Ubungsblatt 3 - wiwi.uni

Fortgeschrittene Statistik
Prof. Dr. Bernd Wilfling
Dipl.-Phys. Robert Hahn
Wintersemester 2012/2013
Übungsblatt 3
1. Berechnen Sie unter zu Hilfenahme der momentenerzeugenden Funktion jeweils
die 3. und 4. Momente der folgenden Verteilungen:
(a) Gleichverteilung.
(b) Exponentialverteilung.
(c) Doppelexponentialverteilung.
2. Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale:
(i)
Z
+∞
−∞
(ii)
Z
5
−2
(iii)
Z
5
3
Z
1
ye−|x| dy dx.
0
Z
Z
2
0
1
−1
(x3 y − 6x) dy dx.
Z
−1
(xex y 2 z + y 2 z) dz dy dx.
−3
3. Betrachten Sie die gemeinsame Dichte von X und Y :
fX,Y (x, y) =
š
2 2
x (5
3
0
− y) , für x, y ∈ [0, 1] × [0, 1]
.
, sonst
(a) Zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um eine Dichte handelt.
(b) Berechnen Sie die Randdichten von X und Y .
(c) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion.
1
(d) Sind X und Y stochastisch unabhängig? Begründen Sie.
4. Wenden Sie die bekannten Rechenregeln auf die folgenden Funktionen der Zufallsvariablen X und Y an (a, b, c, d ∈ R):
(a) E(aX + b + cY + d),
(b) Var(aX + b + cY + d),
(c) Cov (aX + b, cY + d),
(d) Corr (aX + b, cY + d).
5. Es sei X ein n-dimensionaler Zufallsvektor, A sei eine (m × n)-Matrix reeller
Zahlen und b ein (m × 1)-Vektor reeller Zahlen. Der Zufallsvektor Y sei definiert
als Y = AX + b. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Kovarianzmatrix
von Y.
6. Gegeben sei die folgende gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y :
fX,Y (x, y) =
š
x + y , für x, y ∈ [0, 1] × [0, 1]
.
0
, sonst
Berechnen Sie die beiden bedingten Dichten fX|Y =y (x) bzw. fY |X=x (y) sowie die
zugehörigen bedingten Varianzen.
(Anmerkung: Für bedingte Varianzen gilt ebenfalls der Verschiebungssatz, d.h.
Var(X|Y = y) = E(X 2 |Y = y) − [E(X|Y = y)]2 .)
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