Vervollständigung, p-adische Zahlen, Bewertungsfortsetzung.

Sommerschule
Tropische Geometrie
17.09.2012
§ 2 Vervollständigung
Vortrag: Heiß Daniel
bei Prof. Dr. W. Gubler
§ 2:
Vervollständigung
§ 2:
Vervollständigung
I Konstruktion
1.1 Wiederholung
(i) Ein Körper K zusammen mit einer Bewertung k−k : K −→ R heißt bewerteter
Körper.
(ii) Eine Folge {an }n∈N ⊆ K in einem bewerteten Körper (K, k−k) heißt Cauchyfolge, wenn
∀ε > 0 ∃N ∈ N :
(iii) Ein bewerteter Körper
K, k−k
kan − am k ≤ ε ∀n, m ≥ N
heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge
{an }n∈N in K gegen ein Element a ∈ K konvertiert.
1.2 Lemma
Sei K, k−k ein bewerteter Körper. Die Menge
R :=
n
o
a := {an }n∈N a ⊆ K Cauchyfolge
aller Cauchyfolgen in K bildet einen kommutativen Ring mit 1.
Beweis
Es ist klar, dass die Menge F aller Folgen in K vermöge punktweiser Addition
und Multiplikation einen kommutativen Ring mit 1 := (1, 1, . . .) bildet.
Zeige also nur, dass R ⊆ F einen Unterring bildet:
Zeige nur die Abgeschlossenheiten:
Seien a, b ∈ R zwei Cauchyfolgen und sei ε > 0.
(additiv)
∃N ∈ N :
kan − am k , kbn − bm k <
Betrachte c := a + b.
ε
2
∀n, m ≥ N
Es gilt ∀n, m ≥ N :
kcn − cm k = k(an + bn ) − (am − bm )k = k(an − am ) + (bn − bm )k ≤
≤ kan − am k + kbn − bm k ≤ ε
| {z } | {z }
≤ 2ε
=⇒
c∈R
≤ 2ε
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§ 2:
Vervollständigung
(multiplikativ)
Als C.F. sind a, b beschränkt
Außerdem: ∃N ∈ N :
Betrachte d := a · b.
∃0 < ω ∈ R :
=⇒
kan − am k , kbn − bm k ≤
kan k , kbn k ≤ ω
ε
2ω
∀n ∈ N
∀n, m ≥ N
Es gilt ∀n, m ≥ N :
kdn − dm k = kan bn − am bm k = kan bn − an bm + an bm − am bm k =
= kan (bn − bm ) + bm (an − am )k ≤ kan k · kbn − bm k + kbm k · kan − am k ≤ ε
| {z } | {z } | {z } | {z }
ε
≤ 2ω
≤ω
=⇒
≤ω
ε
≤ 2ω
d∈R
2
1.3 Lemma
Sei K, k−k ein bewerteter Körper, R der Ring aller Cauchyfolgen. Die Teilmenge
n
o
m := a ∈ R lim kan k = 0 ⊆ R
n→∞
ist ein maximales Ideal in R
Beweis
Bekanntlich ist jede Nullfolge eine Cauchyfolge, also m ⊆ R klar.
(Ideal)
Seien a, b ∈ m
=⇒
lim kan k = lim kbn k = 0
n→∞
=⇒
n→∞
n→∞
kan − bn k ≤ kan k + kbn k −→ 0 + 0 = 0
Also gilt:
a−b∈m
0 ∈ m ist klar.
Sei nun c ∈ R eine Cauchyfolge
Es gilt:
∃0 < ω :
=⇒
n→∞
kcn an k = kcn k · kan k −→ 0
|{z} | {z }
≤ω
=⇒
kcn k ≤ ω
∀n ∈ N
ca ∈ m
n→∞
−→ 0
(Maximalität)
Sei m ( I ⊆ R ein Ideal
x existiert nach
1.4
=⇒
=⇒
∃a ∈ I :
a∈
/m
x := lim kan k =
6 0
n→∞
Wegen a C.F. und x 6= 0 gilt:
∃N ∈ N :
an 6= 0 ∀n ≥ N (wähle ε = x2 )
Genauer gilt:
∃0 < ω, M ∈ N :
Sei nun ε > 0.
