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Wunsch · Schreiber
Stochastische Systeme
Stochastische
Systeme
Grundlagen
Prof. Dr.-Ing. habil. Gerhard Wunsch
Dr. sc. techn. Helmut Schreiber
SPRINGER-VERLAG WIEN GMBH
ISBN 978-3-7091-4193-9
ISBN 978-3-7091-4192-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-4192-2
110 Bilder
LAuflage
© Springer-Verlag Wien 1984
Ursprünglich erschienen bei VEB Verlag Technik, Berlin, 1984
Softcoverreprint ofthe bardeover Istedition 1984
Lizenz 201 · 370/13/84
DK 519.217(075.8) · LSV 3534 · VT 3/5733-1
Lektor: Doris Netz
Schutzumschlag: Kurt Beckert
Gesamtherstellung: Offizin Andersen Nexö, Graphischer Großbetrieb, Leipzig III/18/38
Bestellnummer: 5533257
01300
Vorwort
Das vorliegende Buch enthält die wichtigsten Begriffe und Grundlagen zur Analyse
stochastischer Systeme. Es verfolgt das Ziel, eine dem gegenwärtigen internationalen
Niveau entsprechende, für Ingenieure gedachte Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Theorie zufälliger Prozesse und deren Anwendungen auf Systeme der
Informationstechnik zu geben. Damit unterscheidet sich das Buch grundlegend einerseits
von den hauptsächlich für Mathematiker gedachten Darstellungen, für deren Studium
gute Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorausgesetzt werden (z.B. [5, 6, 7]),
und andererseits von den zahlreichen Werken der technischen Literatur, in denen die
angewandten Rechenmethoden meist recht knapp begründet sind oder nur sehr spezielle
Anwendungen betrachtet werden.
Das Buch ist aus Vorlesungen für Studierende der Fachrichtung Informationstechnik
und aus der bereits in [17] verfolgten Konzeption hervorgegangen. Dabei wurde in verstärktem Maße auf eine international übliche Diktion Wert gelegt, um dem Leser so
einen leichteren Übergang zu größeren und anerkannten Standardwerken mit weiterführendem Inhalt zu ermöglichen. Es wurde versucht, den allgemeinen theoretischen
Rahmen, in dem sich heute jede moderne Darstellung der Stochastik bewegt, möglichst
allgemeingültig und zugleich anschaulich darzustellen. Dabei wurden gleichzeitig alle
Abschnitte stärker als üblich ausgebaut, die eine direkte Anwendung in der Systemanalyse (Schaltungsanalyse) zulassen (z.B. Abschn. 1.2.4., 1.3.1., 2.1.2., 2.1.4., 2.2.2. und
2.2.3.),
Der gesamte Stoff ist in zwei Hauptabschnitte unterteilt. Der erste enthält die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie deren Anwendung bei der Analyse statischer Systeme. Im zweiten Hauptabschnitt sind die Grundlagen der Theorie stochastischer Prozesse und ihre Anwendung bei der Beschreibung statischer und dynamischer
Systeme dargestellt. Um dem Charakter dieses Buches als Lehrbuch zu entsprechen,
wurden die Abschnitte mit zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben ausgestattet,
deren Lösungen in einem Anhang zusammengefaßt sind.
In diesem Buch wird aufwesentliche Begriffe und Definitionen aus [I] und [2] zurückgegriffen. Damit soll ein Beitrag zu einer in den Grundzügen einheitlichen Darstellung
und Beschreibung von determinierten und stochastischen Systemen geschaffen werden.
Herrn Prof. Dr. sc. techn. W. Schwarz danken wir für seine großzügige Unterstützung,
seine Mitwirkung und sein förderndes Interesse bei der Abfassung des Manuskripts.
Unser besonderer Dank gilt auch der Lektorin, Frau D. Netz, für die umsichtige und verständnisvolle Zusammenarbeit.
Dresden, Oktober 1982
G. Wunsch
H. Schreiber
Inhaltsverzeichnis
Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0. Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1. Ereignis und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ereignisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l.l.l.l. Elementarereignis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.2. Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1.3. Ereignisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.1. Relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.2. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2.3. Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.1. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3.2. Formeln......................................................
1.1.3.3. Unabhängige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Aufgaben zum Abschn.l.l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
14
15
17
20
20
22
24
25
25
27
28
29
1.2. Zufällige Veränderliche................................................
1.2.1. Eindimensionale Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.1. Meßbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.2. Verteilungsfunktion............................................
1.2.1.3. Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1.4. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Mehrdimensionale Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.1. Verteilungsfunktion und Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2.2. Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Bedingte Verteilungen.............................. . . . . . . . . . . . .
1.2.3.1. Randverteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.2. Bedingte Verteilungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3.3. Unabhängigkeit von zufälligen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Statische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.1. Determinierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.2. Verteilungs- und Dichtefunktion am Systemausgang. . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4.3. Stochastische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Aufgaben zum Abschn. 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
30
33
35
39
41
41
45
48
48
49
52
53
53
54
60
63
1.3. Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.1. Varianz und Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.1.1. Erwartungswert ....... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8
Inhaltsverzeichnis
1.3.1.2. Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.3. Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.4. Stochastisches System.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.1. Eindimensionale zufällige Veränderliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2.2. Zufällige Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Aufgaben zum Abschn.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
71
75
76
76
79
80
Zufällige Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Grundbegriffe ............ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
83
2.1.1. Einfache Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.1. Prozeß und Realisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1.2. Verteilungsfunktion.................................. ..........
