D3 = 4a.
11. a) 1, b) 288, c) 12.
12. a) φ = 79, 92◦ , b) φ = 51, 34◦ , c) φ = 157, 90◦ .
13. ~a − ~c + ~b = ~0, ~a · ~b = 0, ~a · ~c 6= 0, ~b · ~c 6= 0
14
10
~
~
14. a) ~b · â = 11
3 , b) b · â = − 3 , c) b · â = 3 .


 


2
93
−12
15. ~a × ~b = −14 , (~a − ~b) × (3~c) =  9  , (−~a + 2~c) × (−~b) = −26 ,
−9
−6
−1
 
236
(2~a) × (−~b + 5~c) =  −2 .
38
q
3
16. d =
2.
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
281
Lösungen zu den Übungsaufgaben
17. d =
q
315
14 .
18. a) windschief, Schnittwinkel φ = 134, 42◦ , Abstand d = √5 .
6
b) antiparallel, Abstand d = 45
14 .
~n·(~r0 −~r1 ) 19. d = |~n| .
20. a = −2.
21. (~a × ~b) · ~c = 0.
22. V = (~a × ~b) · ~c = 75.
√
23. d = 7 6 6 .
24. x − y −
√
√
√
2z = 2( 2 − 1).
25. F = 3 6 = 7.3485.
5. Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten
1. a) x1 = 3, x2 = −1, x3 = −4;
b) x1 = 53 λ, x2 = − 23 λ, x3 = λ, λ ∈ R;
c) x1 = 2, x2 = −4, x3 = 6, x4 = −8.
61 22 111
9 10 13
,
, b) 3A + 2(B + 5C) =
3 −14 91
2 0 12


−35 −15
c) 3AT + 4(B + 2C)T = −26 22 ,
−57 −59
−3 18 −15
T
T
T
.
d) 2(A + B) − (A − b ) + 5(C − 2A) =
26 −32 12




13 34 18
−21 10 12
−9 −6,
3. a) A2 =  8 32 17, B 2 =  −4
1 5 3
−16 −20 −3




−13 19 15
8
32 17
AB = −21 10 12, BA =  −5 −3 −1.
−2 1 0
−12 −13 −8


4 10 12 29
1 4
13 18
3
8
.
b) A2 ,B 2 nicht definiert, AB =
, BA = 

3 5
0 −4 0 −2
1 8
3 10
13 82 37
4. a) (AB)C =
, b) A(BC) = (AB)C ,
59 169 35


5 −2
10 34 22
c) A(B + C)T =
, d) (AB)T = 15 32 .
24 33 26
7
9
2. a) A + B + C =
282
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Analysis und Algebra
5. a) λ = 12 (−1 ±
√
17),
b) λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
6. |A| = 0, |B| = 264, |C| = 454.
7. a) 2.Spalte = (−2) 1.Spalte b) 2.Spalte= 0
c) 1.Zeile =3.Zeile d) 1.Zeile = (−3)3.Zeile
8. |A| = 42, |B| = −63.
9. |A| = 664, |B| = −10, |C| = −96.
10. |A| = 188, |B| = −5, |AB| = −940.
cos(φ) sin(φ)
1.5
−1
−1
11.
=
B =
− sin(φ) cos(φ)
−0.25 0.5




