Aufgabe 1 (7 Punkte) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr

Aufgabe 1 (7 Punkte)
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Antwort!
1. Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße, die auf einem Erzeuger übereinstimmen, sind gleich.
2. Sind zwei Zufallsvariablen unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.
d
d
d
3. Aus Xn → N (0, 1) und Yn → N (0, 1) folgt Xn + Yn → N (0, 2) (Konvergenz in Verteilung).
4. Jede beschränkte, reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, F, P) liegt in L2 (P).
5. Ist eine Funktion φ(t), t ∈ R, mit φ(0) = 1 und |φ(t)| ≤ 1 gleichmäßig stetig auf R, so ist φ eine
charakteristische Funktion.
6. Aus der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit einer Folge von Zufallsvariablen folgt die fast sichere Konvergenz einer Teilfolge.
d
7. Die Konvergenzen EXn → EX und EXn2 → EX 2 implizieren Xn → X.
Aufgabe 2 (2 Punkte)
Sind folgende Funktionen charakteristische Funktionen von Zufallsvariablen?
1.
φ(t) = cos(sin(t2 ))
2.
2
φ(t) = e−2t
+8it
Handelt es sich um charakteristische Funktionen, geben Sie die zugehörige Verteilung an. Ist dies nicht der
Fall, begründen Sie Ihr Ergebnis entsprechend.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Seien (Ω, F, P) = ([0, 1], B([0, 1]), λ|[0,1] ) und (Ωn , Fn , Pn ) = ([0, n], B([0, n]), n1 λ|[0,n] ), n ≥ 1, Wahrscheinlichkeitsräume. Die Zufallsvariable X auf (Ω, F, P) und die Zufallsvariablen Xn auf (Ωn , Fn , Pn ) sind
folgendermaßen definiert:
X(ω) : Ω → R, X(ω) = ω,
n
1X
Xn (ω) : Ωn → R, Xn (ω) =
I[i,n) (ω)
n i=0
In welchem Sinne konvergieren die Xn gegen X für n → ∞? Beweisen Sie dies.
Aufgabe 4 (6 Punkte)
1. Formulieren Sie das Lemma von Borel–Cantelli.
2. Seien (Xk )k≥1 unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen. Für k ≥ 1 gelte P(Xk = 1) = p
und P(Xk = −1) = 1 − p mit p ∈ (0, 1). Es sei S0 := 0 und Sn = X1 + · · · + Xn für n ∈ N. Zeigen Sie,
dass für p 6= 1/2 gilt
P(Sn = 0 unendlich oft) = 0
√
Hinweis: Stirlingsche Formel: n! ∼ 2πne−n nn
Aufgabe 5 (6 Punkte)
1. Beweisen Sie für eine nichtnegative Zufallsvariable X und jedes a > 0 die folgende Ungleichung (eine
Variante der Tschebyscheff–Ungleichung):
P(X ≥ a) ≤
EX
.
a
2. Formulieren und beweisen Sie das schwache Gesetz der großen Zahlen für eine Folge von unabhängigen
und identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlichem zweiten Moment.
Aufgabe 6 (5 Punkte)
Seien (Xn )n≥1 unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit EXn2 < ∞. Zeigen Sie, dass
max{|X1 |, . . . , |Xn |} P
√
→ 0,
n
Hinweis: Benutzen Sie, dass u2 P(|X1 | > u) → 0, u → ∞.
n → ∞.