2.1.1.3. Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Vektorprozesse und statische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.1. Vektorprozeß und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.2. Determinierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2.3. Stochastische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Momente zufälliger Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3.1. Einfache Prozesse .............................................
2.1.3.2. Vektorprozesse ................................................
2.1.3.3. Charakteristische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Spezielle Prozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.1. Stationäre Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4.2. Markow-Prozesse ..............................................
2.1.4.3. Gaußsehe Prozesse (normale Prozesse) ...........................
2.1.5. Aufgaben zum Abschn.2.1. .....................................
83
83
87
90
92
92
93
98
100
100
101
103
103
103
107
113
115
2.2. Dynamische Systeme ....... , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Analysis zufälliger Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.1. Konvergenz im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.2. Stetigkeit im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1.3. Differentiation im quadratischen Mittel. ..........................
2.2.1.4. Integration im quadratischen Mittel .............................
2.2.2. Lineare Systeme... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.1. Systemgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2.2. Lösung ...................................................... .
2.2.2.3. Stationäre Prozesse ............................................
2.2.2.4. Stationäre Gauß-Prozesse .......................................
2.2.3. Anwendungen stationärer Prozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.1. Ergodizität ...................................................
2.2.3.2. Messung des Leistungsspektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3.3. Wärmerauschen ...............................................
2.2.4. Aufgaben zum Abschn.2.2 ......................................
117
11 7
117
121
123
127
130
130
132
134
138
14Q
140
142
144
148
2.
3.
Lösungen zu den Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Sachwörterverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Formelzeichen
A
Ä
A
8.
A,B, ...
A,B,C,D
!1
c
Cov (X, Y)
Cov(K,X)
detA
D,,,,
EX=mx
f
/('I')
fx
fK
Fx
FK
g
h
h*
hA(n)
H*(jw)
H*(jw)
H*'(jw)
H*(p)
H(t)
i.q.M.
I,= (- oo,
kA(n)
l.i.m.
11...2
M
IMI
M,N, ...
mx
!1
1\1
NM
p
~)
Ereignisraum (a-Algebra über Q)
zu A komplementäres Ereignis
Menge aller zufälligen Veränderlichen auf (.Q, A, P)
Menge aller zufälligen Prozesse auf (.Q, A. P)
(zufällige) Ereignisse
Zustandsmatrizen (lineares dynamisches System)
Borel-Mengen-System (a-Algebra über IR)
Menge der komplexen Zahlen
Kovarianz von X und Y
Kovarianzmatrix des Vektorprozesses X
Determinante der Matrix A
Differenzoperator
Erwartungswert von X, Mittelwert
Überführungsfunktion (statisches System)
bedingte Dichtefunktion
Dichtefunktion von X
Dichtefunktion von K
Verteilungsfunktion von X
Verteilungsfunktion von K
Ergebnisfunktion (statisches System)
Gewichtsfunktion, Impulsantwort
Übertragungsfunktion
relative Häufigkeit von A bei n Versuchen
Übertragungsmatrix (im Bildbereich der Fourier-Transformation)
zu H* (jw) konjugierte Matrix
zu H* (jw) transponierte Matrix
Übertragungsmatrix (im Bildbereich der Laplace-Transformation)
Gewichtsmatrix, Übertragungsmatrix im Originalbereich
im quadratischen Mittel
reelles Intervall
Häufigkeit von A beinVersuchen
Grenzwert im (quadratischen) Mittel
Menge aller zufälligen Veränderlichen mit EX2 < oo
Mengensystem
Kardinalzahl (Mächtigkeit) von M
Mengen
Erwartungswert von X, Mittelwert
Menge der Zahlen 1, 2, ... , n
Menge der natürlichen Zahlen
Menge aller Abbildungen von M in N
Wahrscheinlichkeitsmaß auf 4
10
Formelzeichen
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
Potenzmenge der Menge M
Wahrscheinlichkeitsmaß auf JJ, Verteilung von X
Verteilung von X
IR
Menge der reellen Zahlen
(IR, JJ, Px)
spezieller Wahrscheinlichkeitsraum
s
Sprungfunktion, Sprungsignal
sK
Korrelationsfunktion von X
Sg
Kreuzkorrelationsfunktion von X und r
S!I
Leistungs[dichte]spektrum von X
Sn
Kreuzleistungs[dichte]spektrum von X und y
Var(X)
Varianz von X
x = X( w)
Wert der zufälligen Veränderlichen X
X= (X1 , ••• , Xn)
zufälliger Vektor, n-dimensionale zufällige Veränderliche
X(m) = x = (x 1 , ••• , xn) Wert des zufälligen Vektors, n-Tupel
X
Menge der zufälligen Vektoren X = (X1 , ••• , X 1)
X
zufälliger Prozeß
;; = X(w)
Realisierung des Prozesses X
X= (}!1, ... ,X") Vektorprozeß
X
Menge der Vektorprozesse X= (X1 , ... ,}! 1) (Eingabe)
IIXII
Norm von X
i
Ableitung i. q. M. des Prozesses X
[X!]
