Funktionalanalysis I

Funktionalanalysis I
Ru
 diger W. Braun
Wintersemester 2014/15
Inhaltsverzeichnis
1
Mengentopologie
3
2
Frécheträume
6
3
Die schwache Topologie
11
4
Der Dualraum
14
5
Grothendieck-Köthe Dualität
16
6
(DF)-Räume
18
7
Vollständigkeit
20
8
Der Satz von der offenen Abbildung
21
9
Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen
22
10 Banachalgebren
23
11 Unbeschränkte Operatoren zwischen Hilberträumen
30
12 Sobolevräume
32
13 Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren
34
14 Die Cayley-Transformierte
38
15 Positive Elemente in C∗ -Algebren
39
16 ∗-Darstellungen normaler, beschränkter Operatoren
40
17 Der Spektralsatz für unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren
44
2
1 Mengentopologie

Uberall
K = C oder K = R. Null ist keine nat
urliche Zahl.
1.1 Definition. Eine Topologie auf einer Menge X ist ein System O von Teilmengen
von X mit den folgenden drei Eigenschaften
(a) X ∈ O und ∅ ∈ O.
(b) Die Vereinigung beliebig vieler Mengen in O ist wieder in O.
(c) Der Durchschnitt endlich vieler Mengen in O ist wieder in O.
Die Elemente von O heien oene Mengen.
1.2 Beispiel. (a) Die Potenzmenge von X ist eine Topologie auf X.
(b) {∅, X} ist eine Topologie auf X (genannt \der Klumpen").
(c) Wenn X mit einer Metrik versehen ist, dann haben wir schon eine Denition
des Begris \oen" aus der Analysis II. Die in diesem Sinn oenen Mengen
bilden eine Topologie.
1.3 Bemerkung. (a) Man sagt, eine Topologie
O1 sei schw
acher als eine andere
Topologie O2 , wenn O1 eine Teilmenge von O2 ist. In diesem Fall sagt man
auch, dass O2 feiner als O1 ist.
(b) Der Durchschnitt uber beliebig viele Topologien auf X ist wieder eine Topologie
auf X.
1.4 Definition. Sei a ∈ X. Eine Teilmenge U ⊂ X heit Umgebung von a, wenn es eine
oene Menge G mit a ∈ G ⊂ U gibt.
Fur eine beliebige Menge M ist a ein innerer Punkt von M, wenn M Umgebung
von a ist. Das Innere von M besteht aus allen inneren Punkten von M. Man schreibt
fur das Innere von M.
M
1.5 Lemma. M
.
ist genau dann oen, wenn M = M
1.6 Definition. Ein topologischer Raum heit separiert oder Hausdorsch, wenn es
zu je zwei verschiedenen Punkten a 6= b in X Umgebungen Ua von a und Ub von b
gibt, so dass Ua ∩ Ub = ∅.
3
1 Mengentopologie
1.7 Definition. Eine Teilmenge A ⊂ X heit abgeschlossen, wenn X \ A oen ist.
Der Abschluss M einer Menge M ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von M.
1.8 Definition. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Raumen heit stetig
in a ∈ X, wenn es zu jeder Umgebung U von f(a) eine Umgebung W von a mit
f(W) ⊂ U gibt.
1.9 Satz. f : X → Y ist genau
Urbild f−1 (G) oen ist.
dann stetig, wenn fur jede oene Menge G ⊂ Y das
1.10 Bemerkung. (a) Eine Folge (xn )n∈N konvergiert genau dann gegen a, wenn
es zu jeder Umgebung U von a ein N ∈ N gibt, so dass an ∈ U fur alle n ≥ N.
(b) Wenn f stetig und (xn )n∈N eine gegen a konvergente Folge ist, dann konvergiert
(fn (a))n∈N gegen f(a).
(c) Es gibt aber topologische Raume X und Y und unstetige Abbildungen f : X → Y ,
fur die die Aussage (b) ebenfalls zutrit.
1.11 Definition. Sei O eine Topologie auf X und sei Y eine Teilmenge von X. Dann ist
OY = {G ∩ Y | G ∈ O}
eine Topologie auf Y . Man bezeichnet sie als Teilraumtopologie.
1.12 Satz. Sei X
sei M ⊂ X und
f = g.
ein topologischer und Y ein hausdorscher topologischer Raum,
seien f, g : M → Y stetig. Wenn f(x) = g(x) fur alle x ∈ M, dann
1.13 Definition. Sei (Xi , Oi )i∈I eine Familie topologischer Raume. Die grobste Topologie
Q
Q
auf i∈I Xi , fur welche alle kanonischen Abbildungen πi : j∈I Xj → Xi , (xj )j∈I 7→ xi ,
stetig sind, heit Produkttopologie.
Q
1.14 Satz. Sei B die Menge aller Produkte der Form i∈I Gi , wobei alle Gi oen
Q
in Xi und nur endlich viele Gi von Xi verschieden sind. Eine Menge M ⊂ i∈I Xi
ist genau dann oen in der Produkttopologie, wenn sie Vereinigung von Elementen von B ist.
Q
Sind alle Xi Hausdorsch, so ist auch i∈I Xi Hausdorsch.
1.15 Definition. Sei X 6= ∅ ein topologischer Raum. Ein System F nicht-leerer Teilmengen von X heit Filter, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfullt sind
(a) Ist F ∈ F und M ⊃ F, so gilt M ∈ F .
(b) Sind F1 , F2 ∈ F , so gilt F1 ∩ F2 ∈ F .
4
1.16 Beispiel. (a) Es sei (xn )n∈N eine Folge in X. Sei F das System aller Teilmengen
von X, welche fast alle Glieder der Folge enthalten. Dann ist F ein Filter.
(b) Fur jeden Punkt a ∈ X bildet die Menge aller Umgebungen von a einen Filter.
Man nennt ihn den Umgebungslter von a.
1.17 Definition. Ein Filter
enthalt.
konvergiert gegen a, wenn er den Umgebungslter von a
1.18 Beispiel. Der zu einer Folge gema Beispiel 1.16 gebildete Filter konvergiert
genau dann gegen a, wenn die Folge gegen a konvergiert.
1.19 Definition. Ein Hausdorscher topologischer Raum X heit kompakt, wenn jede