Damit gilt
Wegen a ∈ R
kan k ≥ ω
∃Ñ ∈ N :
∀n ≥ M
kan − am k ≤ εω 2
∀n, m ≥ Ñ
∀n, m ≥ max{M, Ñ }:
1
am − an 1
1
1
−
− an k ≤ ε
an am = an am = kan k · kam k · |kam {z
}
| {z } | {z }
≤εω 2
1
≤ω
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1
≤ω
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§ 2:
Damit ist
1
an
N ≤n∈N
eine C.F.
Setze nun b durch
Vervollständigung
(∗)

1 , n < N ∧ a 6= −1
n
bn :=
0 , sonst
Nach Konstruktion gilt b ∈ m und wegen m ⊆ I damit auch:
b∈I
Wegen I Ideal ist damit c := a + b ∈ I und es gilt
c = a1 + b1 , . . . , aN −1 + bN −1 , aN , aN +1 , . . .
|
{z
} |
{z
}
6=0
Da somit cn 6= 0 ∀n ∈ N gilt, folgt:
Nach Konstruktion ist d wegen (∗)
6=0
∃d := c−1
n
n∈N
eine C.F., also: d ∈ R
Wegen I ⊆ R Ideal gilt:
I 3 |{z}
d · |{z}
c =1
∈R
=⇒
I=R
=⇒
m ∈ MaxSpec(R)
∈I
2
1.4 Proposition
Sei K, k−k
ein bewerteter Körper und a := {an }n∈N eine Cauchyfolge in K. Dann
ist
b := kan k
n∈N
eine Cauchyfolge in R
Beweis
Sei ε > 0 Wegen a C.F. ∃N ∈ N : kan − am k ≤ ε ∀n, m ≥ N
(∗)
bn − bm = kan k − kam k ≤ kan − am k ≤ ε ∀n, m ≥ N
=⇒
b ist Cauchyfolge
kan k = kan − am + am k ≤ kan − am k + kam k
kam k = kan − (an − am )k ≤ kan k + kan − am k
=⇒
(∗)
kan − am k ≥ kan k − kam k 2
1.5 Konstruktion
Sei K, k−k
ein bewerteter Körper. Sei R der Ring aller Cauchyfolgen in K und
m ⊆ R das maximale Ideal der Nullfolgen.
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§ 2:
Vervollständigung
Dann ist
b := R/m
K
ein Körper.
Vermöge der Abbildung
b
ι : K ,−→ K
a 7−→ a, a, . . . mod m
b ein.
bettet sich der Körper K in den neuen Körper K
b wie folgt fort:
Die Bewertung k−k setzt sich von K auf K
b und sei {an }n∈N ∈ R ein Repräsentant des Elements ā.
Sei ā ∈ K
Dann setze
kāk := lim kan k
n→∞
Beweis
b ein Körper.
Wegen m ⊆ R maximales Ideal ist R/m -also KWegen 1.4 existiert der Grenzwert lim kan k.
n→∞
Zeige noch die Wohldefiniertheit:
Sei {bn }n∈N eine weitere Cauchyfolge, die das Element ā repräsentiert.
=⇒
{an }n ∼ {bn }n
{an }n − {bn }n = {an − bn }n ∈ m
0 = lim kan − bn k ≥ lim kan k − kbn k ≥ 0
n→∞
n→∞
lim kan k − kbn k = 0 =⇒
lim kan k − lim kbn k = 0
=⇒
1.4
=⇒
=⇒
=⇒
n→∞
n→∞
n→∞
2
lim kan k = lim kbn k
n→∞
n→∞
1.6 Korollar
b bzgl. k−k vollständig. Deshalb nennt man
In der Situation von 1.5 ist der Körper K
die Konstruktion auch die Vervollständigung oder Komplettierung von K.
Beweis
ähnlich wie für R.
