Übungen zur Vorlesung Modellierung WS 2009/2010

Universität Paderborn
Institut für Informatik
Prof. Dr. Hans Kleine Büning
Paderborn, 27. November 2009
Abgabe: 7. Dezember 2009, 11:15h
Übungen zur Vorlesung
Modellierung
WS 2009/2010
Blatt 7
Organisatorisches: Die Lösungen der Übungsaufgaben sind in die Kästen im D3-Flur einzuwerfen. Bilden
Sie bitte innerhalb ihrer Übungsgruppe Gruppen von 2-3 Personen zur Lösung der Aufgaben. Die Lösung
muss die Namen und Matrikelnummern derjenigen enthalten, die die Aufgaben gelöst haben sowie die
Übungsgruppennummer.
Aufgabe 22 (9 Punkte): Beweisen / Widerlegen
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen durch vollständige Induktion:
(a) Jeder vollständige binäre Baum der Höhe n hat 2n Blätter.
(b) Ein binärer Baum mit n Knoten hat mindestens Höhe log2 (n + 1) − 1.
Aufgabe 23 (8 Punkte): Beweisen / Widerlegen
Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Ein binärer Baum B = {V, E} ist 2-färbbar. Hinweis: Betrachten Sie den Baum als gewurzelt.
(b) Sei ein Spannbaum S gegeben. Wird eine Kante aus S entfernt, so ist der daraus entstehende Graph
nicht zusammenhängend.
Aufgabe 24 (5 Punkte): Modellierung
Anna, Bert, Christian, Doris und Emil wollen morgens mit dem Auto zur Uni fahren. Das Auto hat vorne
zwei Sitzplätze, hinten drei und das Lenkrad auf der linken Seite. Bevor die Fünf ins Auto steigen sagt jeder,
wo er gerne sitzen möchte. So möchte Emil das Auto fahren und Christian auf der rechten Seite sitzen. Bert
ist es egal wo er sitzt, aber Anna möchte vorne sitzen und Doris möchte nicht in der Mitte sitzen.
(a) Modellieren Sie die Wünsche mit Hilfe eines bipartiten Graphen. Welche Bedeutung haben die Knoten und welche Bedeutung die Kanten?
(b) Wie müssen die Sitzplätze belegt werden, damit alle Wünsche erfüllt werden? Heben Sie die entsprechenden Kanten im Graphen hervor.
Aufgabe 25 (5 Punkte): Modellierung
In der Villa Kunterbunt sollen die Zimmer neu gestrichen werden. Dabei sollen zwei Zimmer, die durch eine
Tür verbunden sind, in unterschiedlichen Farben gestrichen werden. Damit es nicht zu bunt wird, sollen aber
möglichst wenige unterschiedliche Farben verwendet werden.
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a
b
d
c
g
e
f
h
(a) Lösen Sie das Problem durch eine konfliktfreie Färbung eines Graphen. Geben Sie den gefärbten
Graphen und die chromatische Zahl des Graphen an.
(b) Welche Bedeutung hat ein Knoten und welche Bedeutung hat eine Kante in dem Graphen? Warum
lässt sich der Graph nicht mit weniger Farben färben?
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