12. ¨Ubungsblatt

Stochastik 2
SS 2017, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
20.06.2017
27.06.2017
12. Übungsblatt
Aufgabe 71 (4 Punkte). (a) Für die Zufallsvariablen X und Y gelte ϕX+Y (t) = ϕX (t)ϕY (t) für alle
t ∈ R. Folgt dann automatisch die Unabhängigkeit von X und Y ?
(b) Seien X und Y nun normalverteilt. Ändert sich dann Ihre Antwort zu obiger Frage?
Begründen Sie stets Ihre Antwort!
Aufgabe 72 (2 Punkte). Sind folgende Funktionen charakteristische Funktionen von Zufallsvariablen?
1.
ϕ(t) = cos t + sin t
2.
ϕ(t) = eit
Handelt es sich um charakteristische Funktionen, geben Sie die zugehörige Verteilung an. Ist dies nicht der
Fall, begründen Sie Ihr Ergebnis entsprechend.
Aufgabe 73 (6 Punkte). Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre
Antwort!
1. Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf einem Erzeuger G übereinstimmen, sind auf F = σ(G) gleich.
2. Sind zwei Zufallsvariablen unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.
d
d
d
3. Aus Xn → N (0, 1) und Yn → N (0, 1) folgt Xn + Yn → N (0, 2) (Konvergenz nach Verteilung).
4. Jede beschränkte reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, F, P) liegt in L2 (P).
5. Aus der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit einer Folge von Zufallsvariablen folgt die fast sichere Konvergenz einer Teilfolge.
d
6. Die Konvergenz EXn → EX und EXn2 → EX 2 impliziert Xn → X.
Aufgabe 74. Sei Xn n≥1 eine Folge geometrisch verteilter Zufallsvariablen mit Parametern pn > 0 für
n ∈ N mit pn → 0 für n → ∞, d.h. P(Xn = k) = (1 − pn )k pn für k ∈ N0 . Bestimmen Sie
x
, x ∈ R,
lim P Xn ≥
n→∞
pn
mit Hilfe charakteristischer Funktionen.
Aufgabe 75. Seien Xn
n≥1
und Yn
d
c ∈ R. Zeigen Sie, dass Xn Yn → cX.
d
n≥1
P
Folgen reellwertiger Zufallsvariablen mit Xn → X und Yn → c,
Aufgabe 76. Bestimmen Sie die charakteristische Funktion einer Γ(α, β)-verteilten ZV X mit der Dichte
f (x) =
β α α−1 −βx
x
e
I(0,∞) (x),
Γ(α)
α, β > 0.
Zeigen Sie außerdem:
η(α) =
βX − α d
√
→ N (0, 1)
α
Abgabe: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und vor der Vorlesung am Dienstag
abzugeben.
Bedingungen für die Teilnahme an der Klausur: 50% der Hausaufgaben
Klausurtermin: 17.07.2017, 12:00 Uhr, CZS 3, SR 113
Nachklausurtermin: 04.10.2017, 10:00 Uhr, CZS 3, SR 317
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html