oene Uberdeckung
von X eine endliche Teiluberdeckung besitzt. Eine Teilmenge ei-
nes topologischen Raums heit kompakt, wenn sie kompakt in der Teilraumtopologie
ist.
1.20 Bemerkung. Ein Hausdorscher topologischer Raum
X ist genau dann komT
pakt, wenn es zu jeder Familie (Ai )i∈I von abgeschlossenen Mengen mit i∈I Ai = ∅
T
eine endliche Teilmenge J ⊂ I gibt, so dass i∈J Ai = ∅.
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen Hausdorschen topologischen Raumen. Wenn X kompakt ist, dann auch f(X).
1.21 Satz.
1.22 Definition. Ein Filter F in einem topologischen Raum X ist ein
fur jede Teilmenge A ⊂ X entweder A ∈ F oder X \ A ∈ F .
Ultralter, wenn
1.23 Lemma. Sei F ein Filter in einem topologischen Raum X,
X\A∈
/ F . Dann existiert ein Filter G mit A ∈ G und F ⊂ G .
1.24 Satz (Ultraltersatz).
umfasst.
Zu jedem Filter
F
A ⊂ X
mit
gibt es einen Ultralter, der ihn
Ein Hausdorscher topologischer Raum
wenn jeder Ultralter in X konvergiert.
1.25 Satz.
sei
X
ist genau dann kompakt,
1.26 Theorem (Tychono). Sei (Xi )i∈I eine Familie topologischer R
aume.
Q
dukt i∈I Xi ist genau dann kompakt, wenn alle Xi kompakt sind.
Das Pro-
5
2 Frécheträume
2.1 Definition. Sei E ein K-Vektorraum. Eine Halbnorm auf E ist eine Funktion p : E →
[0, ∞) mit den folgenden Eigenschaften:
(N1) p(λx) = |λ|p(x) fur alle λ ∈ K, x ∈ E.
(N2) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) fur alle x, y ∈ E (Dreiecksungleichung).
Eine Halbnorm, die auch noch die Eigenschaft
(N3) p(x) = 0 genau dann, wenn x = 0,
besitzt, ist eine Norm.
2.2 Beispiel. (a) Sei
E = C(RN ). F
ur jedes n ∈ N ist kfkn = sup|x|≤n |f(x)| eine
N
Halbnorm auf C(R ). Sie ist keine Norm.
(b) Sei E = H(C) der Raum der ganzen Funktionen. Fur jedes n ∈ N ist kfkn =
sup|z|≤n |f(z)| eine Norm auf H(C). Fur n 6= m sind die Normen k·kn und k·km
nicht aquivalent.
2.3 Definition. Sei E ein K-Vektorraum.
(a) M ⊂ E heit konvex, wenn fur je zwei x, y ∈ M die Verbindungsstrecke {λx +
(1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} in M liegt.
(b) M heit absolutkonvex, wenn fur alle Wahlen von x, y ∈ M und λ, µ ∈ K mit
|λ| + |µ| ≤ 1 auch λx + µy ∈ M.
Beispiel. Sei p eine Halbnorm und r > 0. Dann sind p−1 ([0, r)) und p−1 ([0, r]) abso-
lutkonvex.
2.4 Definition. Sei E ein K-Vektorraum, der eine Topologie tragt. Ein System U von
Umgebungen der Null heit Nullumgebungsbasis, wenn es zu jeder Umgebung V der
Null ein Element U ∈ U mit U ⊂ V gibt.
Beispiel. Sei E ein normierter Raum. Dann sind {B1/n (0) | n ∈ N} und {B1/n (0) | n ∈
N} Nullumgebungsbasen. Hierbei B (x) = {y ∈ E | kx − yk < }.
(a) Ein lokalkonvexer Raum ist ein K-Vektorraum E zusammen mit
einer Topologie, so dass
2.5 Definition.
6
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
E Hausdorsch ist,
die Addition + : E × E → E, (x, y) 7→ x + y, stetig ist,
die Multiplikation mit Skalaren · : K × E → E, (λ, x) 7→ λx, stetig ist,
E eine Nullumgebungsbasis besitzt, die aus absolutkonvexen Mengen besteht.
(b) Ein Frechetraum ist ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie von einer Metrik herkommt und der in dieser Metrik vollstandig ist.
Beispiel. Banachraume sind Frechetraume.
2.6 Definition. Sei E ein K-Vektorraum.
(a) M ⊂ E heit absorbierend, wenn es zu jedem x ∈ E ein R > 0 gibt, so dass
x ∈ R M.
(b) Sei A ⊂ E absorbierend und absolutkonvex. Das Minkowski-Funktional k·kA
ist deniert durch
kxkA = inf {t > 0 | x ∈ tA}.
2.7 Satz.
(a)
U
Sei E ein lokalkonvexer Raum, sei U eine absolutkonvexe Nullumgebung.
ist absorbierend.
(b) Das Minkowski-Funktional k·kU ist eine stetige Halbnorm auf E.
= {x ∈ E | kxkU < 1} ⊂ U ⊂ {x ∈ E | kxkU ≤ 1} = U.
(c) U
.
(d) Fur λ ∈ [0, 1) gilt λU ⊂ U
Sei E ein K-Vektorraum und es sei p1 ≤ p2 ≤ . . . eine Folge von
Halbnormen auf E. Falls es zu jedem x ∈ E \ {0} ein n ∈ N mit pn (x) 6= 0 gibt, so
wird durch
∞
2.8 Lemma.
d(x, y) =
X
j=1
2−1
pn (x − y)
1 + pn (x − y)
eine Metrik auf E gegeben.
2.9 Lemma.
hen.
Der K-Vektorraum E sei wie in Lemma 2.8 mit einer Metrik verse-
(a) Eine Folge (xj )j∈N konvergiert genau dann in (E, d) gegen x, wenn fur jedes
n ∈ N gilt limn→∞ pn (xj − x) = 0.
(b) Eine Folge (xj )j∈N ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn zu jedem n ∈ N
und jedem > 0 ein K ∈ N existiert, so dass pn (xj −xk ) < fur alle j, k ≥ K.
7
2 Frechetraume
Sei E ein K-Vektorraum und es sei p1 ≤ p2 ≤ . . . eine Folge von
Halbnormen auf E derart, dass es zu jedem x ∈ E \ {0} ein n ∈ N gibt mit pn (x) 6=
0. Mit der Metrik aus Lemma 2.8 wird E zu einem metrischen lokalkonvexen
Raum mit Nullumgebungsbasis {Un | n ∈ N}, wobei Un = {x ∈ E | pn (x) < n1 }.
2.10 Satz.
2.11 Bemerkung. (a) Normierte Raume fallen unter diese Beschreibung, wenn man
alle pn gleich der Norm wahlt.
(b) Wenn E ein lokalkonvexer Raum mit abzahlbarer, absolutkonvexer NullumgeT
bungsbasis {Vn | n ∈ N} ist und man Un = nj=1 Vj setzt, so ist {Un | n ∈ N}
ebenfalls eine absolutkonvexe Nullumgebungsbasis. Ist nun pn das MinkowskiFunktional von Un , so sind die Voraussetzungen des Satzes erfullt und die so
konstruierte Metrik induziert die Ausgangstopologie.
2.12 Bemerkung. (a) Sei Ω ein topologischer Raum. Eine Folge (Kn )n∈N kompakter Teilmengen von Ω ist eine kompakte Ausschopfung von Ω, wenn K1 ⊂
S
K2 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Ω und
∞
n=1
Kn = Ω.
(b) Fur eine oene Menge Ω ⊂ RN wird eine kompakte Ausschopfung gegeben
durch
1
.
Kn = x ∈ Ω |x| ≤ n, dist(x, ∂Ω) ≥
n
2.13 Beispiel. (a) Fur
Ω ⊂ RN oen bezeichne C(Ω) den Raum aller stetigen
Funktionen auf Ω. Es sei K1 ⊂ K2 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Ω eine kompakte
Ausschopfung von Ω. Dann wird C(Ω) durch das Halbnormensystem (k·kKn )n∈N
zu einem Frechetraum, wobei
kfkK = sup|f(x)|.
x∈K
(b) Fur k ∈ N0 ist Ck (Ω) der Raum der k-mal stetig dierenzierbaren Funktionen.
Er wird versehen mit dem Halbnormensystem
kfkn = sup max|f(α) (x)|.
x∈Kn |α|≤k
Auf diese Weise wird Ck (Ω) zu einem Frechetraum.
(c) Der Raum C∞ (Ω) aller beliebig oft dierenzierbaren Funktionen wird versehen
mit dem Halbnormensystem
kfkn = sup max|f(α) (x)|.
x∈Kn |α|≤n
Auf diese Weise wird C∞ (Ω) zu einem Frechetraum.
8
(d) Fur Ω ⊂ C oen bezeichne H(Ω) den Raum der holomorphen Funktionen
auf Ω. Es sei K1 ⊂ K2 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Ω eine kompakte Ausschopfung
von Ω. Dann wird H(Ω) durch das Halbnormensystem (k·kKn )n∈N aus (a) zu
einem Frechetraum.
2.14 Definition. Eine Funktion f : RN → C heit
schnell fallend, wenn
lim xα f(x) = 0
|x|→∞
fur alle Multiindices α ∈ NN0 . Der Raum
S (RN ) = {f ∈ C∞ (RN ) | Dβ f schnell fallend f
ur jedes β ∈ NN0 }
heit Schwartzraum. Die Elemente von S (RN ) heien Schwartzfunktionen.
2.15 Satz. Versieht
(k·kn )n∈N , wobei
man den Schwartzraum
S (RN )
mit dem Halbnormensystem
kfkn = max sup (1 + |x|2 )n/2 |f(β) (x)|,
|β|≤n x∈RN
so wird S (RN ) zu einem Frechetraum.
2.16 Bezeichnung. Wenn die Topologie des Frechetraums E durch das Halbnormensystem (pn )n∈N gegeben wird, dann bezeichnet man das Halbnormensystem auch als
Fundamentalsystem von Halbnormen.
2.17 Satz. Es seien E, F metrische lokalkonvexe R
aume mit Fundamentalsystemen
(pn )n∈N und (qn )n∈N und es sei f : E → F linear. Dann sind 
aquivalent
(a) f ist stetig.
(b) f ist stetig in Null.
(c) Zu jedem n ∈ N gibt es
alle x ∈ E.
m∈N
und
C > 0,
so dass
qn (f(x)) ≤ Cpm (x)
fur
2.18 Definition. Seien E und F lokalkonvexe Raume. Der K-Vektorraum der stetigen
linearen Abbildungen E → F wird mit L(E, F) bezeichnet. Man schreibt E 0 = L(E, K)
und bezeichnet E 0 als Dualraum von E.
2.19 Beispiel. Sei Ω ⊂ C oen. Dann ist die Abbildung
D : H(Ω) → H(Ω), f 7→ f 0 ,
stetig.
9
2 Frechetraume
Sei E ein metrischer lokalkonvexer Raum und sei F ⊂ E ein abgeschlossener Unterraum. Versieht man E/F mit dem Fundamentalsystem
2.20 Satz.
qn ([x]) = inf pn (x + y) = inf pn (z).
y∈F
z∈[x]
so wird er zu einem metrischen lokalkonvexen Raum.
Sei E ein Frechetraum mit Fundamentalsystem (pn )n∈N und sei F ein
abgeschlossener Unterraum von E. Dann ist E/F ein Frechetraum.
2.21 Satz.
(a) Wenn E ein Frechetraum und F ein abgeschlossener Unterraum
von E ist, dann ist auch F ein Frechetraum.
2.22 Satz.
(b) Wenn E ein metrischer lokalkonvexer Raum und F ein Unterraum ist, der
in der Teilraumtopologie ein Frechetraum ist, dann ist F abgeschlossen.
2.23 Satz (Homomorphiesatz). Seien E, F metrische lokalkonvexe R
aume und
f ∈ L(E, F). Wenn G ein abgeschlossener Unterraum von E mit G ⊂ ker f,
dann existiert ein eindeutig bestimmtes ϕ ∈ L(E/G, F) mit f = ϕ ◦ π.
sei
ist
2.24 Beispiel.
S (Rn+ ) = S (Rn )/{f ∈ S (Rn ) | ∀x mit xn > 0 : f(x) = 0}. Auf S (Rn+ )
gibt es die Punktauswertung δx fur alle x mit xn ≥ 0.
2.25 Bemerkung. Es sei
E ein lokalkonvexer Raum, dessen Topologie durch eine
Metrik gegeben wird. Dann besitzt E eine abzahlbare, absolutkonvexe Nullumge-
bungsbasis. In Bemerkung 2.11 wurde dargelegt, wie man hieraus ein abzahlbares
Fundamentalsystem von Halbnormen erhalt.
10
3 Die schwache Topologie
Ich wiederhole aus \Einfuhrung in die Funktionalanalysis"
3.1 Definition. Ein sublineares Funktional auf einem R-Vektorraum E ist eine Funktion p : E → R mit den Eigenschaften
(a) p(λx) = λp(x) fur alle λ ≥ 0, x ∈ E,
(b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) fur alle x, y ∈ E.
3.2 Theorem (Satz von Hahn-Banach). Seien E ein R-Vektorraum, p ein sublineares
Funktional auf E, F ⊂ E ein Unterraum und y : F → R ein lineares Funktional
