12. ¨Ubung Wahrscheinlichkeitstheorie I

Universität zu Köln
Sommersemester 2016
Institut für Mathematik
Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz
Assistent: L. Schmitz
Abgabe: 14.7. und 15.7. vor den Übungen.
12. Übung Wahrscheinlichkeitstheorie I
(Stetigkeitssatz, Fourier-Inversionsformel, Extremalverteilungen, Gesetz der
großen Zahlen)
Hausaufgaben
Mit Vorgriff auf die Vorlesung in der nächsten Woche betrachten Sie eine Version des Stetigkeitssatzes von P. Lévy:
Theorem 1 (Stetigkeitssatz von P. Lévy (1922)). Es seien µ, (µn ) W-Maße auf
(Rd , B(Rd )) mit charakteristischen Funktionen ϕ, (ϕn ). Falls ϕn (t) −→ ϕ(t) für
alle t ∈ Rd , dann gilt µn −→ µ schwach (n → ∞).
1. Aufgabe
(5 Punkte)
a) Zeigen Sie für alle x ∈ R und r ∈ N
r
r−1
k
X
(ix) |x| 2|x|r−1
,
.
exp(ix) −
≤ min
k! r! (r − 1)!
k=0
(2 Punkte)
b) Es sei (Xn ) eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit Xn ∼ BinNn ,pn
derart, dass Nn → ∞ und s2n := Nn pn (1 − pn ) → ∞ für n → ∞ (Nn ∈ N,
pn ∈ (0, 1)). Zeigen Sie mithilfe des Stetigkeitssatzes von P. Lévy, dass
Xn − Nn pn D
−→ X,
sn
wobei X ∼ N (0, 1).
(3 Punkte)
Wie Sie wissen, legt die charakteristische Funktion eindeutig die Verteilung
eine Zufallsvariablen fest. Man kann sogar mithilfe folgender Umkehrformel
die Dichte explizit ausrechnen, falls die charakteristische Funktion integrierbar
ist:
Theorem 2. Es sei µ ein W-Maß auf (Rd , B(Rd )) mit λd -Dichte f . Sei ϕµ die
zug. charakteristische Funktion mit ϕµ ∈ L1 (Rd , B(Rd ), λd ). Dann gilt
Z
1
f (x) =
ϕµ (t)e−ix·t dt für λd -fast alle x ∈ Rd .
(2π)d Rd
2. Aufgabe
(5 Punkte)
Es sei C(a) die Cauchyverteilung auf R, d.h. mit λ -Dichte fa (x) := π(a2a+x2 ) ,
a > 0. Es seien ferner X und Y unabhängige Zufallsvariablen, wobei X ∼ C(a)
und Y ∼ C(b) (a, b > 0). Zeigen Sie mithilfe der Fourier-Inversionsformel (und
ohne Zuhilfenahme von zusätzlichen Methoden aus der Funktionentheorie),
dass X + Y die Dichte fa+b (x) besitzt, also C(a + b)-verteilt ist.
Hinweis: Betrachten Sie die charakteristische Funktion einer reellen Zufallsvariablen mit λ1 -Dichte ga (x) = a2 exp(−a|x|), x ∈ R.
1
3. Aufgabe
(0 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass zwischen der Verteilungsfunktion Φ und der Dichte ϕ
der Standard Normalverteilung N (0, 1) folgende Beziehung besteht:
1
1
1
− 3 ϕ(x) < 1 − Φ(x) < ϕ(x), (x > 0).
x x
x
Dies impliziert inbesondere x(1 − Φ(x))/ϕ(x) −→ 1 (x → ∞).
b) Es sei nun (Xn ) eine Folge unabhängiger, identisch N (0, 1)-verteilter Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, F, P). Ferner sei bn implizit definiert durch P(X1 > bn ) = 1/n, sowie Mn := max1≤k≤n Xk . Zeigen Sie
D
bn (Mn − bn ) −→ X,
wobei X ∼ G(0, 1), d.h. P(X ≤ x) = exp(−e−x ).
Bemerkung: Die Grenzverteilung aus Aufgabenteil b) heißt auch Gumbel Verteilung mit Lageparameter µ = 0 und Skalierung β = 1, kurz: Gumbel (0, 1)Verteilung. Sie spielt eine zentrale Rolle in der Extremwerttheorie, die sich
bspw. mit der Vorhersage und Quantisierung von unwahrscheinlichen, aber
verheerenden Schäden (verursacht durch Naturkatastrophen o.ä.) beschäftigt.
Dort tritt sie als eine von drei möglichen Grenzverteilungen für geeignet zentrierte und standardisierte Maxima von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen auf.
4. Aufgabe
(0 Punkte)
Es seien X1 , X2 , . . . unabhängige Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, F, P)
mit
P(Xn = ±n) =
1
1
2 n log(n + 1)
und P(Xn = 0) = 1 −
1
,
n log(n + 1)
n ∈ N.
Zeigen Sie, dass die Folge (Xn ) dem schwachen, nicht jedoch dem starken
Gesetz der großen Zahlen genügt.
Anmerkung zur (Probe-)Klausur: In der letzten Vorlesungswoche wird
auf der Homepage eine kleine Probeklausur gestellt und anschließend ein Lösungsvorschlag hochgeladen. “Klein“ heißt, dass der Umfang weder dem der
eigentlichen Klausur entspricht, noch, dass sich das Aufgabenspektrum der
Klausur an dem der Probeklausur orientiert.
Vielmehr soll die kleine Probeklausur dem zusätzlichen Üben dienen und evtl.
noch Stoff, der etwas zu kurz kam, aufgreifen. Sie wird nicht mehr im Tutorium
besprochen.
Für die eigentliche Klausur sind alle Aufgaben auf den Aufgabenblättern und
der Stoff aus der Vorlesung prüfungsrelevant. Wie in der ersten Vorlesungswoche angekündigt sind in der Klausur alle Hilfsmittel (bis auf ein beidseitig
beschriebenes DIN A4 Blatt) untersagt (inkl. elektronischem Firlefanz und
Büchern).
Anmerkung zum Aufgabenblatt: Es sind nur die Aufgaben einzureichen,
welche strikt positive Punktzahlen haben. Sollten Sie für eine Aufgabe mehrere
Blätter benötigen, so sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre
Lösungen in der ersten Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name,
Aufgabe.
Gesamtpunktzahl: 10
3