7. Übung Formale Grundlagen der Informatik

Institut für Informatik
Universität Zürich
Sommersemester 2001
7. Übung
Formale Grundlagen der Informatik
Norbert E. Fuchs ([email protected])
Reinhard Riedl ([email protected])
Nadine Korolnik ([email protected])
Verantwortlich für diese Übung: Uta Schwertel ([email protected])
Abgabe bis 30.05.2001, 17.00 Uhr
Briefkasten 067-C, Stockwerk K, Institut für Informatik der Universität Zürich
Thema: Einführung in die Logik I
Nachname
Aufgabe 1
Vorname
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Matrikelnummer
Aufgabe 4
Summe
1
Logische Konnektoren (2.5 Punkte)
1.1
Zusammengesetzte Aussagen (1 Punkt)
Warum ist “weil” kein Konnektor im Sinne der Aussagenlogik?
Hinweis:
Zeigen Sie z.B. anhand eines Beispiels, dass “weil” nicht die Eigenschaften eines logischen
Konnektors hat.
1
1.2
Wahrheitstabellen (1 Punkt)
Bestimmen Sie durch Aufstellen einer Wahrheitstabelle, ob folgende Formel tautologisch ist
oder nicht.
((P → Q) ∧ (Q → R)) → ¬(¬R ∧ P)
2
1.3
Vorrangsregeln (0.5 Punkte)
Gegeben sei folgende Formel:
¬A ∨ B ∧ C → D ∨ ¬E ∧ F
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Formeln äquivalent zu der gegebenen Formel ist. Beachten Sie dazu die Vorrangsregeln für die Konnektoren.
"
"
"
"
(¬(A ∨ B) ∧ C) → ((D ∨ ¬(E)) ∧ F)
2
Semantik: Tautologie, Kontradiktion, … (2 Punkte)
(((¬A) ∨ B) ∧ C) → ((D ∨ (¬E)) ∧ F)
(¬A) ∨ (B ∧ (C → D)) ∨ (¬(E) ∧ F)
((¬A) ∨ (B ∧ C)) → (D ∨ ((¬E) ∧ F))
Formeln, die weder tautologisch noch kontradiktorisch sind, heissen logisch kontingent, d.h. sie
sind sowohl erfüllbar als auch widerlegbar.
Sei P eine Tautologie, Q eine Kontradiktion, R eine kontingente Aussage. Kreuzen Sie in der
folgenden Tabelle für jede Aussage alle zutreffenden Eigenschaften an.
tautologisch
kontradiktorisch
P∧R
P∨R
Q∧R
Q∨R
P∨Q
R→Q
3
kontingent
logisch äquivalent zu R
3
Analyse natürlichsprachlicher Sätze (2.5 Punkte)
Kreuzen Sie für jeden Satz die richtige aussagenlogische Formalisierung an. Nur eine Antwort
ist richtig. Verwenden Sie die angegebenen Abkürzungen für die Teilaussagen.
3.1
Aufgabe (0.5 Punkte)
Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für den Erhalt des Testats ist, dass mindestens 60 Punkte erreicht werden.
t:
p:
Das Testat wird erhalten.
Mindestens 60 Punkte werden erreicht.
"
"
"
"
p→t
3.2
Aufgabe (0.5 Punkte)
(p → t) ∧ (t → p)
t→p
¬t → ¬p
Wir gehen, es sei denn es regnet.
g:
r:
Wir gehen.
Es regnet.
"
"
"
"
¬(g ∧ r)
3.3
Aufgabe (0.5 Punkte)
(¬r → g) ∧ (r → ¬g)
g → ¬r
(g ∧ ¬r) ∨ ¬r ∨ ¬g
Wenn Maria kommt, wenn Hans nicht kommt, dann kommt Maria.
m:
h:
Maria kommt.
Hans kommt.
"
"
"
"
(m ∧ ¬h) → m
(h → ¬m) ∧ (¬h → m)
(¬h → m) → m
(m ∧ ¬h) ∨ (¬m ∧ h)
4
3.4
Aufgabe (0.5 Punkte)
Es ist nicht der Fall, dass jemand lachte oder applaudierte.
l:
a:
Jemand lachte.
Jemand applaudierte.
"
"
"
"
¬l → ¬a
3.5
Aufgabe (0.5 Punkte)
¬l ∨ ¬a
¬(l ∧ a)
¬(l ∨ a)
Hans wünscht sich sowohl ein Fahrrad als auch eine Skateboard zum Geburtstag, aber er wird
keines von beiden bekommen.
p:
q:
r:
s:
Hans wünscht sich ein Fahrrad zum Geburtstag.
Hans wünscht sich eine Skateboard zum Geburtstag.
Hans wird ein Fahrrad zum Geburtstag bekommen.
Hans wird ein Skateboard zum Geburtstag bekommen.
"
"
"
"
(p ∧ q) ∧ ¬(r ∨ s)
(p ∧ q) ∧ ¬(r ∧ s)
(p ∧ q) → (¬r ∧ ¬s)
(p ∨ q) ∧ (¬r ∧ ¬s)
5
4
Semantik: Logische Konsequenz (3 Punkte)
Gegeben sei folgender natürlichsprachlicher Schluss über Nessie, dem Ungeheuer von Loch
Ness.
Voraussetzungen:
P1
P2
P3
P4
Wenn Nessie ein Fabelwesen ist, dann ist sie unsterblich.
Wenn sie kein Fabelwesen ist, dann ist sie sterblich und ein Tier.
Wenn Nessie unsterblich oder ein Tier ist, dann ist sie ein Drache.
Sie ist eine Touristenattraktion, wenn sie ein Drache ist.
Konklusion:
K
Also ist Nessie eine Touristenattraktion.
Beweisen Sie den natürlichsprachlichen Schluss. Gehen Sie dabei Schritt für Schritt wie folgt
vor.
4.1
Aussagenlogische Formalisierung (1 Punkt)
Stellen Sie die Voraussetzungen als aussagenlogische Formelmenge M dar und die Konklusion
als aussagenlogische Formel K. Verwenden Sie dabei für die Teilaussagen folgende Abkürzungen:
f:
s:
t:
d:
a:
Nessi ist ein Fabelwesen.
Nessi ist sterblich.
Nessi ist ein Tier.
Nessi ist ein Drache.
Nessi ist eine Touristenattraktion.
6
4.2
Beweis durch Widerspruch (2 Punkte)
Zeigen Sie mittels eines Beweises durch Widerspruch (gemäss Folien S. 19 bzw. S. 33), dass
M |= K.
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