2
Vgl. [Neu] S. 129
1.7 Korollar
In obiger Situation gilt:
b ist Grenzwert einer Cauchyfolge in K.
Jedes ā ∈ K
Beweis
ähnlich wie für R.
Vgl. [Neu] S. 129
2
1.8 Korollar
b bis auf Isomorphie eindeutig.
In der Situation 1.5 ist der konstruierte Körper K
0
b 0 , k−k ein weiterer vollständiger Körper, der K, k−k als dichten
Genauer: Ist K
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Vervollständigung
Teilkörper enthält, so existiert ein K-Isomorphismus
∼ b0
b −→
σ: K
K
und es gilt
kak = kσ(a)k0
b
∀a ∈ K
Beweis
2
Vgl. [Neu] S. 129
1.9 Beispiel
Die Körper R und C sind vollständig bzgl. der archimedischen Bewertung.
Beweis
bekannt.
1.10 Satz
Sei K, k−k
2
Vgl. [Neu] S. 129
(Ostrowski)
ein vollständiger, archimedisch bewerteter Körper. Dann gibt es einen
Isomorphismus σ von K auf R oder C und ein s ∈ [0, 1] mit
s
kak = σ(a)
∀a ∈ K
Beweis
ohne Beweis.
2
Vgl. [Neu] S. 130
II p-adische Entwicklung
2.1 Motivation
Der Satz von Ostrowski deckt die Vervollständigung mit archimedisch bewerteten Körpern
ab. Nun betrachten wir die Vervollständigung von Q bzgl. einer nicht-archimedischen
Bewertung.
2.2 Entwicklung natürlicher Zahlen
Sei p eine Primzahl. Es gilt:
∀x ∈ N ∃n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ {0, . . . , p − 1} :
x=
n
X
ai p i
i=0
Man schreibt abkürzend:
x = a0 , a1 a2 . . . an
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(p)
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§ 2:
Vervollständigung
2.3 Beispiel
216 = 72 · 3 +
0
72 = 24 · 3 +
0
24 =
8·3
+
0
8=
2·3
+
2
2=
0·3
+
2
Damit gilt:
216 = 2 · 33 + 2 · 34
In der abkürzenden Schreibweise:
216 = 0, 0022
(3)
2.4 Definition
Eine ganze p-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe
∞
X
ai pi
i=0
mit ai ∈ {0, . . . , p − 1}
∀0 ≤ i.
Mit Zp wird die Menge aller ganzen p-adischen Zahlen bezeichnet.
Die p-adischen Zahlen benötigen kein Vorzeichen mehr.
2.5 Lemma
Für jede Restklasse
a (mod pn )
∈ Z/pn Z
existiert eine eindeutige Darstellung
a≡
n−1
X
ai p i
(mod pn )
i=0
mit ai ∈ {0, . . . , p − 1}
∀i
Beweis
vgl. [Neu] S. 104, Satz 1.2
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2
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Vervollständigung
2.6 Konstruktion
Sei z ∈ Z eine ganze Zahl (bzw. z ∈ Z(p) eine bzgl. p ganze Zahl). Dann bestimmt z
eine Folge (ān )n∈N von Restklassen vermöge
(mod pn )
ān = z
∈ Z/pn Z
Nach 2.5 gilt für die Glieder der Folge:
ān ≡
n−1
X
αi pi
(mod pn )
i=0
wobei αi ∈ {0, . . . , p − 1}
Die zugehörige Zahlenfolge
an =
n−1
X
αi pi
i=0
definiert eine ganze p-adische Zahl
ω=
∞
X
αi pi ∈ Zp
i=0
Man bezeichnet ω als die p-adische Entwicklung von z
2.7 Beispiel
(i)
Die p-adische Darstellung von −1 für eine beliebige Primzahl p:
∞
P
−1 ≡ p − 1 (mod p) =⇒ −1 =
(p − 1)pi
i=0
Also zum Beispiel für die Primzahl p = 5:
−1 = 4, 4444444 . . .