4
8 −6
−1 0 0
C −1 =  1 1 0  D−1 = 61 −2 −4 6 .
−1 0 −1
−1 −5 3
A−1
12. a) Rg(A) = 2;
b) Rg(B) = 3;
c) Rg(C) = 2
13. a) Rg(A) = 3;
b) Rg(B) = 3;
c) Rg(C) = 3;
14. x1 = 0;
x2 = 2;
x3 = 1;
d) Rg(D) = 3
x4 = −1
15. (4,3)-System, Rg(A) = 3
⇒ es gibt genau eine Lösung ⇒
16. λ1,2 = ±2;
λ3,4 = ±j ;
Sonderfall: λ = 0
17. a) x1 = −3;
b) x1 = 0;
x2 = 3;
x2 = 7;
~x = ~0
⇒ nur triviale Lösungen
x3 = 0
x3 = 3
6. Analysis und Algebra
1. M1 = {1, 2, 3};
M2 = {−6, −5, . . . , 5, 6};
2. M1 ∪ M2 = {x|x ∈ R, −2 < x < 4}
L1 = {−2, 21 };
L2 = {0, 4}
M1 ∩ M2 = {x|x ∈ R, 0 ≤ x < 2}
M1 \ M2 = {x|x ∈ R, 2 ≤ x < 4}
3. Graphische Lösungen:
a)
b)
Abb. 1.
Abb. 2.
c)
Abb. 3.
√ 1
1 ± 97
b) x = 0 c) L = {−2, 1}
2
√
5−1
1 √
d) x1 =
; x2 =
13 − 3
2
2
√
√ 1
1
x3 = − 1 + 5 ; x4 = − 3 + 13
2
2
4. a) x1,2 =
25. September 2013
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
283
Lösungen zu den Übungsaufgaben
5. a) L = {x|x ∈ (8, ∞)}
d) L =
c) L = { }
b) L = R
1 √
1 √
16 + 1 − 1 , −
16 + 1 + 1
2
2
e) L = {x|x ∈ R}
f) L = {x|x ∈ (−1, ∞)}
6. keine Lösungsangaben
7. a) x1,2 = 41 (3 ±
√
b) x1 = −5 ; x2 = 3
5)
c) x1,2 = 5 ±
√
99
√
d) x1,2 = 2 ± 3j
8. a) x1 = 0 ; x2,3 = 2
b) t1,2 = ±2 ; t3,4 = ±3
d) x1 = 0 ± 3j; ; x2,3 = ±1.618; ; x4,5 = ±0.618
c) x1 = 0 ; x2,3 = 3 ± j 2
9. a) x = 27
b) keine Lösung
c) keine Lösung
10. a) x ≤ 2
b) x ∈ R
c) |x| ≤ 2
11. a) 715
b) 253
c) 78
12.
n+k
k+1
d) x = −1
(n+k)!
= (n−1)!(k+1)!
13. a) (102)2 = (100 + 2)2 = 108 + 4 · 106 · 2 + · · · + 4 = 108 243 216
b) (99)5 = (100 − 1)5
c) (996)3 = (103 − 4)3
14. a) Df = {x ∈ R} ; Wf = − 12 , 12
c) Df = R\ {0} ; Wf = R
e) Df = {x|x ≥ 2 ∨ x ≤ − 32 } ; Wf = [0, ∞)
b) Df = {|x| ≥ 1} ; Wf = [0, ∞) d) Df = R\ {±2} ; Wf = R\ 0, 14
f) Df = R\ {−1} ; Wf = R\ {1}
15. a) gerade Funktion
d) gerade Funktion
c) ungerade Funktion
f) gerade Funktion
b) ungerade Funktion
e) gerade Funktion
16. a) streng monoton
steigend für x < 0
fallend für x > 0
b) streng monoton steigend in Df = {x ≥ 1}
c) streng monoton steigend
steigend für x > 1
fallend für x < 1
f) streng monoton fallend
d) streng monoton
e) streng monoton steigend
17. a) f −1 (x) = 13 (x + 2)
d) f −1 (x) = (4 − x)2 für x ≤ 4
1
g) f −1 (x) = ln(2)
ln(x − 1) für x > 1
b) f −1 (x) = x + 32
3x
e) f −1 (x) = 2x−1
h) f −1 (x) = ex−1
18. a) p = π
b) p = 2π
c) p =
k
2π
d) p1 = π ; p2 = 5
⇒ p = 2π
e) p =
2π
2π
2π
f) p1 = 2π
;
p
=
;
·
·
