2 Zahlen ordnen

2 Zahlen ordnen
Welche Hausnummer hat das 12. Haus in
der oberen Reihe?
Das wievielte Haus in dieser Reihe hat die
Hausnummer 37?
Bisher wurden Zahlen in Diagrammen dargestellt. Im Folgenden wird gezeigt, wie man
Zahlen am Zahlenstrahl darstellen, vergleichen und der Größe nach anordnen kann.
Beim Zählen verwendet man die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 usw. Zu jeder natürlichen
Zahl gibt es eine um 1 größere Zahl, ihren Nachfolger. Ebenso gibt es zu jeder natürlichen
Zahl außer der 0 eine um 1 kleinere Zahl, ihren Vorgänger.
Natürliche Zahlen, die größer als 9 sind, setzen sich aus mehreren Ziffern zusammen.
So besteht zum Beispiel die Zahl 27 aus den beiden Ziffern 2 und 7.
Die natürlichen Zahlen kann man am Zahlenstrahl veranschaulichen.
In Pfeilrichtung werden die Zahlen größer.
Die Zahl 2 liegt links von der Zahl å.
2 ist kleiner als å.
Man schreibt: 2 < å.
Die Zahl 8 liegt rechts von der Zahl 5.
8 ist größer als 5.
Man schreibt: 8 > 5.
Auf einem Zahlenstrahl sind die Abstände zwischen aufeinander folgenden natürlichen
Zahlen gleich groß. Möchte man auch größere Zahlen auf einem Zahlenstrahl darstellen,
so muss man die Abstände zwischen allen Zahlen entsprechend verkleinern.
Beispiel 1 Zahlen vergleichen und anordnen
a) Setze < oder > ein:
4º0
669 º 696
23 º 32
b) Ordne die Zahlen 31, 29, 103, 0, 131 und 113 der Größe nach. Verwende das Zeichen <.
Lösung
< 32
4º
> 0
669 º
< 696
a) 23 º
b) 0 < 29 < 31 < 103 < 113 < 131
12
27
Ziffer Zahl
Die Zahl 27 besteht aus
den Ziffern 2 und å.
Für die Menge der
natürlichen Zahlen
schreibt man auch N.
Die Menge N enthält
unendlich viele Zahlen.
I Zahlen und Größen
Beispiel 2 Zahlen auf dem Zahlenstrahl markieren
Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl und markiere die gegebenen Zahlen.
a) 5, 8, 10, 12, 14
b) 210, 225, 250, 288, 302
Lösung
a) Die Breite einer Heftseite beträgt ca. 18 cm. Da Zahlen bis 14 markiert werden sollen,
ist es sinnvoll, für zwei aufeinander folgende Zahlen den Abstand 1 cm zu wählen.
5
0
8
10
5
12
14
10
Notiere am Zahlenstrahl in regelmäßigen
Abständen einige
Zahlen zur besseren
Orientierung.
15
b) Die zu markierenden Zahlen liegen etwa im Bereich von 200 bis 300. Wenn man für
diesen Bereich eine Breite von 10 cm wählt, beträgt der Abstand zwischen 190 und 200,
zwischen 200 und 210 usw. jeweils 1 cm. Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlen beträgt dann 1 mm. Man kann den Zahlenstrahl bei 190 beginnen.
210
225
250
200
288
250
Wenn du das Heft quer
nimmst, kannst du die
Abstände auch doppelt
so groß wählen.
302
300
Beispiel 3 Eine Aussage mit einem Gegenbeispiel widerlegen
Weise mithilfe eines Gegenbeispiels nach, dass die folgende Aussage falsch ist:
Wenn eine Zahl größere Ziffern hat, ist sie größer.
Lösung
Um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist, reicht es aus, ein Gegenbeispiel zu finden.
Gegenbeispiel: Die Zahl 99 hat größere Ziffern als die Zahl 123, dennoch gilt: 99 < 123.
Die Aussage, dass eine Zahl mit größeren Ziffern auch größer ist, ist also falsch.
Finde ein einziges
Gegenbeispiel – schon
ist bewiesen, dass die
Aussage falsch ist!
Aufgaben
0
1 Gib zu jeder der natürlichen Zahlen den Vorgänger und den Nachfolger an.
a) 23, 45, 49, 51, 79, 80
0
2 Gib an, welche natürlichen Zahlen markiert sind.
a)
A
B
0
0
12 < 13 < 14
Vorgänger Nachfolger
von 13 von 13
b) 100, 909, 990, 999, 1009, 1999
C
10
20
D
30
E
40
50
3 a) Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 30. Wähle 1 cm für den Abstand von 0 bis 2.