Klasse, der das Element x angehört
X, Y,. ..
zufällige Veränderliche, meßbare Abbildung
V
Menge der zufälligen Vektoren Y = (Y1 , ••• , Ym)
Y
Menge der Vektorprozesse y = (Yt> ... , Ym) (Ausgabe)
7L
Menge der ganzen Zahlen
~
Menge der Vektorprozesse Z = (Z1 , ••• , Z") (Zustand)
(J
Dirac-Funktion, Impulssignal
aCPt· ... , r:p")
Funktionaldeterminante
P(A)
P (AlB)
l!(M)
Px
PK
Ic(x1, .. ., x") I
TJ.(M)
e (X,
Y)
q.
r[J
p
f}J
r:p:M--tN
'Px
'P!!
f/J(t)
f/J*(p)
(JJ
Q
(Q, A)
(Q, A, P)
0
E
Klasseneinteilung der Menge M
Korrelationskoeffizient von X und Y
einfache Alphabetabbildung (statisches System)
Alphabetabbildung (statisches System), Systemabbildung
einfache Realisierungsabbildung, Prozeßabbildung
Realisierungsabbildung, Prozeßabbildung
Abbildung r:p von M in N
charakteristische Funktion von X
charakteristische Funktion von X
Fundamentalmatrix (im Originalbereich)
Fundamentalmatrix (im Bildbereich der Laplace-Transformation)
Elementarereignis, Kreisfrequenz (je nach Zusammenhang)
sicheres Ereignis, Stichprobenraum
Ereignisraum
Wahrscheinlichkeitsraum
unmögliches Ereignis
Elementrelation ("ist Element von")
Formelzeichen
=>
<=>
c
u
n
~
\
X
0
*
folgt (bei Aussagen)
ist äquivalent (bei Aussagen)
ist Teilmenge von, ist enthalten in
Vereinigung (bei Mengen), Summe (bei Ereignissen)
Durchschnitt (bei Mengen), Produkt (bei Ereignissen)
mehrfache Vereinigung
mehrfacher Durchschnitt
Differenz (bei Mengen und Ereignissen)
kartesisches Produkt (bei Mengen)
Verkettung, Komposition von Abbildungen
Faltung (bei reellen Funktionen)
Äquivalenz (bei zufälligen Veränderlichen)
11
0.
Einführung
Das heutige Forschungs- und Anwendungsgebiet der Systemanalyse (im weiteren Sinne)
ist dadurch gekennzeichnet, daß die betrachteten Gegenstände und Probleme einen hohen
Grad an Kompliziertheit und Komplexität aufweisen (z. B. Energiesysteme, Verkehrssysteme, biologische und ökologische Systeme usw.).
Demgegenüber untersucht man bei der Analyse vieler techQischer Systeme folgende
(relativ einfache) Aufgabe:
Gegeben ist ein System (z. B. elektrische Schaltung, mechanische Apparatur o.ä.), die
durch eine Eingangsgröße (z. B. Strom, Spannung, Kraft o.ä.) erregt wird. Gesucht ist
die Reaktion des Systems auf diese Erregung.
Je nach der Art der Zeitabhängigkeit und dem Charakter der Eingangs-, Ausgangs- und
inneren Systemgrößen unterscheidet man drei Teilgebiete der Systemanalyse, die mit drei
wichtigen Systemklassen eng verknüpft sind und sich zunächst relativ selbständig entwickelt haben.
Ein besonders einfacher Sonderfallliegt vor, wenn die zur Beschreibung des Systemverhaltens verwendeten Größen nur endlich viele diskrete Werte (z. B. aus der Menge
{0, 1}, aus der Menge {x 1 , • •• , xn} usw.) annehmen können und die Zeit t ebenfalls eine
diskrete Variable (z. B. t = 0, 1, 2, ... ) ist. Die Untersuchung von Systemen unter diesen
und einigen weiteren Voraussetzungen mit mathematischen Methoden, die hauptsächlich
der Algebra zuzuordnen sind, führte zum Begriff des digitalen Systems bzw. Automaten [I].
Eine weitere Klasse bilden die Systeme, bei denen die Eingangs-, Ausgangs- und inneren
Systemgrößen sowie die Zeit t Werte aus der Menge der reellen Zahlen annehmen können.
Aus der Mechanik, Elektrotechnik, Regelungstechnik und Akustik sind viele Beispiele
für solche Systeme bekannt, bei denen z. B. die Eingangsgrößen durch stetige Zeitfunktionen (häufig mit sinusförmiger Zeitabhängigkeit) beschrieben werden. Die Entwicklung der Systemtheorie in dieser Richtung vollzog sich hauptsächlich auf der mathematischen Grundlage der (Funktional-) Analysis und Funktionentheorie und führte zum
Begriff des analogen Systems [2].
Bei den bisher genannten Systemklassen wurde angenommen, daß die das Systemverhalten beschreibenden Funktionen (z. B. Ein- und Ausgangsgrößen, gewisse Systemcharakteristiken usw.) determiniert sind. Es gibt aber auch Fälle, bei denen diese Funktionswerte nicht gel}au bekaimt sind. Häufig kann man in solchen Fällen aber gewisse
Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Funktionswerte als gegeben voraussetzen, wobei
diese Funktionen selbst endlich viele diskrete Werte (die mit gewissen Wahrscheinlichkeiten auftreten) oder Werte aus der Menge der reellen Zahlen annehmen können und
die Zeit t eine diskrete oder stetige Variable sein kann. Die Grundlage für die mathematische Beschreibung solcher Systeme ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere die Theorie der zufälligen Prozesse. Ihre Verbindung mit der Automatentheorie und
der Theorie der analogen Systeme führte zum Begriff des stochastischen Systems.
