Übung 5

Universität Hannover
Institut für Theoretische Informatik
Komplexität von Algorithmen
Sommersemester 2006
Übung 5
10. Mai 2006
Aufgabe 29
Der folgende Algorithmus löst das Problem SAT: „Ist die Eingabe eine Formel F , so überprüfe
jede mögliche Belegung der in F vorkommenden Variablen darauf, ob diese F erfüllt. Wird auf
diese Weise eine erfüllende Belegung gefunden, so akzeptiere die Eingabe, ansonsten lehne sie
ab.“
Da es für eine Menge von k ∈ N Variablen genau 2k verschiedene Belegungen gibt, kann
der obige Algorithmus für bestimmte Eingaben offensichtlich einen exponentiellen Zeitbedarf
besitzen. Damit arbeitet er nicht in Polynomialzeit, und es folgt P 6= NP.
Wo steckt der Fehler in diesem „Beweis“ für die Aussage P 6= NP?
Aufgabe 30
Es sei Σ ein Alphabet. Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist P = NP, so sind alle Sprachen
über Σ, die in NP liegen, NP-vollständig bis auf ∅ und Σ⋆ .
Aufgabe 31 (Klausuraufgabe aus dem Sommersemester 2005)
Es sei Σ ein Alphabet. Für A ⊆ Σ⋆ definieren wir
n
o
KA := B ⊆ Σ⋆ A ≤P
B
.
m
a) Welche Sprachen sind in K∅ enthalten?
b) Welche Sprachen sind in KΣ⋆ enthalten?
c) Es sei A ⊆ Σ⋆ mit A ∈ P \ ∅, Σ⋆ . Welche Sprachen sind in KA enthalten?
Aufgabe 32 (Klausuraufgabe aus dem Wintersemester 2005/2006)
Ein ungerichteter Graph G′ = (V ′ , E ′ ) heißt genau dann Teilgraph eines ungerichteten Graphen
G = (V, E), wenn V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E gelten.
Aus Aufgabe 24 kennen Sie zudem bereits den Begriff der Isomorphie für Graphen.
Es sei
SGI := hG, Hi G und H sind ungerichtete Graphen,
und G besitzt einen Teilgraphen, der isomorph zu H ist.
Beweisen Sie, daß SGI ∈ NP und CLIQUE ≤P
m SGI gelten.
Aufgabe 33
Aus Aufgabe 27 kennen Sie bereits den Begriff der Färbbarkeit für Graphen. Es sei
2-COLORABILITY := hGi G ist ein 2-färbbarer ungerichteter Graph .
Zeigen Sie, daß 2-COLORABILITY ∈ P gilt.
Aufgabe 34
Eine aussagenlogische Formel nennt man in 2-KNF, wenn sie in konjunktiver Normalform ist
und jede Klausel genau zwei Literale enthält.
Es sei
2-SAT := hF i F ist eine erfüllbare aussagenlogische Formel in 2-KNF .
Zeigen Sie, daß 2-SAT ∈ P gilt.
Hinweis: Bilden Sie zu jeder Formel zunächst einen gerichteten Graphen, der bestimmte „Beziehungen“ zwischen den in der Formel vorkommenden Literalen modelliert.
Aufgabe 35
Besuchen Sie die Webseite http://sudoku.zeit.de, und lösen Sie ein paar der dortigen
Sudoku-Rätsel. Falls Sie dieses Spiel noch nicht kennen, finden Sie dort auch eine Anleitung.
Die Aufgabenstellung bei Sudoku-Rätseln läßt sich verallgemeinern. Für k ∈ N \ {0} kann man
das Spielfeld so definieren, daß es insgesamt k2 Zellen breit und k2 Zellen hoch ist. Alle Boxen
bestehen dann aus k · k Feldern, die jeweils mit den Zahlen 1 bis k2 befüllt werden. Die Rätsel
auf der obigen Webseite stellen also den Spezialfall k = 3 dar.1
Das sogenannte allgemeine Sudoku-Problem SUDOKU ist definiert durch
n
2
SUDOKU := hk, S, f i k ∈ N \ {0}, S ⊆ 1, 2, . . . , k2 , f : S → 1, 2, . . . , k2
o
und das durch k, f sowie S gegebene Sudoku-Rätsel besitzt eine Lösung .
Dabei gibt k die „Größe“ des Spielfeldes wie oben beschrieben an. S und f repräsentieren die
bereits zu Beginn eingetragenen Zahlen (S stellt dabei die Menge der jeweiligen „Koordinaten“
dar). Man kann zeigen, daß das allgemeine Sudoku-Problem NP-vollständig ist.
a) Zeigen Sie, daß SUDOKU ∈ NP gilt.
b) Zeigen Sie, daß SUDOKU ≤P
m COLORABILITY gilt.
c) Eingeschränkt auf den Spezialfall k = 3 liegt das Problem SUDOKU in P. Warum?
1
Den Fall k = 4 finden Sie auf http://www.dailysudoku.co.uk/sudoku/archive.shtml?type=monster.