Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Abteilung für Angewandte

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Abteilung für Angewandte Mathematik
Prof. Dr. Patrick Dondl
Dr. Keith Anguige
Sommersemester 2017
Numerik 2
Blatt 2
Abgabe: 24. Mai 2017
Polynominterpolation
Aufgabe 9 (Präsenzaufgabe).
(1) Sei f ∈ C 2 ([a, b]) mit der Eigenschaft f (a) = f (b) und f 0 (a) = f 0 (b) = 0. Geben Sie
00
eine optimale untere Schranke für die Anzahl
Qn der Nullstellen von f an.
(2) Für Stützstellen x0 , . . . , xn , sei w(x) = j=0 (x − xj ) das Stützstellenpolynom und
Li , i = 0, 1, . . . , n , das i-te Lagrange-Basispolynom. Zeigen Sie, dass gilt
Li (x) =
w(x)
.
(x − xi )w0 (xi )
Aufgabe 10 (4 Punkte).
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der für t ∈ [−1, 1] durch Tn (t) = cos(n arccos t) definierten
Tschebyscheff-Polynome:
(1) Es gilt maxt∈[−1,1] |Tn (t)| = 1
(2) Mit T0 (t) = 1 und T1 (t) = t gilt
Tn+1 (t) = 2tTn (t) − Tn−1 (t)
für alle t ∈ [−1, 1]. Insbesondere gilt Tn ∈ Pn |[−1,1] .
(3) Für n ≥ 1 folgt Tn (t) = 2n−1 tn + qn−1 (t) mit qn−1 ∈ Pn−1 |[−1,1] .
(4) Für n ≥ 1 hat Tn die Nullstellen tj = cos((j + 1/2)π/n), j = 0, 1, . . . , n − 1, und die
n + 1 Extremstellen sj = cos(jπ/n), j = 0, 1, . . . , n, mit Tn (sj ) = ±1.
Aufgabe 11 (4 Punkte).
Für n + 1 Stützstellen und -werte (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) und 0 ≤ j ≤ n sowie 0 ≤ i ≤ n − j sei
pi,j ∈ Pj festgelegt durch pi,j (xk ) = yk , k = i, i + 1, . . . , i + j. Die Zahlen yi,j seien definiert
durch yi,0 = yi , i = 0, 1, . . . , n, und
yi,j =
yi+1,j−1 − yi,j−1
xi+j − xi
für 1 ≤ j ≤ n und 0 ≤ i ≤ n − j.
(1) Zeigen Sie, dass pi,j (x) = yi,j xj + ri,j (x) mit einem Polynom ri,j ∈ Pj−1 für j ≥ 1 und
i = 0, 1, . . . , n − j gilt.
(2) Zeigen Sie, dass für qj (x) = p0,j (x) − p0,j−1 (x), wobei p0,−1 = 0 sei, die Darstellung
Q
qj (x) = y0,j j−1
i=0 (x − xi ) gilt.
P
Q
(3) Folgern Sie, dass p0,n (x) = nj=0 y0,j j−1
i=0 (x − xi ) gilt.
1
2
Aufgabe 12 (4 Punkte).
Es seien a ≤ x0 < x1 . . . < xn ≤ b gegebene Stützstellen und (v0 , v1 , . . . , vn ) Polynome vom
maximalen Grad n.
(1) Zeigen Sie, dass die durch Vij = vi (xj ), i, j = 0, 1, . . . , n, definierte Matrix V ∈
Pn
R(n+1)×(n+1) genau dann regulär ist, wenn aus
i=0 αi vi (x) = 0 für alle x ∈ [a, b]
folgt, dass αi = 0 für i = 0, 1, . . . , n gilt.
(2) Zeigen Sie, dass im Fall der Monome vi (x) = xi , i = 0, 1, . . . , n gilt
Y
(xj − xi ).
det V =
0≤i<j≤n
Aufgabe 13 (4 Punkte).
Seien x0 < x1 . . . < xn und l ∈ N. Für x ∈ R und 0 ≤ j ≤ n definiere
n (x − xj )l Y x − xi l+1
Hj,l (x) =
.
l!
xj − xi
i=0
i6=j
Zeigen Sie, dass für die Ableitungen von Hj,l die Identitäten
und 0 ≤ m ≤ n gelten.
dk
H (x )
dxk j,l m
= δkl δjm für 0 ≤ k ≤ l