Hauptanliegen dieses Buches ist es, dem Studierenden die fundamentalen Begriffe der
Theorie der stochastischen Systeme verständlich zu machen.
1.
Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.1.
Ereignis und Wahrscheinlichkeit
1.1.1.
Ereignisraum
1.1.1.1. Elementarereignis
In den Naturwissenschaften und in der Technik werden sehr häufig Experimente (Vorgänge, Prozesse) beschrieben, bei denen in vielen Fällen der Ausgang'(Ergebnis, Ablauf)
eines solchen Experiments ungewiß ist. Ebenso sind z. B. die gewürfelte Augenzahl beim
Werfen eines Spielwürfels und die erzielte Ringanzahl beim Schießen auf eine Scheibe
vorher unbestimmt.
Man nennt ein Experiment mit ungewissem Ausgang w einen zufälligen Versuch V. Der
Ausgang w liegt bei einem solchen Versuch in einer Gesamtheit Q sich ausschließender
Möglichkeiten.
Daraus ergibt sich das im Bild 1.1 dargestellte allgemeine Schema. Jeder Punkt der
umrandeten Fläche bezeichnet einen Versuchsausgang w aus der Gesamtheit fJ aller
möglichen Versuchsausgänge. Wird ein Versuch V durchgeführt, so erhält man das Ergebnis w (oder o/ oder w" usw.).
v---
---
Bild 1.1
Zufälliger Versuch und Stichprobenraum
So ist z.B. beim Werfen eines Spielwürfels die Gesamtheit der möglichen Versuchsausgänge durch die endliche Menge
gegeben, wenn wir mit w 1 den Versuchsausgang "Augenzahl i liegt oben" bezeichnen.
Eine ähnliche Situation haben wir auch beim Werfen einer Münze oder beim Schießen
auf eine Scheibe. Beim Münzenwurf ist
(w 1 =="Zahl"; w2
a: "Wappen")
und beim Scheibenschießen z. B.
(w1
a: "Ringzahl i").
Bei den angegebenen Beispielen hat die Menge fJ stets endlich viele Elemente. Das muß
jedoch nicht immer so sein. Betrachtet man im letzten Beispiel jeden Treffer (zum Punkt
idealisiert) auf der Schießscheibe als einen möglichen Versuchsausgang, so enthält die
Menge fJ (überabzählbar) unendlich viele Elemente (s.auch Bild 1.1).
1.1. Ereignis und Wahrscheinlichkeit
15
Allgemein kann also D eine beliebige Menge sein, so z. B. eine endliche Menge, eine
abzählbare Menge oder D = IR (Menge der reellen Zahlen), Q = !Rn (Menge aller Punkte
des n-dimensionalen Raumes), Q = IR 1R (Menge aller reellen Funktionen), D = D 1 XD 2
(Produktmenge) usw.
Man bezeichnet die Menge D aller Versuchsausgänge in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Stichprobenraum und ihre ElementewE Q als Elementarereignisse.
So sind z.B. beim Würfeln das Ergebnis w 3
"Augenzahl3 liegt oben" und beim
Scheibenschießen das Ergebnis w 8
"8 Ringe" Elementarereignisse. Man beachte, daß
die Elementarereignisse stets einander ausschließende Versuchsergebnisse darstellen und
daß alle möglichen Versuchsergebnisse in D berücksichtigt sind.
Der Stichprobenraum D ist durch einen gegebenen Versuch V nicht eindeutig festgelegt; er muß vielmehr entsprechend der Zweckmäßigkeit von Fall zu Fall geeignet vereinbart werden. So könnte man z.B. eine in 10 Ringe unterteilte Schießscheibe auch in
20 Ringe oder in 4 Quadranten unterteilen und erhält so anstelle eines Stichprobenraums
mit 10 Elementarereignissen einen solchen mit 20 bzw. 4 Elementarereignissen. Entsprechend lassen sich auch andere Stichprobenräume feiner oder gröber strukturieren.
=
=
1.1.1.2. Ereignis
Aufbauend auf den Begriff des Stichprobenraums und den Begriff des Elementarereignisses
läßt sich der für die weiteren Ausführungen grundlegende Begriff des zufälligen Ereignisses wie folgt definieren:
I. Jede Teilmenge A c Q stellt ein (zufälliges) Ereignis dar.
2. Das (zufällige) Ereignis A ist genau dann eingetreten, wenn das auftretende Elementarereignis w ein Element von A ist, d. h., wenn w E A gilt.
Bild 1.2 veranschaulicht diesen Sachverhalt. Gegeben sind ein Stichprobenraum D und
eine Teilmenge A c D. Entsprechend dem ersten Teil der Definition repräsentiert diese
Teilmenge ein Ereignis A. (Das Attribut "zufällig" wird meist fortgelassen.) Der zweite
Teil der Definition stellt die Motivierung für den ersten Teil dar. Man sagt, das EreignisA
sei eingetreten, wenn das Versuchsergebnis (das Elementarereignis) w in der Teilmenge A
liegt.