(5)
(ii)
Die 5-adische Darstellung von
Es ist
7
6
− 61
− 56
≡2
≡4
≡0
7
6
∈ Z(5) :
denn es gilt
7
6
5
− 12
6 = −6
25
− 16 − 24
6 =− 6
− 65
Erhalte also:
=
=
=
− 16
− 56
− 16
·5
7
6
·5
− 16 = − 56 · 5 + 4
·5
− 56 = − 16 · 5
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= − 16 · 5 + 2
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§ 2:
Vervollständigung
Ab hier wird es periodisch. Wir haben also:
7
= 2, 40
6
(5) = 2, 40404040404040 . . .
(5) = 2 +
∞
X
4 · 52k+1
i=0
(iii)
Ähnlich kann man rechnen, dass
31
= 4, 211111 . . .
4
(5) = 4, 21
(5)
III p-adische Zahlen
3.1 Definition
Eine p-adische Zahl ω ist eine formale Reihe
∞
X
ω=
ai pi
i=−m
mit m ∈ Z und ai ∈ {0, . . . , p − 1} ∀i.
Die Menge aller p-adischen Zahlen bezeichnet man mit Qp .
3.2 Konstruktion
Sei x ∈ Q eine beliebige rationale Zahl. Im Fall x ∈ Z(p) stimmt die p-adische Darstellung von x mit der Konstruktion 2.6 überein.
Ansonsten schreibe
x=
Aus Zähler muss
man eigentlich gar
nichts rausziehen
f −m
·p
g
mit m ∈ Z und ggT(f g, p) = 1 durch maximales Herausziehen“ von p aus Zähler und
”
Nenner.
Es ist damit
f
g
∈ Z(p) und hat damit nach Konstruktion 2.6 eine Darstellung
∞
X
f
=
αi p i
g
i=0
Die rationale Zahl x erhält dann die p-adische Entwicklung
x=
∞
X
αi pi−m =
i=0
∞
X
αi+m pi
∈ Qp
i=−m
So bettet sich Q injektiv nach Qp ein.
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3.3 Beispiel
31
100
=
31
4
∞
P
· 5−2 =
∞
P
αi 5i−2 =
i=0
β i 5i
i=−2
Mit α0 = 4, α1 = 2, αi = 1 ∀2 ≤ i
und βi = αi+2
3.4 Bemerkung
∼
(i) Qp =
6 Qq
mit p 6= q Primzahlen.
(ii) Qp ist überabzählbar.
(iii) Die p-adischen Zahlen Qp sind die Vervollständigung von Q bzgl. der nichtarchimedischen Norm k−kp
(iv) Damit gibt es bis auf Isomorphie nur folgende Vervollständigungen von Q:
Q2 , Q3 , Q5 , . . . , Q∞ = R
(v) Es sind äquivalent:
(a) x ∈ Q
(b) x hat eine periodische oder endliche Darstellung
Beweis
2
vgl. [Neu] Kapitel II, §1
3.5 Zusammenfassung
Die p-adischen Zahlen sind also formale Reihen
∞
X
αi pi ∈ Qp
i=−m
wobei m ∈ Z und αi ∈ {0, . . . , p − 1}
Die Einbettung Q ,−→ Qp liefert periodische Koeffizientenfolgen
Die Einbettung Z ,−→ Qp liefert Reihen, die bei m = 0 starten
Die Einbettung N ,−→ Qp liefert endliche Summen.
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§ 2:
Vervollständigung
IV Der projektive Limes
4.1 Definition
Der projektive Limes ist ein Teilring des direkten Produkts
Q
Z/pn Z.
n∈N
Er umfasst alle Tupel, die der Bedingung
λn (xn+1 ) = xn
genügen.
Dabei ist
λn : Z/pn+1 Z − Z/pn Z
die kanonische Projektion.
In Zeichen:
(
n
lim Z/p Z =
←
(xn )n∈N ∈
n
Y
Z/p Z λn (xn+1 ) = xn
n
n∈N
)
∀n ∈ N
4.2 Bemerkung
Der projektive Limes ist ein anderer Zugang zu den p-adischen Zahlen.
