2. Übung zu Formale Grundlagen der Informatik

Institut für Informatik
Universität Zürich
Sommersemester 2000
2. Übung zu
Formale Grundlagen der Informatik
Norbert E. Fuchs ([email protected])
Konstantin Knorr ([email protected])
Simon Clematide ([email protected])
Uta Schwertel ([email protected])
Anasthasios Vavouras ([email protected])
Abgabe bis 12. April 2000, 18:00
Thema: Einführung in die Logik II
Nachname
Aufgabe 1
Vorname
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Matrikelnummer
Aufgabe 4
Summe
1
Anwendungen der Aussagenlogik (3 Punkte)
1.1 Schaltkreise (1 Punkt)
Bestimmen Sie, welche aussagenlogische Formel durch den folgenden Schaltkreis beschrieben
wird.
1.2 Minimale disjunktive Normalform (1 Punkt)
Die durch den Schaltkreis in Aufgabe 1.1 beschriebene Wahrheitsfunktion kann auch durch die
folgende Formel ausgedrückt werden.
(p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r)
(Diese Formel erhält man, wenn die Karnaugh Methode anwendet wird.)
Bestimmen Sie durch weitere Anwendung der Karnaugh Methode die minimale disjunktive
Normalform für diese Formel.
1
1.3 Reduzierung der Wahrheitsverknüpfungen (1 Punkt)
Drücken Sie die minimale disjunktive Normalform aus Aufgabe 1.2 nur mit der Verwendung
von nand aus.
2
Natürliche Sprache und Prädikatenlogik (3 Punkte)
2.1 Analyse natürlichsprachlicher Sätze (2 Punkte)
Übersetzen Sie folgende Sätze in prädikatenlogische Formeln.
Hinweis: Bewahren Sie dabei möglichst viel Struktur, d.h. wählen Sie unnegierte und unquantifizierte Aussagen als Ausgangspunkt.Wählen Sie Variablen- und Prädikatnamen selbst aus
und geben Sie jeweils den Übersetzungsschlüssel an, z.b. L(x,y): x liebt y
1. Jeder Student, der alle Aufgaben löst, bekommt ein Testat.
2
2. Jeder Student gibt mindestens zwei Aufgabenblätter ab.
3. Wenn ein Student eine Frage stellt, dann ist jeder Dozent erfreut.
4. Es gibt keinen Studenten, der allen Kommilitonen die Lösung verrät.
3
2.2 Freie und gebundene Variablen (0.5 Punkte)
Bestimmen Sie in jeder der folgenden Formeln alle gebundenen und freien Vorkommen von
Variablen, und unterstreichen Sie den Skopus der Quantoren.
1. (∀x)P(x) ∨ Q(x,y)
2. (∀y)(Q(x) → (∀x)(P(x,y)))
2.3 Substitution (0.5 Punkte)
Führen Sie nun in den Formeln die Substitution {x/hans} durch.
1. (∀x)P(x) ∨ Q(x,y) {x/hans}
2. (∀y)(Q(x) → (∀x)(P(x,y))) {x/hans}
4
3
Umformungen quantifizierter Ausdrücke (2 Punkte)
Übersetzen Sie jeden der folgenden Sätze in zwei äquivalente, jedoch unterschiedliche prädikatenlogische Formeln. Benutzen Sie die angegebenen Abkürzungen. Geben Sie an, welche Umformungsgesetze Sie verwendet haben.
3.1
Aufgabe (1 Punkt)
Für jede natürliche Zahl gibt es eine grössere natürliche Zahl.
(Z(x): x ist eine natürliche Zahl, G(x,y): x ist grösser als y)
3.2
Aufgabe (1 Punkt)
Jede Primzahl ist ungerade, oder einige ganze Zahlen sind gerade.
(P(x): x ist eine Primzahl, G(x): x ist eine ganze Zahl, U(x): x ist ungerade
5
4
Pränexe Normalform (2 Punkte)
4.1 Aufgabe (1 Punkt)
Bringen Sie folgende Formel in pränexe Normalform.
Geben Sie die verwendeten Umformungsgesetze an.
((∃x)A(x) ∧ (∃x)B(x)) → C(x)
4.2 Aufgabe (1 Punkt)
Bringen Sie folgende Formel in pränexe Normalform.
Geben Sie die verwendeten Umformungsgesetze an.
P(0) ∧ (∀n)(P(n) → P(s)) → (∀n)(P(n))
6