Einführung in die Algebra Übung 1

Einführung in die Algebra
Übung 1
Beispiel 1.8 (1). Wir zeigen zuerst, dass pn ≤ p1 · . . . · pn−1 + 1. Sei q := p1 · . . . · pn−1 + 1, dann gilt
pi - q für i ∈ {1, . . . , n − 1}. Angenommen pn > q, dann ist q prim, da jede Primzahl die kleiner als q
ist, q nicht teilt, also ist q die n-te Primzahl. Ein Widerspruch. Also ist pn ≤ q = p1 · . . . · pn−1 + 1.
n−1
Wir zeigen pn ≤ 22
n = 1:
n − 1 → n:
mittels Induktion.
0
p 1 = 2 ≤ 22 = 2 X
P k−1
Qn−1 2k−1
n−1
n−1
2
pn ≤ p1 · . . . · pn−1 + 1 ≤ k=1
+1=2 2
+ 1 = 22 −1 + 1 ≤ 22
Beispiel 1.8 (4). Sei (Iα )α∈A eine Familie von Idealen in Z. Wir zeigen, dass J = ∩Iα ein Ideal ist.
1. 0 ∈ J
2. Sei a, b ∈ J, dann ist natürlich a, b ∈ Iα für alle α ∈ A, also gilt a − b ∈ Iα für alle α ∈ A, daher
a − b ∈ ∩Iα = J
3. Sei r ∈ Z und a ∈ J, dann gilt analog ra ∈ Iα für alle α ∈ A, folglich ra ∈ J
Beispiel 1.12 (2). a, b ∈ Z, y ∈ Z: a | y, b | y, ggT(a, b) = 1
Wir zeigen ab | y. Mit Definition der Teilbarkeit und der Eigenschaft, dass der ggT zweier Zahlen
als Linearkombination dargestellt werden kann, erhalten wir
∃α ∈ Z : a · α = y
∃β ∈ Z : b · β = y
∃u, v ∈ Z : u · a + v · b = 1
Multiplizieren wir die letzte Gleichung mit y und ersetzen dann auf der linken Seite y durch bβ bzw.
aα so erhalten wir
uay + vby = y
uabβ + vbaα = y
ab(uβ + vα) = y
Das heißt ab | y
1
Beispiel 1.12 (5).
G1 (a1 ) := a1 , G1 (a1 , . . . , an ) := ggT(G1 (a1 , . . . , an−1 ), an ))
G2 (a1 , . . . , an ) := max{z ∈ N : z | ai für alle i ∈ {1, . . . , n}}
P
G3 (a1 , . . . , an ) := min{z ∈ N : ∃λ1 , . . . , λn ∈ Z sodass z =
λi ai }
G1 = G2 :
Wir zeigen mittels Induktion, dass G1 | ai für i ∈ {1, . . . , n}.
n = 1:
n − 1 → n:
G1 (a1 ) = a1 also G1 (a1 ) | a1 X
G1 (a1 , . . . , an ) = ggT(G1 (a1 , . . . , an−1 ), an )
Nach Definition des ggT gilt G1 (a1 , . . . , an ) | an und G1 (a1 , . . . , an ) | G1 (a1 , . . . , an−1 ),
weiters gilt nach Induktionsvoraussetzung G1 (a1 , . . . , an−1 ) | ai für i ∈ {1, . . . , n − 1}
so folgt G1 (a1 , . . . , an ) | ai für i ∈ {1, . . . , n}
Sei t ein Teiler von ai für i ∈ {1, . . . , n}, dann gilt t | G1 (a1 , . . . , an ). Beweis mittels Induktion:
n = 1:
n − 1 → n:
t | a1 und G1 (a1 ) = a1 X
Für alle i ≤ n gilt t | ai , nach Induktionsvoraussetzung gilt t | G1 (a1 , . . . , an−1 ),
da G1 (a1 , . . . , an ) = ggT(G1 (a1 , . . . , an−1 ), an ) und t beide Zahlen teilt, so folgt
t | G1 (a1 , . . . , an ).
t = G2 (a1 , . . . , an ) erfüllt die Voraussetzungen, also G2 (a1 , . . . , an ) | G1 (a1 , . . . , an ).
Da G1 alle ai teilt, G2 | G1 und G2 die größte natürliche Zahl ist die alle ai teilt, so folgern wir, dass
G2 = G1 .
G2 = G3 :
Da sich G3 als Linearkombination der ai schreiben lässt und G2 alle ai teilt so folgt G2 | G3 .
Nachdem alle ai natürliche Zahen sind, so
Pgilt G3 ≤ ai für i ∈ {1, . . . , n}, wähle dazu λj = 0 falls
j 6= i und λj = 1 falls j = i, dann gilt ai =
λj aj , nach Definition von G3 ist dann G3 ≤ ai .
P
Sei G3 := G3 (a1 , . . . , an ) = nj=1 λj aj , da die ai kleiner gleich G3 sind, so erhält man nach
P Division
mit Rest: ai = αi G3 + βi mit 0 ≤ βi < G3 . Dann gilt βi = ai − αi G3 = ai (1 − αi λi ) − j6=i αi λj aj ,
da G3 die kleinste natürliche Zahl ist, die sich als Linearkombination der ai schreiben lässt, so folgt
βi = 0 und somit G3 | ai für i ∈ {1, . . . , n}.
Also folgt mit der selben Argumentation wie für G1 , dass G2 = G3 und somit G1 = G2 = G3 .
2
Beispiel 1.12 (6). a =
Q
Wir zeigen ggT(a, b) =
∃u,v
pαi i , b =
Q
Q
pγi i
ggT(a, b) = u · a + v · b = u
Also
Q
pβi i , γi = min{αi , βi }
Y
pαi i + v
Y
pβi i =
Y
Y
Y β −γ pγi i u
pαi i −γi + v
pi i i
pγi i | ggT(a, b)
Q
Sei q prim, sodass q | ggT(a, b), dann gilt nach Definition, dass q | a und q | b, also q | pαi i . Deshalb
erhalten wir induktiv mit dem Fundamentallemma, dass q | pj für ein j mit αj > 0, da q und pj prim
min{αj ,βj }
sind, so istQq = pj . Analog gilt für b, dass für dasselbe j gilt q = pj und
und
Qβjγi> 0, also q | pj
γi
somit q | pi . Also
die Vielfachheit jedes
Q kommt jeder Primfaktor von ggT(a, b) auch in pi vor,
γi
γi
Primfaktors ist in pγi i jedoch
maximal
gewählt,
bezüglich
der
Eigenschaft
p
i | a und pi | b, daher
Q γi
Q γi
folgern wir, dass ggT(a, b) = pi , da pi | ggT(a, b).
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