Beide Ringe sind isomorph
∼
Zp = lim Z/pn Z
←
n
Beweis
2
vgl. [Neu] Seite 107f.
4.3 Zusammenhang
Betrachten wir die p-adische ganze Zahl z =
∞
P
αi pi statt als Folge von Partialsummen
i=0
sn =
n−1
X
αi p i ∈ Z
i=0
als Folge der Restklassen
sn = sn
mod pn ∈ Z/pn Z
so ist klar, dass λn (sn+1 ) = sn gilt.
Das heißt im projektiven Limes sind die Tupeleinträge gerade die Partialsummen obiger
Reihen.
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4.4 Beispiel
(i)
216 = 0, 0022 (3)
(vgl. 2.3)
Im projektiven Limes betrachte
l := (216
mod 3, 216
mod 32 , 216
mod 33 , . . .) = (0, 0, 0, 54, 216, 216, 216, 216, . . .)
und verifiziere s4 = 0 + 0 · 3 + 0 · 32 + 2 · 33 = 54 = π4 (l)
(ii)
(−1) = (p − 1, p2 − 1, p3 − 1, p4 − 1, . . .)
4.5 Bemerkung
Als Teilring des direkten Produkts gehört der projektive Limes zur selben Kategorie.
Insbesondere sind damit Addition und Multiplikation komponentenweise definiert.
4.6 Beispiel
Die Gleichung x2 = 2 hat eine Lösung in Z7 .
√
Entsprechende Reihe:
2 = 3 , 10 , 108 , 2166 , . . .
3 + 1 · 7 + 2 · 72 + 6 · 73 + . . .
nicht-periodisch
4.7 Zusammenhang mit der Vervollständigung
Die Folge der Partialsummen (und damit die Tupeleinträge des projektiven Limes) sind
bzgl. der Norm bzgl. derer der Körper Q vervollständigt wurde eine Cauchy-Folge.
Beweis
Sei ε > 0.
n
o
Setze N := min n ∈ N p−n < ε
Bezeichne (sn )n∈N die Folge der Partialsummen. Dann gilt ∀n > m ≥ N :
ksn − sm kp
n−1
n−1
m−1
X
X
X
n−1 i
i
i
ai p ≤ max ai pi p
= ai p −
ai p = i=m
i=0
i=0
p
i=m
p
n−1
= max ai pi p = p−m < ε
i=m
2
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§ 2:
Vervollständigung
V Fortsetzung der Bewertung
5.1 Definition
Sei K, k−k ein bewerteter Körper und L/K eine algebraische Körpererweiterung.
Eine Bewertungsfortsetzung ist eine Bewertung
k−kL : L −→ R
des Körpers L für die gilt:
kxkL = kxk
∀x ∈ K
5.2 Beispiel
Betrachte den bewerteten Körper R, |−| und seine (einzige) algebraische Erweiterung
C/R.
Bekanntlich ist
√
kzkC :=
zz
∀z ∈ C
eine Bewertungsfortsetzung.
Diese ist sogar eindeutig. Genauer gilt:
5.3 Theorem
Sei K, k−k
ein bewerteter Körper. Ist K bzgl. k−k vollständig, so besitzt k−k auf
jede algebraische Erweiterung L/K eine eindeutige Bewertungsfortsetzung k−kL
Beweis
2
vgl. [Neu] Seite 137, Theorem 4.8
5.4 Beispiel
Betrachte den bewerteten Körper Q, k−k5
Die Bewertungsringe sind
O
und die Körpererweiterung Q(i)/Q
= Z von Q und O = Z[i] von Q(i).
Es ist (5) ∈ Spec(O) und es gilt:
5 = (1 + 2i) (1 − 2i)
| {z } | {z }
=:℘1
mit ℘i ∈ Spec(O)
=:℘2
∼
Es ist für i ∈ {1, 2} O/℘i = F5 (Beweis am Ende). Damit gilt:
h
i h
i
f := O/℘i : O/(5) = F5 : F5 = 1
Und wir erhalten zwei unterschiedliche Fortsetzungen der Bewertung vermöge:
kxk℘i := N(℘i )−ν℘i (x)
wobei N(℘i ) := 5f = 51 = 5 die Norm bezeichnet.