·
;
p
=
⇒
p
=
2
n
ω
2ω
nω
ω
19. a) r = 12.65; φ = −71.56◦b) r = 4.24; φ = 135◦
20. a) x = 8.19; y = 5.74
284
c) f −1 (x) = − 12 x3
√
f) f −1 (x) = 3 1 − x
x
i) f −1 (x) = ee
2π
3
2π
3ω
c) r = 6.40; φ = −38.66◦
b) x = −0.83; y = −3.46
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Analysis und Algebra
2.0
1.5
21. a)
2
b)
1.0
1
0.5
0
−4
−2
0
2
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
0.75
0.5
0.25
p
22. a) r = sin(2φ) für 0 ≤ φ ≤ π2 , π ≤ φ ≤
−0.75
3π
2
−0.5
b)
0.0
−0.25
0.25
0.5
0.75
0.0
−0.25
−0.5
−0.75
23. a) (x + 52 )2 − 53
4
d) 7(x − 12 )2 + 133
4
b) 3(x − 32 )2 − 23
4
e) (x2 + 2)2 + 5
24. a) {(0.2)n }
b)
n
n2
n+1
c) (x + 12 )2 + 34
o
c)
n
2n
d)
n√ o
n
n+1
1.0
0.75
an 0.5
25.
0.25
0.0
0
5
10
15
n
26. a) 12
b) ∞
c) 1
b) lim = 43
h→0
e) lim = 12
c) lim = − 97
h→0
f) lim = 4a3
b) lim = 34
1
c) lim = − 79
x→2
d) lim = 4
e) lim
= 12
f) lim = 4a3
29. a) lim = 2
b) lim
√
= 5
c) lim = 1
27. a) lim = −6
h→0
d) lim = 4
h→0
28. a) lim
x→−3
= −6
x→0
x→1
d) lim = 0
x→0
30. a) x = 4
25. September 2013
h→0
h→0
x→ 2
x→−2
x→a
x→ 2
e) lim = 0
x→0
f) limπ
x→ 2
1−sin(x)
cos(x)
b) x = −1, −2
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
=
x→0
sin( h )
lim − cos( 2h )
h→0
2
c) x = nπ
=0
n∈Z
285
Lösungen zu den Übungsaufgaben
31. a) unstetig für x = 0; nicht hebbar
c) unstetig für x = 0; hebbar
e) unstetig für x = 4; hebbar
b) unstetig für x = 0; nicht hebbar
d) unstetig für x = 0 , −1; x = 0 hebbar
f) unstetig für x = 0; nicht hebbar
32. a) y = −2(x + 1)2 + 5
c) y = 2(x + 25 )2 − 25
2
b)y = 5(x + 2)2
d) y = 4(x + 1)2 − 64
13 2
22
33. a) y = − 84
x + 93
84 x + 21
13
y = − 84
(x − 3, 5679)2 + 3, 0277
√
√
34. a) y = (x − 4)(x + 2j)(x − 2j)
√
c) y = 3 ± j 2
b)y = 32 (x − 33 )(x + 33 )
d) y = −2x(x − 2)2
35. a) f (x0 = −36.16
b)f (x0 = −418.98
5 2
1 4
x + 12
x −3
36. a) y = − 108
b)f (x0 = −418.98
37.
a) Nullstellen: x1 = 1, x2 = −2;
Pol: x = 2
b) Nullstellen: x1 = −2, x2 = 3, x3 = 4;
c) Nullstellen: x1 = 1;
Pole x = −1
d) Nullstellen: x1 = 0, x2 = 2(1 ±
√
Pole: xp1 = 0, xp2 = −1
√
2); Pole: x = ± 2
38. a) Nullstelle: x = ±2; keine Pole; Asymptote: y = 1
b) Nullstellen: x1,2,3 = 2; Pole: x = −2; Asymptote: y = x − 6
c) Nullstelle: x1,2 = 2.7 ± 1.7j; x3 = −0.39; Pole: x1,2,3 = 2 Asymptote: y = 1
d) Nullstellen: x = 1; Pole: x = −1; Asymptote: y = 1
Skizzen:
a)
b)
c)
d)
(x−2)(x+4)2
39. f (x) := 81 (x+1)(x−1)
