C) Operator-Analysis 12. Spektrum und Resolvente

C)Operator‐Analysis 12.SpektrumundResolvente
12.1.Motivation
Lösen der Schrödingergleichungen, mögliche Messergebnisse für Observable, Diago‐
nalisieren von Operatoren, Vorbereitung zum Bilden von Funktionen der Operatoren ... 12.2.Def.:Resolventenmenge,Spektrum,Resolvente
(A)...Resolventenmenge = Menge der komplexen Zahlen z, für die (A – z ) eine Bijektion zwischen D(A) und H ist. ..... Spektrum = Komplement der Resolventenmenge (A) = \ (A) H → D(A) z(A)   Resolvente Rz(A) := (A – z )–1 B(H) 12.3.Beispiele
Spin‐Matrizen Beschränkter Operator X‐Operator Selbstadjungierter Operator Spektrum ( x ) = ( y ) = ( z ) = {–1,+1} |z| > ‖A‖  z(A) (Neumann‐Reihe) (X) = A = A*  (A)  1 12.4.Satz:DieersteResolventengleichung
Rz(A) – Rw(A) = (z – w) Rz(A)Rw(A) Beweis: Verwende H = ( A– w
) ∙Rw(A) und D (A) = Rz(A) ∙( A – z
)  Rz(A) – Rw(A) = Rz(A) H – D (A) Rw(A) = Rz(A) (A– w ) Rw(A) – Rz(A) (A – z )Rw(A) Die Terme mit A in der Mitte kürzen sich weg Korollar: Die Resolventen kommutieren Beweis: Vertauschen von z und w 12.5.Satz:
a) Die Resolventenmenge (A) ist offen b) Die Resolvente Rz(A) ist eine in z analytische Operator‐wertige Funktion c) Das Spektrum (A) ist nicht die leere Menge Beweis: a) Sei w(A), |z – w| < 1/‖Rw(A)‖  Formel für Rz(A) als konvergente Reihe: 
( ) Multiplikation dieser Reihe mit (A – z )  z(A) Rz(A) =  (z  w)n (R w (A))n1  BH
n 0
b) Rz(A) ist differenzierbar nach komplexem z, Taylor‐Reihen c) Satz von Liouville 2 12.6.Def.:GreenscheFunktion
Wenn Rz(A) als Integrations‐Operator mit Kern darstellbar ist, so nennt man den Integrationskern Greensche Funktion von Rz(A) (oder auch Gr. Fktn. von A). (A – z)ψ = φ  ψ(x) = G(x,s)φ(s)ds [(A – z)G](x,s) = + δ(x − s) 12.7.Beispiele
Greensche Funktion von (p2 – z) auf L2( ) (Übungsbeispiel), von ( – z) auf L2 (
3
):  
 z xy
 
1 e
(  z)1 ... G z (x  y)   4   xy
12.8.Def.:Punktspektrum
P (A) ... Menge der Eigenwerte des Operators A Beispiel: P ein orthogonaler Projektor  (P) = P(P) = {0,1} 12.9.SatzüberWertebereichedesSpektrums
a) A beschränkt   ()  {z, |z|  ‖A‖} b) U unitär  (U)  Einheitskreis der komplexen Zahlen c) A selbstadjungiert  (A)  d) A selbstadjungiert und A  a  (A)  {r , r  a} 3