mit y(x) ≤ p(x) fur alle x ∈ F. Dann existiert ein lineares Funktional Y auf E
mit Y|F = y und Y(x) ≤ p(x) fur alle x ∈ E.
Sei E ein K-Vektorraum, sei p eine Halbnorm auf E, sei F ⊂ E ein
Unterraum, und sei y : F → K linear mit |y(x)| ≤ p(x) fur alle x ∈ F. Dann
existiert Y : E → K linear mit Y|F = y und |Y(x)| ≤ p(x) fur alle x ∈ E.
3.3 Satz.
Sei E ein metrischer lokalkonvexer Raum, sei F ⊂ E ein Unteraum,
der mit der Teilraumtopologie versehen ist. Dann besitzt jedes ϕ ∈ F 0 eine stetige
lineare Fortsetzung nach E 0 .
3.4 Korollar.
3.5 Beispiel. Sei
E = C(R2 ) und sei F = H(C), wobei wir C mit R2 identizieren
und auf diese Weise F als Unterraum von E auffassen. Sei ϕ ∈ F 0 gegeben durch
ϕ(f) = f 0 (0). Dann besitzt ϕ eine stetige lineare Fortsetzung Φ ∈ E 0 . Zufallig kann
man solche Fortsetzungen in diesem Fall sogar angeben, z. B.
1
Φ(f) =
2πi
Z
∂+ BR (0)
f(ζ)
dζ
ζ2
fur jedes R > 0. Alle diese Fortsetzungen sind verschieden.
3.6 Definition. Sei E ein lokalkonvexer Raum und E 0 sein Dualraum. Die grobste lokalkonvexe Topologie auf E, fur die alle Elemente von E 0 stetig sind, ist die schwache
Topololgie auf E, in Zeichen σ(E, E 0 ).
Bemerkung. Die schwache Topologie ist grober als die Ausgangstopologie. Sie hat
also weniger oene Mengen und mehr konvergente Folgen als diese.
11
3 Die schwache Topologie
Sei E ein metrischer
lokalkonvexer Raum. Sei B das System aller MenTn
−1
gen der Form x + i=1 ϕi (B1 (0)), wobei x ∈ E, n ∈ N0 und ϕi ∈ E 0 . Eine
Teilmenge M ⊂ E ist genau dann oen in der schwachen Topologie, wenn M
Vereinigung von Elementen aus B ist.
3.7 Satz.
Hier verwenden wir die Konvention
T0
i=1
G i = E.
3.8 Bemerkung. (a) Satz 3.7 gilt auch fur beliebige lokalkonvexe Raume E.
(b) Fur ϕ ∈ E 0 und x ∈ E schreiben wir ϕ(x) = hϕ, xi. Dann ist σ(E, E 0 ) die grobste
localkonvexe Topologie, fur welche alle Funktionen hϕ, ·i, ϕ ∈ E 0 , stetig sind.
(c) Analog deniert man σ(E 0 , E) als die grobste lokalkonvexe Topologie auf E 0 ,
fur welche alle Funktionen h·, xi, x ∈ E, stetig sind. Man zeigt analog, dass
σ(E 0 , E) eine lokalkonvexe Topologie auf E 0 . Das System B besteht dabei aus
T
allen Mengen der Form ϕ+ ni=1 {ψ ∈ E 0 | fur i = 1, . . . , n: |ψ(xi )| < i }, n ∈ N0 ,
i > 0 und xi ∈ E. Hierbei wird der Satz von Hahn-Banach nicht verwendet.
(d) Wenn E ein normierter Raum ist, dann wird σ(E 0 , E) auch als schwach∗ -Topologie auf E 0 bezeichnet. Wenn E nicht reexiv ist, unterscheidet sie sich im
allgemeinen von der schwachen Topologie σ(E 0 , E 00 ).
3.9 Beispiel. Fur ω = KN ist die schwache Topologie σ(ω, ω 0 ) gleich der Produkttopologie und damit metrisch.
Sei E ein lokalkonvexer Raum. Eine Folge (xj )j∈N konvergiert genau
dann in der schwachen Topologie σ(E, E 0 ) gegen x, wenn limj→∞ ϕ(xj ) = ϕ(x) fur
alle ϕ ∈ E 0 .
Eine Folge (ϕj )j∈N in E 0 konvergiert genau dann in der Topologie σ(E 0 , E)
gegen ϕ, wenn limj→∞ ϕj (x) = ϕ(x) fur alle x ∈ E.
3.10 Satz.
3.11 Satz (Satz von Alaoglu-Bourbaki). Sei E ein metrischer lokalkonvexer Raum,
sei U ⊂ E eine Nullungebung und setze U◦ = {ϕ ∈ E 0 | |ϕ(x)| ≤ 1∀x ∈ U}. Dann
ist U◦ kompakt in der Topologie σ(E 0 , E).
3.12 Beispiel. Sei
E ein normierter Raum und sei U = B1 (0). Dann ist U◦ die
abgeschlossene Einheitskugel V von E 0 . Der Satz von Alaoglu-Bourbaki sagt also
aus, dass die abgeschlossene Einheitskugel von E 0 schwach∗ -kompakt ist.
Wenn F ein reexiver Banachraum ist, dann ist F = E 0 fur E = F 0 . Die schwache
Topologie auf F ist σ(F, F 0 ). Wegen F 0 = E stimmt sie mit der schwach∗ -Topologie
σ(E 0 , E) u
berein. Hat man nun eine beschrankte Folge in F, so liegt sie in einem Vielfachen von V . Da V schwach kompakt ist, besitzt die Folge eine schwach konvergente
Teilfolge. Das ist der Satz von Hilbert-Banach.
12
3.13 Beispiel. Sei E = H(C). Dann E 0 = {(aj )j∈N ∈ CN
CR }, wobei
0
| ∃R, C > 0 ∀j ∈ N0 : |aj | ≤
j
h(aj )j∈N0 , fi =
∞
X
j=0
aj
f(j) (0)
.
j!
13
4 Der Dualraum
4.1 Definition. Eine Teilmenge B eines lokalkonvexen Raums heit beschr
ankt, wenn
es zu jeder Nullumgebung U in E ein R > 0 gibt, so dass B ⊂ RU.
Bemerkung. An der Metrik kann man die Beschranktheit nicht ohne weiteres ab-
lesen. Beispielsweise gilt in der Metrik aus Lemma 2.8 fur je zwei x, y ∈ E stets
d(x, y) ≤ 1.
4.2 Beispiel. Eine Teilmenge M ⊂ H(C) ist genau dann beschrankt, wenn es eine
stetige Funktion h : C → R gibt, so dass |f(z)| ≤ h(z) fur alle z ∈ C, f ∈ M.
4.3 Definition. Es sei E ein lokalkonvexer Raum. Ein System (k·kα )α∈A von Halbnormen
auf E heit Fundamentalsystem von Halbnormen, wenn
(a) jedes k·kα stetig ist,
(b) zu jeder Nullumgebung U in E ein α ∈ A und ein > 0 existieren, so dass
{x ∈ E | kxkα < } ⊂ U.
Bemerkung. Dieser Begri erweitert Bezeichnung 2.16.
4.4 Lemma. Jeder lokalkonvexe Raum E hat ein Fundamentalsystem von Halbnormen. Jedes Fundamentalsystem (k·kα )α∈A von Halbnormen hat die folgenden
Eigenschaften:
(a) Fur jede x ∈ E \ {0} gibt es α ∈ A mit kxkα 6= 0.
(b) Fur α, β ∈ A gibt es γ ∈ A mit max(k·kα , k·kβ ) ≤ Ck·kγ .
Sei E ein K-Vektorraum und sei (k·kα )α∈A eine Familie von Halbnormen auf E mit den Eigenschaften (a) und (b) aus Lemma 4.4. Dann existiert
eine eindeutig bestimmte lokalkonvexe Topologie auf E, fur die (k·kα )α∈A ein
Fundamentalsystem ist.
4.5 Satz.
4.6 Bemerkung. Sei E ein lokalkonvexer Raum mit Fundamentalsystem (k·kα )α∈A .
Eine Teilmenge M ⊂ E ist genau dann beschrankt, wenn supx∈M kxkα < ∞ fur alle
α ∈ A.
4.7 Definition. Sei E ein lokalkonvexer Raum und E 0 sein Dualraum. Die starke Topologie auf E 0 wird gegeben durch das Halbnormensystem (k·kB )B∈B , wobei B das
System der beschrankten Teilmengen von E ist und kϕkB = supx∈B |ϕ(x)|.
14
4.8 Bemerkung. (a) Die starke Topologie ist mindestens so stark wie die schwache.
Beachte dazu, dass σ(E 0 , E) durch das Halbnormensystem {k·k{x1 ,...,x} | n ∈ N,
x1 , . . . , xn ∈ E} mit kϕk{x1 ,...,x} = maxi=1,...,n |ϕ(xi )| gegeben wird.
(b) Wenn man andeuten will, dass E 0 mit der starken Topologie versehen ist, dann
schreibt man Eb0 .
(c) Entsprechend schreibt man Eσ0 fur die schwache Topologie.
0
4.9 Beispiel. Fur z ∈ C sei δz0 (f) = f 0 (z). Dann konvergiert die Folge (δ1/n
)n∈N in
0
0
H(C)b gegen δ0 .
Man kann jetzt verschiedene Aussagen, die wir fur metrische lokalkonvexe Raume
gezeigt hatten, allgemeiner erhalten.
4.10 Satz. Es seien E, F lokalkonvexe R
aume mit Fundamentalsystemen (pα )α∈A
und (qβ )β∈B und es sei f : E → F linear. Dann sind aquivalent
(a) f ist stetig.
(b) f ist stetig in Null.
(c) Zu jedem β ∈ B gibt es
alle x ∈ E.
α∈A
und
4.11 Satz. Sei E ein lokalkonvexer Raum
F ⊂ E ein abgeschlossener Unterraum.
talsystem
C > 0,
so dass
qβ (f(x)) ≤ Cpα (x)
fur
mit Fundamentalsystem (pα )α∈A und sei
Versieht man E/F mit dem Fundamen-
qα ([x]) = inf pα (x + y) = inf pα (z).
y∈F
z∈[x]
so wird E/F zu einem lokalkonvexen Raum.
Sei E ein lokalkonvexer Raum, sei F ⊂ E ein Unteraum,
der mit der Teilraumtopologie versehen ist. Dann besitzt jedes ϕ ∈ F 0 eine stetige
lineare Fortsetzung nach E 0 .
4.12 Satz (Hahn-Banach).
4.13 Satz (Alaoglu-Bourbaki). Sei E ein lokalkonvexer Raum, sei U ⊂ E eine Nullumgebung und setze U◦ = {ϕ ∈ E 0 | |ϕ(x)| ≤ 1∀x ∈ U}. Dann ist U◦ kompakt in
der Topologie σ(E 0 , E).
15
5 Grothendieck-Köthe Dualität
In diesem Abschnitt hat K immer unendlich viele Elemente.
5.1 Definition. F
ur K ⊂ C kompakt denieren wir den Raum A(K) der analytischen
Funktionen auf K als die Menge derjenigen stetigen Funktionen f auf K, die zu jedem
z ∈ K eine holomorphe Fortsetzung in eine geeignete Umgebung von z besitzen.
5.2 Notation. Im weiteren sei K ⊂ C ein zusammenhangendes Kompaktum. Zu Ω =
S
C \ K gebe es oene Mengen G1 ⊂ G1 ⊂ G2 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ Ω, so dass Ω = ∞
n=1 Gn .
Dabei soll G1 ein Ringgebiet der Form RG(0, ∞, R) umfassen. Zu jedem n gebe
es einen stuckweisen C1 -Weg γn , so dass ∂Gn = Bild(γn ) und indz (γn ) = 1 fur
alle z ∈ K. Ferner setzen wir voraus, dass Un = C \ Gn fur jedes n ein einfach
zusammenhangendes Gebiet ist.
Wir denieren ferner H0 (Ω) = {f ∈ H(Ω) | limz→∞ f(z) = 0} und versehen ihn
mit dem Fundamentalsystem kfkn = supz∈Gn |f(z)|. Dadurch wird H0 (Ω) zu einem
Frechetraum.
5.3 Bemerkung. Mit den Bezeichnungen aus 5.2 gilt
A(K) =
∞
[
(5.1)
H(Un ),
n=1
wenn man fur m > n den Raum H(Un ) als Unterraum von H(Um ) auffasst. Dabei
wird verwendet, dass K unendlich viele Punkte hat.
Im Fall K = {0} wurde man (5.1) als Denition von A(K) wahlen.
5.4 Lemma.
Mit den Bezeichnungen aus 5.2 deniere
Φ : A(K) → H0 (Ω) ,
0
1
Φ(u)(f) =
2πi
Z
f(ζ)u(ζ)dζ,
γn
wobei n so zu wahlen ist, dass u ∈ H(Un−1 ). Dann ist Φ C-linear.
5.5 Definition. Es sei G eine echte oene Teilmenge von C. Der Raum H∞ (G) besteht aus allen beschrankten holomorphen Funktionen auf G. Er ist versehen mit der
Supremumsnorm.
16
Sei f ∈ H0 (Ω) und sei γ : [0, 1] → Un ein C1 -Weg. Fur k ∈ N deniere
die Riemannsumme
5.6 Lemma.
k
j
1 X f γ kj
γ0
w 7→
.
j
k j=1 w − γ k
k
Rk : Gn → C,
Dann konvergiert Rk in H∞ (Gn ) gegen w 7→
5.7 Lemma.
R
.
f(ζ)
dζ
γ w−ζ
Sei f ∈ H0 (Ω). Fur jedes w ∈ Gn gilt
1
2πi
Z
γn+1
f(ζ)
dζ = f(w).
w−ζ
5.8 Theorem (Grothendieck-Kothe Dualitat).
ein C-linearer Isomorphismus.
5.9 Bemerkung.
A(K) =
∞
M
Die Abbildung
Φ
aus Lemma 5.4 ist
,
H(Un )
F
n=1
fur
F=
f1 , . . . , fn , −
n
X
j=1
wobei (fn )n∈N ∈
L∞
n=1
ur j = 1, . . . , n ,
fj |Un+1 , 0, . . . n ∈ N, fj ∈ H(Uj ) f
H(Un ) mit
P∞
