Fü nfte Sitzung

Fu nfte Sitzung
Logik
Logik
Innerhalb der Logik wird sich mit der
Frage bescha ftigt, inwieweit ein
bestimmter Satz durch eine Menge von
Sa tzen gestutzt wird, inwieweit z.B. die
Konklusion eines Arguments von den
Pra missen des Arguments gestutzt wird.
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Induktive Logik
Induktive Logik
Macht die Wahrheit der Pra missen die Wahrheit der
Konklusion wahrscheinlich bzw. plausibel?
induktiv starke A.
induktiv schwache
A.
Vorliegen hoher Vorliegen niedriger
Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit
Hohe induktive Wahrscheinlichkeit zwischen den
Pra missen und der Konklusion eines Arguments liegt vor,
wenn die Wahrscheinlichkeit, dass die Konklusion wahr ist,
hoch ist, falls die Pra missen wahr sind.
Beispiele:
99% aller Studienanfa nger im Philosophiestudium
werden spa ter keine Stelle an einer Universita t
bekommen.
Ihr Banknachbar ist ein Studienanfa nger im
Philosophiestudium.
Ihr Banknachbar wird spa ter keine Stelle an einer
Universita t bekommen.
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Deduktive Logik
Deduktive Logik
Garantiert die Wahrheit der Pra missen die Wahrheit der
Konklusion?
gu ltige A.
ungu ltige A.
Vorliegen logischer
Kein Vorliegen
Folgerung
logischer Folgerung
Logische Folgerung zwischen Pra missen und Konklusion
eines Arguments liegt dann vor, wenn unter Voraussetzung
der Wahrheit der Pra missen die Konklusion wahr sein
muss.
Beispiele:
Beispiele:
Wenn es regnet, dann wird die Straöen nass.
Es regnet.
Die Straöe wird naö.
Alle Philosophen sind langweilig, und
Sokrates ist ein Philosoph.
Sokrates ist langweilig.
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Logische Folgerung
Logische Folgerung
Bei einem Argument liegt logische Folgerung vor,
wenn fur alle Einsetzungen in seine Argumentform
gilt: Falls die Einsetzungsresultate in die Formen
der Pra missen wahr sind, dann ist auch das
Einsetzungsresultat in die Form der Konklusion
wahr.
Argumentform
Wenn es regnet, dann wird die Straöe nass.
Es regnet.
Die Straöe wird naö.
Argumentform:
Wenn ---, dann +++
--+++
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· Aussageoperatoren
- nicht
- und, oder
- wenn ... dann
· Aussagen
ß
Aussagenlogik
Ý
Wahrheitsfunktionalita tsprinzip
(Kontextinvarianzprinzip)
Alle Philosophen sind langweilig, und
Sokrates ist ein Philosoph.
Sokrates ist langweilig.
Argumentform
Alle ... sind +++, und
*** ist ...
*** ist +++
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· Aussageoperatoren
· Pra dikat-/Relationsausdrucke
· Eigennamen/ Kennzeichnungen
· Quantita tszeichen
ß
Pra dikatenlogik
Ý
Wahrheitsfunktionalita tsprinzip
Extensionalita tsprinzip
(Kontextinvarinazprinzip)
ö7 Logische Worter I: Wahrheitsfunktionale
Satzoperatoren
Wie konnen mit Hilfe des Wahrheitsfunktionalita tsprinzip
Klassen gultiger Argumentformen konstruiert und
Folgerungsbeziehungen in der naturlichen Sprache
festgelegt werden?
1. Schritt: Es wird in abstrakter Weise gezeigt, wie mit
Wahrheitsfunktionen Folgerungsbeziehungen festgelegt
werden konnen.
2. Schritt: Die abstrakten U berlegungen aus dem 1. Schritt
werden auf Folgerungsbeziehungen in der naturlichen
Sprache angewendet.
3. Schritt: Es wird eine Schreibweise entwickelt, die es
erlaubt, durch Wahrheitsfunktionen festgelegte
Folgerungsbeziehungen zu beschreiben.
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1. Schritt
1. Schritt
1.1 Wahrheitsfunktionalitatsprinzip: Der Wahrheitswert
eines Satzes ha ngt in funktionaler Weise von den
Wahrheitswerten seiner Teilsa tze ab.
Betrachten wir hierzu:
(a) zwei Sa tze, S und S‘, die mittels eines Satzoperators zu
einem ganzen Satz zusammengefugt werden konnen.
(b) die Wahrheitswerte von S und S‘, und
(c) den Wahrheitswert des zusammengefugten Satzes.