Markiere die Zahlen 1, 5, 8, 13, 15, 19, 20, 24 und 28.
b) Zeichne einen Zahlenstrahl von 100 bis 300. Wähle 1 cm für den Abstand von 100 bis
120. Markiere die Zahlen 120, 130, 150, 170, 190, 210, 240 und 290.
0
c) 312
9
212
38 49 37 22
231
321
å
20 12
123 323 132
b) 759
d) 9099
in Beispiel 2.
1 Du findest Hilfe
4 Ordne der Größe nach. Verwende das Zeichen <.
a) 95 73
1 Du findest Hilfe
293
101
9009
9990
399
578
9090
400 607
in Beispiel 1.
9000 9909
2 Zahlen ordnen
13
0
Teste dich!
Lösungen | Seite 241
5 Zeichne einen Zahlenstrahl von 350 bis 500. Wähle 1 cm für den Abstand von 350 bis 360.
Markiere die Zahlen 365, 385, 410, 445, 460, 470 und 495.
6 Ordne der Größe nach. Verwende das Zeichen < .
a) 12, 234, 38, 21, 423, 131, 404, 83
$
b) 565, 605, 55, 556, 656, 506, 655, 450
7 a) Welche Zahlen sind auf dem Zahlenstrahl markiert? Ordne das richtige Kärtchen zu.
(1)
0
(2)
1
2
3
4
5
6
7
A Markiert sind die
Zahlen, die größer
als 0 und kleiner
als 7 sind.
8
9 10 11 12 13
B Ma
rkiert sind die
Zahlen, die größer
als 4 und kleiner
als 11 sind.
0
1
2
3
4
5
6
C Markier
t sind die
Zahlen, die kleiner
als 7 sind.
7
8
9 10 11 12 13
D Markiert sind die
ößer
Zahlen, die griner
le
k
d
un
5
als
als 10 sind.
b) Zeichne jeweils einen Zahlenstrahl von 0 bis 13 und markiere die Zahlen zu den Kärtchen, die in der Teilaufgabe a) übrig geblieben sind.
$
8 Gib an, welche natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl genau in der Mitte zwischen den
beiden angegebenen Zahlen liegt. Erkläre, wie du vorgehst.
a) 2 und 14
b) 7 und 97
c) 900 und 2000
$
9 Finde den Fehler! Erkläre, was falsch gemacht wurde, und korrigiere im Heft.
a)
$
d) 330 und 550
3 > 7 > 19
b) Der Vorgänger von
250 ist 240.
c) Der Nachfolger von
23 000 ist 24 000.
10 Gegenbeispiel gesucht!
Weise nach, dass die Aussage falsch ist, indem du ein Gegenbeispiel angibst.
a) Wenn eine Zahl mit der Ziffer 0 endet, endet der Nachfolger ebenfalls mit der Ziffer 0.
b) Zu zwei natürlichen Zahlen gibt es immer eine natürliche Zahl, die genau in ihrer Mitte
liegt.
Teste dich!
$
1 Du findest Hilfe
in Beispiel 3.
Lösungen | Seite 241
11 a) Zeichne einen Zahlenstrahl von 130 bis 160 und markiere alle natürlichen Zahlen, die
größer als 135 und kleiner als 152 sind.
b) Gib an, welche natürliche Zahl auf dem Zahlenstrahl genau in der Mitte von 28 und 82
liegt.
.
.
12 Gib an, wie viele natürliche Zahlen man für das Kästchen einsetzen kann.
b) 5 < º < 6
c) 2900 ª º ª 3800
d) 250 ª º < 320
a) 7 < º < 17
13 H Findet heraus, welche Zahlen man für º und » einsetzen kann. Gebt Zahlenbeispiele
an und beschreibt, welche Überlegungen ihr dabei angestellt habt.
b) 60 : º > 60 : »
c) 20 – º < 10 + »
a) 5 · º < 5 · »
Teste dein Grundwissen!
d) 2 · º – » > º
Das Einmaleins
Grundwissen
Seite 236
Lösungen | Seite 241
G 14 Notiere die Reihe.
a) 7-er Reihe bis 70
14
b) 9-er Reihe bis 180
Das Zeichen ª bedeutet
„kleiner oder gleich“.
c) 13-er Reihe bis 260