Bild 1.2
Zufälliges Ereignis
Ein Beispiel soll das verdeutlichen. Betrachten wir den Stichprobenraum
( w;
= "Augenzahl i")
des Spielwürfels. Offensichtlich bezeichnet die Teilmenge
A = {w 2 , w 4 , w 6 }c Q
das Ereignis "Würfeln einer geraden Augenzahl". Erhält man nun als Versuchsergebnis
w
= w4 E A (d.h., die Augenzahl4 wurde gewürfelt),
so ist das Ereignis A (gerade Augenzahl) eingetreten. A ist ebenfalls eingetreten, wenn die
Versuchsergebnisse w = w 2 E A oder w = w 6 E A auftreten. Dagegen ist A nicht eingetreten, wenn z.B. das Versuchsergebnis w = w 5 rt A lautet.
16
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zwei spezielle Ereignisse sollen noch besonders hervorgehoben werden:
Da jede Menge zugleich Teilmenge von sich selbst ist, ist auch A = Q c Q ein Ereignis. Da dieses Ereignis alle Elementarereignisse als Elemente enthält, tritt es stets ein gleichgültig, welches Versuchsergebnis w auftritt. Man nennt A = Q deshalb das sichere
Ereignis.
Jede Menge enthält als Teilmenge auch die leere Menge; folglich ist auch A = 0 c Q
ein Ereignis. Dieses Ereignis enthält keine Elementarereignisse als Elemente, kann also
niemals eintreten. Darum heißt A = 0 das unmögliche Ereignis.
Ähnlich wie bei Mengen können auch zwischen Ereignissen Relationen bestehen. Ist z. B.
für zwei Ereignisse A und B
AcB,
(1.1)
so ist jedes Elementarereignis w· E A auch in B enthalten, d. h., es ist auch w E B. Man sagt
in diesem Fall: "A ist in B enthalten". Das bedeutet, daß das Eintreten von A immer das
Eintreten von B zur Folge hat ( A zieht B nach sich). Gilt gleichzeitig Ac Bund B c A,
so enthalten beide Ereignisse dieselben Elementarereignisse, und es sind A und B gleich:
A =B.
(1.2)
· Ereignisse können auch miteinander verknüpft werden. Man verwendet meist die gleiche
Symbolik wie in der Mengenlehre (vgl. [1, Abschn.l.l.]). In der nachfolgenden Übersicht sind die gebräuchlichen Ereignisoperationen zusammengestellt (A, B c Q):
I Bezeichnung
Operation
Ä
= Q\A
zu A komplementäres
Ereignis
Summe von A und B
Produkt von A und B
Differenz von A und B
AuB
AnB
A\B
b)
a)
Operationsergebnis tritt ein,
wenn
c)
I Bild
A nicht eintritt
1.3a
A oder B eintreten
A undBeintreten
A eintritt und B nicht
eintritt
1.3b
1.3c
1.3d
(1.3)
d)
Bild 1.3. Ereignisverknüpfungen
a) komplementäres Ereignis; b) Summe; c) Produkt; d) Differenz
Mit den angegebenen Operationen lassen sich auch Mehrfachverknüpfungen ausführen,
so z.B.
00
B=
U1 A;
(A;c Q)
(1.4)
n A;
(A;c Q).
(1.5)
i=
oder
C=
ro
i=l
Das EreignisBin (1.4) tritt ein, wenn wenigstens ein A; c Q eintritt, und das Ereignis C
in (1.5) tritt nur dann ein, wenn alle A; c Q eintreten.
1.1. Ereignis und Wahrscheinlichkeit
17
Weitere Verknüpfungsmöglichkeiten und zugehörige Regeln sollen hier nicht mehr angegeben werden. Wir verweisen auf die entsprechenden Regeln der Mengenlehre [1].
Abschließend sei noch auf den folgenden wichtigen Begriff hingewiesen:
Enthalten zwei Ereignisse A und B keine Elementarereignisse gemeinsam, so können
sie nicht gemeinsam eintreten, und es ist
A nB =
0.
(1.6)
Die Ereignisse A und B heißen in diesem Fall unvereinbar. Da Elementarereignisse sich
gegenseitig ausschließende Versuchsergebnisse darstellen, sind solche Ereignisse
A 1 = {w 1} (w 1 E Q), die nur ein Elementarereignis enthalten, stets paarweise unvereinbar, d. h., es gilt
(i =t= j).
(1.7)
Ebenso entstehen paarweise unvereinbare Ereignisse, wenn man eine Klasseneinteilung
rr(Q) des Stichprobenraums Q bildet (Bild 1.4). Eine solche Klasseneinteilung rr(D)
heißt vollständiges System unvereinbarer Ereignisse, da außer A 1 n A1 = 0 noch
UA1 =
00
1=1
Q (A 1 , A1 E rr(Q)) gilt. Faßt man jede Klasse als neues Elementarereignis auf, so
kann das. Mengensystem rr(D) auch als neuer Stichprobenraum angesehen werden. Der
neue Stichprobenraum stellt damit eine Vergröberung des alten Stichprobenraums dar.
Die Elementarereignisse sind jetzt Mengen und die (zufälligen) Ereignisse Mengensysteme. (Die "feinste" Klasseneinteilung rr(Q) = { { w }Iw E .Q} hat die gleiche Kardinalzahl wie Q und kann mit Q identifiziert werden.)
