Scheinklausur: Algorithmen und Berechenbarkeit

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Scheinklausur:
Algorithmen und Berechenbarkeit
WS 2014/15
Dauer: 60 Minuten
Hinweise:
• Lesen Sie zunächst alle Hinweise auf dieser Seite aufmerksam durch.
• Halten Sie die Klausur geschlossen und mit diesem Hinweisblatt nach oben,
bis die Aufsicht den Beginn anzeigt.
• Trennen Sie dann das Deckblatt von den anderen Blättern ab.
• Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf die Rückseite des
Deckblatts.
• Achten Sie bitte darauf, dass auf Ihren Blättern oben immer die gleiche Zahl
steht (insbesondere auf dem Deckblatt). Falls nicht, melden Sie sich bitte bei
einer Aufsichtsperson.
• Lesen Sie die einzelnen Aufgaben sorgfältig durch.
• Tragen Sie Ihre Antworten auf dem Deckblatt (Rückseite) ein.
• Es ist immer genau eine Antwort korrekt. Alle anderen Anworten sind falsch
oder nicht sinnvoll. Kreuzen Sie daher immer genau eine Antwortalternative
an.
• Wenn bei einer Frage kein Kreuz, mehr als ein Kreuz gemacht wird oder die
Antwort anderweitig uneindeutig ist, wird dies als falsche Antwort gewertet.
• Betrugsversuche haben sofortigen Ausschluss von der Klausur und Nichtbestehen zur Folge.
• Geben Sie am Ende nur das Deckblatt ab.
• Es sind keine Hilfsmittel erlaubt, auch kein mitgebrachtes Papier. Falls Sie
zusätzliches Konzeptpapier benötigen, melden Sie sich bei der Aufsicht.
• Es gibt insgesamt 26 Fragen. Bei 15 oder mehr richtigen Antworten gilt die
Klausur als bestanden.
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Matrikelnummer
Name, Vorname
Frage
a) b)
c) d)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1
Frage
a) b)
c) d)
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 14
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Fragenblock
Die folgenden Fragen beziehen sich auf die Vorlesungsabschnitte über Berechenbarkeit und Komplexität. Für eine Turingmaschine M bezeichne hM i die Kodierung
von M über einem geeigneten Alphabet und L(M ) die von M akzeptierte Sprache.
Für eine Sprache L bezeichne L das Komplement von L.
Frage 1
Für die Komplexitätsklassen L (logarithmischer Platz), NP, P und PSPACE gilt:
a)
b)
c)
d)
P ⊆ NP ( L ⊆ PSPACE
L ⊆ PSPACE ⊆ P und NP ∩ P = ∅
L ⊆ P ⊆ NP ⊆ PSPACE
L ⊆ PSPACE ( P ⊆ NP
Frage 2
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Wenn eine Turingmaschine M ein Wort einer unentscheidbaren Sprache L akzeptiert, dann ist L(M ) stets unentscheidbar.
2. Wenn eine Turingmaschine M eine Typ-0 Sprache akzeptiert, dann ist L(M )
stets unentscheidbar.
a) keine
b) beide
c) nur 2.
d) nur 1.
Frage 3
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Das Erfüllbarkeitsproblem 2-SAT für aussagenlogische Formeln in 2-KNF lässt
sich in Polynomialzeit auf das Grapherreichbarkeitsproblem GAP reduzieren.
2. Das Erfüllbarkeitsproblem 2-SAT für aussagenlogische Formeln in 2-KNF ist
in NP.
a) nur 2.
b) keine
c) beide
d) nur 1.
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Frage 4
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Jedes Problem, das sich in Polynomialzeit auf SAT reduzieren lässt, ist NPvollständig.
2. Jedes NP-vollständige Problem lässt sich in Polynomialzeit auf SAT reduzieren.
a) nur 1.
b) keine
c) beide
d) nur 2.
Frage 5
Sei L = {hM i | L(M ) ist eine Typ-0-Sprache}. Dann gilt:
a)
b)
c)
d)
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
weder L noch L sind semi-entscheidbar.
L ist entscheidbar.
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
Frage 6
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Sei L1 ⊆ L2 und L2 ⊆ L3 . Sind L1 und L3 entscheidbar, dann ist stets auch L2
entscheidbar.
2. Die Vereinigung abzählbar unendlich vieler entscheidbarer Sprachen ist stets
entscheidbar.
a) nur 1.
b) keine
c) beide
d) nur 2.
Frage 7
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Jede entscheidbare Sprache ist auf {ap | p ist Primzahl} reduzierbar.
2. Eine Sprache L liegt in P genau dann, wenn sich L in Polynomialzeit auf das
Halteproblem reduzieren lässt.
a) nur 2.
b) beide
c) nur 1.
d) keine
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Frage 8
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Das Halteproblem ist NP-vollständig.
2. Das Traveling-Salesman-Problem (TSP) ist NP-vollständig.
a) beide
b) keine
c) nur 1.
d) nur 2.
Frage 9
Sei L = {hM i | L(M ) = ∅}. Dann gilt:
a)
b)
c)
d)
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
weder L noch L sind semi-entscheidbar.
L ist entscheidbar.
Frage 10
Sei L = {hM i | ε ∈ L(M )} (ε bezeichnet das leere Wort). Dann gilt:
a)
b)
c)
d)
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
L ist semi-entscheidbar aber nicht entscheidbar.
weder L noch L sind semi-entscheidbar.
L ist entscheidbar.