n=1 fn
∈ A(K) identiziert wird.
17
6 (DF)-Räume
6.1 Definition. Sei E ein lokalkonvexer Raum, sei M ⊂ E und sei N ⊂ E 0 . Wir denieren
die Polaren
M◦ = {ϕ ∈ E 0 | ∀x ∈ M : |ϕ(x)| ≤ 1}
◦
N = {x ∈ E | ∀ϕ ∈ N : |ϕ(x)| ≤ 1}.
6.2 Lemma. Sei E ein lokalkonvexer
ist U◦ beschrankt in Eb0 .
Raum, sei U ⊂ E eine Nullumgebung. Dann
6.3 Definition. Sei E ein lokalkonvexer Raum und sei M ⊂ E.
(a) M heit bornivor, wenn es zu jeder beschrankten Menge B in E ein R > 0 mit
B ⊂ RM gibt.
(b) M heit Tonne, wenn M absolutkonvex, abgeschlossen und absorbierend ist.
(c) E heit tonneliert, wenn jede Tonne in E eine Nullumgebung ist, und quasitonneliert, wenn jede bornivore Tonne in E eine Nullumgebung ist.
6.4 Bemerkung. Wenn E ein lokalkonvexer Raum und M ⊂ E 0 beschrankt ist, dann
ist ◦ M eine bornivore Tonne.
6.5 Satz.
Metrische lokalkonvexe Raume sind quasitonneliert.
6.6 Notation. Ein System (Bα )α∈A ist ein
Fundamentalsystem fur die beschrankten
Mengen eines lokalkonvexen Raums, wenn alle
schrankte Menge in einem Bα enthalten ist.
Bα beschrankt sind und jede be-
Sei E ein metrischer lokalkonvexer Raum. Dann besitzt
bares Fundamentalsystem fur die beschrankten Mengen.
6.7 Satz.
Eb0
ein abzahl-
6.8 Bezeichnung. Es gelten weiterhin die Vereinbarungen aus 5.2. Im Beweis der
Grothendieck-Kothe Dualitat hatten wir folgendes gesehen: Zu jedem u ∈ H(Un−1 )
liegt Φ(u), deniert durch
Z
1
f(ζ)u(ζ)dζ,
hΦ(u), fi =
2πi γn
in H0 (Ω) 0 und besitzt eine stetig lineare Fortsetwung nach H∞ (Gn+1 ) 0 . Hat man
umgekehrt ein u ∈ A(K), so dass |hΦ(u), fi| ≤ C supw∈Gn+1 |f(w)| fur alle f ∈ A(K),
18
dann besitzt Φ(u) eine stetige Fortsetzung S ∈ H∞ (Gn+1 ) 0 , deren Operatornorm
hochstens C betragt. Fur jedes solche S gilt
u(z) = S,
1
z−w
w
fur alle z ∈ Un+1 .
6.9 Beispiel. Setzt man
Bn = {u ∈ H(Uu ) | supz∈Un |u(z)| ≤ n}, so ist (Bn )n∈N ein
Fundamentalsystem fur die beschrankten Mengen von A(K).
6.10 Definition. Ein
Eigenschaften:
(DF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum
E mit den folgenden
(a) E besitzt ein abzahlbares Fundamentalsystem fur die beschrankten Mengen.
(b) Falls der Durchschnitt V von abzahlbar vielen, absolutkonvexen Nullungebungen bornivor ist, dann ist V eine Nullumgebung.
6.11 Satz (siehe Meise-Vogt, Satz 25.7).
Fur jeden Frechetraum E ist Eb0 ein (DF)-
6.12 Satz (siehe Meise-Vogt, Satz 25.9).
Fur jeden (DF)-Raum F ist Fb0 ein Frechet-
Raum.
raum.
6.13 Satz. Es seien E ein metrischer lokalkonvexer und F ein
es sei T ∈ L(E, F). Dann gibt es eine Nullumgebung U in F,
beschrankt in E ist.
6.14 Korollar.
(DF)-Raum und
fur welche T (U)
Wenn ein (DF)-Raum eine Metrik tragt, dann ist er normiert.
19
7 Vollständigkeit
(a) Eine gerichtete Menge ist eine partiell geordnete Menge, welche
zu je zwei Elementen α und β ein γ mit α ≤ γ und β ≤ γ enthalt.
7.1 Definition.
(b) Sei X ein topologischer Raum. Ein Netz in X ist eine Familie (xα )α∈A mit einer
gerichteten Indexmenge.
(c) Eine Netz (xα )α∈A konvergiert gegen y, wenn es zu jeder Umgebung U von y
ein α ∈ A gibt, so dass xβ ∈ U fur alle β ≥ α. Man schreibt dann limα∈A xa = y.
7.2 Bemerkung. (a) Wenn X Hausdorsch ist, dann besitzt jedes Netz hochstens
einen Grenzwert. Dies ist eine direkte Folge davon, dass A gerichtet ist.
(b) Sei (xα )α∈A ein Netz. Setze
F = {M ⊂ X | ∃α ∈ A∀β ≥ α : xβ ∈ M}.
Dann ist F ein Filter. Er konvergiert genau dann gegen y, wenn limα∈A xα = y.
(a) Ein Netz (xα )α∈A in einem lokalkonvexen Raum ist ein CauchyNetz, wenn es zu jeder Nullumgebung U ein α ∈ A gibt, so dass xβ − xγ ∈ U
fur alle β, γ ≥ α.
7.3 Definition.
(b) Ein lokalkonvexer Raum E heit vollstandig, wenn jedes Cauchy-Netz in E
konvergiert.
(c) E ist folgenvollstandig, wenn jede Cauchyfolge in E konvergiert.
Bemerkung. Der Begri \vollstandig" macht fur einen topologischen Raum keinen
Sinn. Man benotigt wenigstens einen uniformen Raum. Eine ausfuhrliche Darstellung
ndet man in \Topologie" von Schubert.
7.4 Lemma.
7.5 Satz.
Frechetraume sind vollstandig im Sinne der Denition 7.3.
Sei E ein metrischer lokalkonvexer Raum. Dann ist Eb0 vollstandig.
Bemerkung. (a) Man kann zeigen, dass jeder lokalkonvexe Raum eine vollstandige
Hulle besitzt (siehe Meise und Vogt, Satz 22.21).
(b) Wenn E unstetige Linearformen besitzt, dann ist Eσ0 nicht vollstandig (siehe
Kaballo, Aufbaukurs, Abschnitt 8.1).
20
8 Der Satz von der offenen Abbildung
8.1 Definition. Seien X und Y topologische Raume. Eine Abbildung f : X → Y heit
oen, wenn fur jede oene Teilmenge U von X die Bildmenge f(U) oen ist. Sie heit
abgeschlossen, wenn fur jede abgeschlossene Teilmenge U von X die Bildmenge f(U)
abgeschlossen ist.
8.2 Theorem (Satz von der oenen Abbildung). E und F seien Fr
echetraume. A : E →
F sei linear, stetig und surjektiv. Dann ist A oen.
8.3 Theorem (Banachscher Isomorphiesatz). E und F seien Fr
echetraume. A : E → F
−1
sei linear, stetig und bijektiv. Dann ist A ein linear topologischer Isomorphis-
mus.
8.4 Definition. Seien X und Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Der Graph von f
ist die Menge
G(f) = (x, f(x)) x ∈ X ⊂ X × Y.
Seien E und F metrische lokalkonvexe Raume, und sei A : E → F
linear. Dann ist G(A) genau dann abgeschlossen, wenn fur jede Nullfolge (xn )n∈N ,
fur die (Axn )n∈N gegen ein Element y ∈ F konvergiert, bereits y = 0 gilt.
8.5 Lemma.
8.6 Theorem (Satz vom abgeschlossenen Graphen). Es seien E und F Fr
echetraume.
Die Abbildung A : E → F sei linear, und ihr Graph sei abgeschlossen in E × F.
Dann ist A stetig.
8.7 Beispiel. Sei
schaften
Ω ⊂ RN oen. Sei T eine Topologie auf C∞ (Ω) mit den Eigen-
(a) (C∞ , T ) ist ein Frechetraum.
(b) Fur jedes x ∈ Ω ist die Punktauswertung δx : f 7→ f(x) stetig.
Dann ist T die Topologie aus Beispiel 2.13.
21
9 Die Fouriertransformation für temperierte
Distributionen
9.1 Definition. Die Elemente von S 0 (RN ) heien
temperierte Distributionen.
Bemerkung. S 0 (RN ) wird entweder mit der starken oder mit der schwachen Topolo-
gie versehen (bei uns in der Regel mit der starken). Der Vorteil der starken Topologie
ist die Vollstandigkeit.
Bemerkung. Die Fouriertransformierte von f ∈ L1 (RN ), insbesondere also von f ∈
S (RN ), ist deniert als
1
(Ff))(ξ) =
(2π)N/2
Z
f(x)e−ixξ dx,
ξ ∈ RN .
RN
Theorem 16.13 der Einf. Funktionalanalysis von 2014 besagt, dass die Fouriertransformation eine Bijektion von S (RN ) auf sich ist.
9.2 Satz. F : S (RN ) → S (RN )
ist ein linear topologischer Isomorphismus.
9.3 Definition. Seien E und F lokalkonvexe Raume, und sei A ∈ L(E, F). Der
nierte Operator A 0 ∈ L(F 0 , E 0 ) wird deniert durch
hA 0 ϕ, xi = hϕ, Axi ,
transpo-
ϕ ∈ F 0 , x ∈ E.
9.4 Lemma. A 0 ∈ L(Fb0 , Eb0 ).
9.5 Definition. Die
Fouriertransformation
9.6 Bemerkung.
9.7 Beispiel.
F : S 0 (RN )b → S 0 (RN )b ist ein topologischer Isomorphismus.
F : S 0 (RN ) → S 0 (RN ) wird deniert als
die Transponierte von F : S (RN ) → S (RN ).
1
hFδ0 , fi = hδ0 , Ffi =
(2π)N/2
22
Z
f(x)dx =
RN
1
h1, fi .
(2π)N/2
10 Banachalgebren
10.1 Definition. (a) Eine C-Algebra ist ein C-Vektorraum A mit einer Multiplikation
· : A × A → A, so dass A ein Ring mit Eins und der folgenden Eigenschaft ist
∀λ ∈ C ∀a, b ∈ A : λ(ab) = (λa)b = a(λb).
Die Eins wird mit e bezeichnet.
(b) Eine normierte Algebra ist eine C-Algebra mit einer Norm mit den folgenden
Eigenschaften
(i) ∀a, b ∈ A : kabk ≤ kakkbk (Submultiplikativitat).
(ii) kek = 1.
(c) Eine Banachalgebra ist eine vollstandige normierte Algebra.
10.2 Bemerkung. Sei A eine normierte Algebra. Dann ist die Multiplikation stetig.
10.3 Beispiel. (a) Sei E ein komplexer Banachraum. Dann ist L(E) eine Banachalgebra. Im Fall E = CN wurde sie in der Linearen Algebra studiert.
(b) Wenn K kompakt ist, dann ist C(K) (komplexwertig) eine Banachalgebra.
10.4 Bezeichnung. Die Gruppe der invertierbaren Elemente in A wird mit G(A) bezeichnet. (In der Algebra wurde man A∗ schreiben.)
10.5 Satz (Neumannsche Reihe).
Falls fur b ∈ A gilt
Es seien
A
eine Banachalgebra und
ka − bk <
1
,
ka−1 k
a ∈ G(A).
dann b ∈ G(A).
10.6 Korollar. G(A)
ist oen und die Umkehrabbildung x 7→ x−1 ist stetig in G(A).
10.7 Definition. Es sei A eine Banachalgebra und es sei a ∈ A. Das Spektrum von a
besteht aus allen λ ∈ C, fur welche λe − a ∈/ G(A). Es wird mit σ(a) bezeichnet. Sein
Komplement ρ(a) = C \ σ(a) ist die Resolventenmenge von a.
Fur λ ∈ ρ(A) ist R(λ, a) = (λe − a)−1 die Resolvente.
23
10 Banachalgebren
10.8 Bemerkung.
σ(a) ist abgeschlossen. F
ur λ mit |λ| > kak ist λ−1 a invertierbar.
Also σ(a) ⊂ Bkak (0). Insbesondere ist σ(a) kompakt. Aus dem Beweis der Neumann-
schen Reihe erhalt man sofort
∞
X
aj
R(λ, a) =
.
j+1
λ
j=0
Seien A eine Banachalgebra, a ∈ A und z, ζ ∈ ρ(a). Dann gelten
(a) R(z, a) − R(ζ, a) = (ζ − z)R(z, a)R(ζ, a)
(Resolventenformel).
10.9 Lemma.
1
(R(z, a) − R(ζ, a)) = −R(z, a)2 .
z−ζ
10.10 Satz. Sei A eine Banachalgebra. F
ur jedes a ∈ A
(b) lim
ζ−z
ist σ(a) 6= ∅.
10.11 Theorem (Satz von Gelfand und Mazur). Wenn die Banachalgebra A ein
Korper ist, dann ist sie gleich Ce.
10.12 Lemma. Seien A eine Banachalgebra und a ∈ A. F
ur ein komplexes PolyPn
Pn
j
j
nom p = j=0 λj z ∈ C[X] denieren wir p(a) = j=0 λj a ∈ A. Dann p(a) ∈ G(A)
genau dann, wenn p(µ) 6= 0 fur alle µ ∈ σ(a).
10.13 Satz. Seien A eine Banachalgebra, a ∈ A und p ∈ C[X]. Dann σ(p(a)) =
p(σ(a)).
10.14 Beispiel. Wenn M ∈ CN×N diagonalisierbar ist, dann existieren Eigenwerte
µ1 , . . . , µN ∈ C und eine Transformationsmatrix T ∈ GLN (C), so dass