Bild 1.4
Vollständiges System unvereinbarer Ereignisse
Ist z. B. beim Scheibenschießen der Stichprobenraum
(w 1
="Ringzahli")
gegeben, so kann die Klasseneinteilung
7t(Q)
g~bildet
= {{w 1 , w 2 , w3 , w4 }, {w 5 , w 6 , ru 7 }, {w 8 , w 9 , ru 10 }}
werden. Dieses Mengensystem kann als neuer Stichprobenraum
aufgefaßt werden, worin z. B. w~ = { w 1 , w 2 , w 3 , w 4 } das Erreichen einer Ringzahl i mit
1 ~ i ~ 4 bedeutet. Entsprechend gilt für
5 ~ i ~ 7 und für w~ 8 ~ i ~ 10.
w;
1.1.1.3. Ereignisraum
Ist ein zufälliger Versuch mit einem geeignet festgelegten Stichprobenraum Q gegeben,
so erhebt sich die Frage nach der Menge aller Ereignisse, die unter den Bedingungen des
Versuchs möglich sind. Da ein Ereignis A definitionsgemäß eine Teilmenge von Q ist,
2 Wunsch, Stochast. Syst.
18
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
wird die Menge aller Ereignisse durch die Menge aller Teilmengen von Q, d.h. durch die
Potenzmenge E(Q), gebildet.
So erhalten wir z.B. beim Werfen eines Spielwürfels mit
insgesamt 21a1 = 2 6 = 64 Ereignisse. Allgemein erhält man bei einem endlichen Stichprobenraum mit n Elementarereignissen 2n (zufällige) Ereignisse. Wie man sieht, wächst
die Anzahl der Ereignisse mit wachsender Anzahl der Elementarereignisse sehr rasch an.
Hat der Stichprobenraum Q die Mächtigkeit des Kontinuums (IDI' = 1~1), so hat die
Potenzmenge E(Q) bereits eine Mächtigkeit, die größer als die des Kontinuums ist.
Für die meisten Anwendungen werden Mengen solch hoher Mächtigkeit jedoch nicht
benötigt. Man wählt deshalb aus der Menge aller Ereignisse E(Q) ein geeignetes System
4 c f(Q) von Teilmengen 4- c Q so aus, daß man einerseits hinsichtlich der Durchführung bestimmter Operationen genügend beweglich bleibt und andererseits aber im
Hinblick auf die Anwendungen die Mächtigkeit dieser Mengen möglichst einschränkt.
Hierbei ist nur als wesentlich zu berücksichtigen, daß in 4 - ebenso wie in E(Q) - alle
Ereignisoperationen, also -, u, n und \, unbeschränkt ausführbar sind, d. h., daß die
Ergebnisse dieser Operationen wieder in 4 liegen müssen. Die Mächtigkeit von 4 ist hierbei nur von untergeordneter Bedeutung. Es ist aber zweckmäßig, immer 0 und Q zu 4
zu zählen und außerdem - für Grenzwertbetrachtungen - noch zu fordern, daß die
Addition und die Multiplikation von Ereignissen abzählbar oft ausführbar sind.
Diese Überlegungen führen uns wie folgt zur Definition des Begriffs Ereignisraum:
Eine Mengensystem 4 c E(Q) heißt Ereignisraum (Q, 4) (oder a-Algebra), wenn gilt
(1.8a)
2. A
E
4
(1.8b)
=> Ä E4
3. A; E 4 (i
00
=
1, 2, 3, ... ) =>
U A; E 4.
(1.8c)
i= 1
Der Ereignisraum enthält also stets das sichere Ereignis als Element und ferner, falls er
ein Ereignis A enthält, auch das zugehörige komplementäre Ereignis Ä. Außerdem muß
der Ereignisraum, falls er eine abzählbare Menge von Ereignissen Ai (i = 1, 2, 3, ... )
enthält, auch deren Summe als Ereignis enthalten. Es ist zu beachten, daß die unendliche
Summe in (1.8c) natürlich auch eine endliche Summe bezeichnen kann (bei Ak = A; für
alle k ~ i).
Hat ein Mengensystem 4 die in (1.8) angegebenen Eigenschaften, so sagt man, A sei
abgeschlossen bezüglich der Operationen Komplement und abzählbare Vereinigung (unendliche Summe).
Wir wissen, daß die Potenzmenge E(Q) diese Eigenschaften besitzt, d.h., 4 = E(Q) ist
sicher auch ein Ereignisraum im Sinne der oben angegebenen Definition. Es gibt aber auch
noch "kleinere" Mengen, die diese Eigenschaften ebenfalls haben.
Betrachten wir dazu einige Beispiele!
I. Es sei
4 = 42 = {0, Q}.
Die Eigenschaften (1.8a) und (1.8 b) sind erfüllt; denn es ist Q E 4 2 und Q = 0 E 4 2 •
Ferner ist auch (1.8'c) erfüllt; denn die (unendliche) Summe von Summanden der Art 0
oder Q ergibt nur entweder 0 oder Q, also Elemente von 4 2 •
1.1. Ereignis und Wahrscheinlichkeit
19
li. Ebenso zeigt man, daß auch für
A = A4 = {0, .Q, A, Ä}
(Ac .Q)
die Eigenschaften (1.8) erfüllt sind und folglich
III. Einen Ereignisraum bildet auch
A = As
=
falls
{0, .Q, A, Ä, B, B, A
g4
u B, Ä
einen Ereignisraum bildet.
n B},
AnB=0 und A,Bc.Q.
