Stochastik 2

Stochastik 2
SS 2017, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
30.05.2017
06.06.2017
9. Übungsblatt
Aufgabe 52 (3 Punkte). Es sei eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen (Xn )n∈N auf (Ω, F, P) gegeben,
f.s.
für die gilt P(Xn = 1) = 1 − P(Xn = 0) = n1 . Zeigen Sie, dass Xn → 0 gilt, aber nicht Xn → 0.
Hinweis: Nutzen Sie für den zweiten Teil das Lemma von Borel-Cantelli.
P
Aufgabe 53 (3 Punkte). Seien X und Xn , n ≥ 1, reellwertige Zufallsvariablen über Ω, F, P . Die folgende
Übersicht zeigt die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Konvergenzarten.
Lp
f.s.
Xn → X
Xn → X
P
Xn → X
d
Xn → X
Beweisen Sie die Richtigkeit der Übersicht. Für die bereits in der Vorlesung und Übung bewiesenen Zusammenhänge reicht es, die entsprechenden Sätze/Übungsaufgaben anzugeben.
Aufgabe 54 (6 Punkte).
ε > 0. Zeigen Sie
(i) Sei X eine Zufallsvariable, f (x) : R → R+ \ {0} eine fallende Funktion,
P(X ≤ ε) ≤
Ef (X)
.
f (ε)
(ii) Sei f eine stetige und beschränkte Funktion auf R. Beweisen Sie für p > 0, dass
P
Xn → X
⇒
Lp
f (Xn ) → f (X).
Aufgabe 55. Für zwei Zufallsvariablen X und Y setzen wir
d(X, Y ) = E
|X − Y |
.
1 + |X − Y |
Beweisen Sie, d ist eine Metrik im Raum von Äquivalenzklassen von Zufallsvariablen, die mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich sind.
Zeigen Sie ferner, dass
P
Xn −
→ X ⇐⇒ d(Xn , X) → 0.
Aufgabe 56. Die ZV Xn seien iid. Zeigen Sie, dass dann gilt
√
An = {|Xn | ≥ n} endlich oft P-f.s. ⇔
VarXn = σ 2 < ∞
Aufgabe 57. Sei p > 0. Zeigen Sie, dass
∞
X
n=1
E|Xn |p < ∞
⇒
f.s.
Xn → 0.
Abgabe: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und vor der Vorlesung am Dienstag
abzugeben.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Hausaufgaben
Klausurtermin: 17.07.2017, 12:00 Uhr, CZS 3, SR 113
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html