µ1


µ2
 −1

M=T
T .
.
.


.
µN
(a) Dann



p(M) = T 


p(µ1 )
p(µ2 )

 −1
T .

...
p(µN )
(b) Die Moglichkeit, p(M) uber die √
Eigenwerte zu erklaren, besteht auch fur allgemeine stetige Funktionen, z. B. M = TDT −1 fur
√
µ1
√

µ2

D=
...

Dann gilt in der Tat
24
√
2

√


.

µN
M = TDT −1 TDT −1 = TD2 T −1 = M.
10.15 Definition. Sei A eine Banachalgebra. F
ur a ∈ A deniert man den
dius als
10.16 Satz.
Spektralra-
r(a) = sup{|z| | z ∈ σ(a)}.
Sei A eine Banachalgebra. Fur a ∈ A gilt
r(a) = lim
n→∞
p
n
kan k.
Der Beweis benutzt Satz 9.18 der Einfuhrung in die Funktionalanalysis:
10.17 Satz. Seien E ein normierter Raum und M eine Teilmenge
supx∈M |hy, xi| < ∞ fur jedes y ∈ E 0 . Dann supx∈M kxk < ∞.
von E, so dass
(a) Seien A, B Algebren. Eine C-lineare Abbildung f : A → B ist
ein Algebrenhomomorphismus, wenn f(e) = e und f(ab) = f(a)f(b) fur alle
a, b ∈ A.
10.18 Definition.
(b) Sei A eine Banachalgebra. Das Spektrum von A besteht aus allen stetigen
Algebrenhomomorphismen von A nach C. Man schreibt Sp(A).
10.19 Lemma (Meise/Vogt, Lemma 17.12). Sei A eine
Die maximalen Ideale in A sind genau die Kerne
10.20 Satz (Meise/Vogt, Satz 17.13). Sei A eine
sei a ∈ A. Dann σ(a) = {ϕ(a) | ϕ ∈ Sp(A)}.
kommutative Banachalgebra.
der Elemente von Sp(A).
kommutative Banachalgebra und
10.21 Definition. Eine C∗ -Algebra ist eine Banachalgebra zusammen mit einer Involution ∗ : a 7→ a∗ mit den folgenden Eigenschaften
(a) (a + b)∗ = a∗ + b∗ , (λa)∗ = λa und (ab)∗ = b∗ a∗ fur a, b ∈ A und λ ∈ C.
(b) ka∗ ak = kak2 fur alle a ∈ A.
Eine Involution ist ein Element mit der Eigenschaft a2 = e.
10.22 Lemma.
Sei A eine C∗ -Algebra. Dann gelten
(a)
ka∗ k = kak
(b)
e∗ = e.
fur alle a ∈ A.
(c) Wenn a ∈ G(A), dann a∗ ∈ G(A) und (a∗ )−1 = (a−1 )∗ .
10.23 Beispiel. (a)
(C, |·|) mit der Involution z 7→ z ist eine C∗ -Algebra.
(b) Fur ein Kompaktum K ist (C(K), k·k∞ ) mit der Involution f 7→ f eine C∗ Algebra.
25
10 Banachalgebren
(c) Sei H ein komplexer Hilbertraum. Dann hatten wir den zu A ∈ L(H) adjungierten Operator A∗ ∈ L(H) deniert durch
(A∗ x, y) = (x, Ay) ,
x, y ∈ H.
Mit dieser Setzung wird L(H) zu einer C∗ -Algebra.
(d) Ein Spezialfall von (c) ist der Fall H = CN . Der Operator A ∈ L(H) sei im
Standardkoordinatensystem durch die Matrix


a1,1 a1,2 . . . a1,N
 a2,1 a2,2 . . . a2,N 


 ..
.
.
.
..
..
.. 
 .

aN,1 aN,2 . . . aN,N
dargestellt. Dann besitzt A∗ die Darstellung

a1,1 a2,1 . . . aN,1
 a1,2 a2,2 . . . aN,2 


.
 ..
.
.
.
..
..
.. 