IV. Als letztes Beispiel notieren wir noch den Ereignisraum
A = f(Q) = {0, Q,
... },
der die größte Mächtigkeit aufweist. Aus den Eigenschaften (1.8) lassen sich noch einige
Folgerungen herleiten:
Zunächst folgt aus (1.8a) und(l.8b), daß A neben Q auch das Komplement {j = 0
enthalten muß, d. h., es ist stets
(1.8a')
Jeder Ereignisraum enthält also neben dem sicheren Ereignis auch das unmögliche Ereignis.
Weiter läßt sich mit Hilfe von (1.8 b) und (1.8c) zeigen, daß das unendlicheProduktinA
ebenfalls enthalten sein muß, d.h.
00
A;Ed(i= 1,2,3, ... )=> nA;Ed.
(1.8c')
i= 1
Der Ereignisraum ist also bezüglich der abzählbaren Durchschnittsbildung abgeschlossen
und, da die Differenz auf Durchschnitt und Komplement zurückgeführt werden kann,
auch bezüglich der Differenz.
Es kann gezeigt werden, daß jeder Ereignisraum A = (A,
U, n, 0
CO
CO
1
1
Q) hinsichtlich
seiner algebraischen Struktur eine Boolesche Algebra (A, u, n, -, 0, Q) mit dem Träger A, den Operationen u, n und - sowie den neutralen Elementen 0 und Q darstellt
(vgl. [1, Abschn. 2.1.1.]). Ereignisräume sind also immer spezielle Boolesche Algebren.
Die Auswahl eines geeigneten Ereignisraums A wird hauptsächlich durch Gesichtspunkte der Anwendungen bestimmt. Alle Ereignisse (d. h. alle Teilmengen von Q), für die
man sich im Zusammenhang mit einem bestimmten Problem interessiert, müssen im gewählten Ereignisraum natürlich enthalten sein. Bezeichnen wir die Menge dieser Ereignisse mit
Mc f(Q),
muß also gewährleistet sein, daß der Ereignisraum
A so gewählt wird,
daß
A=>M
gilt, daß er also die interessierenden Ereignisse enthält. Sicherlich ist es im allgemeinen
nicht möglich, A = M zu wählen; denn M muß nicht die Eigenschaften (1.8) des Ereignisraums haben. Es müssen daher in der RegelzuM noch weitere (nicht interessierende)
Ereignisse hinzugenommen werden, damit ein Ereignisraum entsteht. Da man nicht un-
20
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
nötig viele Ereignisse zusätzlich formal hinzunehmen möchte, ist die Frage nach der
kleinsten Anzahl der hinzuzunehmenden Ereignisse von besonderer Wichtigkeit.
Von Bedeutung ist in diesem Zusammenhang der folgende Satz: Unter allen Ereignisräumen A => M gibt es einen "kleinsten"
A = A(M),
d. h., für alle A => M gilt A => A(M).
(1.9)
Anders ausgedrückt bedeutet das, daß es unter allen Ereignisräumen, die die interessierenden Ereignisse aus M enthalten, einen gibt, der die geringste Anzahl von Ereignissen enthält. Ein solcher Ereignisraum ist in vielen Fällen nicht explizit angebbar.
Die Kenntnis der Existenz ist jedoch für viele Anwendungen bereits hinreichend. Bild I. 5
zeigt zur Veranschaulichung des genannten Satzes noch die grafische Darstellung.
E{fl}
AfM)
Bild 1.5
Zur Erläuterung des Begriffs "kleinster "Ereignisraum
Abschließend seien noch die folgenden Beispiele "kleinster" Ereignisräume genannt:
Ist lediglich ein Ereignis A c Q von Interesse, so ist
M = {A}
und
A(M) = ,64 = {0, Q, A, Ä}.
Interessiert man sich für zwei Ereignisse A und B mit A n B =
M
1.1.2.
= {A, B} und ,d.(M) =
,6 8
0, so ist
= {0, Q, A, Ä, B, B, Au B, Ä n B}.
Wahrscheinlichkeit
1.1.2.1. Relative Häufigkeit
Wird ein zufälliger Versuch V durchgeführt, so ist das Ergebnis dieses Versuchs ungewiß.
Ein Ereignis A kann eintreten oder auch nicht. Wird der gleiche Versuch jedoch mehrmals wiederholt, so ergeben sich, wie. die Erfahrung lehrt, bestimmte Gesetzmäßigkeiten,
mit denen wir uns nun beschäftigen werden.
Zunächst definieren wir:
I. Tritt bei n-maliger Ausführung eines zufälligen Versuchs V das Ereignis A k-mal auf,
so heißt die Zahl
(1.10)
Häufigkeit von A bei n Versuchen. Offensichtlich gilt
0 ~ kA(n) ~ n.
(1.11)
II. Das Verhältnis
hA(n) =
kA(n)
n
(1.12)
1.1. Ereignis und Wahrscheinlichkeit
21
heißt relative Häufigkeit von A bei n Versuchen. Mit (1.11) erhält man
0 ~ hA(n) ~ 1.
(1.13)
Die relative Häufigkeit hat eine bemerkenswerte Eigenschaft, die sich experimentell bestätigen läßt. Für eine hinreichend große Anzahl n von Versuchen stabilisiert sich hA(n)
in der Nähe ein~r Konstanten, die wir mit P(A) bezeichnen.
