Grade der Unentscheidbarkeit ()

Grade der
Unentscheidbarkeit
• entscheidbar
• semi-entscheidbar
• nicht einmal das
entscheidbare Mengen
• Eine Menge L heißt entscheidbar,
wenn es eine Turingmaschine T gibt, die
• bei Eingabe von w  L „ja“ auf das
Band schreibt und dann stoppt, und
• bei Eingabe von w  L „nein“ auf das
Band schreibt und dann stoppt.
• Man nennt dies ein
zweiseitiges Entscheidungsverfahren.
semi-entscheidbare Mengen
• Eine Menge L heißt semi-entscheidbar,
wenn es eine Turingmaschine T gibt, die
• bei Eingabe von w  L „ja“ auf das
Band schreibt und dann stoppt.
• bei Eingabe von w  L unbekannt reagiert
(endlos schleift, stoppt, irgendwas schreibt).
• Man nennt dies ein
einseitiges Entscheidungsverfahren.
Sätzchen: Jede entscheidbare
Menge ist semi-entscheidbar.
Goldbach-Zahlen
Eine gerade Zahl nN, n4 heißt
Goldbach-Zahl, wenn sie die Summe
zweier Primzahlen ist.
Beispiele: 8=3+5, 12=5+7.
Collatz-Zahlen
Collatz-Folge
a0
selbst wählen ( N)
ak+1 = ak/2
ak+1 = 3ak+1
falls ak gerade
falls ak ungerade
Eine Zahl nN heißt Collatz-Zahl, wenn
die Collatz-Folge mit a0 = n bei 1 endet.
Beispiele
15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484,
242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103,
310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790,
395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276,
638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619,
4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051,
6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433,
1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92,
46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20,
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
vollkommene Zahlen
Eine Zahl nN heißt vollkommene Zahl,
wenn sie die Summe ihrer echten Teiler
ist (ohne n, mit 1).
Beispiel: 6=1+2+3.
Beispiele
6
=1+2+3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62
+ 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
+ 127 + 254 + 508 + 1016
+ 2032 + 4064
Die ersten 10 vollkommenen Zahlen
6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056
137.438.691.328
2.305.843.008.139.952.128
2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176
191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.
130.997.321.548.169.216
palindromerzeugende Zahlen
Eine Zahl nN heißt
palindromerzeugende Zahl,
wenn das folgende Verfahren abbricht:
1. a(0) = n, k = 0.
2. a(k+1) = a(k) + sp(a(k)). (Spiegelbild)
3. Wenn a(k+1) ein Palindrom ist, dann stopp,
4. sonst k um 1 erhöhen und weiter bei 2.
palindromerzeugende Zahlen
sp(z) ist die Zahl z rückwärts gelesen,
also ihr Spiegelbild:
sp(417) = 714, sp(5296) = 6925.
Ein Palindrom ist eine Zahl p, die rückwärts
wie vorwärts gelesen gleich ist,
d.h. es gilt p=sp(p):
727, 3, 4774
Beispiele
59: 59+95=154, 154+451=605,
605+506=1111.
67: 67+76=143, 143+341=484.
89: 89+98=187, 187+781=968,
968+869=1837, 1837+7381=9218,
9218+8129=17347, ...
Beispiele
89, 187, 968, 1837, 9218,
17347, 91718, 173437, 907808,
1716517, 8872688, 17735476,
85189247, 159487405, 664272356,
1317544822, 3602001953, 7193004016,
13297007933, 47267087164, 93445163438,
176881317877, 955594506548,
1801200002107, 8813200023188.
Satz: Ist eine Menge L
semi-entscheidbar und
ihr Komplement { w | wL}
ebenfalls semi-entscheidbar,
so ist L entscheidbar.
Satz: Eine Menge L ist genau
dann semi-entscheidbar,
wenn L von einer Chomsky-0Grammatik erzeugt wird.
Hausaufgabe
• Sei L eine semi-entscheidbare Menge,
die nicht entscheidbar ist.
• Ist L' = { aw | w  L }  { bw | w  L }
entscheidbar, semi-entscheidbar oder
nicht einmal das?
• Tipp: Nimm an, L' sei semi-entscheidbar.
Was folgt daraus für L?