 .
a1,N a2,N . . . aN,N

10.24 Definition. Ein Element a einer C∗ -Algebra A heit
(a) normal, wenn aa∗ = a∗ a,
(b) selbstadjungiert, wenn a∗ = a,
(c) unitar, wenn aa∗ = a∗ a = e.
10.25 Bemerkung. (a) Selbstadjungierte und unitare Elemente sind normal.
(b) Im endlich-dimensionalen Fall ist ein Operator genau dann selbstadjungiert,
wenn seine Matrix hermitesch ist.
(c) Im endlich-dimensionalen Fall wurde in der Linearen Algebra gezeigt, dass ein
C-linearer Endomorphismus genau dann eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren hat, wenn er normal ist. Ein normaler Operator besitzt genau dann reelle
Eigenwerte, wenn er selbstadjungiert ist.
(d) Fur jedes a ist a∗ a selbstadjungiert.
10.26 Satz.
Sei A eine C∗ -Algebra und sei a ∈ A. Dann σ(a∗ ) = σ(a).
10.27 Satz.
Sei A eine C∗ -Algebra und sei a ∈ A selbstadjungiert. Dann σ(a) ⊂ R.
10.28 Satz.
kak.
26
Sei
A
eine
C∗ -Algebra
und sei
a∈A
selbstadjungiert. Dann
r(a) =
10.29 Beispiel. Sei M ⊂ CN×N eine hermitesche Matrix mit Eigenwerten λ1 ≤ λ2 ≤
· · · ≤ λN . Der CN sei mit der euklidischen Norm versehen. Dann ist die Operatornorm
des zu M gehorenden Endomorphismus gleich max{−λ1 , λN }.
10.30 Lemma. Sei A eine C∗ -Algebra,
Dann r(p(a)) = kp(a)k.
sei a ∈ A selbstadjungiert und sei p ∈ C[X].
Erinnerung an zwei fruhere Satze. Der Satz von Stone-Weierstra war Theorem 5.30
in der Einfuhrung in die Funktionalanalysis im Sommer 2014.
Sei E ein normierter Raum, sei H ein Banachraum, sei F ⊂ E ein
dichter Unterraum (d. h. F = E) und sei A ∈ L(F, H). Dann gibt es ein eindeutig
bestimmtes B ∈ L(E, H) mit B|F = A.
Es gilt ferner kBk = kAk.
10.31 Satz.
10.32 Theorem (Satz von Stone-Weierstra). Seien X ein kompakter topologischer
Raum und A eine abgeschlossene Unteralgebra von C(X, C) mit den folgenden
Eigenschaften
(a)
A
trennt die Punkte von X,
(b) mit f liegt auch f in A.
Dann A = C(X, C).
10.33 Definition. Seien A und B C∗ -Algebren. Ein stetiger Algebrenhomomorphismus
Φ : A → B ist ein ∗-Homomorphismus, wenn Φ(a∗ ) = Φ(a)∗ f
ur alle a ∈ A.
Sei A eine C∗ -Algebra, sei a ∈ A selbstadjungiert. Dann gibt es einen
eindeutig bestimmten ∗-Homomorphismus Φ : C(σ(a)) → A mit Φ(x) = a. (Mit x
meinen wir die identische Funktion von σ(a).)
Fur dieses Φ gilt kΦ(f)k = kfk∞ fur alle f ∈ C(σ(a)).
Wenn b ∈ A ein Element mit ab = ba ist, dann Φ(f)b = bΦ(f) fur alle
f ∈ C(σ(a)).
10.34 Satz.
10.35 Theorem (Spektralabbildungssatz). Sei A eine C∗ -Algebra
selbstadjungiert. Dann gilt fur den ∗-Homomorphismus Φ aus
σ(Φ(f)) = f(σ(a))
und sei a
Satz 10.34
∈ A
fur jedes f ∈ C(σ(a)).
10.36 Beispiel. Sei a ∈ A selbstadjungiert. Dann existiert ein normales b ∈ A mit
b2 = a. Wenn σ(a) ⊂ [0, ∞), dann kann b sogar selbstadjungiert gewahlt werden.
In Meise/Vogt wird der Spektralabbildungssatz sogar fur normale Elemente a gezeigt.
27
10 Banachalgebren
Sei A eine C∗ -Algebra, sei a ∈ A normal. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ∗-Homomorphismus Φ : C(σ(a)) →
A mit Φ(z) = a.
Fur dieses Φ gelten kΦ(f)k = kfk∞ und σ(Φ(f)) = f(σ(a)) fur alle f ∈ C(σ(a)).
10.37 Theorem (Meise/Vogt, 17.21 und 17.22).
Sei A eine Banachalgebra und sei
dann unitar, wenn σ(a) ⊂ S1 .
10.38 Satz.
a∈A
normal. Dann ist
a
genau
10.39 Korollar (Stetiger Funktionalkalk
ul). Sei H ein komplexer Hilbertraum und sei
T ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann existiert genau eine Abbildung Φ : C(σ(T )) →
L(H) mit
(a)
Φ(x) = T
und Φ(1) = idH .
(b)
Φ
ist C-linear.
(c)
Φ
ist multiplikativ. (D. h. Φ(fg) = Φ(f)Φ(g) fur alle f, g ∈ C(σ(T )).)
(d)
Φ
respektiert die Involutionen, d. h. Φ(f) = Φ(f)∗ fur alle f ∈ C(σ(T )).
(e)
Φ
ist stetig.
Wir schreiben f(T ) statt Φ(f). Dann gelten kf(T )k = supx∈σ(T ) |f(x)| und σ(f(T )) =
f(σ(T )) f
ur alle f ∈ C(σ(T )).
10.40 Definition. Sei E ein normierter Raum und sei T ∈ L(E). Eine komplexe Zahl λ
heit Eigenwert von T , wenn {0} 6= ker(λ id −T ). Die von 0 verschiedenen Elemente
von ker(λ id −T ) heien Eigenvektoren.
10.41 Satz. Sei H ein komplexer Hilbertraum, sei T ∈ L(H) selbstadjungiert. Wenn
λ ∈ σ(T ) ein isolierter Punkt ist, dann ist λ ein Eigenwert von T .
10.42 Bezeichnung. F
ur eine kompakte Menge K ⊂ C bezeichnen wir mit B(K) den CVektorraum der beschrankten, Borel-messbaren Funktionen auf K. Er wird versehen
mit der Supremumsnorm.
Meise und Vogt bezeichnen diesen Raum mit M∞ (K).
10.43 Theorem (Messbarer Funktionalkalk
ul, Werner, Satz VII.1.6). Sei H ein komplexer Hilbertraum und sei T ∈ L(H) selbstadjungiert. Dann gibt es genau eine
Abbildung Φ : B(σ(T )) → L(H) mit den folgenden Eigenschaften
(a)
Φ(x) = T
(b)
Φ
und Φ(1) = id.
ist ein ∗-Homomorphismus.
(c) Wenn (fn )n∈N eine beschrankte Folge in B(σ(T )) ist, so dass limn→∞ fn (x) =
f(x) f
ur alle x ∈ σ(T ), dann limn→∞ (Φ(fn )v, w) = (Φ(f)v, w) fur alle v, w ∈
H.
28
10.44 Satz. Sei H ein komplexer Hilbertraum, sei T ∈ L(H) selbstadjungiert und
sei λ ∈ σ(T ). Dann gibt es eine Folge (vn )n∈N in H mit kvn k = 1 fur alle n, so
dass limn→∞ λvn − Tvn = 0.
Es ist auch moglich, den messbaren Funktionalkalkul auf normale Operatoren auszudehnen.
29
11 Unbeschränkte Operatoren zwischen
Hilberträumen
Ab jetzt schreiben wir das Skalarprodukt als hx, yi, um es vom Paar (x, y) zu unterscheiden.
11.1 Lemma.
Seien H und G zwei Hilbertraume. Das Produkt H × G wird durch
h(x, y), (s, t)i = hx, si + hx, ti ,
x, s ∈ H, y, t ∈ G,
zu einem Hilbertraum.
11.2 Definition. Ein Operator A von H nach G ist eine lineare Abbildung A von einem
Unterraum D(A) von H mit Werten in G. D(A) ist der Denitionsbereich von A,
R(A) = {Ax | x ∈ D(A)} ist sein Bild. Der Prahilbertraum G(A) = {(x, Ax) | x ∈
D(A)} ist der Graph von A.
Der Operator A ist dicht deniert, wenn sein Denitionsbereich dicht ist.
Sind A und B zwei Operatoren von H nach G und gilt G(A) ⊂ G(B), so bezeichnet
man B als Erweiterung von A und A als Einschrankung von B.
11.3 Beispiel. Sei
D(A) ⊂ L2 [0, 1] der Raum aller Polynome und sei A : D(A) →
L2 [0, 1] die Ableitung. Dann ist A ein dicht denierter Operator.
11.4 Lemma. Ein Unterraum L von H × G ist genau dann
rators von H nach G, wenn {(x, y) ∈ L | x = 0} = {(0, 0)}.
der Graph eines Ope-
Das folgende Ergebnis war Satz 4.16 der Einfuhrung in die Funktionalanalysis.
11.5 Theorem (Rieszscher Darstellungssatz f
ur Linearformen auf Hilbertraumen). Sei0
en E ein Hilbertraum und y ∈ E . Dann existiert ein eindeutig bestimmtes η ∈ E
mit
y(x) = hx, ηi
fur alle x ∈ E.
Fur dieses η gilt kηk = kyk.
11.6 Lemma. Sei A ein dicht denierter Operator von H nach G. Dann
wir D(A∗ ) = {y ∈ G | x 7→ hAx, yi ist stetig auf D(A)}. Es gelten
(a)
30
D(A∗ )
ist ein linearer Unterraum von G.
denieren
(b) Fur jedes y ∈ D(A∗ ) gibt es ein eindeutig bestimmtes A∗ y ∈ H mit
hAx, yi = hx, A∗ yi
(c)
A∗ : D(A∗ ) → H
fur alle x ∈ D(A).
ist linear.
11.7 Definition. Sei A ein dicht denierter Operator von H nach G. Den Operator A∗
aus 11.6 bezeichnet man als den zu A adjungierten Operator.
11.8 Beispiel. Fur den Operator A aus Beispiel 11.3 gilt x ∈/ D(A∗ ).
11.9 Bezeichnung. Deniere U : H×G → G×H, U(x, y) = (−y, x). Dann ist U oenbar
ein unitarer Isomorphismus.
11.10 Lemma.
Sei A ein dicht denierter Operator von H nach G. Dann
G(A∗ ) = U(G(A)⊥ ) = (UG(A))⊥ .
(11.1)
11.11 Bemerkung. Falls
A und B dicht denierte Operatoren mit A ⊂ B sind, so
folgt sofort aus dem vorangegangenen Lemma, dass B∗ ⊂ A∗ .
11.12 Definition. Ein Operator A von H nach G heit abgeschlossen, wenn sein Graph
abgeschlossen ist. Er heit abschliebar, wenn G(A) Graph eines Operators B ist. In
diesem Fall ist B die Abschlieung von A. Wir schreiben dann A.
Bemerkung. Wenn A abgeschlossen mit D(A) = H ist, dann ist A stetig. Das folgt
aus dem Satz von abgeschlossenen Graphen.
11.13 Bemerkungen. Sei A ein Operator von H nach G.
(a) A ist genau dann abgeschlossen, wenn fur jede Folge (xn )n∈N in D(A), die gegen
ein x ∈ H konvergiert und fur die (Axn )n∈N gegen ein y ∈ G konvergiert, bereits
x ∈ D(A) und Ax = y gelten.
(b) A ist genau dann abschliebar, wenn fur jede Nullfolge (xn )n∈N , fur welche
(Axn )n∈N gegen ein y ∈ G konvergiert, bereits y = 0 gilt.
Sei A ein Operator von H nach G. Wenn A abschliebar und dicht
deniert ist, dann gilt A∗ = A∗ .
11.14 Lemma.
31
12 Sobolevräume
12.1 Definition. Sei Ω ⊂ Rn oen, sei α ∈ Nn0 ein Multiindex und sei f ∈ L2 (Ω). Dann
heit g ∈ L2 (Ω) schwache Ableitung von f, wenn
hg, ϕi = (−1)|α| f, ϕ(α)
fur alle ϕ ∈ D(Ω).
Wir schreiben dann Dα f oder f(α) fur g.
12.2 Bemerkung. (a) Sei
Ω = (−1, 1), sei f(x) = |x|. Dann ist g mit g(x) =
signum(x) die schwache
Ableitung
von f. Das rechnet man sofort nach, indem
R0
R1
man die Integrale
−1
und
0
einzeln partiell integriert.
(b) Sei h ∈ C∞ [a, b] und sei f ∈ L2 [a, b] derart, dass die schwache Ableitung g = f 0
von f existiert. Dann hf ∈ L2 [a, b] und (hf) 0 = h 0 f + hg im schwachen Sinn.
12.3 Definition. Sei Ω ⊂ Rn oen, sei m ∈ N0 .
(a) Hm (Ω) = {f ∈ L2 (Ω) | fur alle α mit |α| ≤ m existiert die schwache Ableitung
Dα f in L2 (Ω)}.
(b) hf, giHm =
P
|α|≤m
hDα f, Dα gi f
ur f, g ∈ Hm (Ω).
m
(c) Hm
0 (Ω) ist der Abschlu von D(Ω) in H (Ω).
Die Raume Hm (Ω) und Hm
aume.
0 (Ω) heien Sobolevr
Ich zitiere einige Satze aus der Einfuhrung in die Funktionalanalysis.
12.4 Satz (Einf. Satz 12.4). Hm (Ω)
und Hm0 (Ω) sind Hilbertraume.
Sei f ∈ L2 [a, b]. Dann wird durch F(x) =
dessen schwache Ableitung gleich f ist.
12.5 Satz.
Rx
a
f dλ1
ein F ∈ H1 [a, b] gegeben,

