1. Aufgabe (10 Punkte - Das Interpolationsproblem)

Vorlesung Computergrafik SS 2014
Übungsblatt 6a
Abgabe: Spätestens 1. Juli 2014, 9:00 - 11:00, Raum 36-223
Abgabe in der Vorlesung
Hinweis
Theorieblätter sind schriftlich abzugeben (auf Papier nicht per Email).
1. Aufgabe (10 Punkte - Das Interpolationsproblem)
Um die Koeffizienten eines Interpolationspolynoms zu n + 1 Paaren reeller Zahlen (ti , fi )
zu bestimmen, muss ein Gleichungssystem mit der sogenannten Vandermonde-Matrix
Vn+1 gelöst werden:
1 t0 t20
1 t1 t2
1

 .. ..
..
. .
.
1 tn t2n
{z
|

...
...
..
.
...
   
tn0
c0
f0
 c1   f1 
tn1 
   
..   ..  =  .. 
.  .   . 
tnn
cn
(1)
fn
}
Vn+1
a) 6 Punkte
Zeigen Sie, dass det (Vn+1 ) =
n
Y
(ti − tj ) gilt.
i,j=0,i>j
Tip: Erzeugen Sie in der ersten Zeile die Einträge (1, 0, 0, . . . , 0) und entwickeln Sie die
Determinante anschließend nach der ersten Zeile. Durch vollständige Induktion folgt die
Behauptung.
1
Tip: Benutzen Sie den Laplaceschen Entwicklungssatz sowie die Regel, dass zu einer
Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte hinzugefügt werden kann, ohne die Determinante zu verändern.
b) 2 Punkte
Zeigen Sie mit dem Ergebnis aus a), dass das Interpolationspolynom genau dann existiert
und eindeutig ist, wenn ∀i 6= j : ti 6= tj gilt.
c) 2 Punkte
Was bedeutet es anschaulich, wenn es i, j gibt (i 6= j) mit ti = tj ? Wann existiert kein
Interpolationspolynom, wann ist es nicht eindeutig? Wie kann man für letzteren Fall
dennoch eine eindeutige Lösung erzielen?
2
2. Aufgabe (9 Punkte - Lagrange-Interpolation und
Newton-Darstellung)
Gegeben seien folgende vier Paare reeller Zahlen (ti , fi ):
i
ti
fi
0
-2
18
1
-1
6
2
0
4
3
1
6
a) 2 Punkte
Erstellen Sie mit Hilfe der Lagrange-Basis-Polynome das kubische Interpolationspolynom
p3 (t) zu diesen Zahlenpaaren.
b) 2 Punkte
Ermitteln Sie nun mit Hilfe der Newton-Darstellung das Interpolationspolynom und
wandeln Sie das Polynom in die Monom-Darstellung p3 (t) = a0 t3 + a1 t2 + a2 t + a3 um.
c) 1 Punkt
Berechnen Sie p3 (−0.5).
d) 2 Punkte
Fügen Sie das Zahlenpaar (t4 = 2, f4 = 54) zu den zu interpolierenden Werten hinzu und
berechnen Sie das Interpolationspolynom p4 (t).
e) 2 Punkte
Fügen Sie anschließend das Zahlenpaar (t5 = 7, f5 = p4 (7)) zu den zu interpolierenden
Werten hinzu. Zeigen Sie, dass das neue Interpolationspolynom p5 (t) identisch zu p4 (t)
ist.
3
3. Aufgabe (5 Punkte - Least Squares Fitting)
Gegeben seien die Stützstellen
(p1 , t1 ) = (2, −1)
19
(p2 , t2 ) =
− ,0
4
41
(p3 , t3 ) =
,1
12
29 1
,−
(p4 , t4 ) =
6
2
1
(p5 , t5 ) =
12,
2
und die Basisfunktionen φi (x) = xi mit i = 0, 1, 2.
n
5
X
X
Berechnen Sie die Kurve f (x) =
ci φi (x), die das Residuum r =
(f (tj ) − pj )2
i=0
j=1
minimiert, mit der Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares Fitting).
Tip: Die Berechnung ist am einfachsten, wenn man alle Ergebnisse als Brüche schreibt.
4
4. Aufgabe (5 Punkte - Bézier-Kurven)
Gegeben ist eine Bézier-Kurve X(t), (0 ≤ t ≤ 1) mit den Kontrollpunkten
b0 = (−4, −1)T
b1 = (−3, 2)T
b2 = (−1, 3)T
b3 = (1, 2)T
b4 = (3, 0)T
a) 3 Punkte
Berechnen Sie mit Hilfe des de Casteljau-Algorithmus X(0.3).
b) 2 Punkte
Skizzieren Sie die Rechnung graphisch. Verwenden Sie den Maßstab 2:1.
5
5. Aufgabe (6 Punkte - Bézier-Tensorprodukt-Flächen)
Sei X(s, t) =
n X
m
X
bij Bim (s)Bjn (t) mit (s, t) ∈ [a, b] × [c, d] ein Bézier-Tensorprodukt-
j=0 i=0
Flächensegment.
a) 3 Punkte
Zeigen Sie, dass die Eckpunkt-Eigenschaft X(a, c) = b00 , X(b, c) = bm0 , X(a, d) =
b0n , X(b, d) = bmn gilt.
b) 3 Punkte
Zeigen Sie, dass die Randkurven-Eigenschaft, also X(a, t) =
n
X
b0j Bjn (t), analog für
j=0
X(b, t), X(s, c) und X(s, d), gilt.
Kontakt:
Lars Hüttenberger, Stephanie Schweitzer, Max Zeyen
Email: l [email protected], s [email protected], m [email protected]
Für Fragen: 36-231 (Montag, 14:00-16:00);
36-220 (Donnerstag, 14:00-16:00);
36-218 (Freitag, 14:00-16:00)
Viel Spaß und viel Erfolg bei der Bearbeitung!
6