Elemente der Topologie

Übungen zur Vorlesung
Elemente der Topologie
Blatt 2
Wintersemester 13/14
M. Joachim, F. Springer
Abgabe Donnerstag, den 07.11.2010
Aufgabe 5: Sei X eine beliebige Menge. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) O = {U ⊂ X | X \ U ist endlich} ∪ ∅ ist eine Topologie.
(b) O = {U ⊂ X | U ist endlich} ∪ X ist eine Topologie.
Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass die Menge I aller halboffenen Intervalle, d.h. Mengen der Form
(−∞, a) oder (b, ∞) mit a, b ∈ R, eine Subbasis für die Topologie auf R bilden, die von der
Metrik d(x, y) = |x − y| induziert wird.
Aufgabe 7: Seien (X, OX ), (Y, OY ) topologische Räume. Zeigen Sie, dass eine Abbildung
f : X → Y genau dann stetig ist, wenn sie in jedem Punkt x ∈ X stetig ist.
Zur Erinnerung: f heißt stetig im Punkt x ∈ X, falls das Urbild einer jeden Umgebung von
f (x) ∈ Y eine Umgebung von x ∈ X ist. f heißt stetig, falls die Urbilder aller offener Mengen
in (Y, OY ) in (X, OX ) offen sind.
Aufgabe 8: Seien (X, d), (X 0 , d0 ) zwei metrische Räume. X, X 0 sind auch topologische Räume
mit der von der Metrik induzierten Topologie. Zeigen Sie, dass eine Abbildung f : X → X 0
genau dann stetig im Sinne der ε-δ-Definition ist, wenn sie stetig im Sinne der topologischen
Definition ist.