Das soll in der Ubung
gezeigt werden.
12.6 Theorem (Sobolev-Lemma, Einf. Theorem 17.1). Sei Ω ⊂ Rn oen und seien
m, k ∈ N0 mit m > k + n2 . Zu jedem f ∈ Hm (Ω) existiert ein Repr
asentant in
k
C (Ω).
12.7 Theorem (Einf. pDgl. Theorem 13.10). Sei Ω ⊂ Rn mit C∞ -Rand. Dann existiert eine stetige lineare Abbildung T : H1 (Ω) → L2 (∂Ω) mit T (f) = f∂Ω fur jedes
f ∈ C∞ (Ω).
32
Sie Abbildung T heit Spurabbildung.
12.8 Theorem (Einf. pDgl. Theorem 13.12).
dung. Dann H10 (Ω) = ker T .
Sei
T : H1 (Ω) → L2 (∂Ω)
die Spurabbil-
12.9 Beispiel.
H1 [a, b] ⊂ C[a, b] und H10 [a, b] = {f ∈ H1 [a, b] | f(a) = f(b) = 0}.
Durch nochmalige Anwendung erhalt man beispielsweise, dass H2 [a, b] ⊂ C1 [a, b]
und H20 [a, b] = {f ∈ H2 [a, b] | f(a) = f 0 (a) = f(b) = f 0 (b) = 0}.
12.10 Theorem (Rellichscher Einbettungssatz, Einf. FA Theorem 17.3). Sei Ω ⊂ Rn
beschrankt und oen und sei m ∈ N. Dann ist die Einbettung H0 (Ω) → Hm−1
(Ω)
0
kompakt.
12.11 Theorem (Einf. FA Korollar 17.15). Wenn Ω ⊂ Rn eine beschr
ankte, oene
∞
m
m−1
Menge mit C -Rand ist, dann ist die Einbettung H (Ω) → H (Ω) kompakt.
33
13 Unbeschränkte selbstadjungierte
Operatoren
13.1 Satz.
Sei A ein dicht denierter Operator von H nach G. Dann gelten
(a)
A∗
ist abgeschlossen mit ker A∗ = (Bild A)⊥ .
(b)
A∗
ist genau dann dicht deniert, wenn A abschliebar ist.
(c) Wenn A abschliebar ist, dann A = A∗∗ .
13.2 Korollar. Wenn A ein dicht denierter, abgeschlossener Operator von H
nach G ist, so ist A∗ abgeschlossen und dicht deniert, und es gilt A = A∗∗ .
13.3 Satz. Sei E ein abgeschlossener
existiert P ∈ L(H) mit
(a)
P(x) ∈ E
(b)
P ◦ P = P.
Unterraum eines Hilbertraums
H.
Dann
und x − P(x) ∈ E⊥ fur alle x ∈ E,
Dieses P heit orthogonale Projektion auf E.
besitze die schwache Ableitung 0. Dann besitzt
konstanten Reprasentanten.
13.4 Satz. f ∈ H1 [a, b]
f
einen
Ein groer Teil der Theorie beschaftigt sich damit, wie man die explizite Bestimmung des transponierten Operators A∗ vermeiden kann. Fur einige Operatoren wollen
wir das aber doch tun.
13.5 Beispiel. Betrachte Af = if 0 mit D(A) = C∞ [a, b] und Bg = ig 0 mit D(B) =
H10 [a, b]. Dann gelten:
(a) A∗ = B.
(b) D(B∗ ) = H1 [a, b] und B∗ g = ig 0 fur alle g ∈ D(B∗ ).
(c) A ist abschliebar mit D(A) = H1 [a, b].
13.6 Definition. Ein dicht denierter Operator A in einem Hilbertraum H heit symmetrisch, wenn A ⊂ A∗ . Er selbstadjungiert, wenn A = A∗ . Ein symmetrischer
Operator A heit wesentlich selbstadjungiert, wenn A selbstadjungiert ist.
34
13.7 Lemma. Sei A ein symmetrischer
und A ist symmetrisch.
Operator in H. Dann ist
A
abschliebar,
13.8 Bemerkung. (a) Der Operator B aus Beispiel 13.5 ist symmetrisch, die Operatoren A und B∗ aus diesem Beispiel aber nicht.
(b) Sei A ein dicht denierter, symmetrischer Operator. Dann gilt fur x, y ∈ D(A)
hAx, yi = hx, Ayi.
Insbesondere ist hAx, xi reell fur jedes x ∈ D(A).
13.9 Definition. Es sei A ein injektiver Operator von H nach G. Dann wird durch
G(A−1 ) = {(Ax, x) | x ∈ D(A)}
ein Operator mit Denitionsbereich D(A−1 ) = Bild A erklart. A−1 ist der Inverse
zu A.
Oenbar ist A−1 genau dann abgeschlossen, wenn A abgeschlossen ist.
Sei A ein injektiver, dicht denierter Operator von H nach G,
dessen Bild dicht in G ist. Dann ist A∗ injektiv, A−1 ist dicht deniert, und es
gilt (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
13.10 Lemma.
13.11 Definition. F
ur Operatoren A, B von H nach G denieren wir A + B auf D(A +
B) = D(A) ∩ D(B) durch (A + B)(x) = Ax + Bx.
13.12 Lemma. A
und B seien Operatoren von H nach G. Dann gelten:
(a) Falls A abgeschlossen und B beschrankt ist, so ist A + B abgeschlossen.
(b) Falls A + B dicht deniert ist, so gilt A∗ + B∗ ⊂ (A + B)∗ .
(c) Falls A dicht deniert und B beschrankt ist, so gilt A∗ + B∗ = (A + B)∗ .
13.13 Definition. Sei A ein Operator von H nach G, und sei B ein Operator von G
nach F. Mit BA wird der Operator bezeichnet, der auf D(BA) = {x ∈ D(A) | Ax ∈
D(B)} deniert ist durch (BA)x = B(Ax).
Sei A ein dicht denierter Operator von
dicht denierter Operator von G nach F. Dann gelten
13.14 Lemma.
(a)
A∗ B∗ ⊂ (BA)∗ ,
H
nach G, und sei
B
in
falls BA dicht deniert ist.
(b) Falls B stetig, so ist BA dicht deniert, und es gilt A∗ B∗ = (BA)∗ .
13.15 Lemma. Sei A ein symmetrischer, abgeschlossener Operator
z ∈ C \ R ist z id −A injektiv und Bild(z id −A) abgeschlossen.
in H. Fur jedes
35
13 Unbeschrankte selbstadjungierte Operatoren
13.16 Definition. Sei A ein Operator in H. Die Resolventenmenge ρ(A) besteht aus
denjenigen z ∈ C, fur die z id −A injektiv ist mit Bild(z id −A) = H. Die Menge
σ(A) = C \ ρ(A) heit Spektrum von A. F
ur z ∈ ρ(A) bezeichnet man R(z, A) =
−1
(id z − A) als Resolvente von A in z.
13.17 Bemerkung. Falls A abgeschlossen ist, so gilt R(z, A) ∈ L(H) fur z ∈ ρ(A).
13.18 Satz. Der Operator A sei selbstadjungiert in H. Dann ist sein Spektrum
eine Teilmenge von R.
13.19 Beispiel. Fur λ ∈ S1 seien D(A) = {f ∈ H1 [0, 1] | f(1) = λf(0)} und Af = if 0 .
Wir bestimmen σ(A).
Fur welche x ∈ R ist x id −A injektiv? Starke Losungen f von xf − if 0 = 0 haben

die Form f(t) = Ce−itx . Als Ubungsaufgabe
wird gezeigt, dass es keine weiteren
schwachen Losungen gibt. Fur dieses f gilt
f(1)
= e−ix .
f(0)
λ ∈ S1 ist von der Form eiθ . Daher ist x id −A genau dann injektiv, wenn x 6=
−θ + 2πn, n ∈ Z. Bisher haben wir gezeigt, dass 2πZ − θ ⊂ σ(A).
Um zu zeigen, dass σ(A) ⊂ 2πZ − θ, xieren wir x ∈/ 2πZ − θ und zeigen zunachst
C[0, 1] ⊂ Bild(x id −A). F
ur beliebiges g ∈ C[0, 1] losen wir die Dierentialgleichung
0
xf − if = g durch Variation der Konstanten. Die Losungen sind von der Form
Zt
isz
f(t) = C + i g(s)e ds e−itz .
0
Hat man nun ein beliebiges h ∈ L2 [0, 1] vorgegeben, so wahlt man eine Folge
(gn )n∈N in C[0, 1], die in L2 [0, 1] gegen h konvergiert, und setzt f
ur ein festes, spater
zu bestimmendes C
Zt
fn (t) =
gn (s)eisz ds e−itz .
C+i
0
Aus dem Lebesgueschen Grenzwertsatz folgt die Konvergenz von (fn )n∈N in L2 [0, 1]
gegen
Z
t
f(t) =
h(s)eisz ds e−itz .
C+i
0
Auerdem gilt fn0 = −iAfn = ign − ixfn → ih − ixf in L2 [0, 1]. Daher ist (fn )n∈N eine
Cauchyfolge
in H1 [0, 1], deren Grenzwert f die Gleichung Af = xf − h erfullt.
R1
Im Fall 0 h(s)eisz ds = 0 wahlen wir C = 0 und erhalten f(1) = f(0) = 0, also
R1
f ∈ D(A). Im Fall 0 h(s)eisz ds 6= 0 gilt
f(1)
=
f(0)
i
1+
C
Wegen e−iz 6= λ existiert C 6= 0 mit
36
f(1)
f(0)
Z1
h(s)e ds e−iz .
izs
0
= λ. Also L2 [0, 1] ⊂ Bild(x id −A).
13.20 Satz.
Fur einen Operator A in H sind aquivalent:
(a)
A
ist selbstadjungiert.
(b)
A
ist symmetrisch mit σ(A) ⊂ R.
(c)
A
ist symmetrisch, und es gibt z ∈ C \ R, so dass z, z ∈ ρ(A).
13.21 Satz.
senn
Wenn A ein abgeschlossener Operator ist, dann ist σ(A) abgeschlos-
13.22 Satz. Sei A ein abgeschlossener
L(H) und σ(A−1 ) = {0}.
13.23 Satz.
Operator in
H
mit
σ(A) = ∅.
Dann
A−1 ∈
Sei A ein selbstadjungierter Operator in H 6= {0}. Dann σ(A) 6= ∅.
37
14 Die Cayley-Transformierte
14.1 Definition. Sei A ein symmetrischer, abgeschlossener Operator in H. Nach Lemma 13.15 ist −i id −A injektiv. Der Operator U = (i id −A)(−i id −A)−1 mit D(U) =
Bild(−i id −A) heit Cayley-Transformierte von A.
14.2 Beispiel. Sei A ∈ L(CN ) selbstadjungiert. Dann existieren eine unitare Matrix V
und λ1 , . . . , λN ∈ R, so dass

λ1

λ2

A=V
...



 −1
V .