Frage 11
Sei L, L′ ⊆ Σ∗ . Eine Reduktion von L auf L’ ist
a) eine total definierte berechenbare Funktion L → L′ sodass gilt:
w ∈ L ⇐⇒ f (w) ∈ L′ .
b) eine partiell definierte berechenbare Funktion L → L′ sodass gilt:
w ∈ L =⇒ f (w) ∈ L′ .
c) eine total definierte berechenbare Funktion Σ∗ → Σ∗ sodass gilt:
w ∈ L =⇒ f (w) ∈ L′ .
d) eine total definierte berechenbare Funktion Σ∗ → Σ∗ sodass gilt:
w ∈ L ⇐⇒ f (w) ∈ L′ .
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Fragenblock
Die folgenden Fragen beziehen sich auf die Themengebiete Landau-Notation und
Mastertheorem.
Frage 12
Sei t(n) = 4t(n/2) + n2 und t(1) = 1, dann gilt
a)
b)
c)
d)
t(n) ∈ Θ(n4 log n).
t(n) ∈ Θ(n4 ).
t(n) ∈ Θ(n2 ).
t(n) ∈ Θ(n2 log n).
Frage 13
√
Sei f (n) = n(log(3n) − log n) und g(n) = 2n + n + 37 dann gilt
a)
b)
c)
d)
keine der anderen Möglichkeiten
f ∈ ω(g)
f ∈ o(g)
f ∈ Θ(g)
Frage 14
Sei f (n) = n(log n)5 und g(n) = n3/2 dann gilt
a)
b)
c)
d)
f ∈ ω(g)
keine der anderen Möglichkeiten
f ∈ Θ(g)
f ∈ o(g)
Frage 15
Sei f (n) = (1 + (−1)n ) · n3 + 2 und g(n) = 2n2 dann gilt
a)
b)
c)
d)
f ∈ Θ(g)
keine der anderen Möglichkeiten
f ∈ o(g)
f ∈ ω(g)
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Frage 16
Sei t(n) = 5t(n/2) + n3 und t(1) = 1, dann gilt
a)
b)
c)
d)
t(n) ∈ Θ(n3 log n).
t(n) ∈ Θ(nlog 5 ).
3
t(n) ∈ Θ(n(log 5) ).
t(n) ∈ Θ(n3 ).
Frage 17
Sei t(n) = 3t(n/2) + 3n + log n und t(1) = 1, dann gilt
a)
b)
c)
d)
t(n) ∈ Θ(n).
2
t(n) ∈ Θ(n(log 3) ).
t(n) ∈ Θ(n log n).
t(n) ∈ Θ(nlog 3 ).
Fragenblock
Die folgenden Fragen beziehen sich auf die Vorlesungsabschnitte über Algorithmen.
Frage 18
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Bei Fibonacci-Heaps kann jede delete-min-Operation garantiert in O(1) Rechenschritten durchgeführt werden.
2. Bei Fibonacci-Heaps kann jede decrease-key-Operation garantiert in O(1)
Rechenschritten durchgeführt werden.
a) keine
b) nur 2.
c) nur 1.
d) beide
Frage 19
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Es existiert ein subkubischer Algorithmus zur Berechnung optimaler
Suchbäume.
2. Ein optimaler Suchbaum mit n Knoten hat maximale Tiefe O(log n)
a) nur 1.
b) nur 2.
c) beide
d) keine
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Frage 20
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Quickselect hat eine Worst-Case-Laufzeit von O(n log n).
2. Quickselect benötigt im Mittel nicht mehr als 3,5n Vergleiche auf einem Feld
mit n Elementen.
a) beide
b) nur 1.
c) nur 2.
d) keine
Frage 21
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Der in der Vorlesung behandelte Algorithmus von Stoer und Wagner ist ein
Monte-Carlo-Algorithmus, d.h. er liefert nicht immer ein korrektes Ergebnis.
2. Der in der Vorlesung behandelte Algorithmus von Stoer und Wagner berechnet
einen minimalen Spannbaum eines Graphen.
a) nur 2.
b) beide
c) keine
d) nur 1.
Frage 22
Die Wurzel des optimalen Suchbaums mit Knoten {1, 2, 3, 4} und Gewichten
γ(1) = 0,4, γ(2) = 0,3, γ(3) = 0,2 , γ(4) = 0,1 ist
a)
b)
c)
d)
2
3
4
1
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Frage 23
Sei G der folgende ungerichtete Graph:
D
A
C
E
B
Welche der folgenden Teilmengen ist eine Knotenüberdeckung (vertex cover) von G?
a)
b)
c)
d)
{A, C, E}
{A, B, C}
{A, D}
{A, B, E}
Frage 24
Sei G der folgende ungerichtete Graph mit Kantengewichten:
D
4
A
2
2
4
1
C
7
E
1
1
B
Dann ist das Gewicht eines minimalen Spannbaumes
a) 4
b) 6
c) 7
d) 5
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Frage 25
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
1. Der Algorithmus von Prim funktioniert auch bei negativen Kantengewichten.
2. Der Algorithmus von Prim berechnet den kürzesten Weg von einem Start- zu
einem Zielknoten.
a) nur 1.
b) nur 2.
c) keine
d) beide
Frage 26
Sei G der folgende ungerichtete Graph mit Kantengewichten:
D
4
A
2
2
4
1
C
7
E
1
1
B
Dann ist das Gewicht eines minimalen Schnittes
a) 4
b) 6
c) 7
d) 5