[Figur 1]
Kombinationen zweier Wahrheitswerte werden also
genau ein Wahrheitswert zugewiesen. Mit Hilfe
der mengentheoretischen Ausdrucksweise la sst
sich dann eine zweistellige Wahrheitsfunktion f
auf folgende Weise beschreiben:
f ist eine Funktion vom kartesischen Produkt der
Menge der Wahrheitswerte in die Menge der
Wahrheitswerte. Wir sagen: f ist eine
(zweistellige) Wahrheitsfunktion. In Symbolen
drucken wir dies folgenderweise aus:
f: {W, F} X {W, F} ® {W, F}
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Betrachten wir als Beispiel die Funktion f 8
Wahrheitswertmenge: {W, F}
{W, F} X {W, F}: {<W,W>, <W,F>, <F,W>, <F,F>}
f8: {<<W,W>,W>, <<W,F>,F>, <<F,W>,W>, <<F,F>,W>}
Es gibt auch einstellige Wahrheitsfunktionen, und
zwar genau vier, wie aus Figur 2 hervorgeht:
[Figur 2]
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Einem Wahrheitswert wird hier also genau ein
Wahrheitswert zugewiesen. Mit Hilfe der
mengentheoretischen Ausdrucksweise la sst sich
eine einstellige Wahrheitsfunktion g auf folgende
Weise beschreiben:
g ist eine Funktion von der Menge der
Wahrheitswerte in die Menge der Wahrheitswerte.
In Symbolen drucken wir dies folgenderweise aus:
g: {W, F} ® {W, F}
Betrachten wir als Beispiel die Funktion g 2
g2: {<W, F>, <F, W>}
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1.2 Konstruktion gu ltiger Argumentformen Beispiel 1:
Betrachten wir die vierte Funktion aus Figur 1, f 4.
Fur die durch sie geregelte Satzverbindung gilt:
Nur wenn beide Teilsatze wahr sind, dann ist auch
ihre Verbindung wahr.
Ein Ausdruck der naturlichen Sprache, der eine
Wahrheitsfunktion ausdruckt, werde durch "a(fi)"
(1 £ i £ 16) bezeichnet. Um also etwa f4
auszudrucken schreiben wir: "a(f4)".
Die Abha ngigkeit, die zwischen den einzelnen
Sa tzen besteht, la sst sich dann folgendermaöen
darstellen:
Wenn ----- wahr ist,
und ==== ist wahr,
dann ist ----- a(f4) ==== wahr.
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vereinfacht:
----===
Also ---- a(f4) ====
Falls zwei Sa tze wahr sind, dann ist auch der mittels
dieser beiden Sa tze und a(f4) gebildete Satz wahr.
Konstruktion gu ltiger Argumentformen - Beispiel 2:
Betrachten wir die Funktion f 2. Fur die durch diese
Funktion geregelte Verbindung gilt: Eine
Verbindung zweier Teilsa tze ist wahr, wenn beide
Teilsa tze wahr sind, wenn allein der erste Teilsatz
wahr ist, oder allein der zweite. Wenn beide
Teilsa tze falsch sind, dann ist die Satzverbindung
falsch.
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Fur die durch f2 geregelte Satzverbindung gilt also:
Wenn ein Satz wahr ist, dann ist jede
Satzverbindung wahr, die dadurch entsteht, dass
ich mit dem zuerst gewa hlten einen beliebigen
Satz verbinde.
Wenn ==== wahr ist,
dann ist ==== a(f2) ----- wahr.
vereinfacht:
====
Also: ==== a(f2) ----.
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In den beschriebenen Beispielen erzwingt die
Wahrheit der Pra missen also die Wahrheit der
Konklusion. Dieser Zwang kommt hier dadurch
zustande, dass die Zuordnung von
Wahrheitswerten zu Teilaussagen von Aussagen
des Arguments dergestalt ist, dass falls die
Pra missen wahr sind, sich aufgrund
wahrheitsfunktionaler Abha ngigkeiten die
Konklusion als wahr ergibt.
Die hier betrachteten Folgerungen sind durch die
Funktionen festgelegt, die die Abha ngigkeit des
Wahrheitswertes eines Satzes von den
Wahrheitswerten seiner Teilsa tze regeln.
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2. Schritt:
Bislang haben wir mogliche
Wahrheitswertabha ngigkeiten auf rein abstrakte
Weise betrachtet. Solche
Wahrheitswertabha ngigkeiten konnten nun auch
in der naturlichen Sprache vorliegen, falls es in ihr
Ausdrucke fur die verschiedenen
Wahrheitsfunktionen gibt.
2.1 Funktionen mit eigenen Wortern in der
deutschen Sprache
Es gibt Worter der deutschen Sprache, die
zumindest in ihrer gebra uchlichsten Verwendung
eine auf diese Weise angebbare
Wahrheitswertfunktion zur Bedeutung haben.
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Betrachten wir die Funktion f 4:
S
S„
f4
W
W
W
W
F
F
F
W
F
F
F
F
Betrachten wir das Wort "und":
Klaus
kommt.
W
Gabi
kommt.