λN
Dann



U=V


1
− i−λ
i+λ1

i−λ2
− i+λ
2
...
N
− i−λ
i+λN

 −1
V .


j
Beachte − i−λ
∈ S1 \ {1}.
i+λj
Fur jeden abgeschlossenen, symmetrischen Operator A in H ist die
Cayley-Transformierte eine Isometrie von Bild(−i id −A) auf Bild(i id −A).
14.3 Lemma.
Sei A ein selbstadjungierter Operator in
Transformierte. Dann gelten
14.4 Satz.
(a)
U ∈ L(H)
(b)
D(A) = Bild(id −U)
H
und sei
U
seine Cayley-
ist unitar und id −U ist injektiv.
und A = i(id +U)(id −U)−1 .
14.5 Lemma. Sei U ∈ L(H) unit
ar, und sei id −U injektiv. Dann ist der auf D(A) =
Bild(id −U) denierte Operator A = i(id +U)(id −U)−1 symmetrisch.
14.6 Satz. Sei U ∈ L(H) unit
ar, und sei id −U injektiv. Dann ist der auf D(A) =
Bild(id −U) denierte Operator A = i(id +U)(id −U)−1 selbstadjungiert und seine
Cayley-Transformierte ist U.
38
15 Positive Elemente in C∗-Algebren
15.1 Definition. Ein selbstadjungiertes Element a ∈ A einer C∗ -Algebra A heit positiv, wenn σ(a) ⊂ [0, ∞). Wir bezeichen den Kegel aller positiven Elemente von A
mit A+ und schreiben a ≤ b, wenn b − a ∈ A+ und a, b selbstadjungiert sind.
Es sei A eine C∗ -Algebra. Zu jedem
ein eindeutig bestimmtes b ∈ A+ mit bm = a.
15.2 Satz.
a ∈ A+
und jedem
m∈N
Seien A, B zwei C∗ -Algebren. Jeder ∗-Homomorphismus
positiv, d. h. er bildet A+ nach B+ ab.
15.3 Satz.
15.4 Satz.
(a)
gibt es
Ψ: A → B
ist
Sei H ein Hilbertraum und sei A ∈ L(H). Dann sind aquivalent
A ∈ L(H)+ .
(b) Es gibt einen Operator T ∈ L(H) mit A = T ∗ T .
(c)
hAx, xi ≥ 0
fur alle x ∈ H.
Beachte, dass in diesem Teil der Vorlesung alle Hilbertraume komplex sind.
15.5 Satz.
kψk = 1.
Sei A eine C∗ -Algebra und Ψ : A → L(H) ein ∗-Homomorphismus. Dann
Der Beweis zeigt, dass in der Denition des ∗-Homomorphismus die Forderung der
Stetigkeit redundant ist.
39
16 ∗-Darstellungen normaler, beschränkter
Operatoren
Dieser Abschnitt orientiert sich am Aufbaukurs von Kaballo.
16.1 Definition. Es sei A eine C∗ -Algebra. Eine ∗-Darstellung von A auf einem Hilbertraum H ist ein ∗-Homomorphismus Ψ : A → L(H) mit Ψ(1) = id.
Ein abgeschlossener Unterraum V ⊂ H heit Ψ-invariant, wenn Ψ(a)V ⊂ V fur alle
a ∈ A. In diesem Fall deniert ΨV : a 7→ Ψ(a)|V eine ∗-Darstellung von A auf L(V).
Eine ∗-Darstellung heit zyklisch, falls ein Vektor ξ ∈ H existiert, so dass
{Ψ(a)ξ | a ∈ A} = H.
In diesem Fall ist ξ ein zyklischer Vektor.
16.2 Bemerkung. Wenn V Ψ-invariant ist, dann ist auch V ⊥ Ψ-invariant.
16.3 Bezeichnung. (a) Sei K ⊂ RN kompakt. Ein stetiges, C-lineares Funktional
T : C(K) → C heit positiv, wenn T (f) ≥ 0 f
ur alle f ∈ C(K) mit f ≥ 0.
Dabei ist f ≥ 0 punktweise zu verstehen.
(b) Ein Borelma µ heit regular, wenn fur jede Borelmenge A
µ(A) = inf {µ(G) | G oen, A ⊂ G},
µ(A) = sup{µ(L) | L kompakt, K ⊂ A}.
Das Lebesguema ist regular.
16.4 Theorem (Rieszscher Darstellungssatz f
ur positive Funktionale auf C(K), Rudin, Real and Complex Analysis, Theorem 2.14). Sei K ⊂ RN kompakt und sei
T : C(K) → C ein positives, lineares Funktional. Dann existiert ein eindeutig
bestimmtes regulares Borelma µ auf K, so dass
Z
T (f) = f dµ
fur alle f ∈ C(K).
K
16.5 Bemerkung. (a) Sei K ⊂ RN kompakt und sei Ψ : C(K) → L(H) eine ∗-Darstellung. Dann wird fur jedes x ∈ H durch
Ψx : f 7→ hΨ(f)x, xi
40
ein positives, lineares Funktional erklart. Wir bezeichnen das zugehorige Borelma auf K mit µx . Dann gilt also
Z
hΨ(f)x, xi =
f dµx .
K
Es gilt µ(K) = hΨ(1)x, xi = kxk2 .
(b) Fur f ∈ C(K) denieren wir den Multiplikationsoperator Mxf : L2 (K, µx ) →
L2 (K, µx ) durch Mxf (ϕ) = fϕ. So erhalten wir eine ∗-Darstellung ∆x : C(K) →
L(L2 (K, µx )) mittels ∆(f) = Mxf .
(c) C(K) ist dicht im L2 (K, µx ). Das wird in Rudin, Real and Complex Analysis,
Theorem 3.14, gezeigt.
Sei x ∈ H ein zyklischer Vektor einer ∗-Darstellung Ψ : C(K) → L(H).
Dann existiert ein unitarer Operator U : H → L2 (K, µx ) mit UΨ(f)U−1 = ∆x (f) fur
alle f ∈ C(K).
16.6 Satz.
U
H −−−→ L2 (K, µx )



Mx =∆x (f)
Ψ(f)y
y f
U
H −−−→ L2 (K, µx )
16.7 Definition. Sei I eine Indexmenge. F
ur i ∈ I sei Hi ein Hilbertraum mit Skalar2
produkt h·, −i. Die ` -direkte Summe der Hi wird gegeben durch
M`2
Y
X
2
kxi ki < ∞ .
Hi Hi = (xi )i∈I ∈
i∈I
i∈I
i∈I
Sie wird versehen mit dem Skalarprodukt h(xi )i∈I , (yi )i∈I i =
16.8 Bemerkung. (a)
L
i∈I
`2
P
i∈I
hxi , yi ii .
Hi ist ein Hilbertraum.
(b) Wenn die Hi paarweise orthogonale, abgeschlossene Unterraume eines Hilbertraums H sind und der einzige Vektor, der zu allen Hi orthogonal ist, der NullL 2
vektor ist, dann ist i∈I ` Hi isometrisch isomorph zu H, und man identiziert
die beiden Raume.
Sei Ψ : C(K) → L(H) eine ∗-Darstellung. Dann gibt es abgeschlossene,
paarweise orthogonale Unterraume Hi , i ∈ I, so dass
16.9 Satz.
(a)
L
`2
i∈I
Hi = H,
(b) fur jedes i ist Hi Ψ-invariant,
(c) fur jedes i ist Ψ|H zyklisch.
i
41
16 ∗-Darstellungen normaler, beschrankter Operatoren
16.10 Theorem. Sei Ψ : C(K) → L(H) eine ∗-Darstellung. Dann existieren eine
Familie L
(µi )i∈I endlicher, regul
arer Borelmae auf K und ein unitarer Operator
`2 2
U : H → i∈I L (K, µi ) mit UΨ(f)U−1 = ∆I (f) f
ur alle f ∈ C(K), wobei
M`2
∆I (f)((ϕi )i∈I ) = (fϕi )i∈I ,
f ∈ C(K), (ϕi )i∈I ∈
L2 (K, µi ).
i∈I
16.11 Beispiel. Sei H = C und sei
N


λ1
...

A=T
 −1
T
λN
mit λ1 , λN ∈ C und einer unitaren Matrix T . Sei σ(A) = {µ1 , . . . , µk }, wobei nj = #{i |
λi = µj }. Sei (vi )i=1,...,N die durch T gegebene Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Der stetige Funktionalkalkul hat dann die folgende Gestalt
Φ : C(σ(A)) → L(C ),
N
Φ(f)w =
N
X
f(λi ) hw, vi i vi .
i=1
vi ist ein zyklischer Vektor in Cvi . Das zugehorige Ma bestimmt sich aus
Z
hΦ(f)vi , vi i = f(λi ) =
f dδλi .
σ(A)
Wir erhalten das folgende kommutative Diagramm
CN −−−→


f(A)y
LN
`2 2
CN −−−→
LN
`2 2
i=1
−−−→
w


f(A)y
PN
i=1
L (σ(A), δλi )

M
y f
L (σ(A), δλi )
(λi 7→ hw, vi i λi )i=1,...,N

M
y f
f(λi ) hw, vi i vi −−−→ (λi 7→ f(λi ) hw, vi i λi )i=1,...,N
L `2
∼ L2 (σ(A), µ),
Wenn die λi paarweise verschieden sind, dann Ni=1 L2 (σ(A), δλi ) =
wobei µ das Zahlma ist.
i=1
In 10.42 hatten wir den Raum B(K) der beschrankten, Borel-messbaren Funktionen
eingefuhrt.
16.12 Satz. Zu jeder ∗-Darstellung Ψ : C(K) → L(H) existiert eine eindeutig Fortsetzung Ψe : B(K) → L(H). Fur diese Fortsetzung gilt
D
wobei µx =
42
P
E Z
e
Ψ(g)x, x = g dµx ,
2
i∈I |ϕi | µi
K
fur (ϕi )i∈I = Ux.
g ∈ Bb (K), x ∈ H,
16.13 Bemerkung. Die Spezialisierung auf den stetigen Funktionalkalkul eines normalen Operators T ∈ L(H) liefert den beschrankten Borel-Funktionalkalkul aus
Satz 10.43
e T : B(σ(T )) → L(H).
Ψ
43
17 Der Spektralsatz für unbeschränkte,
selbstadjungierte Operatoren
17.1 Definition. Sei µ ein Borelma auf einer messbaren Menge Ω ⊂ RN , und sei
f : Ω → C Borel-messbar. Wir denieren den Multiplikationsoperator Mf in L2 (µ)
durch
Z
2
D(Mf ) = ϕ ∈ L (µ) |fϕ|2 dµ < ∞ , Mf ϕ = fϕ.
Ω
17.2 Satz. Mf
ist abgeschlossen und dicht deniert mit M∗f = Mf .
17.3 Definition. F
ur eine Borel-messbare Abbildung f : Ω → C bezeichnet
Wµ (f) = {λ ∈ C | ∀ > 0 : µ(f−1 (B (λ))) > 0}
den wesentlichen Wertebereich von f. Fur eine Familie (µi )i∈I von Maen setzt man
W(µi )i (f) = {λ ∈ C | ∀ > 0∃i ∈ I : µi (f−1 (B (λ))) > 0}.
17.4 Bemerkung. Der wesentliche Wertebereich ist abgeschlossen.
17.5 Satz. σ(Mf ) = Wµ (f).

17.6 Beispiel. Wir hatten in der Ubung
σ(Mt ) = R berechnet, wenn µ das Lebesgue-
Ma auf R ist.
17.7 Satz. Wenn U die Cayley-Transformierte
i−µ
| µ ∈ σ(A)} ∪ {1}
dann σ(U) = { −i−µ
von A und A nicht beschrankt ist,
17.8 Theorem (Spektralsatz). Sei A ein selbstadjungierter Operator in einem Hilbertraum H. Dann existieren eine Familie (µi )L
arer Borelmae
i∈I endlicher, regul
`2 2
auf σ(A) und ein unitarer Operator U : H → j∈J L (σ(A), µi ) mit UAU−1 = MJλ ,
wobei MJλ ((ϕj )j∈J ) = (λϕj )j∈J . Hier bezeichnet λ wieder die identische Abbildung
auf σ(A).
17.9 Beispiel. Durch D(A) = H1 (R), Af = if 0 , wird ein Operator im L2 (R) gegeben.
Er ist selbstadjungiert. Das zum Spektralsatz gehorige Diagramm ist
F
D(A) −−−→ D(Mλ )




M
Ay
λy
F
L2 (R) −−−→ L2 (R),
denn F(f 0 )(ξ) = −iξF(f)(ξ).
44