Aufgabe 1. Sei f ∈ C ∞([−1,1]) mit f (n)(x) ≥ 0 für alle x ∈ [0,1

Aufgabe 1. Sei f ∈ C ∞ ([−1, 1]) mit f (n) (x) ≥ 0 für alle x ∈ [0, 1] und alle n ∈ N.
Zeige, dass dann f analytisch auf ]0, 1[ ist. Ist f dann auch automatisch analytisch auf
ganz ] − 1, 1[?
Aufgabe 2. Seien α > β > 0. Betrachte die auf [0, +∞[ definierte reelwertige Funktion
(
cos αx−cos βx
, x > 0,
x
f (x) =
0
, x = 0.
´R
Show that f |[0,R] is Riemann integrable for any R > 0 and compute limR%+∞ 0 f (x) dx.
ˆ ∞
Aufgabe 3. Für welche reelle Zahlen α existiert das Integral
xα cos (ex ) dx?
1
Aufgabe 4. Zeige, dass jede offene Menge U ⊂ Rn sich als Vereinigung von abzählbar
vielen offenen Kuben der Form (x1 , x1 + h) × (x2 , x2 + h) × · · · × (xn , xn + h) schreiben
lässt.
Aufgabe 5. Es bezeichne B den abgeschlossenen Einheitsball im Rn . Sei {fn }n∈N ,
fn : B → R, eine Familie stetiger Funktionen. Zeige, dass dann entweder ein x ∈ B
existiert, für welches fn (x) = 0 ist, ∀n ∈ N, oder dass es sonst ein N ∈ N geben muss,
für welches das Gleichungssystem


 f1 (x) = 0
..
.


fN (x) = 0
keine Lösung besitzt.
Aufgabe 6.
(1) Sei p ein Polynom in einer reellen Variablen so, dass p(x) > 0 für alle x gilt.
Zeige, dass p dann ein Minimum auf R haben muss.
(2) Zeige, dass es ein Polynom in zwei reellen Variablen gibt, welches zwar strikt
positiv ist, jedoch kein Minimum auf R2 besitzt.
Aufgabe 7.
(1) Sei K = [−1, 1]2 das geschlossene Einheitsquadrat im R2 und sei f : R2 → R
differenzierbar auf dem Ball B3 (0, 0) mit Radius 3 um den Ursprung. Beweise
oder widerlege folgende Aussage: Falls
f (−1, −1) = f (−1, 1) = f (1, −1) = f (1, 1) = 0 ,
1
2
dann existiert ein Punkt x ∈] − 1, 1[2 so, dass
∇f (x) = 0 .
(2) Gib eine Verallgemeinerung im Rn vom Satz von Rolle an.
Aufgabe 8.
(1) Sei f ∈ C 1 (R; R). Nehme an, f hat zwei lokale Minima an den Stellen x1 6=
x2 ∈ R. Zeige, dass dann ein weiterer kritischer Punkt von f existieren muss,
das heisst zeige, dass
∃ x3 6∈ {x1 , x2 }
so, dass
∇f (x3 ) = 0 .
(2) Gilt eine analoge Aussage für Funktionen f ∈ C 1 (R2 ; R)?
Aufgabe 9.
(1) Sei f ∈ C 1 (R; R) mit f 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ R. Zeige, dass dann
(a) das Bild imf von f offen in R ist, und dass
(b) f als Abbildung von R nach imf global invertierbar ist.
(2) Gelten analoge Aussagen für C 1 –Funktionen von R2 nach R2 ?