5.3 Ergebnis- und Ereigniswahrscheinlichkeiten

5 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
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5.3 Ergebnis- und Ereigniswahrscheinlichkeiten
Bisheriger Aufbau
Wir haben die Wahrscheinlichkeitstheorie aufgebaut, indem wir mit der Definition von Ergebniswahrscheinlichkeiten begonnen haben, anschließend wurden Ereigniswahrscheinlichkeiten definiert. Dann konnte man elementare Aussagen über Ereigniswahrscheinlichkeiten
herleiten (Satz 5.2). Wir rekapitulieren diese Zusammenhänge.
Es wäre auch ein anderer Weg möglich gewesen: Man nimmt die Aussagen von Satz 5.2. als
charakterisierende Definition von Ereigniswahrscheinlichkeiten.
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Rolf Biehler
WS 2006/2007
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Alternativer Aufbau
Definition 5.1’ Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ereignisse
Sei W = {w1, w2 ,… wk } eine endliche nicht-leere Ergebnismenge. Eine Zuordnung P,
die jeder Teilmenge E ⊂ W eine Zahl P ( E ) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung über (den Ereignissen) der Ergebnismenge W, wenn Sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
(1) P ( E ) ≥ 0 für alle E ⊂ W .
(2) P (W ) = 1
(3) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) , für alle Ereignisse A, B falls A ∩ B = ∅
heißt.
Bemerkung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann eine Abbildung P : P (W ) →
, wo-
bei P (W ) die Potenzmenge von W, also die Menge aller Teilmengen von W bezeichnet.
Definition 5.2’ Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ergebnisse
Sei W = {w1, w2 ,… wk } eine endliche nicht-leere Ergebnismenge und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Sinne von Def. 5.1’. Dann definieren wir für w ∈ W als
Ergebniswahrscheinlichkeit P ( w ) := P ( E ) für E = {w} .
Die Definition ist naheliegend, wir haben nämlich für Elementarereignisse E = {w} als Teilmengen von W bereits eine Wahrscheinlichkeit vorliegen und wir identifizieren wieder Ergebnisse und Elementarereignisse.
Als Satz können wir jetzt beweisen
Satz 5.1’ Darstellung von Ereigniswahrscheinlichkeiten
Sei W = {w1, w2 ,… wk } eine endliche nicht-leere Ergebnismenge und P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ereignissen im Sinne von Def. 5.1’, dann gilt für alle
(nicht-leeren) Ereignisse E = {e1 ,… em } ⊂ W :
P ( E ) = P ( e1 ) + P ( e2 ) +… P ( em ) .
Ferner gilt für E = ∅ : P ( E ) = 0
Beweis:
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Aus Def. 5.1’ (3) kann man analog zu Satz 5.3 die endliche Additivität ableiten. Wegen
E = {e1} ∪ {e2 } ∪ {e3 } ∪…{em } und da alle diese ein-elementigen Mengen keine gemeinsamen
Elemente haben, gilt wegen deshalb
P ( E ) = P ({e1} ∪ {e2 } ∪ {e3 } ∪ …{em } )
= P ({e1} ) + P {( e2 )} + … P ({em } )
= P ( e1 ) + P ( e2 ) + … P ( em ) gem. Def. 5.2' der Ergebniswahrscheinlichkeit.
Es ist ferner W ∪ ∅ = W , also
P (W ∪ ∅ ) = P (W ) , d.h. wegen Additivität
P (W ) + P ( ∅ ) = P(W )
⇒ P ( ∅ ) = 0.
Fängt man so mit Ereigniswahrscheinlichkeiten an, so nennt man die Werte der Ergebniswahrscheinlichkeiten auch „diskrete Dichte“.
Reflexion über die beiden unterschiedlichen Aufbaumöglichkeiten der Theorie
Nachdem wir Satz 5.1’ bewiesen haben, sind wir also wieder auf dem gleichen Stand wie bei
unserem Aufbau.
Aus elementarer Sicht spricht nichts gegen einen Start mit Ergebniswahrscheinlichkeiten, die
dann zu Ereigniswahrscheinlichkeiten konstruktiv (durch Definition) ausgebaut werden. Im
zweiten Weg geht man abstrakt und hypothetisch davon aus, dass man für alle Ereignisse
Wahrscheinlicheiten hat und zeigt dann, dass man „eigentlich“ nur die Wahrscheinlichkeiten
für die Ergebnisse bzw. die Elementarereignisse benötigt.
Viele Hochschullehrbücher starten mit den Ereigniswahrscheinlichkeiten. Das liegt daran,
dass man diesen Zugang verallegmeinern kann, den Start mit Ergebniswahrschinlichkeiten
aber nicht.
Beispielhaft betrachten wir dazu noch einmal das
Glücksrad von einer etwas anderen Warte. In der
Literatur wird das Folgende unter dem Begriff
der geometrischen Wahrscheinlichkeit diskutiert.
Wir haben uns vorgestellt, dass das Glücksrad an
einer Markierung anhält und dass wir dann sehen, in welchem der m Sektoren es gestoppt hat.