286
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
25. September 2013
Komplexe Zahlen
y
b) Hyperbel; ( x2 )2 + ( 2 )2 = 1
d) Kreis; (x + 3)2 + (y − 32 )2 = 45
4
40. a) Kreis; (x − 1)2 + (y + 2)2 = 25
y 2
2
c) Ellipse; ( x−1
4 ) + (3) = 1
b) −0, 6198
e) −0, 0384
41. a) 0, 2164
d) 0, 4685
c) −0, 5774
f) 0, 4063
42. keine Lösungsangaben
π
43. a) A = 2 ; p = 2π
3 ; ϕ0 = 18
c) A = 2 ; p = 2 ; ϕ0 = 3
44. a) y = 5 sin(3t +
c) y = 3 sin(2t +
b) A = 5 ; p = π ; ϕ0 = −2, 1
d) A = 2, 4 ; p = π2 ; ϕ0 = π8
3π
2 )
5π
4 )
b) y = 3 sin(πt − π2 )
d) y = 4 sin( 12 t + 3 + π)
b) −1, 2614
e) 0, 8084
45. a) 0, 598
d) 3, 2953
c) 1, 0781
f) 0, 3082
46. a) u1 + u2 = 184, 77V sin(ωt + 0, 393)
b) u1 + u2 = 526, 24V sin(ωt − 0, 217)
(
0, 8473 + kπ
47. a) xk =
( 2, 0066 + kπ
b) xk = 0, 9635 + k · π2 , k ∈ Z
, k∈Z
2, 0472 + 2kπ
−0, 0472 + 2kπ
c) xk =
(
0, 7854 + 2kπ
d) xk =
2, 3562 + 2kπ
, k∈Z
, k∈Z
48. keine Lösungsangaben
49. a) xk = 0, 2657 + kπ
c) xk = −45, 94 + k180
b) xk = 1, 02986
d) xk1 = 0; xk2,3 = ±1, 09884
7. Komplexe Zahlen
1. z1 = 5e−j0,927
z5 =
5, 83ej1,03
2. z1 = 2, 16 + j3, 37
z4 = 2, 5 − j4, 33
z2 = √
3, 61ej2,159
z6 = 5e−j2,034
z3 = 6, 45e−j2,467
z7 = 4, 12ej2,897
z2 = 2, 6 + j1, 5
z5 = 2j
z3 = −3, 54 + j3, 54
z6 = −0, 5 + j0, 87
z4 = 6ej0
π
z8 = 3e−j 2
3. |z1 | = 5; argz1 = −0, 643 + 2π
|z3 | = 3; argz3 = −π 3
|z5 | = 4; argz5 = 3π
2
|z2 | = 6, 32; argz2 = −1, 892 + 2π
|z4 | = 5; argz4 = 2, 214
|z6 | = 3; argz6 = −2, 618 + 2π
4. a) −7 + j
d) 31 − 25j
c) 2 − 10j
f) 1j
b) 16 − 24j
e) 1, 5 + 0, 5j
b) z = 0, 158 − j1, 225 = 1, 24e−j1,442
5. a) z = 3, 53 + j1, 36 = 3, 79ej0,368
√
b) −72(1 + j 3)
e) −2 − 2j
6. a) 2j
d) 44 − 117j
√
j
7. a) z1 = 23 + 2
2π
b) z1 = 2(cos( 2π
9 ) + j sin( 9 ))
2π
z4 = 2(sin( 2π
9 ) − j cos( 9 ))
c) z1 = 1, 356 − j0, 254
z4 = −1, 247 − j0, 591
25. September 2013
√
z2 = − 23 +
z2 = −z1
c) −128 + j221, 702
f) −243
j
2
z2 = 0, 661 + j1, 211
z5 = 0, 177 − j1, 368
z3 = −j
2π
z3 = 2(− sin( 2π
9 ) + j cos( 9 ))
z3 = −0, 948 + j1, 002
W. Langguth, Mathematik 1, WS 2012/13
287
Lösungen zu den Übungsaufgaben
8. a) z1 = 2, 058 − j0, 486
b) z1 = 2, 378 + j3, 615
c) z1 = 1, 357 + j0, 452
z4 = −z1
288
z2
z2
z2
z5
= −z1
= −4, 319 + j0, 252
= 0, 287 + j1, 401
= −z2
z3 = 1, 942 − j3, 867
z3 = −1, 07 + j0, 949
z6 = −z3
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25. September 2013