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§ 2:
Vervollständigung
Es gilt also
kxk℘i = 5−ν℘i (x)
Zeige nun
• k−k℘i setzt die Bewertung k−k5 von Q auf Q(i) fort
• k−k℘1 und k−k℘2 sind verschieden
Beweis
Setze als bekannt voraus: (1 + 2i), (1 − 2i) sind zwei nicht-assoziierte Primelemente in O
Zunächst zu zeigen: kf k℘i = kf k5
Beweis unten im
Addendum
∀f ∈ Q
Dafür reicht
es zu zeigen, dass ν5 (f ) = ν℘i (f ) ∀f ∈ Q gilt
x
Wegen νp y = νp (x) − νp (y) zeige die Behauptung nur für z ∈ Z
Aus 5 | z und ℘i | 5 folgt:
Gelte nun ℘1 | z
℘i | z
=⇒
=⇒
0 = z − q℘1
=⇒
z = q · ℘2
z = q℘1
mit q ∈ O geeignet
0 = 0̄ = z − q℘1 = z − q · ℘1 = z − q · ℘2
=⇒
=⇒
ν5 (z) ≤ ν℘i (z)
=⇒
℘2 | z
(Andere Richtung analog)
Also folgt aus ℘i | z, dass ℘i ℘i | z
|{z}
ν℘i (z) ≤ ν5 (z)
=⇒
=5
=⇒
21
ν5 (z) = ν℘i (z)
Offensichtlich gilt: ν℘1 (℘1 ) = 1 ν℘2 (℘1 ) = 0
Und damit:
k℘1 k℘1 = 5−1 =
1
6= 1 = 50 = k℘1 k℘2
5
22
Also sind beide Bewertungen verschieden!
Addendum
℘1 und ℘2 sind nicht-ass. Primelemente in O
Zunächst gilt: x ∈ O∗
⇐⇒
N (x) ∈ O∗
(⇒)
x ∈ O∗
=⇒
=⇒
1 = xx−1
=⇒
1 = N (1) = N (x)N (x−1 )
=⇒
x̄ = x−1
N (x) ∈ O∗
(⇐)
1 = N (x) = x21 + x22 = xx̄
Damit folgt wegen N (x) = x21 + x22
und
O∗
=⇒
x ∈ O∗
Sei x = x1 + ix2
= {±1} sofort, dass
O∗ = {±1, ±i}
Zeige nun ℘i sind Primelemente:
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§ 2:
Vervollständigung
Es gilt N (℘i ) = 5. Sei nun ℘i = xy.
Es gilt damit 5 = N (℘i ) = N (xy) = N (x)N (y) und wegen 5 ∈
O
prim gilt Œ
N (x) = 1
Damit folgt x ∈ O∗
=⇒
℘i irred. und wegen O HIR damit auch prim
Dass ℘1 , ℘2 nicht ass. sind sieht man durch direktes Nachrechnen, da
±1℘1 6= ℘2
∧
±i℘1 6= ℘2
2
∼
Zeige, dass O/℘1 = F5 :
Beweis
∼
∼
∼
∼
O/℘1 = Z[i]/(1 + 2i) = Z[X]/(X 2 + 1 , 1 + 2X) = Z[X]/(X − 2 , 5) = Z/(5) = F5
(∗)
Zeige für (∗) die Gleichheit:
(X 2 + 1 , 1 + 2X) = (X − 2 , 5)
(⊆)
X 2 + 1 = (X − 2)2 + 4(X − 2) + 5
1 + 2X = 2(X − 2) + 5
(⊇)
5 = −(1 + 2X)2 + 4(X 2 + 1) + 2(1 + 2X)
X − 2 = X · (1 + 2X) − 2(X 2 + 1)
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2
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§ 2:
Vervollständigung
Literatur
[Neu] Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1992
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