Wir können das Glücksrad aber auch so modellieren, das wir jedem Punkt seiner Peripherie eine Zahl zwischen 0 und 2π zuordnen, nämlich
den Winkel im Winkelmaß bezogen auf z.B. die
Horizontale. Als Ergebnismenge können wir
dann das Intervall [ 0, 2π ) betrachten. 2π nehmen wir nicht mit dazu, weil wir sonst eine Verdopplung der Stelle hätten, der schon der Winkel 0 zugeordnet ist. Wir stellen uns vor, dass
alle diese Ergebnisse „gleichmöglich“ sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass man in einem Sektor ( a, b ) ⊂ [ 0, 2π ) landet, entspricht dann offenbar dem Längenanteil, also dem Quotienten
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b−a
. Jedem Intervall I der Form ( a, b ) ⊂ [ 0, 2π ) oder endlichen Vereinigungen davon, kann
2π
Länge ( I )
man dann also „Wahrscheinlichkeiten“ folgendermaßen zuordnen: P ( I ) :=
.
2π
Es ist schon anschaulich klar, dass alle der Eigenschaften aus Def. 5.1’ gelten. Die Additivität
folgt einfach aus der Additivität von Längen. Geht man von diesen Voraussetzungen aus,
welche Wahrscheinlichkeit haben dann Ergebnisse w ∈ [ 0, 2π ) ? Wir werden zeigen, dass
hierfür nach unserer Modellierung die Wahrscheinlichkeit 0 ist. Wir können um jedes
1
1⎞
⎛
w ∈ ( 0, 2π ) ein kleines Intervall I n = ⎜ w − , w − ⎟ legen, für alle n größer als einem ben
n⎠
⎝
2
stimmtem n. Es folgt dann aus {w} ⊂ I n , dass P ({w} ) ≤ P ( I n ) = n . Da n beliebig klein ge2π
wählt werden kann, kann also nur P ( w ) = P ({w} ) = 0 sein.
Es entsteht also folgendes Paradoxon: Für jedes einzelne Ergebnis aus w ∈ [ 0, 2π ) ist die
Wahrscheinlichkeit 0 es zu erhalten, während z.B. die Wahrscheinlichkeit irgendein Ergebnis
aus [ 0, 2π ) zu erhalten, 1 ist. Die Aussage P ( I ) = ∑ P ( w ) , die dem Satz 5.1’ entspricht, ist
w∈I
jetzt nicht mehr gültig, ohnehin hätte man zu klären, wie man die überabzählbar unendlich
vielen Summanden für alle w ∈ I „summiert“. Diese Situation hat auch in der Geschichte der
Stochastik Verwirrung gestiftet.
Es hat sich aber herausgestellt, dass man die Definition 5.1’ auch auf überabzählbar unendlich große Ergebnismengen erweitern kann. Im allgemeinen kann man dann aber nicht allen
Teilmengen von W sinnvoll Wahrscheinlichkeiten zuordnen (so wie man auch nicht allen
merkwürdigen Figuren Flächeninhalte zuordnen kann).
Die geometrische Wahrscheinlichkeit mit der intuitiven Vorstellung, dass alle Punkte der
Glücksradperipherie „gleichmöglich“ sind kann mathematisch durch entsprechende Ereigniswahrscheinlichkeiten modelliert werden.
5.4 Simulation von endlichen Wahrscheinlichkeiträumen
Urnen simulieren Glücksräder
Ein Laplace-Modell konnte mit einer Urne simuliert werden, ein allgemeiner endlicher Wahrscheinlichkeitsraum mithilfe eines idealen Glücksrades. Angenommen wir haben eine Ergebnismenge W = {w1, w2 ,… wk } mit P ( w1 ) + P ( w2 ) + … P ( wk ) = 1 .
In dem Fall, dass alle pi := P ( wi ) rational sind, kann man sicher einen Hauptnenner n finden,
so dass pi =
ni
für alle 1 ≤ i ≤ k gilt. Wir legen dann n Kugeln in eine Urne mit folgender Vern
teilung.
Hiermit wird die Urne hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse w1, w2 ,… wk
äquivalent zum Glücksrad.
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Typ
Anzahl
w1
n1
w2
n2
wk
nk
Der Fall, das einzelne Wahrscheinlichkeiten bei endlichen Ergebnismengen irrational sind, ist
theoretisch denkbar und kommt auch theoretisch vor. Aber da man irrationale Zahlen beliebig
gut durch rationale approximieren kann, würde man in der praktischen Simulation mit entsprechenden Approximationen arbeiten können.
In Fathom kann man die Urnenziehung über eine Zufallsmaschine Zufallswahl ( ) realisieren, da hier aber nur 10 verschiedene Elemente auflistbar sind, sind diese Möglichkeiten
sehr begrenzt. Allgemeiner ist es, zunächst eine Kollektion als Urne zu füllen und dann daraus
Stichproben zu ziehen.