W
und
W
F
F
F
W
F
F
F
F
W
15
Betrachten wir die Funktion f 2:
S
S„
f2
W
W
W
W
F
W
F
W
W
F
F
F
Betrachten wir das Wort "oder":
Klaus
kommt
W
Gabi
kommt
W
oder
W
F
W
F
W
W
F
F
F
W
16
Betrachten wir die Funktion f 8:
S
S„
f8
W
W
W
W
F
F
F
W
W
F
F
W
Betrachten wir den Ausdruck "Wenn-dann":
Klaus
kommt
W
Gabi
kommt
W
Wenndann
W
W
F
F
F
W
W
F
F
W
17
Betrachten wir die Funktion g 2:
S
g2
W
F
F
W
Betrachten wir den Ausdruck "Es ist nicht der Fall,
dass":
Klaus
kommt
W
Es ist
nicht der
Fall,
dass
F
F
W
18
Betrachten wir die Funktion g 3:
S
g3
W
W
F
F
Betrachten wir den Audruck "es ist der Fall, dass":
Klaus
kommt
W
Es ist der
Fall,
dass
W
F
F
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2.2 Funktionen mit keinen eigenen Wortern in der
deutschen Sprache
Fur viele der anderen Funktionen aus Figur 1 gibt es
keine eigenen Worter in der deutschen Sprache.
Sie konnen aber mittels der in der Sprache
tatsa chlich verwendeten Ausdrucke in
unterschiedlich komplexer Weise umschrieben
werden.
Methode:
Suche alle Wahrheitswertkombinationen, denen die
Funktion den Wert W zuweist, und schreibe fur jede
dieser Kombinationen:
(--- und ===)
(--- und nicht ===)
(nicht --- und ===)
(nicht --- und nicht ===)
wenn Kombination <W, W>
wenn Kombination <W, F>
wenn Kombination <F, W>
wenn Kombination <F, F>
Anschlieöend verbinde alle Kombinationen mit “ oder
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Beispiel f5:
“ (--- und ===) oder (nicht ---- und ===)
Sollten alle zugewiesenen Werte F sein, schreibe:
"(--- und nicht ---) und (+++ und nicht +++)".
3. Schritt
Wir wollen nunmehr eine Schreibweise entwickeln,
mit welcher sich durch Wahrheitsfunktionen
festgelegte Folgerungszusammenha nge
beschreiben lassen.
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Betrachten wir folgende Argumente:
Die Synoptiker sind als authentische Quelle zu
betrachten, oder das Johannesevangelium ist als
authentische Quelle zu betrachten.
Das Johannesevangelium ist aber nicht als
authentische Quelle zu betrachten.
Die Synoptiker sind als authentische Quelle zu
betrachten.
Argumentform:
==== oder ---nicht ---====
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Wenn die Einheit Deutschlands zustande kommt,
dann werden die Steuern steigen, und innerhalb
des Gebiets der fruheren DDR wird eine hohe
Arbeitslosigkeit herrschen.
Die Einheit Deutschlands kommt zustande.
Es wird innerhalb des Gebiets der fruheren DDR
eine hohe Arbeitslosigkeit herrschen.
Wenn ----, dann === und +++
---++++
Anstatt die Leerstellen in der bisher gewohnten
Weise unterschiedlich zu markieren, ist es kurzer
und ubersichtlicher, fur sie einfach Buchstaben
mit Indizes zu nehmen:
p1, p2, p3, ..., pn, ...
Es sind Buchstaben, die wir an Stelle von solchen
Leerstellen verwenden, an denen Sa tze stehen
konnen.
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p1 oder p2
nicht p2
p1
Wenn p1, dann (p2 und p3)
p1
p3
In der ersten Zeile wurden Klammern eingefugt, um
anzuzeigen, wie die Verbindung zu lesen ist: nicht als
(wenn p1, dann p2) und p3
sondern als
wenn p1, dann (p2 und p3)
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In den Argumentformen der hier untersuchten
Argumente bleiben einige Ausdrucke der
naturlichen Sprache als Konstanten zuruck: die
Satzoperatoren “ wenn-dann , “ oder , “ und ,
“ nicht , die Funktionen aus den Tabellen von
Figur 1 bzw. Figur 2 ausdrucken.
fur “ wenn p1, dann p2 schreiben wir:
fur “ p1 oder p2 :
fur “ p1 und p2 :
fur “ nicht p1 :
“ p1 ® p2
“ p1 Ú p2
“ p1 & p2
“ Øp1
"p1 ® p2": Konditional, Subjunktion, materiale
Implikation
"®":
wenn-dann-Zeichen
"p1":
Antezedens, Vorderglied
"p2":
Konsequens, Hinterglied
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"p1 Ú p2": Alternation, Disjunktion, Adjunktion
"Ú":
oder-Zeichen, Disjunktionszeichen
"p1":
linkes Disjunkt, l. Disjunktionsglied,
Alternationsglied
"p2":
rechtes Disjunkt, ...
"p1 & p2":
"&":
"p1":
"p2":
Konjunktion
und-Zeichen, Konjunktionszeichen
linkes Konjunkt, l. Konjunktionsglied,
rechtes Konjunkt, ...
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"Øp1":
"Ø":
"p1":
Negation
Non, Negationszeichen
Negat
Fassen wir zusammen welches Zeicheninventar wir
gewonnen haben:
(1) Die logischen Zeichen: "®", "Ú", "Ø", "&"
(2) Die Satzbuchstaben: "p1", "p2", ..., "pn" ...
(3) Die Klammern als Gliederungszeichen "(", ")".
Dies ist das Vokabular des ersten hier zu
betrachtenden Systems logischer Formen, des
Systems der Aussagenlogik.
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