Man kann diese:q Sachverhalt auch so formulieren:
Für große Versuchszahlen n.schwankt die relative Häufigkeit hA(n) des Ereignisses A
um einen festen Wert P(A). Diese Schwankungen von hA(n) um P(A) werden (in der
Regel) um so kleiner, je größer n ist (Bild 1.6).
Betrachten wir als Beispiel einen Spielwürfel, der 600mal geworfen wird. Da keine der
Augenzahlen 1, 2, ... , 6 irgendwie gegenüber der anderen ausgezeichnet ist, erwarten
wir, daß jede der Zahlen etwa mit der gleichen Häufigkeit auftritt, also etwa 100mal.
Bezeichnet A = {w 3 } das Ereignis "Augenzahl = 3", so müßte die relative Häufigkeit
hA(600) = h{m 3 }(600) in der Nähe von 100/600 = ! liegen, was der Versuch auch bestätigt. Man kann also hier P(A) = P({w 3 }) = ! setzen.
h,(o)~
P{A)~1
10
10 2 10 3
10* 10 5
Bild 1.6
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
n---
Ebenso läßt sich z. B. für die Ereignisse B = { w 1 , w 2 } ("Augenzahl ist kleiner als 3")
und C = {w 2 , w4 , w 6 } ("Augenzahl ist eine gerade Zahl") experimentell zeigen, daß
hB(600) ~ t und hc(600) ~ t gilt.
Zusammengefaßt ergeben sich für die relative Häufigkeit die folgenden Eigenschaften:
I. Die relative Häufigkeit hA(n) stabilisiert sich mit wachsender Anzahl n der Versuche,
d. h., es gilt
(n ~ 1).
(1.14a)
II. Aus der Definition der relativen Häufigkeit folgt mit (1.13)
(U4b)
hA(n) ~ 0.
III. Für .das sichere Ereignis A = Q gilt offensichtlich
h0 (n)
= 1.
(1.14c)
IV. Sind A1 und A 2 unvereinbare Ereignisse, so ist
hA 1 uA2 (n) = hA 1(n) + hA2 (n)
(A 1 n A 2 = 0).
(1.14d)
Die letzte Eigenschaft ergibt sich aus folgender Überlegung: Sind A1 und A 2 unvereinbare Ereignisse, so ist es unmöglich, daß man sowohl A1 als auch A 2 gleichzeitig als Versuchsresultat erhält. Tritt nun beinVersuchen das Ereignis A 1 k 1 -mal unddas Ereignis
A 2 k 2 -mal auf, so muß wegen der Unvereinbarkeit von A 1 und A 2 das Ereignis A 1 u A 2
genau (k 1 + k 2 )-mal eintreten; es ist also mit k 1 = kA 1(n) und k 2 = kA 2 (n)
kA 1 uA ..(n) = kA 1 (n)
+ kA/n).
Nach Division durch n auf beiden Seiten der Gleichung folgt mit (1.12) unmittelbar die
angegebene Eigenschaft IV.
22
1. Wahrscheinlichkeitsrechnung
1.1.2.2. Definition
Durch die Eigenschaft der Stabilisierung der relativen Häufigkeit eines Ereignisses A ist
jedem Ereignis A eine reelle Zahl P(A) zugeordnet, die für hinreichend große Versuchszahlen n mit der relativen Häufigkeit hA(n) näherungsweise übereinstimmt. Gehen wir
von einem gegebenen Ereignisraum (Q, A) aus, so wird durch diese Zuordnung eine
Abbildung P des Mengensystems A in die Menge der reellen Zahlen IR vermittelt.
Aus der Eigenschaft I der relativen Häufigkeit folgt also:
I. Jedem Ereignis A
A
~--+
E
A ist eine reelle Zahl P(A) E IR zugeordnet, in Zeichen:
P(A).
(1.15a)
Für die hierdurch definierte Abbildung
P: A ~IR
wird in Übereinstimmung mit den übrigen Eigenschaften li bis IV der relativen Häufigkeit geforde~t:
II. Wegen Eigenschaft II muß gelten
P(A)
~
(1.15b)
0.
III. Aus Eigenschaft III folgt
P(Q)
= 1.
(1.15c)
IV. Aus Eigenschaft IV der relativen Häufigkeit folgt die Eigenschaft
P (A 1 u A 2 ) = P(A 1 )
+ P(A 2 )
und somit auch für jedes n E N
Es ist (für Grenzwertuntersuchungen) erforderlich, die letzte Beziehung auf eine Summe
von abzählbar vielen paarweise unvereinbaren Ereignissen zu verallgemeinern:
(1.15d)
Wegen
n
oo
i= 1
i=l
U A; = U A
und
P
(Q
1
A 1) =
1
t
1
mit
P(A 1)
A1 =
0 für
i > n
+ P(0) + P(0) + ...
gilt (1.15d) auch für endliche Ereignissummen, wenn man noch beachtet, daß in der
letzten Beziehung nur P(0) = 0 sein kann, da andernfalls P
(0 A
1
1)
keinenendlichen
Wert haben könnte.
Es muß an dieser Stelle erwähnt werden, daß die Gleichungen (1.15) die Grundlage
für den axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung bildeten (Kolmogorow,
1933).