Einfach ist es, die Werte manuell in eine Spalte
mit n Fällen so häufig einzutragen, wie sie vorkommen sollen. Dies kann man mit dem
Transform-Kommando automatisieren etwa
wie folgt für den Fall k = 4.
Urne
Kugelbeschriftung
=
<n
⎧ ( ? < n1 )
: "w1"
⎪ ( ? < n1 + n2 )
: "w2"
transform ( Index) ⎨
(
?
<
n1
+
n2
+
n3
)
: "w3"
⎪
: "w4"
⎩sonst
Man beachte, dass man in der zweiten Zeile
n1 + n2 nehmen muss, damit genau n2 Fällen die
Ausprägung w2 zugeordnet wird, denn bei
transform wird die Bedingung der zweiten Zeile nur auf diejenigen Fälle angewendet, die
in der ersten Zeile noch nicht behandelt wurden. Es müssen dann n = n1 + n2 + n3 + n4 Fälle zur
Kollektion hinzugefügt werden.
Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung des Kommandos Zufallszahl( ), das nun
erklärt werden soll. Dies steht in der meisten Software unter dem Namen random( )zur
Verfügung.
Das Kommando Zufallszahl( )
Eine erste Modellvorstellung ist: Zufallszahl( ) erzeugt zufällig eine Zahl zwischen 0
und 1. Das heißt, für ein Intervall ( a, b ) ⊂ [ 0,1) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis
in ( a, b ) landet gleich P ( a, b ) = b − a ,
Urne
ähnlich wie das bei der geometrischen
Wahrscheinlichkeit beim Glücksrad war.
Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne
Zahl ist dabei gleich 0. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man auch geometrische Gleichverteilung auf dem Intervall [ 0,1) .
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Kugelbeschriftung
=
Rolf Biehler
<n
⎧ ( ? < p1 )
⎪ ( ? < p1 + p2 )
transform ( Zufallszahl ( ) ) ⎨
⎪ ( ? < p1 + p2 + p3 )
⎩sonst
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Auf diese Weise kann man nun einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum mit k = 4 direkt mit
einer Zufallsmaschine wie rechts simulieren.
Mit Reglern kann man auch eine Simulationsumgebung mit variablen Wahrscheinlichkeiten
aufbauen. Wir haben 1000 Mal simuliert und ausgewertet.
Mathematischer Hintergrund zu Zufallszahlen
Wählt der Computer nun wirklich zufällig eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 aus? Die Zahlen,
die der Computer ausgibt, sind alles endliche Dezimalzahlen, die intern mit einer bestimmten
Genauigkeit erzeugt werden. Angenommen der Computer rechnet mit 20 Stellen. Dann unterscheidet der Rechner im Intervall [ 0,1) insgesamt 1020 verschiedene Zahlen, nämlich die Zahlen 0 ⋅10−20 ,1 ⋅10−20 , 2 ⋅10−20 ,… , (1020 − 1) ⋅10−20 . Dabei ist (1020 − 1) eine Zahl mit 20 9er Zif-
fern. Man kann sich vorstellen, dass der Computer aus einer Urne mit 1020 Kugeln eine herauspickt. Wie viele Zahlen fallen davon ins Intervall ( a, b ) ⊂ [ 0,1) ? Offenbar ziemlich genau,
wenn auch in der Regel nicht perfekt, (b − a) ⋅1020 Zahlen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Ergebnis in ( a, b ) landet, (b − a) , wobei man hier einen maximalen Fehler von etwa
10−20 macht, was praktisch unerheblich ist.
Wir können also den kontinuierlichen Fall, die geometrische Wahrscheinlichkeit, beliebig genau mit enorm großen idealen Urnen sehr genau simulieren. Auch für unsere Modellierung
des Glücksrades hätten wir dies in 1020 kleine Sektoren unterteilt denken können. Das wäre
dann eine Modellierung mit einem endlichen Laplacemodell gewesen. Das reicht zwar für alle
praktischen Zwecke aus. Trotzdem hat es sich für die mathematische Theorie sehr nützlich
erwiesen, auch geometrische Wahrscheinlichkeiten einzubeziehen, ähnlich wie es für die Beschreibende Statistik nützlich war, numerische Merkmale mit Werten in den reellen Zahlen zu
betrachten, auch wenn man in der Praxis mit endlichen vielen Zahlen als Messergebnis auskommt.
Eine andere Frage ist, wie die Zufallszahlen real erzeugt werden, denn der Computer ist im
Kern ein deterministisches Gerät. Nach einem Startwert, der aus bestimmten Angaben, z.B.
der Zeit errechent wird, liegt die vom Computer generierte Zahlenfolge genau fest. Man nennt
die Zahlen deshalb auch Pseudozufallszahlen. Bei einem guten Zufallsgenerator kann man die
Zahlen aber praktisch nicht von realen Zufallsdaten unterscheiden. Um das zu beurteilen sind
spezielle Tests auf Zufälligkeit in Gebrauch.
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